Введение к работе
Актуальность тстм. .Диссертационная работа посвящена исследованию систем операторов с помощью характеристической и корреляционной оператор-функций. За последние 10-15 лет достигнут значительный прогресс в теории систем операторов. После появления теоремы 1.1.С.Лившица и А.А.Янцевича об унитарной эквивалентности двух систем коммутирующих операторов ряд фундаментальных результатов был получен в работах М.С.Лившица, В.А.Золотарева, Л.Л.Ваксмана, В.И.Ломоносова и др. на основе методов теории характеристических оператор-функций, теории операторных узлов, треугольных моделей систем операторов, теории открытых систем.
Следует отметить, что основные результаты получены для систем коммутирующих операторов специального типа. Так, Золотаревым В.А. построены треугольный модели систем дважды перестановочных операторов и операторов, близких к ним.
Несколько иной подход, предложенный в работах М.С.Ливийца и В.А.Золотарева для исследования систем коммутирующих операторов, позволил дать ответ на ряд принципиальных вопросов теории («самосопряженных операторов, построить треугольные модели при помощи специального нелинейного матричного уравнения, получить операторный аналог теоремы Гамильтона-Кэли.
Важную роль в исследованиях систем ьоммутгрующих операторов играет специальное операторное тождество для характеристической оператор-функции, на которое впервые обратил внимание Л.Л..лксмзн и которое можно рассматривать как условие сплетаемо ети, что дает возможность классификации парті операторов в случае двумерного внешнего пространства и приводит к неожидя"-
ним связям с теорией алгебраических кришх.
Теория открытых систем, ассоциированных с операторными узлами, позволяет изучать внутренние связи между множеством линейных коммутирующих операторов в гильбертоюм пространстве и связанных с ними системами дифференциальных уравнений. Именно при таком подходе к исследованию систем коммутирующих операторов М.С.Лив'ппц пріиіел к понятию операторной волны, обобщающей понятие плоской волны и играющей важную роль в спектральной теории систем коммутирующих несамосопрякенных операторов.
Л. Л. Ваксманом построено функциональное исчисление систем коммутирующих'операторов, что позволило, в свою очередь, развить гармонический анализ многопараметрических полугрупп сжатий.
Таким образом, к настоящему времени достигнут значительный прогресс в теории систем коммутирующих операторов. ClICTefM некоммутирующих операторов, а также специальные классы таких операторов мало изучены. Здесь следует обратить внимание на исследования В.А.Золотарева, который предложил метод "расширения'' систем некоммутативных операторов до системы коммутирующих операторов, что позволяет построить треугольные и универсальные модели некоторых классов систем некоммутнрущих операторов. Л.Л.Ваксманом доказана теорема об унитарной эквивалентности для систем некоммутирующих операторов, образующих алгебру Ли.
Следует отметить, что при доказательстве теоремы об унитарной эквивалентности двух систем коммутирующих операторов неожиданно важную роль сыграла инфинитеземальная корреляционная
функция, введенная М.С.Лившицем и А.А.Янцевичем для исследования нестационарных случайных процессов с помощью спектральной теории несамосопряженных операторов, что лігпний раз подтверждает тесную связь и взаимообогащаемость таких разделов как ' функциональный анализ и корреляционная теория случайных функций. Все перечисленное подтвор-кдаэт актуальность темы диссертации .
Целью диссертации является изучение некоторых классов нв-коммутиругащих операторов методами характеристической и корреляционной оператор-функций, а также построение универсальной модели для систем коммутирующих неограниченных операторов и рассмотрение ее приложений в корреляционной теории случайных полей, порождаемых многопараметрическими полугруппами.
Общая методика выполнения исследования. Основным методом исследования являются характеристические оператор-функции систем операторов, модельные представления операторов, .универсальные модели операторов.
Научная новизна.- В работе установлена связь между характеристической и корреляционной оператор-функциями для системи операторов, образующих алгебру Ли, дано модельное представление системы диссипативннх операторов, а такте построен!» универсальные модели системы неограниченных коммутирующих операторов.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Она представляет интерес длп спектральной теор :і конкретних систем операторов (например, интегралышх или
днТ^ерэнциальных), для теории линейных динамических систем в пространствах состояний, а такте для прикладных задач статне-, тики случайных процессов к полей.
Аггоо^ация работе. Основные результаты диссертации доклади вались на научных семінарах по теории линейных операторов при кафедре шміей математики и инфор-итики Харьковского государственного университета.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Обцнй объем диссертации 101 стр., в том числз основного текста 96стр., литературы 3 стр. Библчографня содержит 28 названий.
