Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. К-теория на категории булевых алгебр с замыканием . 15
1.1. Расслоения над булевой алгеброй с замыканием 15
1.2. К-теория булевых алгебр с замыканием 23
1.3. Теория булевых алгебр с замыканием 40
1.4. К-теория на категории дистрибутивных решеток. 47
ГЛАВА II. Семейства фредгольмовых операторов и комплексов . 59
2.1. Семейство фредгольмовых операторов и К-теория булевых алгебр с замыканием 59
2.2. Пространство фредгольмовых комплексов 71
2.3. Семейство фредгольмовых комплексов 81
Литература 108
- Расслоения над булевой алгеброй с замыканием
- Теория булевых алгебр с замыканием
- Семейство фредгольмовых операторов и К-теория булевых алгебр с замыканием
- Пространство фредгольмовых комплексов
Введение к работе
Хорошо известно,что К-теория восходит к проблеме индекса эллиптических операторов на многообразиях.Данная Атья и Хирцебрухом 1 7, [5] ,развитая Адамсом,Милнором LZJ, /57, Г67 ,Каруби и Виль-ямайором CZ3] ,А.С.Мищенко,В.Бухштабером L147, LiSJи др., К-теория стала,с одной стороны,мощным орудием алгебраической топологии,собственно в линейной алгебре над /произвольньми/ кольцами,и,с другой стороны,эффективным методом в функциональном анализе,в частности, в проблеме индекса семейств операторов на многообразиях E16J, 31].
Связь топологической К-теории с теорией фредгольмовых семейств операторов была независимо установлена Атья и Ёнихом C4J. Эта связь,в частности,выражается в том,что пространство 2 (М) фредгольмовых операторов,действующих в гильбертовом пространстве /У, является классифицирующим пространством,а сама группа К(Х) Гро-тендика выступает в качестве группы полных гомотопических инвариантов семейств фредгольмовых операторов на топологических пространствах, выступающих в качестве индексов этих фредгольмовых семейств.
В дальнейшем К-теория, как экстраординарная теория когомологий, была распространена на возможно более широкий класс топологических пространств LSI, {J4J .С другой стороны, развитие теории индекса для фредгольмовых операторов приводит к необходимости построения теории индекса семейств фредгольмовых операторов на некомпактных пространствах, а также построение теории индекса семейств фредгольмовых операторов и комплексов как на топологических пространствах, так и семейств, индексированных более общими, чем топологические пространства объектами, наделёнными как алгебраическими, так и топологическими структурами.
В связи с этим заметим, что потребность различных приложений, а также внутренние потребности развития функционального анализа приводят к необходимости перехода от исследования операторов и семейства операторов к исследованию комплексов операторов и семейства комплексов операторов ГЗО] t C zl, [431, [frj.
Потребности развития теории индекса семейств фредгольмовых операторов и комплексов ,индексированных более общими объектами, чем топологические пространства,приводят к необходимости введения некоторого фучктъра так,ч тобы значения индекса определялись бы этим функтором.
Так в качестве объекта параметров, наделённого как топологическими, так и алгебраическими структурами, можно брать булеву алгебру с замыканием,так как булева алгебра с замыканием тесно связана с обратными спектрами топологических пространств,что было доказано М.Р.Бунятовым [91.
С другой стороны, несомненный интерес представляет само по себе развитие как обыкновенной, так и обобщённой теории гомологии и когомологий булевых алгебр с замыканием, на что ещё в 40-е .годы указал Г.Биркгоф [в].
Впервые проблема Г.Биркгофа была разрешена М.Р.Бунятовым.Им на категории абстрактных булевых алгебр с замыканием были построены теории гомологии и когомологий А.Н.Колмогорова Ш, [12] ,теория гомологии Александрова-Чеха [Ml .М.Р.Бунятовым также были введены и исследованы основные понятия гомотопической теории непрерывных гомоморфизмов булевых алгебр с замыканием [1Л .В последствии теории гомологии и когомологий были построены на категории дистрибутивных решёток и равномерных булевых алгебр.
Как известно, одной из задач многопараметрической спектральной теории является изучение семейства операторов, перенесение понятий и результатов спектральной теории с операторов на операторные семейства.
Впервые спектральная теория семейств операторов в банаховом пространстве изучалась в работах Г.Е.Шилова, Р.Аренса, А.Кальдеро-на и Л.Вальбрука /737 .Основньм понятием этой теории является понятие совместного спектра семейства операторов.
В дальнейшему работах ряда авторов делались попытки обобщения спектральной теории на некоммутативные семейства операторов, для этого необходимо было дать адекватное определение совместного спектра таких семейств операторов.Среди этих работ отметим работы Л.Коберна и М.Шехтера [1?! ,Р.Харта E t71 и др.
Но наиболее удачным оказалось определение Дж.Тейлора LHZl для коммутативного семейства операторов, которое основано на рассмотрении некоторого цепного комплекса. Цепные комплексы с конечными группами гомологии /так называемые фредгольмовы комплексы появляются и в других ситуациях, связанных с К-теорией,теорией псевдодифференциальных операторов [161, Г3 7.
В дальнейшем исследовались вопросы спектральной теории семейств операторов в тензорном произведении банаховых пространств
Отметим, что к этому вопросу приводит, например, изучение систем дифференциальных и операторных уравнений с различньми спектральными параметрами LfSJ.
Из сказанного выше следует, что изучение свойств фредгольмо-вых комплексов /устойчивость и др./ представляет несомненный интерес. Эти свойства фредгольмовых комплексов изучались в Wil.CtS].
- б Введение топологии в пространство фредгольмовых комплексов даёт возможность более глубоко изучить сами комплексы и,кроме того, широко использовать их топологические и теоретико-функциональные свойства.
Целью настоящей работы является : во-первых, построение теории индекса семейства фредгольмовых операторов, индексированных более общими объектами /в частности булевьми алгебрами с замыканием/,чем топологические пространства; во-вторых, построение экстраординарной теории когомологий объектов-параметров, представляющей самостоятельный интерес; в-третьих, введение понятия индекса семейства фредгольмовых комплексов, аналога семейства фредгольмовых операторов.
Расслоения над булевой алгеброй с замыканием
Хорошо известно,что К-теория восходит к проблеме индекса эллиптических операторов на многообразиях.Данная Атья и Хирцебрухом 1 7, [5] ,развитая Адамсом,Милнором LZJ, /57, Г67 ,Каруби и Виль-ямайором CZ3] ,А.С.Мищенко,В.Бухштабером L147, LiSJи др., К-теория стала,с одной стороны,мощным орудием алгебраической топологии,собственно в линейной алгебре над /произвольньми/ кольцами,и,с другой стороны,эффективным методом в функциональном анализе,в частности, в проблеме индекса семейств операторов на многообразиях E16J, 31].
Связь топологической К-теории с теорией фредгольмовых семейств операторов была независимо установлена Атья и Ёнихом C4J. Эта связь,в частности,выражается в том,что пространство 2 (М) фредгольмовых операторов,действующих в гильбертовом пространстве /У, является классифицирующим пространством,а сама группа К(Х) Гро-тендика выступает в качестве группы полных гомотопических инвариантов семейств фредгольмовых операторов на топологических пространствах, выступающих в качестве индексов этих фредгольмовых семейств.
В дальнейшем К-теория,как экстраординарная теория когомологий, была распространена на возможно более широкий класс топологических пространств LSI, {J4J .С другой стороны,развитие теории индекса для фредгольмовых операторов приводит к необходимости построения теории индекса семейств фредгольмовых операторов на некомпактных пространствах,а также построение теории индекса семейств фредгольмовых операторов и комплексов как на топологических пространствах, так и семейств,индексированных более общими,чем топологические пространства объектами,наделёнными как алгебраическими,так и топологическими структурами.
В связи с этим заметим,что потребность различных приложений, а также внутренние потребности развития функционального анализа приводят к необходимости перехода от исследования операторов и семейства операторов к исследованию комплексов операторов и семейства комплексов операторов ГЗО] t C zl, [431, [frj.
Потребности развития теории индекса семейств фредгольмовых операторов и комплексов,индексированных более общими объектами, чем топологические пространства,приводят к необходимости введения некоторого фучктъра так,чтобы значения индекса определялись бы этим функтором.
Так в качестве объекта параметров,наделённого как топологическими, так и алгебраическими структурами,можно брать булеву алгебру с замыканием,так как булева алгебра с замыканием тесно связана с обратными спектрами топологических пространств,что было доказано М.Р.Бунятовым [91.
С другой стороны,несомненный интерес представляет само по себе развитие как обыкновенной,так и обобщённой теории гомологии и когомологий булевых алгебр с замыканием,на что ещё в 40-е .годы указал Г.Биркгоф [в].
Впервые проблема Г.Биркгофа была разрешена М.Р.Бунятовым.Им на категории абстрактных булевых алгебр с замыканием были построены теории гомологии и когомологий А.Н.Колмогорова Ш, [12] ,теория гомологии Александрова-Чеха [Ml .М.Р.Бунятовым также были введены и исследованы основные понятия гомотопической теории непрерывных гомоморфизмов булевых алгебр с замыканием [1Л .В последствии теории гомологии и когомологий были построены на категории дистрибутивных решёток и равномерных булевых алгебр. Как известно,одной из задач многопараметрической спектральной теории является изучение семейства операторов,перенесение понятий и результатов спектральной теории с операторов на операторные семейства. Впервые спектральная теория семейств операторов в банаховом пространстве изучалась в работах Г.Е.Шилова, Р.Аренса, А.Кальдеро-на и Л.Вальбрука /737 .Основньм понятием этой теории является понятие совместного спектра семейства операторов. В дальнейшему работах ряда авторов делались попытки обобщения спектральной теории на некоммутативные семейства операторов, для этого необходимо было дать адекватное определение совместного спектра таких семейств операторов.Среди этих работ отметим работы Л.Коберна и М.Шехтера [1?! ,Р.Харта E t71 и др. Но наиболее удачным оказалось определение Дж.Тейлора LHZl для коммутативного семейства операторов,которое основано на рассмотрении некоторого цепного комплекса.Цепные комплексы с конечными группами гомологии /так называемые фредгольмовы комплексы/ появляются и в других ситуациях,связанных с К-теорией,теорией псевдодифференциальных операторов [161, Г3 7. В дальнейшем исследовались вопросы спектральной теории семейств операторов в тензорном произведении банаховых пространств Отметим,что к этому вопросу приводит,например,изучение систем дифференциальных и операторных уравнений с различньми спектральными параметрами LfSJ.
Теория булевых алгебр с замыканием
В дальнейшем исследовались вопросы спектральной теории семейств операторов в тензорном произведении банаховых пространств
Отметим,что к этому вопросу приводит,например,изучение систем дифференциальных и операторных уравнений с различньми спектральными параметрами LfSJ. Из сказанного выше следует,что изучение свойств фредгольмо-вых комплексов /устойчивость и др./ представляет несомненный интерес. Эти свойства фредгольмовых комплексов изучались в Wil.CtS]. Введение топологии в пространство фредгольмовых комплексов даёт возможность более глубоко изучить сами комплексы и,кроме того, широко использовать их топологические и теоретико-функциональные свойства. Целью настоящей работы является : во-первых,построение теории индекса семейства фредгольмовых операторов,индексированных более общими объектами /в частности булевьми алгебрами с замыканием/,чем топологические пространства; во-вторых,построение экстраординарной теории когомологий объектов-параметров,представляющей самостоятельный интерес; в-третьих,введение понятия индекса семейства фредгольмовых комплексов,аналога семейства фредгольмовых операторов. Дадим краткий обзор содержания работы. Т.к.исследование семейства фредгольмовых операторов,пространствами параметров которых выступают булевы алгебры с замыканием, приводит к построению аналога К-теории топологических пространств, то в первой главе и изучается этот вопрос,который,естественно,независимо от вышеуказанной цели,представляет самостоятельный интерес. Следуя идее определения классического К-функтора через векторные расслоения,в 1.1 на категории ЗООЄСЄ булевых алгебр с замыканием вводится понятие расслоения и изучаются его некоторые гомологические характеристики. Пусть S - булева алгебра с замыканием. Функтор Т. : JdoofCf - — Jnvspec CojoJ алгебре S сопоставляет обратный спектр топологических пространств ZCS) = (M ez(sj {P/} JU) образованных разбиениями единицы алгебры S .Множество Sun для булевой алгебры с замыканием 5 называется множеством расслоений над булевой расслоений над пространством Л . Соответствие S -+fivn (S) есть ковариантный функтор из катего рии ftooCCC в категорию расслоений над булевыми алгебрами. Далее,для булевых алгебр с замыканием вводится понятие векторного расслоения и ориентированных расслоений. Для ориентированных расслоений над булевой алгеброй с замьжанием имеет место Для ориентированного расслоения р на -мерные сферы над булевой алгеброй с замыканием S имеет место точная гомологическая последовательность с коэффициентами в произвольном R -модуле Q Для этой цели К-теория предварительно строится на так называемой категории S/ eczejoi (SoofCf) спектральных представлений булевых алгебр с замьжанием. Объектами категории Sfecte z (fioofcej являются тройки CS,Xfy ) образованные из булевой алгебры с замьжанием S ,обратного спектра топологических пространств X и гомоморфизма f: &п 2 - $ .К-функтор на категории Sp-cc-zep-zcoyrtf (3oo-fP) определяется следующим образом: где КА - функтор Атьи,определённый на категории компактных пространств.
Для построения точной последовательности предварительно вводится категория JS? булевых алгебр с парой фильтров и строятся некоторые функторы на этой категории.
Семейство фредгольмовых операторов и К-теория булевых алгебр с замыканием
Пусть ЯооіСР - категория булевых алгебр с замыканием. Для каждой булевой алгейры с замьжанием S рассмотрим тройку (Sj ZCSJ, f)J образованную из алгебры S , обратного спектра 5XS) разбиений единицы алгебры S и изоморфизма. Таким образом,каждой булевой алгебре с замыканием S сопоставляется спектральное представление (S.ZCS), ) .Спектральное представление (Sj (JV, f) для S назовём каноническим представлением. Каждый гомоморфизм A: S - J" булевых алгебр с замыканием индуїдирует морфизм (A, A )-. (S, 1(S)J / ) — CS ; ZCS Jj (/ ) канонических спектральных представлений,причём соответствие S /-+ (S, l(sh ) , і t-» (AJ ) есть ковариантный функтор из категории JWVY в категорию Speezep-i (Яоо?ее).
Рассмотрим категорию Упмріе Cfc f ) обратных спектров топологических пространств.Каждому обратному спектру X топологических пространств сопоставляется спектральное представление алгебры 3(Х) вида ($СХ), X}ЫЛ(Х)),ъ, каждому морфизму f-.X—Y обратных спектров - морфизм (Я#), 4) (3CY), Y, г Хл(у)) (ВСХ), XJ їс/ж/)) и это соответствие есть контравариантный функтор из. категории Уш/)4с ХО о/э) в категорию f ecr-e CJtvoftf).
В частности,в категории 7ор топологических пространств каждому топологическому пространству X сопоставляется спектральное представление (ЖХ), X, і/3(ю) булевой алгебры подмножеств топологического пространства X .Отсюда следует,что для спектральных представлений булевых алгебр подмножеств топологических пространств кольцо Атьи-Гротендика представлений таких булевых алгебр совпадает с кольцом Атьи-Гротендика самого пространства.
Пусть S - двумерная сфера и (d(Sl)} Szt tef - её спектральное представление.Для произвольного компактного спектрального представления ($,Х,у) ,vj\eX=(XJi ,рассмотрим внешнее К-умножение тогда т.е.имеет место На категории Speczepzcomp (ЗОСЄСЄ) компактных спектральных представлений булевых алгебр с замыканием внешнее К-умножение является изоморфизмом 7. Теперь вышеопределённый на категории спектральных представлений булевых алгебр с замыканием К-функтор применим для построения К-теории ЛооІЇСї булевых алгебр.с замыканием. Как отметили выше,каждой булевой алгебре с замыканием S сопоставляется её каноническое представление (Sj L(S)Jy). Для каж дой алгебры S обозначим через (S) подсемейство се мейства Z(S) ,состоящих из хаусдорфовых пространств. Z (S) является поднаправленностью направленности Z(S) ,если \) el (s) то и )AJU е Zg(S) .Действительно, хлу$х лу є AJL, таких,что ввиду дизьюнктности Л и // следует,что х-х vyty .Тогда по отделимости Л и ju существуют окрестности Ох, Ох С Л и fyjty Cju такие,что Охлох.=0у1 б ПО , =0,тогда (О А Оу) П(дх, лбу) -# т.е. XAJU - отделимо. Подалгебру S - & ц Z алгебры S назовём хаусдорфо вой булевой алгеброй,а спектральное представление (S, Z (s), у) где f - гомоморфизм вложения подалгебры &% 8. А в ал гебру S ,назовём хаусдорфовым спектральным представлением алгебры S .Пусть /. S - произвольный полный непрерывный гомоморфизм булевых алгебр с замыканием.Ограничение изотонного отображения $ Z(5) — Z(S J на направленность Zj (S) даёт отображение tf(S) —- Zi (SO .Действительно,пусть (S) покажем,что / (X) в Zs (S ) .Рассмотрим произвольные точки такие,что у, & .Для точек /, и 3 точки , и я; е/] ; г и (xt)syft 4tej=yz .Ввиду отделимости пространства А 3 Ох J ,, 9 t и no 0. Тогда / j и (0 л) будут окрестностями точек у, и , соответственно,ввиду открытости гомоморфизма / S- S\причём A (0Kt) л 4COxJ 0 ,т.е. { ( ) - хаус-дорфово пространство. Каждый гомоморфизм . / f S булевых алгебр с замыканием индуцирует морфизм (4,4 ) представления (S, Z CSly) алгебры S в представление (S Z CS ), у ) алгебры S ,где 4 -морфизм Z.fi ($ ) Zj (S) и очевидно,что соответствие S — CS)ZA(S)JV)J 4: S S t— (tJ ):(S,Z(Shy)-+(S tl(Sfy fev b ковариантный функтор из категории JSootce в категорию хаусдорфовых спектральных представлений булевых алгебр с замыканием. Пусть S произвольная компактная булева алгебра с замыка нием, тогда Z(SJ есть обратный спектр компактных пространств. Следовательно,для компактных булевых алгебр с замыканием (S, Zit, (S) ) является компактным хаусдорфовым представле нием алгебры S . В дальнейшем,если не оговорено противное,под булевой алгеброй будет подразумеваться компактная булева алгебра.
Пространство фредгольмовых комплексов
Гомоморфизм кольца К (YjB) в кольцо К (Х,А) , индуцированный непрерывным отображением /:(XjA) - (YjB) пар топологических пространств обозначим через / .
Из ковариантности функтора И X?l- ing из категории № и контравариантности соответствия (Х,4) - (Op?» X, /Л7, 3fA)) следует справедливость теоремы ТЕОРЕМА 1.4.4. Соответствие (X, А) -» К (Х, А), /,-,/ является контравариантным функтором из категории 7орг пар топологических пространств в категорию колец. Для пространства X ,в частности,кольцо /С (X) определяется следующим образом Тогда для подпространства А СХ мы получаем где Ooeh А - решётка открытых подмножеств подпространства А. Имеет место легко устанавливаемый канонический"изоморфизм Этот изоморфизм строится по каноническому изоморфизму Сои. СЯМ)) на C&ir4 (4). Наделим категорию ТОР1 пар топологических пространств отношением гомотопности, определяемым следующим образом : Непрерывные отображения /, $ . (X, А) — ( У; 6) пар топологических пространств называются нерв-гомотопными,если индуцированные ими / $ : (Opet, Y, /К/, %С&)) — (Оре Х, W,ММ) гомоморфизмы троек категории #JZ являются гомотопными гомоморфизмами.Отношение нерв-гомотопности отображений / и j обозначим через Очевидно,что это отношение гомотопности непрерывных отображений пар топологических пространств является отношением эквивалентности. Ввиду гомотопической инвариантности функтора К на категории ІЇЗ Л имеет место ТЕОРЕМА 1.4.5. Нерв-гомотопные отображения пар топологических пространств /,р :(Х,А) - (Yj 6) индуцируют равные гомоморфизмы колец / , д :/ґ УК Б) — 1 Н(Х, А), т.е. Д = / =g . Учитывая изоморфизм ЭССХ4) и рассуждения при построении точной последовательности дистрибутивных решёток,для пар топологических пространств (Х,А) строится точная когомологическая последовательность вида Мы покажем,что спектральный К-функтор на категории конечных полиэдров совпадает с К-функтором Атьи - Хирцебруха.С этой целью воспользуемся каноническими отображениями Спеньера Гз ?7 .Непрерывное отображение /: X — Ihtiirct/ удовлетворяющее условию f (siU) с V і называется каноническим отображением. Известно, что для локально конечного открытого покрытия Ы любые два канонических отображения 17 X / ечггы/ гомотопны. Пусть К - конечный симплициальный комплекс и st X - покрытие звёзд Ь J всех вершин Р к 0 комплекса Х Обозначим через ft IK/ --/ufttrrt/ канонический гомеоморфизм Si(P)-=- StH(P) IP Рек" .Отображение st является каноническим. Действительно,прообраз f/ ( t„f?if KStl р) открытой звезды St irst/( S KP относительно комплекса tie? ITS if звезды j"4 Р f?e?irsiK произвольной вершины Р с К совпадает с самой звездой stKP ,т.е. sf(sthefrs+K S KP) = StfiP Для каждого конечного открытого покрытия «V Сг г С/КР обозна чим через cLj : рА Оме г Л) - Kj (/К і) гомоморфизм, индуцированный каким-нибудь каноническим отображением / /Л7 /ягтгг /. Семейство { )ы е cD r (/к» является морфизмом прямого спект ра (YР/1 С/і1еггг = РРо/е Сое СШ ffSby) в кольцо К Сш) .Ре дуцированный этим морфизмом гомоморфизм кольца KSp C/fCl) в кольцо Кл (//) обозначим через іїгїіг : к) {/{/) —% Ґ//Г/) Рассмотрим также гомоморфизм (stK ) КА (/К/) /С/о"1г С/К/) ,ин,дуцированный гомоморфизмом si /mint / - /К/ . Семейства ttfrtr - fwrttf} (Jf J -(( ) } е г представляют собой естественные преобразования функторов tCsl и С4 друг в друга на категории СР конечных полиэдров._ Для любого конечного полиэдра гомоморфизмы #/2 , (st?) являются взаимно обратными и,следовательно,естественные преобразования япа и (s ) суть естественные эквивалентности. Таким образом,доказана теорема ТЕОРЕМА 1.4.6. Функторы /ґ/L и /tf на категории fr} конечных полиэдров изоморфны.
