Содержание к диссертации
Введение
1 Обобщение спектральной теоремы на случай семейств не коммутирующих операторов и задача линейного программирования . 24
1.1 Введение 24
1.2 Обозначения и точная постановка проблемы 27
1.3 Дискретный случай. Специальный вид решений 29
1.4 Представление квантовых корреляционных функций и задача линейного программирования 31
1.5 Случай семейства операторов с дискретным спектром и непрерывной зависимостью от индекса 35
1.6 Более общая формулировка 38
1.7 Пример: модифицированное уравнение Белла 41
1.8 Решение проблемы 47
1.9 Заключение 48
2 Релятивистские и пространственные поправки к квантовой корреляционной функции двух зацепленных Ферми частиц . 50
2.1 Введение 50
2.2 Уравнение Дирака 50
2.3 Пространственная зависимость корреляционной функции . 52
2.4 Вычисление спиновой корреляционной матрицы 56
2.5 Результаты 58
2.5.1 Вычисление д\,' 58
2.5.2 Вычисление о,-.- 60
2.6 Заключение 61
3 Метод решения квантовых стохастических уравнений уравнений с белым шумом Ферми . 62
3.1 Введение 62
3.2 Модели открытых квантовых систем 63
3.2.1 Наблюдаемые, квантовая динамика и представление Шрёдингера 63
3.2.2 Алгебра наблюдаемых, состояние и их явная реализация 64
3.2.3 Понятие открытой квантовой системы 65
3.2.4 Представление взаимодействия 66
3.2.5 Свободные Ферми и Бозе поля 67
3.2.6 Гауссовы состояния поля 70
3.2.7 "Маленькая система". Дипольное взаимодействие 70
3.3 Квантовый белый шум 72
3.4 Стохастический предел 73
3.4.1 Сходимость в смысле корреляторов. Теорема суще ствования стохастического предела 74
3.4.2 Стохастическое золотое правило. Нормально упорядоченная форма стохастического уравнения Шрединге-
ра. Случай Возе 77
3.5 Формулировка основных результатов 79
3.6 Доказательство 81
3.6.1 Замечания о технике доказательства 81
3.6.2 "Квази-коммутационные" правила для bt и Ut 83
3.6.3 Нормально упорядоченное уравнение для Ut 85
3.6.4 Уравнение Ланжевена 85
3.6.5 Каноническая форма уравнения Ланжевена 88
3.6.6 Кинетическое уравнение 90
3.7 Вывод перестановочных правил (3.29) с помощью интегрального уравнения 91
3.8 Заключение . 92
4 Ренормализованные степени белого шума . 94
4.1 Введение 94
4.2 Сглаженные произведения операторов рождения и уничтожения 95
4.3 Унитарные преобразования пространства Фока, согласованные с регуляризацией 99
4.4 Некоторые свойства вакуумных средних 100
4.5 Существование предела функций Вайтмана 103
4.6 Предел сглаженных "степеней" операторов рождения и уничтожения 105
4.7 Заключение 106
Литература
- Дискретный случай. Специальный вид решений
- Вычисление спиновой корреляционной матрицы
- Алгебра наблюдаемых, состояние и их явная реализация
- Унитарные преобразования пространства Фока, согласованные с регуляризацией
Введение к работе
Актуальность темы, цели исследования.
В последние годы усилился интерес к исследованию математических вопросов квантовой теории. Необычные свойства зацепленных квантовых состояний, играющих фундаментальную роль в квантовой теории, исследуются начиная с 1930-х годов в работах А. Эйнштейна (A. Einstein), Б. Подольского (В. Podolsky), Н. Розена (N. Rosen) [1], Э. Шредингера (Е. Shroedinger) [2], Д. Белла (J. Bell) [3], Д. И. Блохинцева [4] и многих других. Математические основы квантовой теории были заложены в работах Фон Неймана [5] (см. также [6, 7, 8, 9, 10|).
Важно, что в последние годы проводятся также активные экспериментальные исследования квантовых эффектов (атомы в ловушках, квантовые точки). Многообещающими представляются работы по квантовым компьютерам и квантовой криптографии. Так, в 1981 г. Р. Фейнман (R. Feynman) [11] предложил использовать существенно квантовые явления для совершенствования вычислительных методов. В 1985 г. Д. Дойч (D. Deutsch) предложил [12] одно из определений математической модели квантового компьютера. В рамках предложенной вычислительной модели (и развивающих её моделей) были достигнуты значительные результаты. Так, П. Шор (Peter Shor) предложил [13, 14) быстрые (полиномиально сложные) алгоритмы дискретного логарифмирования и разложения числа на простые множители; лучшие же классические алгоритмы решения
этих задач имеют экспоненциальную сложность. Различные эффективные квантовые алгоритмы были предложены и изучались А. Китаевым [15], Л. Гровером (L. К. Grover) [16] и многими другими авторами. В работах А. С. Холево [17], Г. Г. Амосова, М. Городецки (М. Horodecki) [18], П. Горо-децки (P. Horodezki) [19] и многих других авторов были изучены свойства квантовых каналов связи. В работах Ч. Беннета (С. Н. Bennett), Ж. Брас-сарда (G. Brassard) [20], Н. Гизина (N. Gisin) [21] и других были разработаны и изучались протоколы квантовой криптографии.
Достижения квантовой теории информации усилили интерес как к математическим аспектам основ квантовой теории, так и к проведению более совершенных экспериментов. Теоретические аспекты проблемы и их связь с квантовой теорией информации изучались в работах И. В. Воловина [22, 23, 24], В. И. Манько [25, 26, 27, 28], В. А. Андреева [28], В. Е. Тарасова [10], Л. Аккарди (L. Accardi) [29] и других авторов. Были поставлены эксперименты, посвященные проверке неравенств Белла: А. Аспект (A. Aspect) [30], В. Титтель (W. Tittel) [31], А. Цейлингер (A. Zeilinger) [32] и многие другие, см., например, обзоры А. Аспекта [33] и А. Шимони (A. Shimony) [34].
Большое значение имеет практическое применение результатов квантовой теории информации, то есть построение реальных устройств, реализующих математические модели квантовых вычислений и квантовой криптографии. Предлагаются различные физические механизмы реализации этих моделей; подробный обзор и обсуждение перспектив применения того или иного механизма можно найти в монографии К. А. Валиева и А. А. Кокина [36]. Резюмируя, можно сказать, что в рамках нескольких подходов
построены прототипы квантовых вычислительных устройств. Однако проблема масштабирования этих устройств не решена, и её быстрого решения не ожидается.
Итак, с одной стороны, налицо несомненные достижения: в квантовой теории алгоритмов получены результаты, подтверждающие, что если определённый класс управляющих воздействий на квантовую систему практически возможен, то возможно принципиально более эффективно ре-ализоват ь некоторые классические алгоритмы (разложения числа на простые множители и дискретного логарифмирования Шора, поиска Гровера). Разработаны и практически реализованы некоторые алгоритмы квантовой криптографии, такие как протокол А. Эккерта (А. К. Eckert) [37], основанный на нарушении неравенств Белла. С другой стороны, очевидно недостаточное количество практически воплощенных приложений квантовой теории информации.
Темой настоящей диссертационной работы является исследование двух математических проблем, связанных с фундаментальными проблемами квантовой теории и квантовой теории информации: во-первых, свойств квантовых корреляционных функций некоммутативных семейств операторов, во-вторых, квантовой динамики открытых систем, взаимодействующих с полем Ферми. Актуальность этой темы следует из вышесказанного: практической значимости исследований фундаментальных проблем квантовой теории, применений в квантовой теории информации и их современного развивающегося состояния.
Краткое содержание диссертации.
Первая проблема, изучаемая в настоящей диссертационной работе,
связана с понятием зацепленного состояния. В соответствии с аксиоматикой квантовой теории [5], квантовой системе сопоставляется гильбертово пространство Ті. (Чистому) состоянию квантовой системы сопоставляется луч в Л. Композитной квантовой системе, то есть системе, состоящей из двух разных систем Ті\ и 7-^2? сопоставляется тензорное произведение (возможно, симметризованнос или антисимметризованное) гильбертовых пространств исходных систем: Ті — Ні Тії-
В зависимости от структуры вектора ф относительно разбиения Ті чистые состояния композитной системы можно разделить на факторизуемые и зацепленные1.
Определение 0.0.1. Состояние ф Є Тії <8> Тії называется фактори-зуемым, если существуют вектора фі Є Тії и Фг 7^2, такие что ф — ф\ ф%- В противном случае состояние ф называется зацепленным.
Зацепленные состояния составляют неотъемлимую часть формализма квантовой теории. Большинство квантовых алгоритмов (например, упоминавшиеся выше алгоритмы Шора и Гровера, протокол Экксрта) существенным образом опираются на возможность квантовой композитной системы находиться в зацепленном состоянии.
Как было установлено фон Нейманом [5], в квантовой механике имеется два способа изменения состояний - унитарная эволюция в соответствии с уравнением Шредингера и мгновенная редукция при измерении.
Поведение зацепленных состояний при раздельном измерении состояния каждой из составляющих ее подсистем с точки зрения классической ин-
*В англоязычной литературе принят термин entangled state, в русскоязычной встречаются термины зацепленное, перемешанное, перепутанное состояние. В настоящей работе всюду будет применяться термин "зацепленное состояние".
туиции неожиданно. Этот факт был впервые отмечен в работе Эйнштейна-Подол ьского-Розена [1], где он использовался для обоснования неполноты квантовой теории. Математическая формулировка того, каким именно свойством, очевидным с точки зрения классической интуиции, не обладают некоторые квантовые зацепленные состояния была впервые приведена в работе Белла [3]. Пусть каким-либо образом приготовленная физическая система разделяется на две невзаимодействующие части. Пусть, затем, производится измерение какой-либо физической величины в каждой из подсистем. Можно предположить, что для реальных физических систем результат измерения в одной подсистеме может зависеть только от исходного состояния системы, но не от результата второго измерения.
В работе [3] построена простая квантовомеханическая модель, в которой приведённое выше предположение оказывается неверным. Для доказательства этого факта можно использовать неравенство Клаузера-Хорна-Шимони-Холта (Clauser-Horne-Shimony-Holt, CHSH) [38].
Корреляционная функция проекций спинов вдоль некоторых направлений для двух систем может быть представлена как cos(a — 0). Здесь а и (3 характеризуют направления, вдоль которых измеряются проекции спинов. Математическая задача заключается в исследовании возможности представления этой функции в виде математического ожидания двух случайных процессов
cos(a -{3) = Еа10, (0.1)
Здесь Е - математическое ожидание классической случайной величины.
заданных на вероятностном пространстве (fi,.F, Р), ,а,Щ ' & —* {-1,+1}. Соотношение (0.1) называется уравнением Белла. Д. Белл по-
казал [3], что это уравнение не имеет решений. И.В. Воловичем [22] было показано, что учёт пространственных характеристик рассматриваемых систем меняет ситуацию. В частности, в простейшем случае двух пространственно разделенных областей в [23] было показано, что квантовая корреляционная функция имеет вид rcos(a — /?), где параметр г, 0 < г < 1, зависит от конфигурации областей. Поэтому появляется необходимость в исследовании модифицированного уравнения Белла г cos(a — (3) — Е аЦ0-
Задача (модифицированное уравнение Белла). При каких 0 < г < 1 существуют такое вероятностное пространство (П,^7, //) и семейства случайных величин
&,^:П-> {-1,+1} , (0.2)
Ea = E7ip = 0, (0.3)
Е taVe = Т cos(a - /?). (0.4)
Решение этой задачи являлось первоначальной целью исследования. Известно, что при г > 1/\/2 модифицированное уравнение Белла не имеет решения, а при г < 2/тг решение может быть явно построено. Модифицированные уравнения Белла возникают как важный частный случай Проблемы 1.2.1 при специальном выборе состояния и наблюдаемых.
Теорема 1.5.2 придаёт точный смысл возможности исследования общей, "непрерывной" Проблемы 1.2.1 путем её дискретизации и сведения к семейству дискретных проблем. Показано что дискретизации непрерывной проблемы позволяют построить решение, равномерно приближающее решение исходной проблемы.
Определение. Будем говорить, что вероятностное пространство (П,.?*, (л) и семейства случайных величин
,,^:^-(-1,+1}. (0.5)
равномерно приближают решение модифицированного уравнения Белла с точностью не менее е, если для всех а, (3 выполнены неравенства:
\ЕЫ<Ъ \Ety\
\Еtaty - г сов{а - 0)\ < є. (0.7)
Теоремы 1.4.2, 1.5.2 и результаты численных расчетов, проведенных на основе этих теорем, позволяют утверждать, что:
Утверждение. Существует решение в интервале значений параметра 1/л/2 > г > 2/тг, равномерно приближающее решение этой задачи с точностью не менее чем 0.0086.
В Главе 2 получены квантовые корреляционные функции системы 2-х Ферми частиц, находящихся в зацепленном состоянии, в релятивистском случае.
Пусть Ф - (Ф^0сьх2)) - волновая функция двух Дираковских частиц в состоянии с полным угловым моментом, равным 0, см. (2.12). Здесь а,(3 = 1,2,3,4, Х\,Х2 Є Ж3. Пусть Spin{0,a) - оператор проекции спина частицы на ось, заданную единичным вектором а в области О. Изучается квантовая корреляционная функция
/(01, С>2, а, Ь) = <Ф |Spin(Obа) Spm(02, b)| Ф> .
13 Она может быть представлена как:
Л 3
gij(xitX2) называется спиновой корреляционной матрицей. Получен явный (но громоздкий) вид gij, а также асимптотическое разложение по степеням jjj^, где Р задано энергией е — у/М2с^ + Р2с2:
Р о
дфьх2) = gf(xux2) + ( jj- ) 5^(^^2) 4-
Получены явные выражения для д\Мх\,Х2) и д.,- (ж^Жг)- В частности, из нерелятивистского выражения g\J{x\,X2) может быть получена квантовая корреляционная функция модифицированного уравнения Белла.
Вопрос о представлении корреляционных функций семейства коммутирующих операторов как математического ожидания классических случайных величин решён известной спектральной теоремой фон Неймана [5]. Проекции спинов двух частиц вдоль некоторых напрвлений образуют семейство, вообще говоря, некоммутирующих операторов. Таким образом, мы приходим к задаче об обощении теоремы фон Неймана на случай некоммутативных семейств операторов [22].
Необходимые и достаточные условия представимости корреляционных функций некоммутирующих семейств операторов в виде математических ожиданий классических случайных величин построены в главе 1.
Зафиксируем некоторый набор наблюдаемых Av - самосопряжённых операторов в конечномерном гильбертове пространстве Ті, где v принадлежит некоторому множеству индексов Т. Пусть множество индексов Т также конечно. Обозначим через Р(Т) множество всех подмножеств Т, так
14 что элемент s Р(Т) есть подмножество Т: s = {і/г,..., &%}. Определим
V:={se Р(Т)| [Д,, Л„] = 0 Vi/,/i Є s} .
Состояние квантовой системы описывается квантовыми корреляционными функциями наблюдаемых (1.1). Рассмотрим проблему (Проблема 1.2.1):
Проблема. Существует ли вероятностное пространство (Q, F, Р) и семейство случайных величин ^ : Г2 —> Spec Av, такие что Vs V выполнено равенство:
Известная теорема фон Неймана (Теорема 1.2.2) утверждает, что если все операторы Av попарно коммутативны, то представление такого вида существует. Пример Белла [3] показывает, что существует (попарно некоммутативное) семейство наблюдаемых и состояние, в котором квантовые корреляции непредставимы классическими.
Для упрощения обозначений предположим, что БресД, = {^і/.Ої ^1/,1 } Это предположение не затронет существа основного результата.
В диссертации показано, что справедлив следующий основной результат (Теорема 1.4.2):
Теорема. Решение указанной проблемы существует если и только если
Определим входящие в формулировку теоремы обозначения. Здесь Gmin ~ niinG(w), Gmax max G(u), О - область в Ж2 , N - количе-ство элементов в Т, G(uS) - линейная функция. Для точного определения
>2*
области О введем обозначения для компонентов точки со Є R .А именно, будем нумеровать компоненты или одним индексом, пробегающим набор 2N значений: ш — (ш<), ^ = 1,...,2^, или набором из N индексов: ш = (^1^2..), где каждый индекс принимает 2 значения: Zi = 0,1. Между одним общим индексом і и индексами li устанавливается взаимооднозначное соответствие формулой I = 1 + ^01 2*^-1.
Используя эти обозначения, область О можно задать как:
О - < ш Є R2"
w*>0 = 1,2,...,2*
^2е с8г(Ш( — d — s s Є V Функция G задана как G{u>) := Х^^-
Таким образом, приведённая выше Теорема 1.4.2 позволяет свести проблему представления квантовых корреляционных функций классическими корреляционными функциями к хорошо изученной и конструктивно разрешимой проблеме линейного программирования, т.е. к максимизации или минимизации линейной функции в области, заданной системой линейных ограничений и неравенств (симплексе).
Вторая проблема, изучаемая в настоящей диссертационной работе, связана с динамикой открытых квантовых систем. Разработано несколько методов изучения квантовой динамики, таких как операторный метод [43], метод континуального интеграла [9, 44], теория возмущений [45, 46], метод стохастического предела [47]. Всякая физическая система неизбежно взаимодействует со своим окружением. Интенсивность и характер такого взаимодействия могут быть самыми разными, более того, часто, для простоты рассмотрения, при анализе физической задачи таким взаимодействием пренебрегают. При построении физических моделей устройств, пре-
образующих или передающих квантовые состояния, учёт взаимодействия системы с окружением важен по двум причинам.
Первой причиной является эффект распада квантового состояния с течением времени. Классическим примером распада квантового состояния можно считать 2-х уровневую квантовую систему, дипольно взаимодействующую с бозонным полем. Известно, что если бозонное поле находится в вакуумном состоянии, то по прошествии некоторого времени to, зависящего от расстояния между энергетическими уровнями и от интенсивности взаимодействия с полем, исходная квантовая система с вероятностью, экспоненциально близкой к 1, также перейдёт в основное состояние (т.е. состояние с меньшей энергией) вне зависимости от исходного состояния. Следовательно, если в начале в 2-х уровневой системе была закодирована какая-то информация, то через время to эта информация будет потеряна. Таким образом, любые преобразования, связанные с использованием этой закодированной информации, должны закончится за время t <С to, поэтому эффект распада особенно важен при построении масштабируемых квантовых вычислительных схем.
Второй причиной, по которой учет взаимодействия системы с окружением играет важную роль, является необходимость управления квантовой системой. От системы, осуществляющей некоторую операцию с квантовым состоянием, мы требуем, например, возможности начать эту операцию в произвольный момент времени. Кроме того, в квантовых вычислениях желательно иметь возможность выбирать, какую именно операцию (из определенного набора) мы желаем осуществить. Для масштабируемых квантовых систем возможность выбора времени начала и типа управляющего
воздействия ещё более важна.
Следовательно, методы анализа динамики открытой квантовой системы во внешних полях важны для практического построения моделей квантовой теории информации.
Метод стохастического предела - эффективный инструмент анализа открытых квантовых систем. Динамика квантовых систем на временах, больших по сравнению с 1/Л2, где Л - константа связи, изучалась в многочисленных работах, начиная с работ Н.Н. Боголюбова [48, 49], Л. ван Хо-ва [50], И. Пригожина [51]. В работах Л. Аккарди (L. Accardi), Ю.Г. Лу (Y.G. Lu), И.В. Воловича [47] был разработан метод стохастического предела, позволяющий стандартным образом получать уравнения, описывающие такую предельную динамику.
Метод стохастического предела позволяет изучать динамику квантовой системы, взаимодействующей с окружением, в специальном предельном режиме (стохастическом пределе, пределе слабой связи): константа связи Л —> 0, время t —* оо, так что t/X2 = т = const, или, другими словами, динамику системы в перемасштабированном времени т.
При этом оказывается, что предельная динамика системы описывается уравнениями с квантовым белым шумом, или квантовым стохастическим уравнением. Достоинство метода состоит в том, что в таком режиме физически существенные особенности динамики рассматриваемой квантовой системы, такие, например, как распад квантового состояния, сохраняются, а (причинно нормально упорядоченные) уравнения, определяющие эту динамику, становятся интегрируемыми. Результаты исследования систем, взаимодействующих с Бозе полем, полученные с помощью
метода стохастического предела в работах Л. Аккарди, И. В. Воловича, С. В. Козырева, К. Имафуку (К. Imafuku), А. Н. Печеня и других авторов [47, 52, 53, 54, 55], весьма успешны. В работе И. В. Воловича [56] метод стохастического предела применялся для уменьшения декогеренции в модели квантового компьютера путем контроля параметров этой системы. Математические аспекты метода стохастического предела исследовались в работах О. Г. Смолянова [57], А. М. Чеботарева [58] и других авторов.
В диссертации рассмотрена квантовая система, взаимодействующая с полем Ферми, с гильбертовым пространством Ті — С2 & .7^(-^2 С&3)) и гамильтонианом Я — Я0 + \Уш, где
Щ = ЕР 1 + 1 I d3ktod(l)alak ,
Е > О, Р - проектор на единичный вектор в С2, ш$(к) — л/к2 + m2, т > О, а\ и Ojt - операторы рождения и уничтожения в фермионном пространстве Фока, удовлетворяющие каноническим антикоммутационным соотношениям; ufcaj, + a\,at = 8(к — к'). Гамильтониан взаимодействия имеет вид
Vmt = I dzk (g(k)D 4 + д(к)ІЇ afc) ,
где D - оператор в С2, д(к) - основная функция из пространства Шварца (см., например, [59]). Оператор эволюции в представлении взаимодействия имеет вид U(t) = егШе~иН. Определим также a(t) := J о9кд(к)е1іш(-к\ іо{к) — tJo(k) — Е.
Справедлива теорема (Аккарди, Волович, Лю, [47]):
Теорема. 1. В смысле корреляторов а (t/X2) —» Щ при А —> 0; где Ь\ -операторы рождения и уничтожения белого шума Ферми.
2. В смысле корреляторов существует предел при А —> 0 оператора
эволюции Ut := lim U(t/\2).
А—^0
3. Ut удовлетворяет квантовому стохастическому уравнению с белым
шумом Ферми
^ = _г (р 0 ъ\ + & Ь,) Ц , (0.8)
понимаемому в смысле обобщенных функций по t.
Для случая Бозе техника причинного нормального упорядочивания [47] позволяет решать уравнения вида (0.8) для предельного оператора эволюции. В главе 3 настоящей работы эта техника обобщена на случай систем, взаимодействующих с полем Ферми.
В диссертации показано, что техника причинного нормального упорядочивания должна быть модифицирована по сравнению с случаем Бозе. Этот основной результат, сформулированный в Теореме 3.5.1, состоит в следующем. Определим оператор 0 соотношением:
0 ... ЬФ0 = (~ітЛ ... 6Ф0. Обозначим Ut - ОДО, 7- - J^da Jd3k\g(k)\2eiau^. Теорема. Причинно нормально упорядоченное уравнение (0.8) имеет вид: ОД = -г (tfUtbt + Db\ut) - i-tfDUt.
Причинно нормально упорядоченное уравнение может быть эффективно решено. Так, например, уравнение для вакуумного среднего оператора эволюции имеет вид:
* = -^D(Ut).
20 С учётом начального условия U0 = 1 его решение имеет вид (Ut) =
В главе 4 проведено исследование, мотивированное, в первую очередь, интересом к построению моделей, квадратичных по полям белого шума. Рассмотрим бозонное пространство Фока TB(L2{RZ)). Пусть а)(х), а(у) - операторы рождения и уничтожения в нем, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям а{х)а\у) — а) {у)а{х) = 5{х — у). Пусть / - основная функция Шварца в Ж"+т+1, ф - основная функция Шварца в R. Обозначим
Кщт{/, ф) := dxi... dxn dyY... dym dzx
x of(a;i)... a]{xn)a(yi) ... a(ym)f(xi,..., xn\ уъ ... ym\ г)ф(г) .
Пусть f{xu...,xn,yil,,.,ymiz) := -^ f (f,...,^; ^-,..., ^;f). Определим
іС'т(/>):=^^'"(Л,<Й-Пусть / трансляционно инвариантна и имеет компактный носитель по относительному аргументу.
Пусть В^(д), Вт(д) - операторы свободного бозонного поля, удовлетворяющие следующим стандартным коммутационным соотношениям:
[BL 41 = [Вт, Вп] = 0, [Bm(z), Bl(zr)} = S(z - z')6n,m. Тогда справедлива следующая теорема (Теорема 4.6.2). Теорема. В смысле корреляторов имеют место следующие предельные
соотношения:
limtfem'"(/,ff) = 0, m^O.n^O,
\imK^(f,9) = c(f)Bl(g), m>0, Iim^"(/,p) = c(/)Bn(5), п>05 где с(/) - некоторый функционал от /.
Научная новизна. Основные результаты, выносимые на защиту. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации состоят в следующем:
Впервые показано, что задача представления квантовых корреляционных функций некоммутативного семейства операторов с дискретным спектром классическими корреляционными функциями эквивалентна задаче линейного программирования.
Построены случайные процессы, равномерно приближающие решение модифицированного уравнения Белла с точностью е < 0.0086 в интервале параметра 2/тг < г < 1/\/2-
Получена квантовая корреляционная функция операторов проекции спина для системы двух дираковских фермионов, находящихся в син-глетном состоянии, с учётом пространственных и релятивистских поправок.
Изучены уравнения квантовой динамики двухуровневой системы, взаимодействующей с полем Ферми, в стохастическом пределе. Метод решения уравнений такого типа, известный для систем, взаимодействующих с полем Бозе, обобщён для случая системы, взаимодействующей с полем Ферми. В результате применения этого метода
получено явное решение для усреднения оператора эволюции по вакуумному состоянию поля Ферми.
5. Проведено исследование перенормированных степеней поля квантового белого шума. Показано, что перснормированные степени поля белого шума стремятся, в смысле корреляторов, к новому полю белого шума.
Научная и практическая ценность.
Настоящяя работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в главе 1, в том числе могут быть использованы для анализа надёжности систем квантовой криптографии. Результаты главы 2 могут быть использованы для сравнения с экспериментальными данными о корреляции спинов высокоэнергетических Ферми частиц. Результаты главы 3 могут быть использованы для анализа характеристик открытых квантовых систем, взаимодействующих с Ферми полями, например времен когерентности носителей квантовой информации; а также при исследовании стационарных неравновесных открытых квантовых систем, например, электрической проводимости наносистсмы. Результаты главы 4 обосновывают необходимость использования альтернативных методов перенормировки степеней белого шума (таких, например, как перенормировки коммутационных соотношений).
Обоснованность и достоверность.
Достоверность полученных результатов обоснована их формальным выводом на основе ранее известных результатов и правил формальной логики.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих кон-ференциях и семинарах:
На конференции молодых ученых МГУ (2001)
На международной конференции "Foundation of Probability and Physics - 2", Векше (Швеция), 2002
На международной конференции "Classical and Quantum Levy Processes: Theory and Applications", Левико Терме (Италия), 2003
На семинарах отдела математической физики Математического Института им. В.А. Стеклова, 2004, 2005
На международной конференции "Open Quantum Systems", Вена (Австрия), 2005
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 4 статьи [60, 61, 62, 63], сделано 4 доклада.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из четырёх глав, введения, заключения и списка литературы.
Дискретный случай. Специальный вид решений
Научная новизна. Основные результаты, выносимые на защиту. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации состоят в следующем:
1. Впервые показано, что задача представления квантовых корреляционных функций некоммутативного семейства операторов с дискретным спектром классическими корреляционными функциями эквивалентна задаче линейного программирования.
2. Построены случайные процессы, равномерно приближающие решение модифицированного уравнения Белла с точностью е 0.0086 в интервале параметра 2/тг г 1/\/2 3. Получена квантовая корреляционная функция операторов проекции спина для системы двух дираковских фермионов, находящихся в син-глетном состоянии, с учётом пространственных и релятивистских поправок.
4. Изучены уравнения квантовой динамики двухуровневой системы, взаимодействующей с полем Ферми, в стохастическом пределе. Метод решения уравнений такого типа, известный для систем, взаимодействующих с полем Бозе, обобщён для случая системы, взаимодействующей с полем Ферми. В результате применения этого метода получено явное решение для усреднения оператора эволюции по вакуумному состоянию поля Ферми.
5. Проведено исследование перенормированных степеней поля квантового белого шума. Показано, что перснормированные степени поля белого шума стремятся, в смысле корреляторов, к новому полю белого шума.
Научная и практическая ценность.
Настоящяя работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в главе 1, в том числе могут быть использованы для анализа надёжности систем квантовой криптографии. Результаты главы 2 могут быть использованы для сравнения с экспериментальными данными о корреляции спинов высокоэнергетических Ферми частиц. Результаты главы 3 могут быть использованы для анализа характеристик открытых квантовых систем, взаимодействующих с Ферми полями, например времен когерентности носителей квантовой информации; а также при исследовании стационарных неравновесных открытых квантовых систем, например, электрической проводимости наносистсмы. Результаты главы 4 обосновывают необходимость использования альтернативных методов перенормировки степеней белого шума (таких, например, как перенормировки коммутационных соотношений).
Обоснованность и достоверность. Достоверность полученных результатов обоснована их формальным выводом на основе ранее известных результатов и правил формальной логики. Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих кон-ференциях и семинарах: 1. На конференции молодых ученых МГУ (2001) 2. На международной конференции "Foundation of Probability and Physics - 2", Векше (Швеция), 2002 3. На международной конференции "Classical and Quantum Levy Processes: Theory and Applications", Левико Терме (Италия), 2003 4. На семинарах отдела математической физики Математического Института им. В.А. Стеклова, 2004, 2005 5. На международной конференции "Open Quantum Systems", Вена (Австрия), 2005 Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 статьи [60, 61, 62, 63], сделано 4 доклада.
Вычисление спиновой корреляционной матрицы
Пусть Ф - состояние системы 2-х частиц. Пусть в пространственных областях 0\ и С?2 производится измерение проекции спина каждой из частиц на оси, заданные единичными векторами a and Ь, соответственно.
Рассмотрим корреляционную функцию вида: В модели ЕПР-Бома [1] пространственная зависимость не учитывается, и рассматривается нерелятивистский предел. В такой модели оператор проекции спина имеет вид Гильбертово пространство такой модели - С2С2, с двумя базисными векторами в С2, обозначаемыми через Т) and Ц). В этой модели синглетное состояние имеет вид: Вьтбирем Фо) в качестве состояния системы Ф) и оператор спина (2,4). Тогда корреляционная функция (2.3) приобретает вид:
Пространственную зависимость в нерелятивистском случае можно изучать, рассматривая операторы вида: Spin(Oi)o) = F0l ra, (2.6) где PQ1 оператор проекции па область 0\.
Мы будем изучать корреляционную функцию (2.3) в релятивистком случае, используя уравнение Дирака. Следовательно, мы должны определить оператор спина и синглетное состояние в релятивистском случае, В дальнейшем мы выбираем
Синглетное состояние системы 2-х частиц это состояние с полным уловым моментом, равным Для описания синглетного состояния, нам понадобится определить базис сферических волн в пространстве решений уравнения Дирака (2.1).
Элементы базиса фе ш нумеруются значениями полного углового момента проекции m полного углового момента на ось чётностью Другими словами, - это решение уравнения Дирака, с определёнными значениями операторов энергии, полного углового момента, проекции полного углового момента и четности.
Частичный матричный элемент называется пространственной корреляционной функцией операторов А и В в состоянии Ф. Укажем физический смысл пространственной корреляционной функции. Обозначим шар радиуса г с центром в точке х через Vr{x). Тогда,
Определим спиновую корреляцчоную матрицу gij как Использую спиновую корреляционную матрицу, можно получить пространственную корреляционную функцию (2.14). Итак, спиновая корреляционная матрица является основным объектом при изучении корреляционных функций. Она является естественным обобщением корреляционной функции Белла (2.5),
В предыдущем разделе было показано, что спиновая корреляционная матрица (2.16) является основным инструментом изучения корреляций спинов. Опишем процедуру вычисления спиновой корреляционной матрицы.
Очевидно, что может быть вычислена прямым применением формул). Эти вычисления были проделаны с помощью компьютерной программы символьных вычислений.
Важную роль играют главный (нерелятивистский) член и первая ненулевая поправка к нему. Для получение точных значений высших поправок необходимо использовать оператор О (2.8). Обозначим Главный член разложения позволяет установить соответствие с оригинальным результатом Белла и обосновать его нерелятивистское обобщение (2.6). Мы получили нерелятивистский результат:
Покажем что это нерелятивистское выражение приводит к корреляционной функции, изучаемой в разделе 1.7, Ограничимся рассмотрением направлений а, Ь, лежащих в плоскости ху. Такие направления задаются углами а где единичные векторы в направлениях х иу, соответственно. Вычисляя корреляционную функцию (2-3), получаем в главном приближении
Эта формула получена в предположении, что области имеют вид О = {г 0, {ф} 9) є С}, и учтено, что частицы Дирака образуют сферический волновой пакет.
Таким образом, первая ненулевая релятивистская поправка равно: Итак, доказано: Предложение 2 5.1. Первые члены асимптотического разлоэюенил спиновой корреляционной матрицы (2.16) при -щ, — 0 имеют вид (2.28), где g\j дается выражением (2.27), a g\j выражением (2.31).
Основным результатом этой главы являются формулы (2.27), (2.30) и (2.31) для спиновой пространственной корреляционной функции двух релятивистских зацепленных фермионов. Нерелятивисткий вариант рассмотренной модели приводит к корреляционной функции вида (2.28), что обосновывает постановку задачи раздела 1.7. Кроме того, показано, что релятивисткая поправка содержит нетривиальную зависимость пространственной корреляционной функции от угловых координат.
Алгебра наблюдаемых, состояние и их явная реализация
Даже если А и 4 совпадают, то сходимость в смысле корреляторов не эквивалентна стандартным сходимостям в пространстве операторов: слабой и сильной сходимостям.
Важно отметить, кроме того, что сходимость в смысле корреляторов не следует из слабой сходимости; слабая сходимость та,кже не следует из сходимости в смысле корреляторов.
Справедлива (см- [47], теорема 2. что-то там ) следующая теорема: Теорема 3,4.2. Пусть а , а\ - операторы рождения и уничтожения свободного Ферми (Бозе) поля (определение см. раздел 3.2.5). Пусть поле находится в гауссовом состоянии с нулевым средним и 2-х точечная корреляционная функция поля имеет вид (3.15),
Пусть щ даны выражениам (3.20). Тогда в смысле корреляторов в перемасштабированном времени at, а] стремятся к операторам белого шума bt, Щ:
Таким образом, можно сказать (подразумевая точную формулировку теоремы 3.4.2), что в стохастическом пределе свободные поля переходят в поля белого шума.
Следующий результат (см. [47], теорема 3.2.1) показывает, что динамика открытой квантовой системы, взаимодействующей с свободным полем, в стохастическом пределе переходит в динамику открытой квантовой системы, взаимодействующей с полем белого шума.
Обозначим через А — В( ГР1Б(Ь2(Е3)) & С2) алгебру состояний исходной открытой системы, а через Af = А .п В(С2)) - алгебру состояний открытой системы и поля белого шума. Теорема 3.4.2 устанавливает естественное соответствие между этими алгебрами наблюдаемых. Для простоты формулировок будем считать, что алгебра поля белого шума имеет явную реализацию в гильбертовом пространстве Ті,
Теорема 3,4.4. Рассмотрим модель 2-х уровневой квантовой системы, дипольно взаимодействующей с Ферми (Бозе) полем. Гильбертово пространство системы задано в (3-3), (3.10)7 (3.16). Пусть квантовая динамика задана гамильтонианом, определенным в (3.4), (3.13), (3.17), (3.18), Тогда существует предел перемасштабированного оператора эволюции в смысле корреляторов он является унитарным оператором е пространстве HWwnB{ 2) . Кроме того, при і 0 Ut удовлетворяет, уравнению где }ц - предел перемасштабированного гамильтониана взаимодействия в представлении взаимодействия: Уравнение (3-26) называется уравнением квантовым стохастическим уравнением с белым шумом.
Замечание, Уравнение (3,26) должно пониматься как уравнение в смысле операторозначных обобщенных функций на пространстве белого шума.
Можно сказать (опять же, имея в виду точную формулировку теоремы 3.4.4, что открытая квантовая система вида "квантовое поле"+"2-х уровневая система 1 в стохастическом пределе переходит в открытую квантовую систему "белый шум"+"2-х уровневая система", а эволюция новой системы задаётся уравнением (3,26).
Сама по себе теорема существования не дает рецепта нахождения нового оператора эволюции. Один из возможных путей решения уравнения (3.26), который и реализован в настоящей работе для поля Ферми, состоит в приведении правой части этого уравнения к т.н. нормально упорядоченному виду, при котором операторы рождения Ферми квантового белого шума находятся слева от оператора эволюции, а операторы уничтожения - справа от него. По историческим причинам процедура приведения стохастического уравнения Шредингера к нормально упорядоченному виду называется стохастическим золотым правилом11. Для случая поля Бозе в работе [47] получен нормально упорядоченный вид стохастического уравнения Шредингера (3.26):
Унитарные преобразования пространства Фока, согласованные с регуляризацией
Теперь мы дадим определение сходимости в смысле корреляторов состояния на Ве и В - соответственно. Пусть S - некоторый конечный набор индексов, а Ь и bs - элементы В и В - соответственно, занумерованные индексами из 5. Будем говорить, что Щ — bs в смысле корреляторов относительно состояний т и т, если для любых элементов si,..., s множества S справедливо следующее соотношение:
Пусть пространство Фока над котором действуют операторы рождения и уничтожения удовлетворяющие следующим стандартным коммутационным соотношениям:
Тогда в смысле корреляторов имеют место следующие предельные соот ношения: относительно состояний, являющихся усреднениями по вакууму. Здееь функционалы C зависящие от вообще говоря, отличны от нуля. Доказательство. Рассмотрим предел корреляторов
Применим преобразование одновременно к векторам и пребразование J операторам. При этом скалярное произведение не изменится. Как было показано, применения преобразования J к векторам означает растяжение аргументов тест-функций на е, a J K n{f g) = 2Kmjn(f g). Следовательно, (4.21)
Это выражение в соответствии с Теоремой 4,5,1, выражается через двухто чечные корреляционные функции, совпадающие с двухточечными корре ляционными фунциями операторов Теорема доказана.
Теорема 4.6.2 составляет основной результат настоящей главы. Этот результат можно интерпретировать следующим образом. При использовании описанной процедуры построения степеней поля, а именно: построения сглаженных степеней, добавление нормирующего множителя и перехода к пределу в смысле корреляторов, справедливы следующие "символические11 соотношения для операторозначных обобщённых функций где Bn(k)i В (к) - независимые (при различных) п бозонные поля. Можно сказать, что в данном подходе п-ая степень оператора рождения/уничтожения поля становится оператором рождения/уничтожения нового поля. Для получения более богатой структуры предела можно применять другие подходы, такие, например, как регуляризацию коммутационных соотношений [73].
В настоящей работе изучены две актуальные математические проблемы квантовой теории информации: свойства квантовых корреляционных функций некоммутативных семейств операторов и квантовая динамика открытых систем, взаимодействующих с нолем Ферми.
Основные результаты, выдвигаемые на защиту, состоят в следующем:
1. Показано, что задача представления квантовых корреляционных функций некоммутативного семейства операторов с дискретным спектром классическими корреляционными функциями эквивалентна задаче линейного программирования. Построено ранее неизвестное численное решение1 равномерно приближающее решение модифицированного уравнения Белла с точностью не менее 0.0086 в интервале параметра 2/тг Получена квантовая корреляционная функция операторов проекции спина для системы двух фермионов, находящихся в синглетном состоянии, с учётом пространственных и релятивистских поправок.
3. Изучены уравнения квантовой динамики двухуровневой системы, взаимодействующей с полем Ферми, в стохастическом пределе. Метод решения уравнений такого типа, известный для систем, взаимодействующих с полем Бозе, обобщён для случая системы, взаимодействующей с полем Ферми- В результате применения этого метода получено явное решение (3.52) для усреднения оператора эволюции по вакуумному состоянию поля Ферми.
4, Проведено исследование перенормированных степеней поля квантового белого шума. Показано, что перенормированные степени поля белого шума стремятся, в смысле корреляторов, к новому полю белого шума.
Результаты работы докладывались автором на конференции молодых ученых МГУ, 2001, на международной конференции "Foundation of Probability and Physics-2й, Векше (Швеция), 2002, па международной конференции "Classical and Quantum Levy Processes: Theory and Applications", Левико Терме (Италия), 2003, на семинарах отдела математической физики Математического Института им. В.А. Стеклова, па международной конференции "Open Quantum Systems", Вена (Австрия), 2005.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю И, В. Воловину, а также Аккарди за постоянное внимание и помощь во время работы над диссертацией, Д, В. Прохоренко за плодотворные обсуждения и ценные комментарии, и всему коллективу отдела математической физики Математического института им. В, А. Стеклова РАН за помощь и поддержку в написании данной работы.
