Введение к работе
Актуальность темы. Развитие вычислительной техники и расширение границ применимости методов численного моделирования сделали весьма актуальной задачу создания адекватных методов построения математических моделей различных физических процессов.
Для изучения поведения макроскопических систем с парным взаимодействием, каковыми, в частности, являются разреженные газы и нереагирующие газовые смеси, активно используются кинетические уравнения и их дискретные модели. Наиболее часто применяемым для описания классических систем уравнением является уравнение Больцмана. За свою более чем вековую историю уравнение Больцмана успешно применялось для описания поведения физических, биологических, социальных и экономических систем.
Во второй половине XX века во многом благодаря развитию электронной вычислительной техники и методов проведения численного эксперимента особую актуальность приобрели дискретные модели уравнения Больцмана, которые активно изучались в последние три десятилетия. Несмотря на значительный рост возможностей современных вычислительных технологий, решение уравнения Больцмана по-прежнему остаётся сложной задачей ввиду большой размерности кинетического описания, что предъявляет высокие требования к обоснованности приближенных (численных и аналитических) методов в кинетической теории.
4 Дискретные модели, являющиеся основным предметом исследования в
настоящей диссертации, наследуют многие важнейшие свойства уравнения
Больцмана. Дискретные модели по скоростям (ДМС) для смесей широко
обсуждаются в современных публикациях и очень актуальны. Однако, очень
часто при переходе от уравнения Больцмана к дискретной модели возникают
артефакты дискретизации, отсутствовавшие в изначальной континуальной
постановке. Например, в модели газа возникают несколько групп частиц, для
каждой из которых сохраняется суммарная энергия. Таким образом, мы
имеем дело с сохраняющимися величинами, не имеющими физического
смысла.
Цель и задачи исследования. Целью данной работы является построение дискретных моделей для классических и релятивистских химически нереагирующих смесей, обладающих правильным количеством инвариантов (такие модели называются нормальными), а также систематизация и формализация методов построения таких моделей. Для наиболее часто рассматриваемого классического случая эта задача нашла удовлетворительное решение в настоящей работе.
Научная новизна и практическая ценность. В известном смысле все предлагавшиеся ранее модели для смесей были тривиальны. Читаем в работе А.В. Бобылева и К. Черчиньяни [2]': «нет моделей для смесей, кроме тривиальных». «Простейшие модели предложены Монако и Прециози в их
5 книге [40]. Они не удовлетворительны (как указывают авторы [40] на стр.
74), поскольку нет обмена энергией между различными сортами частиц. Это
мы и имеем в виду, говоря, что они тривиальны». В работе К. Черчиньяни [6]_
читаем: «Я не знаю никаких ДМС для смесей, кроме тех, в которых все
импульсы имеют одинаковую величину, и поэтому закон сохранения энергии
следует из закона сохранения числа частиц».
Попытки построить нетривиальные модели для смесей предпринимались А.В. Бобылевым и К. Черчиньяни в работе [5]. Однако, как было указано авторами опубликованной позднее работы [7], предложенные Бобылевым и Черчиньяни модели обладали большим числом инвариантов.
Эти замечания, процитированные по [5], показывают сложившуюся ситуацию: некоторые «лишние» (spurious) инварианты, такие как энергия каждой компоненты или энергия отдельной группы частиц, мешают построению хороших моделей. Это обстоятельство успешно преодолевается в данной диссертации.
В представляемой к защите диссертации предложены нормальные дискретные модели для упруго взаимодействующих смесей с классическим и релятивистским законами рассеяния. Фактически решена задача построения нормальных дискретных моделей при произвольном отношении масс компонент (в классическом случае — для произвольного числа компонент с
1 Здесь и далее нумерация ссылок соответствует перечню из библиографии основного текста диссертации.
соизмеримыми массами, в релятивистском случае - для двухкомпонентной смеси).
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Десятой юбилейной международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский, 7-12 июня 1999 года) [29], на семинаре Института прикладной математики им. Келдыша РАН (руководитель — член-корр. РАН Ю.П. Попов), на семинаре Вычислительного центра РАН (руководитель - д.ф.-м.н. Ф.Г. Черемисин), на семинаре Механико-математического факультета Московского государственного университета им. Ломоносова (руководители - д.ф.-м.н. Б.М. Гуревич, д.ф.-м.н. В.И. Оселедец), на семинаре по математической физике Института прикладной математики им. Келдыша (руководители - д.ф.-м.н. М.В. Масленников, д.ф.-м.н. В.В. Веденяпин, д.ф.-м.н. В.А. Дородницын).
По материалам диссертации опубликовано 5 работ.
Материалы настоящей диссертации и некоторые процитированные в ней труды можно найти в глобальной информационной сети Internet по адресу http: // .
Структура її объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения и списка цитированной литературы из 50 наименований. Нумерация глав, параграфов, определений, лемм, теорем, утверждений, замечаний и уравнений - сквозная. Например, теорема 1.6.2 - это вторая теорема шестого параграфа первой главы. Нумерация рисунков несколько отличается от принятой: так, например, рисунки 1.9 обозначены литерой «А» перед номером, равно как и приведённые в этом параграфе модели. Все номера имеющихся рисунков таковы: 1.1 - 1.5, А2 — А14, 2.1 - 2.9, РЗ. Объём диссертации 58 страниц, включая оглавление и список литературы.
