Введение к работе
Актуальность темы. Рассмотрение экстремальных задач теории потенциала восходит к Гауссу 1, но первыми работами в этой области принято считать две статьи О. Фростмана2 3, который рассмотрел экстремальные задачи теории потенциала с логарифмическим ядром в непрерывных супергармонических внешних полях и показал, что потенциалы экстремальных мер удовлетворяют некоторым соотношениям равновесия.
Современный интерес к экстремальным задачам теории логарифмического потенциала обусловлен многочисленными приложениями к различным областям математики и математической физики. Среди приложений выделим контактные задачи теории упругости, теорию матричных случайных ансамблей в статистической физике и в задачах рассеяния нейтронов, вполне интегрируемые регуляризации нелинейных гиперболических уравнений в частных производных, теорию аппроксимаций и ортогональных многочленов.
Е.А. Рахманов4, изучая слабую асимптотику масштабированных ортогональных полиномов относительно весов Фрода, показал, что она тесно связана с потенциалом некоторой равновесной меры во внешнем поле. Тогда же А.А. Гончар и Е.А. Рахманов5 ввели понятие векторной задачи логарифмического потенциала в связи с рассмотрением полиномов совместной ортогональности, которые возникли при рассмотрении аппроксимаций Эрми-та - Паде. Е.А. Рахманов6 в 1996 году впервые рассмотрел экстремальные
lC.F.Gaii9s /J Allgemaine Lehrsatze. Werke, 5. p. 232
3 О. Fro$tman. Potentiel d 'equilibre et capacite des ensembles avec quelques applications h la theorie des
functions. II thesis. Meddel. Lunds Univ. Mat. Sem., 3:1-118,1935
4 0. Pro&tman. La methods de variation de Gauss et les fonctiona souaharmoniques. // Acta Sci. Math., 8:
149-159,1936-37
* Е.А, Рахманов. Об асимптотических свойствах многочленов, ортогональных на вещественной оси
//Мат. сб. Т.119(162)-с.163-203.-1982
*А.А. Гончар, Е.А. Рахманов. О сходимости совместных аппроксимаций Паде для систем функций
марковского типа //Труды Мат. инст. АН СССР,- 1981-T.157.W1-C.31-48
0 Е.А. Рахманов. Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов дискретной
задачи с ограничениями на меры, что позволило получить описание предельного распределения нулей многочленов, ортогональных относительно дискретных весов.
Фундаментальное исследование равновесных потенциалов во внешнем поле было проведено Е. Б. Саффом с соавторами7 8.
Определение носителей равновесных мер и множеств равновесия является важным шагом при решении экстремальных задач. B.C. Буяров и Е.А. Рахманов9, рассмотрев семейство задач равновесия в ноле для мер с переменной массой величины х, показали, что знание семейства носителей равновесных мер S{x) позволяет определить все характеристики задачи -поле Q, равновесную меру Aq.
Процедура нахождения носителей S равновесных мер Ад имеет непосредственные приложения к некоторым задачам математической физики. Например, А.И. Аптекарев и В. Ван Асше10 показали, что, если экстремальная задача рассматривается над классом мер массы х и внешнее поле Q специальным образом зависит от параметра , то концевые точки носителя 5(х,/) = [a(xyt),fi(x,)] удовлетворяют некоторым гиперболическим системам уравнений с частными производными (по х и t).
Понятие равновесной меры сыграло существенную роль в исследовании П. Дейфта с соавторами11 12 дисперсионных дискретизаций уравнения Бюргерса и гиперболической системы "континуальный предел цепочки То-
переменной //Мат. сб. Т.187, №8-с. 109-124 .-1996
т Н. N Mhaskar, Е.В. Saff Extremal problems for polynomials with exponential weights.//Trans. Amer.
Math.Soc, 285:204-234, 1984
*E. D. Saff, V. Totik. Logarithmic Potentials with External Fields.// Grundlehren Math. Wiss. 316,
Springer, Berlm,1997.
*B. С. Буяров, E. А. Рахманов. О семействах мер, равновесных во внешнем поле на вещественной
оси. ,//Мат. сб. №5 190(1999), 11-22; l0A.I.Aptekarev, W. Van Assche. Asymptotic of discrete orthogonal polynomials and the continuum limit
of the Toda lattice. //Journal of physics A: Mathematics and General, 34(48), 2001, 10627-10639. "P. Deift, K. T-R McLaughlin. A Continuum Limit of the Toda Lattice.// Memoirs of the American
Mathematical Society. Number 624. January 1998, Volume 131 1JP. Deift, T. Kriechcrhauer, К. T-R McLaughlin New results on the equilibrium measure for logarithmic
potentials in the presence of an external field. //J. Approx. Theory, 95(3); 388-475, 1998
ды". Скачкообразное изменение носителей равновесных мер позволило А.И. Аптекареву и Ю.Г. Рыкову13 предложить обобщенный принцип Гюгонио для выделения разрывных решений (ударных волн) нелинейных гиперболических систем уравнений с частными производными.
Другим важным применением равновесных мер в задачах математической физике является полученное Л. Пастуром и М. Щербиной14, а также П. Дейфтом с соавторами 15, доказательство гипотезы об универсальности предельного поведения ансамблей матричных случайных величин. А.И. Ап-текаревым, П. Блехером и А. Куэларсом16 с помощью векторных задач равновесия получена предельная теорема распределения собственных значений гауссовых случайных матриц с внешним источником, используемая в описании броуновского движения. Наконец отметим приложения экстремальных задач с внешним полем к контактным задачам теории упругости17.
Цель работы. Нахождение носителей равновесных мер для экстремальных задач теории логарифмического потенциала. Разработка методов численного решения таких задач. Исследование связи систем гиперболических уравнений в частных производных с носителями равновесных мер в экстремальных задачах теории потенциала.
Общая методика исследований. Основным методом поиска носи-
llA.I. Aptekarey, Yu, G. Rykov On the Variational Representation of Solutions to Some Quasilinear
Equations and Systems of Hyperbolic Type on the Basis of Potential Theory. //Russian J. of Math. Physics,
Vol. 13, No.l, 2006, pp. 4-12 "L.Pastur, M.Shcherbina. Universality of the Local Eigenvalue Statistics for a Class of Unitary Invariant
Matrix Ensembles. J.Stat.Phys., 86, p.109-147 (1997 ) "P. Deift, T. Kriecherbauer, K.T-R. McLaughlin, S, Venakides and X. iJueuUnifbrm asymptotics of
polynomiab orthogonal with respect to varying exponential weights and applications to universality questions
in random matrix theory. //Commun. Pure Appl. Math. 52 (1999), 1335-1425 ,eA.I. Aptekarev, P.M. Bleher, A.D.J. Kuijlaars Large n Limit of Gaussian Random Matrices with External
Source, Part ||.//Commun. Math. Phys. 259, 367-389 (2005) "A. B. J. Kuijlaars, W. Van Assche. A contact problem in elasticity related to weighted polynomials on
the real line.//Rend. Circ. Mat. Palermo., serie II, 52, valume 11, 1998, 575-587
телей равновесных мер в экстремальных задачах теории логарифмического потенциала является построение экстремальных функционалов 18. Тем самым задача нахождения носителей экстремальных мер сводится к поиску экстремальных точек этих функционалов. Для этого необходимы решения робеновских экстремальных задач теории логарифмического потенциала. В доказательсгвах результатов были использованы методы функционального анализа и теории функций комплексного переменного, теория алгебраических функций и римаиовых поверхностей.
Научная новизна. Новыми являются уравнения для множеств равновесия экстремальных мер в задачах минимизации энергии теории логарифмического потенциала во внешнем поле с ограничениями на меры. Получен новый класс начальных данных для решения задачи Коши системы гиперболических уравнений, называемой континуальным пределом цепочки Тоды. Впервые исследована задача векторного равновесия логарифмического потенциала во внешнем поле с ограничениями. Найдены условия равновесия в таких задачах и получены утверждения о свойствах носителей экстремальных мер.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят как теоретический, так и прикладной характер. Определение носителей равновесных мер связано непосредственно с решением некоторых систем уравнений с частными производными. Также нахождение носителей равновесных мер играет важную роль в определении самих этих мер, что, в свою очередь, имеет приложение к поиску асимптотик ортогональных полиномов. В частности, решения задач векторного потенциала связаны с асимптотикой многочленов совместной ортогональности. Резуль-
'*//.#. Master, Е. В. Saff. Where does the sup norm of a weighted polynomial live?// Consstr. Approx( 1985),1,71-91.
таты диссертации относятся к следующим разделам математической физики: теория потенциала, спектральная теория операторов и интегрирование гиперболических уравнений в частных производных. В дальнейшем эти результаты могут быть полезны специалистам по математической физике и теории функций, работающим в МГУ, МИАН и ИПМ им. М. В. Келдыша.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научно-исследовательских семинарах и конференциях:
Семинар по Математической физике ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2006 г.;
Семинар «Современные проблемы теории функций» кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. А. И. Аптекарсва, проф. В. Н. Сорокина и доц. B.C. Буярова;
Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» , 2006 г.;
Конференция «Конструктивные комплексные аппроксимации» в Нижнем Новгороде, 2005 г.;
Семинар отдела №4 ИПМ им, М.В. Келдыша РАН, 2006 г.;
Структура работы. Диссертация изложена на 75 страницах, состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 34 наименования.
