Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Возмущенная краевая задача на собственные значения для оператора Шредингера на отрезке 22
1. Постановка задачи 22
2. Доказательство сходимости собственных элементов 23
3. Построение первых членов асимптотик 26
4. Построение полных асимптотик 33
5. Обоснование асимптотик 45
Глава 2. Оператор Шредингера на оси с потенциалами, зависящими от двух параметров 48
1. Постановка задачи 48
2. Предварительные сведения 49
3. Сведение оператора Ti к оператору Т-і 51
4. Случай общего положения 54
5. Критический случай для вещественных потенциалов 60
6. Критический случай для комплексных потенциалов 69
Глава 3. Возмущение оператора Хилла потенциалом, зависящим от двух параметров 77
1. Постановка задачи 77
2. Предварительные сведения 78
3. Доказательство основных утверждений 79
4. Заключительные замечания 88
Литература
- Доказательство сходимости собственных элементов
- Построение полных асимптотик
- Предварительные сведения
- Предварительные сведения
Доказательство сходимости собственных элементов
Структура второй главы следующая. Во втором параграфе приведены предварительные сведения. В третьем параграфе доказываются вспомогательные утверждения, с помощью которых возмущенный оператор сводится к оператору 7i, рассмотренному в [6]. В четвертом параграфе доказывается теорема для общего случая. В пятом параграфе рассматривается критический случай (сумма интегралов от потенциалов по всей оси равен нулю) для вещественных потенциалов. В шестом параграфе доказываются теоремы для комплексных потенциалов в критических случаях.
Постановка задачи следующая. Обозначим через Тії о и 7 0 операторы в (R) с областями определения W 0Ю: где Xj - произвольные различные числа, \\(х), ... ,Vn(x), W(x) - ком-ил екснозначные функции из Co(R), причем, не менее двух из этих функций отличны от нуля. Оператор Tiifi в (R) с областью определения И7!(R) самосопряжён, его дискретный спектр пуст, непрерывный спектр совпадает с неотрицательной вещественной полуосью (см., например, [44]). Так как функции Vj и W - финитные, то непрерывный спектр оператора Тії о совпадает с неотрицательной вещественной полуосью (см., например, [44, Глава IV]) (для случая комплекснозначных функций см., например, [1]).
Изучается эффект возникновения собственных значений возмущенного оператора I-L Q ИЗ края непрерывного спектра, в предположении су 17
Пусть выполнено условие (0.15). Тогда, еслиНеяу 0, то оператор 1-(.% не имеет собственных значений, сходящихся к нулю. Если Re я-y w 0, то оператор Н% имеет единственное и, к тому же, простое собственных значение ХИ,,г, сходящееся к нулю. Оно имеет асимптотику становиться неконструктивным. Поэтому следующее утверждение сформулировано для этого случая (для вещественных функций Уі(ж),... ,К(ж), W(x)).
Теорема 0.4. Пусть выполнено условие (0.15) и (W) = (Vj) = 0, j = 1... п. Тогда оператор Н% имеет единственное и, к тому же, простое собственное значение ХИ,,г, сходящееся к нулю. Оно имеет асимптотику
Так же рассмотрены и другие варианты критического случая как для вещественных потенциалов \\(х),... ,Vn(x), W(x), так и для потенциалов, вещественные и мнимые части которых тождественно не равны нулю.
В третей главе диссертации рассматривается возмущение оператора Хилла (0.3), возмущенного растущим потенциалом со сжимающимся носителем. Получены достаточные условия возникновения собственных значений из краев лакун непрерывного спектра. В случае, когда собственные значения возникают, построены их асимптотики. Приведены также достаточные условия, при которых собственные значения не возникают.
Структура третей главы следующая. Во втором параграфе сформулированы предварительные сведения. В третьем параграфе будут доказаны основные теоремы. В заключительном, четвертом параграфе приводятся утверждения о качественной структуре спектра возмущенного оператора. Постановка задачи следующая. Обозначим через T LPA самосопряженный оператор в (М) С областью определения W22(X): где p = p(x) 0 1-периодическая кусочно-непрерывно дифференцируемая вещественная функция, a q = q(x) - 1-периодическая кусочно-непрерывная вещественная функция. Соответствующий возмущенный оператор в (М) С областью определения W(X) обозначим через l Lphq . то оператор %6r:hn имеет единственное и, к тому же, простое собствен-ное значение \ h сходящееся к ц при h — 0; и оно имеет асимптотику
Результаты первой главы диссертации опубликованы в [8] и [43]. В совместной работе [8] Гадыльшину P.P. принадлежит постановка задачи и оценка достоверности полученных результатов. Результаты второй главы диссертации опубликованы в статье [7]. В данной совместной работе Гадыльшину P.P. принадлежит постановка задачи, литературный обзор, а так же предложение.
В этой главе исследуется поведение собственных значений оператора Tipt при 0. Основным содержанием главы является доказательство сходимости собственных значений и собственных функций оператора Tifcq о к собственным значениям и собственным функциям оператора ГН.РЛ (теорема 0.1) и построение полных асимптотик собственных значений и собственных функций оператора Щ, (теорема 0.2). Структура главы следующая. В следующем параграфе будут доказаны теорема 0.1. Остальные параграфы главы посвящены доказательству теоремы 0.2. В третьем параграфе методом согласования асимптотический разложений строятся первые члены асимптотики собственных элементов возмущенного оператора T-Lfiq. В четвертом параграфе строятся их полные асимптотические разложения. В заключительном пятом параграфе приведено обоснование построенной асимптотики собственного значения, что заканчивает доказательство теоремы 0.2.
Построение полных асимптотик
Здесь Xj - произвольные различные числа, \\(х), ... , Vn(x), W(x) - ком-ил екснозначные функции из Со(М), причем, не менее двух из этих функций отличны от нуля.
В случае возмущения только одним растущим потенциалом со сжимающимся носителем или малого локализованного потенциала оператор TIIQ заменой переменной ( = h lx и 6 = fi lh соотвественно), сводиться к оператору (0.1). В рассматриваемой же постановке, даже для вещественных функций, никакой заменой переменной оператор TLIQ не сводится к оператору (0.1).
В этой главе исследуется эффект возникновения собственных значений оператора TLIQ при h — 0 из края непрерывного спектра. Основным содержанием главы является доказательство теорем о достаточных условиях, при которых из края непрерывного спектра возникает собственное значение оператора Ti (теоремы 0.3 и 0.4). Так же рассмотрены различные варианты критического случая (ху,и = 0).
Структура главы следующая. В следующем параграфе приведены предварительные сведения. В третьем параграфе доказываются вспомогательные утверждения, с помощью которых возмущенный оператор TiiQ сводится к оператору 7i, рассмотренному в [6]. В четвертом параграфе доказывается теорема 0.3. В пятом параграфе рассматривается критический случай ху,и = 0 для вещественных потенциалов и, в частности, доказывается теорема 0.4). В шестом параграфе доказываются теоремы для комплексных потенциалов в критических случаях.
Пусть Q - произвольный фиксированный (конечный) интервал в R. Через W 2/oc(R) обозначим множество функций, определенных в пространстве R, сужение которых на любое ограниченное множество D С R принадлежит W (-D) В [6] был рассмотрен оператор
Дадим эквивалентное определение этого оператора. Пусть С : W iQ) -L2{Q) - линейный оператор, ограниченный равномерно по є, и, вообще говоря, неограниченный как оператор в L2(Q)- На пространстве Wf/0C(R) определим оператор, принимающий значения в L2(R) по следующему правилу: элемент из VK/oc(R) сужается на Q, к нему применяется оператор С, и результат продолжается нулем вне Q. Для такого оператора сохраним обозначение С.
Обозначим через И- О, 1) пополнение функций из CQ(0, 1) по норме Х4 2 (0,1). В первой главе было показано (лемма 1.1), что для любой о функции v Є И О, 1) справедливо неравенство где постоянная С% от h и v не зависит. Известно (см., например, [22]), что существует линейный ограничен о ный оператор продолжения Р : W a b) — такой, что и = Ри при х Є (а,6) для любой функции и Є W a b). Поэтому для любой функции и Є Wliflib) в
Из (2.24) и последней оценки получаем справедливость (2.18) для j = 2. Дальнейшее доказательство (2.18) проведем по индукции. Предположим, что оценка (2.18) верна для всех 1 j т. По предположению индукции справедливы: 1 рассматривается для вещественных функций \\(х), ... , Vn(x), W(x) (для упрощения формулировок и вычислений). Следовательно из (2.48) вытекает, что при достаточно малом h знак Reft ) совпадает со знаком Rexy, = KV,W, далее из (2.47) следует, что Re;e(M;/j) 0 при достаточно малых h. Отсюда и из предложения 1 получаем, что в критическом случае выполнено условие существования собственного значения для оператора
Таким образом, для окончательного доказательства теоремы 0.4, остается доказать справедливость асимптотики (0.17).
Доказательство теоремы 0.4- В рассматриваемом случае ио = о, (Vj) = 0, j = l...п. Очевидно, что существуют положительные числа Cj такие, что suppVj(ir) С (—Cj,Cj). Поэтому, при достаточно малых h имеем: Из последнего равенства и предложения 1 вытекает справедливость асимп тотики (0.17), а следовательно и теоремы 0.4. Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (2.1), и (V) + (W) = О, но (W) (V) т 0. Тогда оператор 1-(.% имеет единственное и, к тому же, простое собственное значение ХИ,,г, сходящееся к нулю. Оно имеет асимптотику: то оператор 1-(.% имеет единственное и, к тому же, простое собственное значение ХИ,,г, сходящееся к нулю. Оно имеет асимптотику (2.57).
Доказательство. Пусть выполнено условие теоремы. Тогда из (2.61) вытекает, что верно равенство (2.64). Из (2.64), (2.58) и (2.59) вытекает равенство (2.60). Далее из (2.60) следует, что знак ЫеАц ) совподает со в (М) С областью определения И7!(М), где р = р(х) 0 1-периоди-ческая кусочно-непрерывно дифференцируемая вещественная функция, a q = q(x) - 1-периодическая кусочно-непрерывная вещественная функция. Частным случаем такого оператора при р = 1 является оператор Хилла (0.3), возмущение которого дополнительным потенциалом соответствует оператору энергии одномерной модели кристалла с примесью, а также описывает блоховский электрон во внешнем электрическом поле. Возмущенный оператор в (М) с областью определения Wf (М) обозначим через Tii 1!:
Предварительные сведения
Результаты первой главы диссертации опубликованы в [8] и [43]. В совместной работе [8] Гадыльшину P.P. принадлежит постановка задачи и оценка достоверности полученных результатов.
Результаты второй главы диссертации опубликованы в статье [7]. В данной совместной работе Гадыльшину P.P. принадлежит постановка задачи, литературный обзор, а так же предложение 1.
Результаты третей главы диссертации опубликованы в [9]. В этой совместной работе Гадыльшину P.P. принадлежит постановка задачи и литературный обзор.
Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю д. ф.-м.н., профессору Гадыльшину Рустему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией. ГЛАВА 1
Обозначим через T LPA и 7/ операторы, соответствующие дифференци о альным выражениям Нрл и Н , определенные на функциях из W (0,1), обращающихся в нуль на концах отрезка [0,1]. Хорошо известно, что такие операторы самосопряжены и ограничены снизу. В этой главе исследуется поведение собственных значений оператора Tipt при є —0. Основным содержанием главы является доказательство сходимости собственных значений и собственных функций оператора Tifcq о к собственным значениям и собственным функциям оператора ГН.РЛ (теорема 0.1) и построение полных асимптотик собственных значений и собственных функций оператора Щ, (теорема 0.2). Структура главы следующая. В следующем параграфе будут доказаны теорема 0.1. Остальные параграфы главы посвящены доказательству теоремы 0.2. В третьем параграфе методом согласования асимптотический разложений строятся первые члены асимптотики собственных элементов возмущенного оператора T-Lfiq. В четвертом параграфе строятся их полные асимптотические разложения. В заключительном пятом параграфе приведено обоснование построенной асимптотики собственного значения, что заканчивает доказательство теоремы 0.2.
Очевидно, что оценку (1.3) достаточно доказать для вещественных функций у. Так как у Є Со(0,1) то из последнего равенства получаем \у{х)\ некоторые фиксированные числа. Следовательно, из последнего неравенства и леммы 1.1 вытекает неравенство
Построение первых членов асимптотик При построении асимптотик собственного значения Лм є и соответствующей собственной функции у , будет использоваться метод согласования асимптотических разложений [17].
Известно (см., например, [36, Глава 4, 3]), что при любых фиксированных Є,/І собственные значения краевых задач (1.7),(1.8) и (1.9) -простые.
Всюду далее, будем обозначать через уо нормированную в (0,1) соб о ственную функцию оператора 7iPiq-, соответствующая собственному значению AQ. Разложим функцию уо в ряд Тейлора в окрестности точки хо : уо(х) = уо{х0) + Уо{хо)(х - хо) + 0({х - ж0)2), Переписывая это разложение в переменных = (х — XQ)S 1, ВИДИМ, ЧТО при є + Хо — 0 выполнено равенство уо (ж) = 2/о Ы + q/оЫ + 0( 2).
Поэтому, следуя методу согласования асимптотических разложений, внутреннее разложение для у ,є будем искать виде: некоторые пока произвольные константы, является решением уравнения (1.19). Интегрируя по частям, последнее равенство можно представить в следующем виде
Очевидно, что любая функция удовлетворяющая этим граничным условиям имеет асимптотику (1.25) с некоторыми а2і\ И &І,І- В выборе постоянной 0,2,1 у нас имеется произвол. а для того, чтобы И В Выборе &1Д был произвол, достаточно ввести во внутреннее разложение (1.18) новое слагаемое гдд:
Доказательство. Докажем сначала, необходимость равенства (1.36) для разрешимости краевых задач (1.34),(1.35). Пусть выполнены условия леммы. Умножим обе части уравнений (1.34) на уо и проинтегрируем по всему отрезку. Интегрируя левую часть полученного равенства по частям два раза с учетом (1.9), (1.34) и нормированности г/о, получим (1.36). Покажем достаточность условия (1.36).
Предварительные сведения
В окрестности начала координат асимптотику (внутреннее разложение) функции 2/м є естественно искать в виде разложения по функциям, зависящим от переменой = (х — XQ)S 1, соответствующей линейному размеру носителя возмущающего потенциала V ( = ).
Структура внутреннего разложения ут( } /І, Є) определяется из следующих соображений. Ряды Тейлора в точке Хо коэффициентов внешних разложений имеют вид:
Здесь и всюду далее, коэффициенты ATO;S, t m,s, индексы которых не соответствуют индексам из (0.6) и (1.47), понимаются равными нулю.
Таким образом, согласование асимптотических разложений свелось к доказательству существования постоянных \j таких, что для решений уравнений (1.42), (1.43), (1.44) и уравнений (1.50)-(1.53) справедливы равенства (1.48). В силу определения (1.45), (1.46) многочленов V Q И уравнения (1.41) функции Непосредственно из леммы 1.3 вытекает справедливость следующего утверждения. Лемма 1.4. Пусть ctij, fyj, і 1, 1 j г — произвольные последовательности чисел. Тогда при определим оператор К следующим образом. Коэффициенты рядов Y 1 разложим в ряды в окрестности точки XQ И перейдем к переменным . В полученных рядах оставим только члены вида єт(і пФ±( ). Положим
Пусть функции у п Є С[0,Жо], у п Є С[жо,1] и числа Ат,п5 ш 1, 1 п т таковы, что решают системы уравнений (1-42) с граничными условиями (1.43), (1.55). Тогда 1) для любого N 0 выполнено равенство многочлены порядка і — j определенные равенствами (1-45) и (1.46); 2) функции V;- представимы в виде: функции V j (а следовательно и V ) являются формальными асимптотическими решениями уравнений (1.50)-(1.53) при — ±оо; где в правой части функции Vij заменены на V- . удовлетворяющие (1.57), (1.59), (1.65), (1.44). Найдя yf x), окончательно определяем Vii в соответствии (1.60), добиваемся условия согласования (1.48) для Viyi: а в силу леммы 1.6 находим функции Vi+\ с точностью до произвольных слагаемых &j+i;j, добиваясь равенства (1.66) для +1,«-Из (0.7), (1.68), (1.69), (1.60), в частности следует, что если у0{х0) (V) = 0, то у%{х) = Vi,i{) = 0 и \г = 0, г 1. (1.70) Перейдем к следующим шагам построения асимптотик. В силу уравнения (1.42) и определений (1.46), (1.45), (1.56) многочленов V-j, V j получаем справедливость следующего утверждения.
Лемма 1.7. Многочлены V () могут зависеть только от АТО;П иу п(х) при т j — 1, n j и удовлетворяют равенствам Лемма 1.8. Пусть функция /() Є C(R) совподает с многочленами 7і() nPw " ±оо; а d/ш многочленов Vі( ) справедливы равенства
В - некоторые числа, зависящие от f, a a}b - произвольные постоянные. Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда / -финитная функция, то есть когда Vі = /± = 0. Тогда очевидно, решения уравнения (1.71) имеют вид: произвольные константы. Из последнего равенства следует что v(0=aC + b, -ос, o(0=«/ +a)- / i + b, - +оо.
Справедливость (1.72) для финитной функции / доказана. В общем случае решение уравнения (1.71) будем искать в виде НО = (і - х(0)"(0 + х(0 (0 + v ($, где x(t) бесконечно дифференцируемая срезающая функция, тождественно равная нулю при t 1 и единице при t 2, v () - некоторая пока неизвестная функция. Подставим последнее равенство в (1.71).
Пусть функция v является решением уравнения В силу определения функции Хі на функцию v получим уравнение с финитной правой частью. Из последних двух равенств и рассмотренного выше случая с финитной правой частью вытекает справедливость леммы в общем случае. Лемма доказана. На следующем шаге в силу лемм 1.7, 1.8 находим решения vn+2,n уравнений (1.53) такие, что
В силу леммы 1.4 существуют постоянные Ап+і;П и функции 2/п+1П(ж) удовлетворяющие (1.42), (1.43), (1.44) при і = п + 1, j = п и условиям сопряжения (1.67), (1.74). Определив j/ +ln(x), последовательно находим bn+i,n, an+i,n, окончательно определяем функции г п+і;П(), добиваясь равенств г;п+і)П(0 = K+i,n(0 ПРИ " ±0; и Функции г;п+2)П(0 с точностью до произвольных слагаемых Ьп+2,т добиваясь равенств
Покажем справедливость равенств (0.13) при условии (0.12). Так как Vjj = 0 при j 0 в силу (1.70) и равенства г о,о() — Уо(%о) = 0, то с учетом уравнений (1.61) и следствия 1 справедливость этих равенств вытекает из следующей цепочки: d
Структура главы следующая. В следующем параграфе приведены предварительные сведения. В третьем параграфе доказываются вспомогательные утверждения, с помощью которых возмущенный оператор TiiQ сводится к оператору 7i, рассмотренному в [6]. В четвертом параграфе доказывается теорема 0.3. В пятом параграфе рассматривается критический случай ху,и = 0 для вещественных потенциалов и, в частности, доказывается теорема 0.4). В шестом параграфе доказываются теоремы для комплексных потенциалов в критических случаях.
Дадим эквивалентное определение этого оператора. Пусть С : W iQ) -L2{Q) - линейный оператор, ограниченный равномерно по є, и, вообще говоря, неограниченный как оператор в L2(Q)- На пространстве Wf/0C(R) определим оператор, принимающий значения в L2(R) по следующему правилу: элемент из VK/oc(R) сужается на Q, к нему применяется оператор С, и результат продолжается нулем вне Q. Для такого оператора сохраним обозначение С.
