Содержание к диссертации
Введение
1 Операторы Шредингера на геометрических графах и на разветвленных многообразиях 20
1.1 Постановка задачи и обозначения 20
1.2 Операторы Шредингера на графах с одной вершиной 22
1.3 Операторы Шредингера на графах с несколькими вершинами 29
1.3.1 Постановка задачи и обозначения 30
1.4 Операторы Шредингера на графах с бесконечным множеством ребер 32
1.5 Оператор Шредингера на разветвленных многообразиях переменной размерности 35
1.5.1 Постановка задачи и обозначения 35
1.5.2 Пространства граничных значений на границах гладких компонент разветвленного многообразия 36
2 Теорема Чернова и аппроксимации полугрупп 42
2.1 Теорема Чернова и эквивалентность операторнозначных функций 42
2.2 Пример приложения теоремы Чернова к диффузионным процессам 44
2.3 Аппроксимирующие оператор-функции 48
2.4 Граф и расширенный граф 50
2.5 Вероятностный подход к определению аппроксимирующей функции Чернова для уравнения диффузии на графе 52
3 Формулы Фейнмана для уравнения Шредингера 58
3.1 Постановка задачи и обозначения 58
3.2 Случай закона Кирхгоффа для квантовой динамики 61
3.3 Свойства оператор-функции F 69
3.4 Оценка сверху роста нормы 73
4 Формулы Фейнмана для уравнения диффузии 83
4.1 Постановка задачи и обозначения. 83
4.2 Случай закона Кирхгоффа для диффузии 85
4.3 Свойства оператор-функции F 93
4.4 Оценка роста нормы оператор-функции F 97
Заключение 107
Литература
- Операторы Шредингера на графах с одной вершиной
- Пример приложения теоремы Чернова к диффузионным процессам
- Случай закона Кирхгоффа для квантовой динамики
- Случай закона Кирхгоффа для диффузии
Операторы Шредингера на графах с одной вершиной
Российская государственность, отечественная правовая система прошла весьма сложный исторический путь, многие этапы которого были противоречивы, проходили, что называется, в рамках столкновения собственных (традиционных) и «заемных» правовых и политических норм, институтов, принципов и ценностей.
Кроме этого, в настоящее время, возникла острая необходимость в изменении методологических ориентиров изучения российского права и, конечно же, государства, эти два, теснейшим образом сопряженные элементы российского государственно-правового бытия. Важно понять особую логику эволюции национального права, содержание этого процесса, его внутреннюю целостность, сущностный смысл, получившие отражение не только в памятниках русского права, отечественном законодательстве прошлого, но и в создаваемых в отечественном культурном и историческом пространстве учениях о праве и государстве.
Вообще, «новизна российской правовой системы рождается в сложных перипетиях мирового правокультурного процесса, и поэтому она вносит подчас весьма полярные начала в тот или иной этап своего существования: охранительные, консервативные тенденции соседствуют с весьма радикальным новаторством … утверждение высокой творческой роли права и правопорядка – с революционным отрицанием самого феномена права как устаревшего и социально отсталого института»1.
Представляется, что прогрессистское видение истории государства и права, стремление «втиснуть» последнюю в какие-либо формационные 1 Синюков В.Н. Российская правовая система. Введение в общую теорию. М., 2010. С. 98. перегородки позволяет вскрыть глубинные и оригинальные явления в российском политико-правовом мире, а значит и оценить их своеобразие, понять специфику развития. Следовательно, необходим серьезный теоретико-методологический прорыв, основой которого, несомненно, станет новое осмысление различных юридических, политических, философско-правовых и религиозно-правовых концепций, принадлежащих различным российским авторам, творившим в различные исторические периоды, а поэтому и отразившим их особенности в своем творчестве.
В этом плане обращение к русским и российским доктринам убеждает, что в ходе «переживания» российского права таких этапов как традиционно-обычный (IX-XV вв.), классическо-московский (XV-XVII вв.), имперский-петербургский (XVIII), имперско-модернизационный (XIX-начало XX вв.), советский (октябрь 1917-1993 г.) и современный происходит не только изменение духовной ориентированности права, смена характера нормативно-правовой техники, правового статуса личности, соотношения национального и «заемного» элементов (норм и институтов), но и трансформация модели взаимосвязи права и государства, права и общества, в ходе которой меняется и понимание природы и, самое главное – значения института государственного принуждения, его структуры, вектора эволюции и др.
Конечно не является случайным тот факт, что генезис русской политико-правовой мысли, в целом, принято связывать с возникновением и развитием Древнерусской государственности. Именно принятие христианства (в его православно-византийской-имперской версии) и распространение письменности обусловили появление разнообразных политических и правовых произведений разных жанров.
Значительную роль в развитии русской государственно-правовой мысли сыграло непосредственное влияние правящей личности – Ярослава Мудрого, Ивана III, Иван Грозного, Петр I, Николая I, Александра II и др., чья власть, способы управления государством всегда, несомненно, были в центре внимания многих современных ему мыслителей: митрополита Илариона, Филофея, Юрий Крижанича, Феофан Прокоповича, М.М., Щербатова, С.Е., Десницкого А.Н Радищева, М.М Сперанского, П.Я., Чаадаева, А.С., Хомякова, Ю.Ф Самарина, К.П. Победоносцева, Б.Н. Чичерина и др.
Представители отечественной политико-правовой мысли проанализировали в своих трудах особенности развития и функционирования института государственного принуждения в российском политико-правовом и социальном пространстве. Они (каждый на своем теоретико-методологическом уровне, с использованием свойственного конкретной эпохе понятийного аппарата) отразили основные направления и итоги предшествующих исследований в сфере правовой и духовной свободы, права («Правды»), законности и государственного принуждения («Гроза», «Страх» и др.).
Так, идеи суверенности Русского государства, его единства, сильной княжеской власти становятся ведущими в политической литературе Киевской Руси. В дальнейшем по мере упрочения феодальных отношений, развития процессов феодальной раздробленности и усиления внешней опасности все более настойчиво начинают пропагандироваться идеи единения всех русских земель (сначала вокруг Киева, а затем Москвы) и смягчения социальных противоречий путем уменьшения эксплуатации и угнетения.
Первым русским политико-правовым трактатом стало «Слово о Законе и Благодати», созданное Киевским митрополитом Иларионом в середине XI столетия. В трактате были затронуты и освещены вопросы касающиеся происхождения, сути, целей и задач верховной власти, которой митрополит считал волю Божественную, данную князю, как «причастнику и наследнику небесного царства» для выполнения своего высшего долга перед людьми и Богом. Образ христианского носителя верховной власти занимает центральное место в трактате Илариона, здесь прописана и значимость ответственности русских князей за управление русским государством, и качества, которыми должны обладать князья для наилучшего осуществления власти. К таким качествам митрополит отнес мужественность, острый ум, милосердие и законопослушность. Закон был воспринят, как воля переданная людям Богом через своего избранника, это было связано с тем, что теологическая и юридическая значимость закона считались в то время едиными и не разделялись, как понятия.
Также Илариона интересовала проблематика праведного суда как одной из форм государственного принуждения по «Правде» (не даром и возникло понятие «оправдить», близкое, но все же отличающееся во своему содержанию и смыслу от современной категории «оправдать») и определения наказания и «милости виноватому». Наказание определено им, как «воздаяние каждому по делам его»1.
Несколько позже проблему принуждения и наказания рассмотрел Владимир Мономах. Вступив на престол, Мономах издал новые законы (Устав Владимира Всеволодовича Мономаха – вторая часть Пространной Правды). Программу же своего политического правления он изложил в трудах «Поучение детям», «Послание Олегу Черниговскому» и «Отрывок», который условно принято называть «Автобиографией».
В общем, в работах Мономаха нашла свое продолжение линия начатая Илларионом: к проблемам изложенным в «Слове о Законе и Благодати», он добавил ряд новых актуальных для реализации политической власти тем. В частности, были выделены такие, связанные с пониманием природы, функций и социально-правовой значимости института государственного принуждения вопросы, как форма организации княжеской власти и ее законодательно утвержденный объем, не остался без внимания и нравственный облик присущий христианскому правителю и формат его взаимоотношений с подвластным населением и князьями-вассалами.
Мономах не обошел своим вниманием и вопросы, касающиеся социальной значимости и института государственного принуждения и специфики юридической ответственности в древнерусском политико-правовом пространстве.
Пример приложения теоремы Чернова к диффузионным процессам
Пусть граф Г представляет собой набор из п вершин Qi,...,Qn, из каждой из которых исходит Tj, fj Є N рёбер Г , представляющих собой либо бесконечные полупрямые, либо отрезки, соединяющие вершину Qj с другими вершинами. Фиксируем на каждом ребре Tj параметризацию натуральным параметром. При этом на ребрах-полупрямых параметр возрастает от граничной точки; а на ребрах-отрезках ориентация выбрана произвольно. Пусть dj- начальная точка ребра полупрямой, означальная точка ребра Tj отрезка, bj- конечная точка ребра Tj отрезка. Пусть с , к = 1,...,п - совокупность всех граничных точек ребер Гі,...,Гп. Определим функцию s на множестве {с&} так, что s(ck) = 1 при условии, что Ck - начало ребра, и положим s(ck) = — 1 при условии, что Ck - конец ребра. Обозначим через S диагональную матрицу с числами s(ck) на диагонали.
Введем операторы Lo, LQ и пространство G граничных значений функций из D(LQ) и их производных. Пространство G линейно изоморфное пространству C2N. Через u{cj) обозначим совокупность предельных значений функции по ребру, границей которго является точка Cj, а через и(с) обозначим TV– мерный вектор (гі(сі)...гі(сдг)) , для вектора предельных значений производной и (с) используем аналогичные обозначения, и введём обозначение bj = BJ(CJ) предельное значение функции Bj в граничной точке необходимо и достаточно для включения v Є D(L ), что и доказывает теорему 1.3.4. В случае, когда коэффиценты rrij отличны от единицы, а предельные значения bj функции Ъ в точке верешиние вдоль ребра Tj отличны от нуля, описание множества самосопряженных расширений задает следующее следствие
Следствие 1.3.2. Если М и В диагональные матрицы и их матричные элементы заданы по формуле ( ij)2 о , ( %)о 2 І = 1? ? 2п соответственно, и С = (су), где Cij Є Loo (Г), то оператор L с областью определения D(L) = и Є W(r) : и (с) = Аи(с) , самосопряжен тогда и только тогда, когда матрица А, М и В удовлетворяет равенству
Вывод. Множество самосопряженных расширений оператора Шре-дингера Lo на графе с несколькими вершинами изоморфено множеству самосопряженных расширений оператора Шредингера на графе с одной вершиной.
Для описания такого графа определим на нем следующие структуры (см.[6]). Обозначим через /І - локально конечную счётно аддитивную неотрицательную меру на N такую, что ti{k) = /І& 0, и обозначим через L i /j, = L2(N, 2N, /І, С)- гильбертово пространство граничных И пусть И7!(Г) - пространство функций и Є L l , для которых определено значение нормы значений с нормой
Сужения всякой функции на полупрямую обладают граничными значениями в вершине: и(0) = (ui(0)...un(0)...)T Є 1 2,\і. Это также верно для первых производных этих сужений и (0).
Обозначим через Л, М и В диагональные матрицы и их матричные элементы заданы по формуле (/ij j), (—%) и (&j%) соответственно. Теорема 1.4.5. Пусть / = 1, m = 1, (ж) = 0 и С(ж) = 0. Оператор L с областью определения D(L) = {и Є W22(Г) : it (O) = Аи(0)}, самосопряжен тогда и только тогда, когда оператор А самосопряжен в пространстве 2( 2 = L2(N, 2N, 1, С)). f (0) = Л A A v(0), необходимо и достаточно для включения v Є D(LQ): ЧТО И доказывает теорему 1.4.5.
В случае, когда коэффиценты rrij отличны от единицы, а предельные значения bj функции Ъ в точке верешиние вдоль ребра Tj отличны от нуля, описание множества самосопряженных расширений задает следующее следствие
Следствие 1.4.3. Если fik Є і, —, тпк, bk Є оо и Л, В и М-операторы в пространстве L2(N, 2N, /І, С), заданные диагональными матрицами с числами т., Ьь и — на диагонали соответственно, С = (QJ), где Су Є Loo (Г). Тогда оператор L с областью определения D(L) = и Є W!(r) : it (O) = АІІ(О) , самосопряжен тогда и только тогда, когда операторы А: М и В действующая в пространстве І2, удовлетворяет равенству
Изучаются операторы Шредингера на разветвленном многообразии Г, задающие процессы диффузии или квантовой динамики на разветвленном многообразии. Граничные точки будем называть точкой ветвления многообразия, если она является граничной точкой для не менее чем двух различных областей.
Предполагается, что на Г задана Борелевская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каждое областей Га совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда (Г) = фЬ2(Та). Пусть Соо(Г)- векторное пространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на Г с компактными носителями, не содержащими многообразия точки ветвления, и Lo = 0LQ - линейный оператор, определяемый на линейном пространстве D(Lo) = CQ(T) с помощью равенства в котором функции т, В, С - вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением ветвлении функции на Г, функция т принимает на каждом областей Га постоянное значение та, причем тпа то О У а = 1, ...,п; и Є CQ(T). Определение 1.5.1. Линейный самосопряженный оператор L в пространстве Н = - 2 (Г) называется гамильтониан квантовой системы с массой m в электромагнитных полей {С, В} если L является самосопряженное расширение оператора Lo.
Предполагаем, что при каждом а область Га является da -мерной ограниченной областью в пространстве Rda с (da — 1) мерной гладкой границей г]а. Определим границу многообразия Г как совокупность п экземпляров границ областей ( 9Г = г\ = lj=1 т]а), где г]а = дГа. Точка Q называется точкой ветвления многообразия Г, если она является граничной точкой для не менее чем двух различных областей Га, ГЙ при а ф f3.
Предполагается, что на Г задана Борелевская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каждую область Га совпадало со стандартной мерой Лебега пространства Rda. Тогда пространство квадратично интегрируемых по мере Лебега комплекснозначных функций на множестве Г допускает представление (Г) = фЬ2(Та).
Пусть Соо(Г) - векторное пространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на Г с компактными носителями, не содержащими точки ветвления разветвленного многообразия, и Lo = 0LQ - линейный оператор, определяемый на CQ(T): соотношением LoM = 0{LoMa}, LQ Q, = —Аама + г(Ва(х), \/иа) + г div[Ba(x)ua) + Са(х)иа. Здесь {иа)а = 1, ...,п} - сужения функции и на области Га. Предположение 1.6.1. Пусть функция m принимает постояние зна чения та 0 на каждой области Га при всех а Є 1,п и выполнены условия Ва{х) Є Cl(Ta, R d) P С(Та, R da), Са{х) Є C(Ta,R). Через b а = Ва\г)а обозначим предельные значения вектор-функции а на границе г]а. Оператор Lo с областью определения D{LQ) = Соо(Г) С (Г), плотно определен и симметричен. Областью определения D(LQ) сопряженного оператора LQ является линейное подпространство D(LQ) = 0 =1И/2 (Га) := И7!(Г) С Н. Пусть компоненты Га многообразия Г представляют собой m полу прямых, к конечных интервалов и п — (т + к) областей. В случае 1-мерной области Га граничное значение м»! является набором комплексных чисел на границе г)а, представляющей собой одну или две точки. В случае da 2 граничное значение ua\rja является элементом про 3 странстве W ifja).
Согласно теореме о следах u\v Є W TJ) = Фа=і і(і]а) (см. [23]), через u\v обозначим совокупность (и\т ... u\Vn предельных значений функции и на границе ц. Аналогично, предельное значение производной -JT сужения иа по направлению внешней нормали vn к границе ria в случае полупрямой va представляет собой элемент пространства С, в случае ограниченного интервала - элемент пространства С2, а в случае области размерности da 2- элемент пространства W2 (т]а).
Случай закона Кирхгоффа для квантовой динамики
В случае, если Ь Є С1 (Г) П L\(T) и с Є СЦГ), то как и выше, неравенство (F()) \\в(Х) M -bB(X)(F3F(?b(/:)F2(/:)Fi) в(х)Мн",ьв(х) Me tK справедливо при всех t 0 и к Є N, из чего, как и выше, следует неравенство (4.4.79). Теорема доказана. Следствие 4.4.8. Пусть X = LP(T) при некотором р Є (1,+оо). Тогда если Ь Є С1 (Г) П Li(T) и с Є Loo (Г), то при всех А; Є N и при всех t 0 справедлива оценка (F()) \\в(х) е tK (4.4.80) где к = 2(# Іоо(г) и qb = с{х) — 62(ж), а М = е2" Ими. Пусть к Є N и t 0. Согласно теореме Рисса-Торина 1_ і 1_ (F()) f\\bp ll(F( )) / (F()) f\\L р Me ІК\\/\\ьрі поэтому утверждение следствия следует из теоремы 4.4.15 и неравенства (4.4.79) теоремы 4.4.16. О замыкании производной оператора F (0) как о генераторе. Сначала докажем, что оператор F (0) является генератором сильно непрерывной полугруппы в пространстве X = LP(T) в предположении об отсутствии потенциалов бис. Полугруппы, порождаемые оператором Лапласа с нулевыми потенциалами. Пусть Ъ = 0 и с = 0, тогда оператор Ат совпадает с оператором Лапласа Ат. Обозначим через CQT линейное многообразие функций, сужения которых на лучи Tj финитны и бесконечно дифференцируемы, а в вершине Q существуют конечные предельные значения производных любого порядка, удовлетворяющие условиям (4.2.58), (4.2.59). Линейное многообразие CQT плотно в пространстве LP(T) при всех р Є [1, +оо). При всех р Є [1, +оо) оператор Лапласа Ат опледелен на линейном многообразии CQ -, причем АТ(С ) С Lp(T).
Лемма 4.4.18. Пусть р Є [1, +оо). Тогда заданный на линейном пространстве CQT(T) оператор Ат, действующий в банаховом в пространстве Lp(T), замыкаем, причем его замыкание является оператором Ат с областью определения D(AT) = {и Є И7!(Г) : (4.2.58), (4.2.59)}.
Лемма 4.4.19. Пусть р Є [1, +оо). Тогда образ линейного пространства CQT(T) при отображении Ат плотен в пространстве LP(T).
Замечание 4.4.10. Пусть Ъ = 0 и с = 0. Тогда оператор-функция F удовлетворяет всем условиям теоремы 2.1.8, причем F (0) = Ат и, в частности, оператор Ат имеет образ, плотный в пространстве LP(T) при произвольном р Є [1,+оо). Тогда согласно теореме 2.1.8 оператор Ат является генератором сильно непрерывной полугруппы е т, t 0, для которой справедлива теорема 4.2.13 об аппроксимации полугруппы итерациями функции F.
Тогда в силу установленной теоремой 4.2.13 сходимости последовательности (F(-) ) к полугруппе е т, полугруппа е т, t 0, является сжимающей в пространстве LP(T) согласно оценке следствия 4.4.8 при всех р Є [1, +оо). О полугруппах, порождаемых оператором Ат с ненулевыми потенциалами. Добавление потенциала с Є С&(Г) к Лапласиану Ат является равно 104 мерно ограниченным возмущением, поэтому оператор Ат является генератором сильно непрерывной полугруппы в пространстве Lp, допускающей оценку роста нормы etAr е "с"Ьо. Предположим, что Ь Є С (Г) P Li(r). Введем операторы М±5 как ± J bj(s)ds операторы умножения на ограниченную измеримую функцию е в пространствах LP(T), р Є [1, +оо].
Лемма 4.4.20. Если функция Ъ является абсолютно интегрируемой, то полугруппа, порождаемая оператором Ат в пространстве LP, допускает представление через полугруппу, порождаемую оператором А,дь (у которого вектрный потенцал в нулевой, а скалярный потенцал с оператора АтЛь определяется потенцалами Ь и с оператора Ат по формуле qi = с — б2), с помощью операторов Мя,±ь.
Действительно, функция v(t) Є C(R+, D(A) f] Cl(R+, LP(T)) тогда и только тогда, когда функция u(t) = NLs:bv(t) Є C(R+,D(AT)f)C1(R+,Lp(T)), ибо в силу определения оператора Мя,ь справедливы равенства Vj(t,x)\x=o = Uj(t,x)\x=o и
В диссертации дано описание множества операторов Лапласа на графе, определяемых как самосопряженные расширения оператора Д0, определенного изначально равенством 0и = и" на пространстве C00 бесконечно дифференцируемых функций на графе, носители которых не содесжат граничных точек и точек ветвления графа.
Для оператора (0.0.1), получаемого из оператора 0 добавлением слагаемых с младшими производными, получено описание множества всех самосопряженных расширений, каждое из которых называется оператором Шредингера на графе.
Получено описание множества операторов Лапласа и Шредингера на разветвленных многообразиях переменной размерности.
Дальнейшей целью диссертации является аппроксимация групп и полугрупп, порождаемых операторами Шредингера, найденными в главе 1, с помощью формул Фейнмана. Высказана гипотеза, что каждая из определенных в главе 2 формулами (0.2.1)-(0.2.3) операторнозначных функций Р эквивалентна по Чернову полугруппе etL, t 0, генеринуемой некоторым из операторов Шредингера, найденных в главе 1. И, наоборот, для каждого из оператора Шредингера L, из найденных в главе 1, найдется такой набор коэффициентов {pji} в формуле (0.2.1), что соот 107 ветствующая оператор-функция Р эквивалентна по Чернову полугруппе etL, t 0.
Установлено, что в случае равновероятных переходов между ветвями графа (то есть в случае pij = —j при всех j = і) функция Р совпадает с аппроксимирующей функцией Чернова F, предложенной в работе [18].
В третьей главе найдена аппроксимирующая функция F, аппроксимирующая унитарную группу e tLs, t Є Л, порожденную тем оператором Шредингера, область определения которого определяется условиями Кирхгоффа (см. (3.2.27)-(3.2.28)) в точке ветвления графа.
В четвертой главе для сжимающей полугруппы etAr, t 0, генерируемой оператором Ат c условиями Кирхгоффа (4.2.58)-(4.2.59), найдена аппроксимирующая оператор-функция и доказана ее эквивалентность полугруппе.
Случай закона Кирхгоффа для диффузии
Таким образом, функция р не является плотностью переходной функции стационарного марковского случайного процесса на графе Г, ибо хотя функция р принимает неотрицательные значения, для любого (x,j) Є Г, любых t,s Є R : s t выполняется равенство Функция (2.5.17) имеет смысл плотности в точке (у, к) Є Г условной вероятности перехода из точки (x,j) Є Г в момен времени s в измеримое множество Г к моменту времени t S. Определим оператор-функцию P(s,), (s,t) Є R+ x R+, 0 s +oo таким образом, что для любых (s,t) оператор P(s,) действует впространстве Ьі(Г) по правилу (P(s, t)u)(x,j) = / р(, s, (ж, j), (у, к))и(у, k)d{y) к) У и Є Ьі(Г).
Лемма 2.5.2. Пусть р Є [1, +оо]. Оператор-функция Р задает двух-параметрическое семейство сжимающих преобразований пространства Lp(T), сохраняющих конус неотрицалельных функций. Из неотрицательности функции (2.5.17) следует неотрицательность образа неотрицательной функции при отображении P(s,) при всех значениях s, t. Пусть s Є R+ и t s. Тогда, во-первых, для любой функции и Є Li(T) интеграл (2.5.19) сходится равномерно по (x,j) Є Г, поэтому равномерно по (x,j) Є Г, причем (P(s, t)u)(x, j)llLoo(r) llMIUoo(r) p{ti si{xi І) Лу і k))d{y-, к) = 11 Н Loo (г) г
Таким образом, при любых t,s Є R+ : s t оператор P(s,) является сжимающим оператором и в пространстве Li(T), и в пространстве LQO(Г). Следовательно, согласно теореме Рисса-Торина, опратор P(s,) является сжимающим и в пространстве Lp(r) при любом р Є (1,+оо). В случае s = t оператор P(s,) является тождественным оператором в пространстве Lp(r) при любом р Є [1, +оо]. Лемма 2.5.2 доказана.
Теорема 2.5.9. Оператор-функция Р(0,), 0, заданная функцией о по формуле (2.5.17) при условии j)k- = —!-г, к, і Є l,...,n; А; 7, совпадает с оператор-функции Чернова F(t) = FsF2(t)Fi, t 0. Доказательство. Действительно, для любой функции и Є Li(T) справедливо равенство
Изучаются операторы Шредингера на графе , задающие процессы диффузии или квантовой динамики на графе как на разветвленном многообразии. Графом будем называть конечную или счетную совокупность гладких одномерных многообразий (называемых рёбрами графа), каждое из которых диффеоморфно лучу [0,+оо) или отрезку [0,1]. Граничные точки рёбер будем называть вершинами графа . Каждая вершина графа является граничной точкой некоторого непустого множества рёбер графа.
Предполагается, что на задана Борелевская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каждое рёбро j совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда () = (&L/2(j).
Пусть Соо()- векторное пространство бесконечно дифференцируе мых комплекснозначных функций на Г с компактными носителями, не содержащими вершин графа Г. Пусть Lo = 0LQ - линейный оператор, определяемый на линейном пространстве D(Lo) = С (Г) с помощью равенства здесь функции т, 6, с - вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа Г, функция т принимает на каждом рёбре 1\, постоянное значение rrij, причем rrij то О Vj = 1,..., п; и Є CQ0 (Г). вещественнозначные, ограниченные и непрерывные всюду за исключением вершин графа Г, функция т принимает на каждом рёбре 1\, постоянное значение rrij, причем rrij то О Vj = 1,..., п; и Є CQ0 (Г). С помощью однородного сжатия координат на каждом из ребер можно добиться, чтобы все значения констант mi, ..., тп были равны единице (см. замечание 1.2.1). Через bj, Cj, j = 1,...,п обозначим сужения функций Ъ и с на Tj при всех j = 1,...,П, и при всех j = 1,...,П функции 6j, Cj являютя вещественнозначными функциями на промежутке Tj. Операторы квантовой динамики будем обозначать через L. Действовать они будут из Wf (Г) в І (Г) и будут порождать полугруппы в пространстве - 2 (Г). При изучении диффузии на графе Г необходимости требовать, чтобы оператор Lo был симметрическим оператором. Вместо этого будем предполагать, что оператор Lo является линейным дифференциальным оператором второго порядка в пространстве (Г) с областью определения С0Х)(Г). Предположим, что в системе координат на Г, в которой т = 1, оператор Lo задан на линейном пространстве С0Х)(Г) дифференциальным выражением Lr0Uj = AUJ + ibj—Uj + i—WjUj) + CjUj, (3.1.23) ox ox где функции
В случае уравнения Шрёдингера мы изучаем группу операторов e tLs, t О, где L - дифференциальный оператор, заданный дифференциальным выражением ґ \ л & & (LSU)\Y- = i- Uj + ibj—Uj + i—{OjUj) + CjUj, ox ox при всех j Є 1, n, на области определения D(Ls), состоящей из непрерывных на Г финитных функций, сужения Uj которых на каждую полупрямую Tj дважды непрерывно дифференцируемы, а предельные значения производных в вершине графа удовлетворяют условию п У {и л(0) + ibj(0)uj(0)) = 0. (3.2.29) з=і Оператор Ls плотно определен на пространствах (Г), а его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы в каждом из этих пространств. Обозначим через Tj прямую являющуюся продолжением полупрямой Tj до прямой, а через Г- объединение \Jj=\ Tj. Чтобы оределить решения задачи Коши для уравнения Шредингера используем следующую схему, основанную на применении теоремы
