Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Преобразования Крума-Дарбу и оператори Шредйнгера с медленно убывающими потенциалами 12
1.1. Преобразования Крума-Дарбу 12
1.2. Операторы Шредингера с квазирациональными потенциалами . 19
1.3. Решения Йоста и Их свойства 25
ГЛАВА 2. Задача рассеяния на оси для оператора Шредингера с квазирациональным потенциалом 36
2.1. Р-матрица и данные рассеяния. Общие сведения 36
2.2. Свойства р -матрицы оператора Шредингера с квазирациональным потенциалом 42
2.3, Обратная задача рассеяния для полурегуляркого оператора, не имеющего точечного спектра.. 51
2.4. Обратная задача рассеяния в классе квазирациональных операторов в общем случае 80
ГЛАВА 3. Медленно убивающие решения уравнения Кортевега-де Фриза 95
3.1. Рациональные и квазирациональные решения уравнения Кортевега-де Фриза . 95
3.2. Задача Коши 106
Приложение. О разложении по собственным функциям задачи рассеяния для полурегулярного оператора 114
Литература 121
- Операторы Шредингера с квазирациональными потенциалами
- Свойства р -матрицы оператора Шредингера с квазирациональным потенциалом
- Обратная задача рассеяния в классе квазирациональных операторов в общем случае
- Рациональные и квазирациональные решения уравнения Кортевега-де Фриза
Введение к работе
Исследование обратных задач спектрального анализа является вот уже более тридцати лет одним из наиболее важных и плодотворных направлений математической физики. При их решении получен ряд существенных результатов как с точки зрения спектральной теории, так и с точки зрения приложений к физическим задачам. Особый интерес к обратным задачам вызвало открытие в 1967 г. Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой метода "обратной задачи рассеяния" решения ряда нелинейных уравнений математической физики.
Рассмотрим одномерный оператор Шредингера (оператор Штурма^ Лиувилля)
с вещественным потенциалом СІ (х) 9 удовлетворяющим условию
S |q,(x)| А
X < -
(2) Используя уравнение Лиувилля
ах
+ ее
нетрудно показать, что уравнение Нф — -Л Ц^ имеет при всех
вещественных решение со следующим пове-
дением при X —* + оэ
- k -
Аналогичным образом устанавливается существование решения
Є (Л^х) с таким поведением при X -* -&
е-а,*>еЛх(ЬоШ),е-(Х*> ^е'Лх(4. оВД).
Эти решения называются решениями Йоста.
При Л^О пары функций e+(A^,e4XjX) и е~Ск>х)9 6^А,х) образуют фундаментальные системы решений, следовательно,
Вводя обозначения
можно убедиться с помощью соотношений (3)f что имеет место зависимость
и = \г,
где $ = ІкікСМІЬ,к^д , S„CX> szl0O= 0-(30,
Матрица ^( называется r^ -матрицей оператора Н .
Обратная задача теории рассеяния (ОЗР) для рассматриваемого оператора при отсутствии точечного спектра состоит в а)восстанов-лении потенциала <Э(х) по р -матрице и б)отыскании необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять матрица , чтобы быть Р -матрицей некоторого оператора Шредин-гера с вещественным потенциалом, удовлетворяющим условию (і). В
общем случае» когда у оператора Н имеется точечный спектр, та же задача ставится для так называемых данных рассеяния, которые состоят из элементов Р -матрицы и набора констант - нормировочных коэффициентов, характеризующих соответствующие собственные функции*
Если потенциал сКх) удовлетворяет более жесткому условию
-ОО
(такие функции будем называть быстроубывающими), то решения Йоста допускают представление через операторы преобразования Б.Я.Левина [i J
еЧХ*") = еа* * UWV* dt,
Операторы преобразования играют важную роль в решении ОЗР. Восстановление потенциала сводится в этом случае к решению относите** льно функции К х У<Х) интегрального уравнения (уравнения В.А.Марченко)
х +
Ядро этого уравнения - функция гС(х) однозначно определяется по данным рассеяния, а потенциал находится по. формуле
В классе быстроубывающих потенциалов ОЗР на полуоси была ре-
шена в 1955 г. В.А.Марченко [2] и МЛЧКрейном [з] . Аналог уравнения Марченко на всей оси был выведен в 1956 г. Кэен и Мозесом [^] 9 а полное решение ОЗР на оси, включающее необходимые и достаточные условия на данные рассеяния^было получено в 1964г. ЗЦД»аддеевым [5J * Ключевым пунктом в выводе характеристических свойств данных рассеяния является доказательство того» что в результате решения уравнений Марченко для ядер К Фчу) и К 03^) должен получиться один и тот же потенциал
При этом в.существенном используются с одной стороны энаг
литичность коэффициентов > с другой стороны -
поведение элементов о-матрицы при А* 0 . Соответственно именно эти свойства S -матрицы составляют нетривиальную часть необходимых и достаточных условий, и их доказательство является наиболее трудоемкой частью рассмотрений.
Целью настоящей работы является решение обратной задачи рассеяния для оператора Шредингера (і) с медленно убывающим потенциалом вида
fcfa+O
^Сх) =q,0(x)
+
х.2-
О (М<0, ((0
їФиіі (х > і) ,
=с*
где Q|j(X) - быстроубывающая функция (точное описание класса рассматриваемых потенциалов будет дано ниже), а также обобщение метода ОЗР применительно к решению задачи Коши для уравнения Корте-вега-де Фриза с медленно убывающими начальными данными.
Центральное место в исследовании задачи рассеяния для указанного класса потенциалов занимает установление зависимости
^7-
свойств данных рассеяния от характера убывания потенциала. В прос-тейшем случае потенциала вида СО» когда Gc(x)=l) * решения Йоста при [х|>{ совпадают с соответствующими функциями Ханке-ля-Риккати, р -матрица выписывается в явном виде и при
sKm=ef4ООП, ь(я-н?+оиГ«).
Таким образом, скорость приближения функций
к ~1 прямо связана с числами R и щ , то есть со скоростью убывания потенциала при СС-*±<=<=> . Это свойство сохраняется и в общем случае: имеется точная зависимость между поведением коэффициентов отражения ВігІЛ) и $21(Л) при Л^О и убыванием потенциала.
Перейдем к описанию содержания работы- В первом параграфе главы I вводится семейство многообразий V* (к^-І^.,, *) рациональных функций ^к\^>^к) ^см' И ^* параметризованных точками К-мерного векторного пространства ^ (R, * При
Функции 1i"K(X,*LK) характерны тем, что уравнения
интегрируемы явным образом}и решения выражаются через элементарные функции.
Во втором параграфе дается точное определение исследуемого класса операторов» а именно рассматриваются операторы Шредингера с потенциалами
ЯСО 6 сию такими, что при эс —*- и
Х,-*±оэ они совпадают с рациональными функциями соответственно tfJ^C*") и %г^Хт) с точностью до функций, убы-
вающих быстрее любой степени ІХ \ Многообразие всех таких функций будем обозначать через um^ivl (Через
Им )
обозначаем множество функций QOC) , убывающих быстрее любой степени ]Х| при х-^со (соответственно х-*--^ ), при которых уравнение Htf = U не имеет ограниченных на всей оси решений, а через и^п,А {№-іьт.) множество функций с подобными асимптотиками, но отличных тем, что уравнение Н(р~и имеет ограниченное на всей оси решение)»
Далее в первой главе вводятся решения Йоста соответствующих уравнений и выясняются их свойства (леммы 1.2 - 1,5). Существенную роль при этом играют преобразования Крума-Дарбу, позволяющие переходить от одного класса потенциалов.к.другому. Заметим, что аналогичные преобразования применяли В.Ф.Короп L7J и А.С.Сохин И , рассматривая обратную задачу рассеяния на полуоси для one* ратора Шредингера с особенностью.
Первые два параграфа второй главы посвящены исследованию свойств данных рассеяния для рассматриваемого класса операторов. Основной результат состоит в следующем. Если потенциал
vi wl » ^ оператор гі может иметь только конечное число неположительных собственных значений mk^->jk
-матрица удовлетворяет условиям;
I, Матрица гЬ(Л) унитарна \$(Х) SO^) - I),
s„m=s22a\ ^00=6..(-а).
П. Элементы матрицы суть бесконечно дифференцируемые функ
ции; при |А|~* функции &и (Л) и Sm(a) убывают
быстрее любой степени \j\\ , и при всех
Ш. Функция 5ЛЛСл ) продолжается аналитически в полуплоскость Jto. 4l >U , где она может иметь конечное число полюсов
первого порядка LV^ (к = 4,2,..^0 ) на мнимой оси и нигде не обращается в нуль; при І2І -~*&о в полуплоскостг CW Z >U
ІУ. При Л — О
где СГ^и , a x=Htm-l f если оператор Н имеет
нулевое собственное значение, и 2Є=И + Пг + 4 в противном
случае,
В последних двух параграфах главы 2 доказывается достаточность сформулированных свойств данных рассеяния и приводится алгоритм восстановления потенциала* Полученные здесь необходимые и достаточные условия на данные рассеяния (теоремы 2.1 и 2,2 ) являются основным итогом этой главы.
Третья глава посвящена приложению полученных результатов к решению задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза
с начальной функцией t|pO е vUt3m - Показывается» что метод Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [9] , базирующийся на теории ОЗР, может быть обобщен на рассматриваемый случай. Доказывается разрешимость поставленной задачи Коши при помощи этого метода и исследуется поведение решений при X —*±<хэ . Оказывается (теорема 3.3), что решения ^(хД) принадлежат тону же классу функций (К-У1 уа что и начальные данные, причем, при всех t
U(?c,0 = Я (х Х'Л)) + -(1) (х - - «),
- ю -
где VftV^iC^tfcj)^ ^C^^C^Cl)] - рациональные реше-
ния уравнения Кортевега^-де Фриза, найденные Л.А.Бордаг и В.Б.Мат
веевым [ю] f и М.Адлерон и Ю.Мозером [б] , а добавки QQ
и ~(Х) убывают быстрее любой степени 1^1 , когда
X —- і оо соответственно.
Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (г*Черноголовка, 1981 г*), Ш-ен республиканском семинаре "Интегральные и дифференциальные уравнения" (г.Одесса, 1982 r#)t харьковском общегородском семинаре по математической физике, а также на конференциях молодых исследователей Физико-технического института низких температур АН УССР. Основные результаты опубликованы в работах [2S-3l] .
Нумерация формул, утверждений и параграфов ведется в каждой главе независимо. Первая из цифр номера соответствует номеру главы*
. Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю академику АН УССР В.А»Марченко за постоянное внимание к работе и ценные обсуждения.
На защиту выносятся следующие новые результаты:
необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять матрица , чтобы быть »j -матрицей некоторого оператора Шредингера с квазирациональннм потенциалом
алгоритм восстановления потенциала по данным рассеяния;
точная взаимосвязь между поведением элементов О-матри-
- II -
цы при Л ~*U и поведением потенциала при (хД-* о ;
обобщение метода ОЗР на задачу Коши для уравнения Корте-вега-де Фриза с медленно убывающими начальными данными
исследование асимптотического поведения при X ~* ± и всех Z решений u(pC5t) задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза о медленно убывающими начальными данными
ИМ) &*,»і
Операторы Шредингера с квазирациональными потенциалами
Но регулярный оператор по имеет конечное число собственных значений. Значит, размерность многообразия, на котором отрицатель на форма ( Hof, ) , конечна, то есть конечно и количество от рицательнюГ значений }лк = -V у оператора И Кроме того, в случае П 0 и m 0 уравнение (2Л) может также иметь суммируемое с квадратом решение при Л=0 Следовательно, точечный спектр оператора Н , порож даемого формальным дифференциальным оператором Н- т + О состоит, в общем случае, из отрицательных собственных значений Мк=- к CK= J JO И может быть, еще нулевого собственного значения №0 "VC =0 Функции U K№) = e+(iV , X} и « 0О = ) 0О на зываются правыми собственными функциями точечного спектра, а функции IQto = e C-W Tc) , ІіоОО - 7 С - левыми собственными функциями точечного спектра. Положим для Наборы величин st2(M Lv vvi и (s2 /LVfcjvn+Jj называются соответственно левыми и правыми данными рассеяния уравнения (2.1). Прямая задача математической теории рассеяния состоит в определении этих данных по оператору п t а обратная задача теории рассеяния (ОЗР) - в восстановлении оператора по данным рассеяния. Может показаться, что ОЗР переопределена в такой постановке, так как по двум функциям,заданным на всей оси,требуется опреде лить одну функцию. Однако, эта переопределенность кажущаяся, по скольку одни данные рассеяния полностью определяются по другим. Действительно, три функции свя заны двумя соотношениями которые представляют собой подробную запись свойства унитарности 3 -матрицы. Вместе с условием аналитичности в верхней полуплоскости функции ЩА) И (у0 ИХ оказывается достаточно для восстановления всей о-матрицы по каким-либо одним данным рассеяния (см. [5j ) Зная коэффициент прохождения, можно определить также левые нормировочные коэффициенты по правым или наоборот, что будет показано в 2.4.
Как известно [5] , конструктивно ОЗР в случае потенциала с ограниченным первым моментом.на,оси сводится к решению фредголь-мовых интегральных уравнений (т н. уравнений Марченко) с ядрами 1 0 ) - R- C +iO t однозначно определяемыми по соответствующим данным рассеяния. Наиболее трудной частью доказательства этого факта является выделение тех свойств данных рассеяния, которые обеспечивают разрешимость уравнений Марченко в нужном классе функций, то есть установление необходимых и достаточных свойств, которым должен удовлетворять некоторый набор вида \ftX) iV VVLK j для того, чтобы быть данными рассеяния (правыми или левыми) уравнения Шредингера с потенциалом из указанного класса функций,
В настоящей главе будет показано, что в частном случае ква-эирационального потенциала - полурегулярном, ОЗР сводится в итоге также к решению уравнения Марченко, а для восстановления оператора в общем случае потребуется еще применение серии преобразований К-Д. Тем самым будет дано полное решение ОЗР в классе операторов с квазирациональными потенциалами.
В 2.2 будет выведен ряд свойств (необходимых) 5-матрицы произвольного квазирационального оператора. В 2Ф3 доказывается, что эти свойства в случае полурегулярного оператора, не имеющего точечного спектра, также и достаточны. А именно, каждой матрице Ъ\л) , обладающей указанными свойствами, будет сопостав СССР НА I, $. S.OMU лен единственный полурегулярный оператор, для которого ${Х) является $ -матрицей.
В 2.4 будет показано, что произвольный оператор с квазирациональным потенциалом при помощи конечного числа преобразований К-Д может быть приведен к полурегулярному оператору, не имеющему, причем, точечного спектра. Здесь же дается полная конструкция ОЗР для общего случая, позволяющая по произвольному набору TIPWJ i-Vfc і Vvi f удовлетворяющему определенным условиям однозначно восстановить оператор Н с потенциалом из за-данного многообразия квазирациональных функций и и,уч т Заметим, что каждому такому набору может быть сопоставлена конечная серия операторов пк с квазирациональными потенциалами
Хотя, как было отмечено, для восстановления оператора достаточно каких-либо одних данных рассеяния (правых или левых), однако мы будем формулировать необходимые и достаточные условия, следуя Л.Д.Фаддееву,в терминах полной S -матрицы. Такая форма условий представляется нам более наглядной
Свойства р -матрицы оператора Шредингера с квазирациональным потенциалом
Ставший уже классическим метод интегрирования нелинейных уравнений в частных производных с помощью обратной задачи рассеяния был применен первоначально к уравнению Кортевега-де Фриза (КдФ) Ы
Такие решения уравнения КдФ будем называть быстроубывающими. Позднее методы ОЗР и его модификации были успешно применены для нахождения решений задачи Коши для уравнения КдФ в классах периодических функций І20І, І2І] , функций типа ступеньки 22] и в других классах, в общем, не убывающих при \Х\—- « функций \23j \2Щ . Подробное изложение метода ОЗР и его приложений к различным нелинейным уравнениям содержится в [25] . Отправным пунктом всех этих работ явился тот факт, что уравнение КдФ эквивалентно операторному коммутационному уравнению ви Представление эволюционных.уравнений в форме (3.2) называется представлением Лакса [26 \ . Известны также частные решения уравнения КдФ, убывающие при х -»-оо как кСкЧ") х (медленно убывающие решения).. Это рациональные решения [Ю], \б\ и так называемые квазисолитоны [27] . Рациональные решения КдФ самым непосредственным образом связаны с полиномами Гкфс О . Оказывается, что многооб разие 7К , состоящее из всевозможных функций кФ э О = "инвариантно" относительно уравнения Кдф, то есть двигаясь по траектории, начинающейся в точке i , вдоль уравнения Кдф, мы будем оставаться на \ . Эволюция координатного вектора Ct(V) описывается линейным законом, а именно, имеет место следующее утверждение. Теорема 3.1. Рациональная функция t (x,C,ft) является решением уравнения КдФ в том и только том случае, когда элементы вектора Ck(t) ($&\ C4(t), --A-ffi)имеют вид Многообразия іл "инвариантны" и относительно всех высших уравнений КдФ [б] - 97 Доказательство. Пусть - некоторое дифференциру емое по X решение уравнения является сужением оператора 0/31 + А - на пространство дифференцируемых по I решений уравнения (3,4). Используя (3,2), нетрудно убедиться, что оператор И переводит решения уравнения (3,4) в его же решения. В дальнейшем нам понадобится одно простое вспомогательное утверждение, которое мы здесь и докажем. Лемма 3.1. Если - совместное решение уравнений то функция удовлетворяет уравнению КдФ одновременно с функцией 1{.(хД) Доказательство. Подставляя функцию UfoX) Б Уравнение КдФ находим откуда непосредственно вытекает утверждение леммы 3,1. Возвращаясь к доказательству теоремы, предположим, что при некотором К { функция (/ (х5 СК(Ь"І) удовлетворяет уравнению КдФ, 6 ( , :-1:) - функция Йоста оператора - 98 - регуляризованная функция Моста того же оператора. Обозначим также через Мк дифференциальный оператор вида (3.5) с UgCjt) = tVfc ,,(.&)) » переводящий решения уравнения Нк Ц = X СР в его же решения. Из вида оператора Пк за ключаем, что при х- - » откуда необходимым образом следует Приравнивая коэффициенты при нечетных степенях А в правых частях последних двух асимптотических равенств, находим Предположим теперь, что вектор СЛ) имеет вид, определяемый (3.3). Из (3.6) сразу же получаем, что Обращаясь теперь к процедуре построения рациональных потен циалов t (x,Cfc) из I.I, видим, что если "С\Л ,кФ)) удовлетворяет уравнению Кдф, то и, в силу леммы 3.1, функция тоже удовлетворяет уравнению КдФ. Тем самым доказательство теоремы З.Г закончено. Однако, рациональные решения также как и решения, найденные в [27] (солитоны на фоне рациональных решений) имеют при каждом t .«),« ) вещественные полюсы по переменной х . Вопрос о существовании ограниченных решений уравнения КдФ в классе медленно убывающих функций до настоящего времени оставался открытым, В данной главе с помощью метода ОЗР решается задача Коши для уравнения КдФ с квазирациональными начальными данными
Обратная задача рассеяния в классе квазирациональных операторов в общем случае
Заданные нормировочные коэффициенты левых собственных функций оператора W -0-fdx отвечающих собственным значениям M - J Тем самым получим последовательность квазирациональных при всех "t решений l pCxjt) уравнения Кд. Согласно 2Л функция Uo( t) = 11 Ы "О удовлетворяет начальному условию Up ,0)=Q (х) . Решение искомой задачи Коши (3.16) (3.17) можно построить теперь, применяя к функции иХ Хгі) преобразования К-Д вида (3.20). Итогом этих рассмотрений является следующее, основное в данной главе утверждение. Теорема 3.3. Решение 1 .( ,4 задачи Коши (3.16) - (3.17) существует и может быть найдено с помощью метода обратной задачи рассеяния. В любой момент времени X. где Х {к) - наименьший вещественный полюс функции trw(Xj th(ij) і a (ti - наибольший вещественный по люс функции (Т (х jC (t)) Замечание. -преобразование К-Д вида (3,20) и (3.21) являются преобразованием типа Беклунда и позволяют по одному из вестному квазирациональному, решению V.(K,V) построить серию решений Ик т) (в общем бесконечную). Все такие решения и( -,"0 тоже квазирациональны. При каждом t данные рассеяния операторов Шредингера Н J& = &/cbcz (хД) совпадают с точностью до дискретного спектра. Выбирая в качестве "затравочного" решения uQc,x) = 0 . при помощи преобразования (3.21) можно построить семейство У1 -солитонных решений уравнения КдФ. "Затравочное" решение приводит к так называемым квазисолитонам, ясно, что все они имеют при кождом х вещественные полюсы.Попытка построить медленно убывающие решения уравнения Кдф, являющая безотражательными потенциалами в теории рассеяния для операторов Шредингера [27] , привела к частному случаю квазисолитонов, поскольку суммируемые на оси потенциалы с асимптотиками (3.17) не являются, как показано в главе 2, безотражательными. а это равенство эквивалентно, в.силу произвольности функции QW , формуле разложения (П.І). Теорема П.2. Оператор \д/ определенный для всех U(.M L\RX действует в LI\IR Его область значений A.w U(J\lO Н » где «М - і -мерное подпространство натянутое на собственные функции дискретного спектра (Л к,Х) , Для каждой функции ( СХ) L_VK. T) имеют место формулы обращения Доказательство. Прежде всего заметим, что множество всех функций вида финитная функция плотно в LvRx ) В самом деле, пусть 0O=U при Х -М, f(x) L С- , . Рассмотрим уравнение Вольтерра .г в пространстве u co") . Оно имеет единственное решение MX"} L[-//j0o) Выберем последовательность финитных функций {п-к(Хн аппроксимирующую k(x) . Последователь ность аппроксимирует функцию , а так как /V - произвольное число, то функциями їг ( } можно аппроксимировать любую функцию Множество преобразований Фурье функций из плотного подмноже ства пространства L CRx) плотно в . Поэтому множество функций вида U (Xv) где т " Финитная функция, тоже плотно в Далее, любая функция Н0Сл) LI(ftL ) равная нулю в не которой окрестности точки Х = 0 может быть представлена в виде H0O0=F( s2,m + FC-X), где и, значит, может быть аппроксимирована функциями вида U CXaf)» множество которых, следовательно, также плотно в ЩЕ \) Пусть теперь GrCX" є V-(R)J - произвольная функция. Из явного вида функции ё (_Лэх) (2.20) следует корректность определения (П.4) функции ОСх) . В силу ортогональности собственных функций дискретного спектра и собственных функций задачи рассеяния из формулы разложения (ПЛ) находим Вычитая последнее равенство из определения (П.4), приходим к равенству.
Рациональные и квазирациональные решения уравнения Кортевега-де Фриза
Во втором параграфе дается точное определение исследуемого класса операторов» а именно рассматриваются операторы Шредингера с потенциалами сию такими, что при эс они совпадают с рациональными функциями соответственно tfJ C ") и %г Хт) с точностью до функций, убывающих быстрее любой степени ІХ \ Многообразие всех таких функций будем обозначать через UM IVL (Через Им ) обозначаем множество функций QOC) , убывающих быстрее любой степени ]Х при х- со (соответственно х- -- ), при которых уравнение Htf = U не имеет ограниченных на всей оси решений, а через и п,А {№-іьт.) множество функций с подобными асимптотиками, но отличных тем, что уравнение Н(р и имеет ограниченное на всей оси решение)»
Далее в первой главе вводятся решения Йоста соответствующих уравнений и выясняются их свойства (леммы 1.2 - 1,5). Существенную роль при этом играют преобразования Крума-Дарбу, позволяющие переходить от одного класса потенциалов.к.другому. Заметим, что аналогичные преобразования применяли В.Ф.Короп L7J и А.С.Сохин И , рассматривая обратную задачу рассеяния на полуоси для one ратора Шредингера с особенностью.
Первые два параграфа второй главы посвящены исследованию свойств данных рассеяния для рассматриваемого класса операторов. Основной результат состоит в следующем. Если потенциал
Функция 5ЛЛСл ) продолжается аналитически в полуплоскость Jto. 4L U , где она может иметь конечное число полюсов где СГ и , a x=Htm-l f если оператор Н имеет нулевое собственное значение, и 2Є=И + Пг + 4 в противном случае, В последних двух параграфах главы 2 доказывается достаточность сформулированных свойств данных рассеяния и приводится алгоритм восстановления потенциала Полученные здесь необходимые и достаточные условия на данные рассеяния (теоремы 2.1 и 2,2 ) являются основным итогом этой главы. Третья глава посвящена приложению полученных результатов к решению задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с начальной функцией tpO е vUt3m - Показывается» что метод Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [9] , базирующийся на теории ОЗР, может быть обобщен на рассматриваемый случай. Доказывается разрешимость поставленной задачи Коши при помощи этого метода и исследуется поведение решений при X — ± хэ . Оказывается (теорема 3.3), что решения (хД) принадлежат тону же классу функций (К-У1 уа что и начальные данные, причем, при всех t - рациональные реше ния уравнения Кортевега -де Фриза, найденные Л.А.Бордаг и В.Б.Мат веевым [ю] f и М.Адлерон и Ю.Мозером [б] , а добавки QQ и (Х) убывают быстрее любой степени 1 1 , когда X —- і оо соответственно. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (г Черноголовка, 1981 г ), Ш-ен республиканском семинаре "Интегральные и дифференциальные уравнения" (г.Одесса, 1982 r#)t харьковском общегородском семинаре по математической физике, а также на конференциях молодых исследователей Физико-технического института низких температур АН УССР. Основные результаты опубликованы в работах [2S-3l] . Нумерация формул, утверждений и параграфов ведется в каждой главе независимо. Первая из цифр номера соответствует номеру главы . Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю академику АН УССР В.А»Марченко за постоянное внимание к работе и ценные обсуждения. На защиту выносятся следующие новые результаты: - необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять матрица , чтобы быть »j -матрицей некоторого оператора Шредингера с квазирациональннм потенциалом - алгоритм восстановления потенциала по данным рассеяния; - точная взаимосвязь между поведением элементов О-матрицы при Л U и поведением потенциала при (хД- о ; - обобщение метода ОЗР на задачу Коши для уравнения Корте-вега-де Фриза с медленно убывающими начальными данными - исследование асимптотического поведения при X ± и всех Z решений u(pC5t) задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза о медленно убывающими начальными данными ИМ.
