Содержание к диссертации
Введение 3
1. Исследование оператора Шредингера с нелокальным
потенциалом вида V = Хл=і ^і(',Фі)Фі 17
Вспомогательные результаты 17
Изучение уровней оператора Шредингера
с потенциалом V = Х(-,фо)фо 24
1.3 Уровни в случае потенциала вида
V = Т.Ї=іЧ;Фі)Фі 29
2. Уровни оператора Шредингера с нелокальным
потенциалом V = eW(x) + ]СГ=і \{'іФі)Фі 37
Уровни в случае потенциала V ~ eW(x) + Л(-, фо)фо 37
Случай потенциала вида
V = eW(x) + \і(-,ф1)ф1 + \2(;Ф2)Ф2 51
2.3 Уровни трехмерного оператора Шредингера для
кристаллической пленки с потенциалом
вида V = eW{x) + Х(-,фо)фо 56
3. Задача рассеяния для оператора Шредингера
с нелокальным потенциалом 71
3.1 Уравнение Липпмана-Швингера
с нелокальным потенциалом 71
3.2 Задача рассеяния для кристаллической пленки 95
Литература 105
Введение к работе
Актуальность темы. Начиная с 60-70-х годов прошлого столетия, резко возрастает количество математических работ, посвященных уравнению Шредингера, что, отчасти, связано с развитием квантовой теории твердого тела (как известно, оператор Шредингера может рассматриваться как оператор энергии (гамильтониан) электрона в атоме и кристалле см., например, монографию [1] и статьи [2], [3]).
Дадим краткий обзор математических работ, наиболее близких к содержанию диссертации. Почти во всех упоминаемых ниже статьях потенциалы являются локальными (в физике под локальными потенциалами понимаютсі потенциалы, представляющие собой операторы умножения на функцию); если потенциал нелокальный, это особо отмечается.
В 1977 г. Е. Дэвис (E.Davies) в работе [4] подробно описывает разложение трехмерного "пленочного"оператора Шредингера (потенциал V(x) является ПерИОДИЧеСКИМ ПО ПеремеННЫМ Хі: Хч И убывающим ІфИ Х\\ —> оо) в
прямом интеграле пространств и доказывает некоторые свойства волновых операторов. Позднее в [5] Е.Дэвисом и Б.Саймоном (Е. Davies, В. Simon) изучено поведение решений одномерного нестационарного уравнения Шредингера для V = W(x), если х > 0, и V = 0, если х < 0, где W(x) -периодическая функция. Продолжая исследование "пленочного" уравнения Шредингера, И. Херчински (Y. Herczynski) в 1981 г. в публикации [6] доказывает, что существенный спектр пленочного оператора Шредингера с потенциалом, являющимся непрерывной функцией, совпадает с [к?,, со), где А"ц - плоский квазиимпульс.
В случае пространства L2(Rn),ro = 1,2 в [7] доказано существование собственного значения оператора Шредингера для малых потенциалов таких, что / V(x)dx < 0, и в одномерном случае изучено его асимп-тотическое поведение. (Если п > 2, то для достаточно малых потен-
циалов собственных значений не существует). Случай трехмерного оператора Шредингера с локальным потенциалом, отвечающим кристаллической пленке и удовлетворяющим условию / V(x)dx < 0, где Г2 - ячейка (см. ниже), изучен Ю.П. Чубуриным в работе [8], им доказано существование собственного значения и получена его асимптотика. Исследование асимптотики решений уравнения Шредингера для полуограниченного кристалла проведено Ю.П. Чубуриным [9].
Позднее, в 1994 г., этот же автор в работе [10] сравнивает спектр и решения уравнения Шредингера для полубесконечного кристалла и пленки. Им, в частности, доказано, что спектр оператора для полубесконечного кристалла можно аппроксимировать спектром "пленочного"оператора с достаточно большим числом слоев. В 1997 г., в статье [11] Ю.П. Чубурин исследует малые возмущения оператора Шредингера с периодическим потенциалом. В этом же году в [12] рассмотрена аппроксимация "пленочного" оператора Шредингера "кристаллическим". В статье [13] исследуется оператор Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки.
В работе Р. Гадыльшина [14] рассматривается одномерный оператор Шредингера с потенциалом, являющимся малым по норме оператором весьма общего вида. Асимптотическая формула (1.13), полученная ниже для одномерного нелокального потенциала, в случае фо с компактным носителем и вещественного Е, вытекает из результатов [15]. Однако, автор данной работы не исследует резонансы и асимптотику решений уравнения Шредингера. В 2005 г. Н.И. Плетникова исследует уровни оператора Шредингера с возмущенным нелокальным ступенчатым потенциалом [16].
Операторы Шредингера для потенциалов нулевого радиуса действия, отвечающих кристаллической пленке или цепочке атомов, изучались в работах [17], [18], [19].
Задача о рассеянии для локального потенциала в случае кристаллической пленки как в стационарном, так и в нестационарном случае была рассмотрена
Ю.П.Чубуриным в работе [20]. А.А. Арсеньев в статье [21] исследует коэффициент прохождения частицы вблизи резонанса. В частности показано, что коэффициент прохождения испытывает скачок вблизи действительной части резонанса.
Хотя в физической литературе по соображениям простоты вычислений и исследования обычно используются локальные потенциалы, тем не менее в методе Хартри - Фока [22] или в методике нсевдопотенциала [23] строятся потенциалы, не являющиеся локальными. Кроме того, достаточно часто в физике рассматриваются потенциалы, изначально являющиеся конечномерными операторами (см., например, [24]). Вместе с тем, математические исследования операторов Шредингера с нелокальными потенциалами проводились лишь эпизодически. Помимо упомянутой статьи Р. Гадыльшина, можно отметить в связи с этим монографию [25].
Из сказанного вытекает актуальность задачи математического исследования уравнений Шредингера и Липпмана - Швингера с нелокальным потенциалом.
Объект исследования. В диссертационной работе рассматривается одномерное интегро-дифференциальное уравнение Шредингера
-d2^/dx2 Л-У^^Е^ф (0.1)
с нелокальным потенциалом вида
У = єУ/{х) + ^2Ч-,Фі)Фі- (0.2)
г=1
Здесь W(x) - вещественная функция ("локальный потенциал"), удовлетворяющая оценке вида | W(x) |< Се~а\х\ где С - некоторая константа, а > 0 (в дальнейшем функции, удовлетворяющие таким неравенствам, будем называть экспоненциально убывающими), фі(х) - линейно независимые и экспоненциально убывающие функции: | фі{х) |< Cje-"1^, где Ci^oti =
const, щ > 0, а є, Хі Є R - некоторые параметры (і — 1,2,..., n). Конечномерный оператор Х^Г=і ^'(' з 0г)0і представляет собой интегральный оператор с вырожденным ядром, такие потенциалы часто используются в квантовой теории и называются сепарабельными (см., например, [26]). Рассматривается также аналогичное трехмерное уравнение в ячейке с "пленочным"потенциалом W(x) (см. ниже точные определения).
Уравнение Шредингера вида (0.1) называется стационарным. Как известно, (см. [1], [22]), его решения описывают состояния электрона с заданной энергией Е: находящегося в потенциальном поле V. Физически интересными являются решения уравнения (0.1) не только класса L2(R), описывающие так называемые локализованные состояния, соответствующие собственным значениям Е Є R, но и решения из L(R), отвечающие рассеивающимся состояниям, а также экспоненциально возрастающие решения, описывающие квазистационарпые (распадающиеся) состояния и соответствующие комплексным значениям Е (резонансам), определяемым ниже. Как известно (см., например, [21], [24]), резонансы играют большую роль в рассеянии частиц, в частности они могут привести к увеличению коэффициента прохождения вблизи вещественной части Е.
Рассеяние микрочастиц на атоме, кристаллической поверхности и т.д. описывается уравнением Липпмана - Швингера, в одномерном случае имеющим вид [22]
ф(х) = еікх - f G0(x, у, k2)V^{y)dy. (0.3)
Здесь к — л/Д функция Gq(x, у, к2) представляет собой ядро резольвенты (функцию Грина) оператора Hq = —d2/dx2, продолженное по параметру к в точки С \ {0}, что отвечает продолжению по спектральному параметру Е на двулистную риманову поверхность. Решения уравнения Липпмана - Швингера (0.3) являются в то же время ограниченными решениями уравнения Шредингера (0.1) (см. главу 3), но не наоборот (см. ниже более
точные утверждения).
Целью работы является исследование спектральных свойств и рассеяния для оператора Шредингера с нелокальным потенциалом вида V = е\У(х)+
SUM" ^О^-Решаемые в диссертации задачи. В работе для уравнения (0.1)
исследованы вопросы существования и поведения уровней, то есть собствершых
значений и резонансов, вблизи границы непрерывного спектра. Изучена
асимптотика при \х\ —> со решений уравнения (0.1). На основе исследования
решений уравнения Липпмана-Швингера (0.3) изучаются коэффициенты
отражения и прохождения. Ряд результатов переносится на трехмерный
случай для нелокального потенциала, отвечающего кристаллической пленке.
Методы исследования. При исследовании используются методы
функционального анализа, в частности, спектральной теории операторов,
а также теории функций нескольких комплексных переменных.
На защиту выносится:
1)Теоремы о существовании вблизи границы существенного спектра и поведении в зависимости от малых констант связи собственных значений и резонансов оператора Шредингера с потенциалом, представляющим собой сумму убывающей на бесконечности функции и оператора конечного ранга.
2)Теоремы существования и единственности решений уравнения Липпмана-Швингера для потенциалов указанного вида.
3)Теоремы об асимптотическом поведении решений уравнения Липпмана-Швингера на бесконечности, а также в зависимости от малых констант связи.
Научная новизна. В работе впервые систематически исследуется оператор Шредингера с нелокальным потенциалом, представляющим собой сумму оператора умножения на функцию и конечномерного оператора. Описаны общие спектральные свойства данного оператора. Получены условия существов:
собственных значений и резонансов, описано их асимптотическое поведение для малых потенциалов. Доказаны существование и полнота волновых операторов. Устанавливается связь уравнения Шрсдиигера и Липпмана-Швингера для различных функций Грина. Доказывается существование и единственность решения уравнения Липпмана-Швингера. Получена асимптоти] решения уравнения Липпмана-Швингера на бесконечности, найдены коэффици ты прохождения и отражения частицы.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории интегро-дифференциальных уравнений, а также в квантовой теории твердого тела.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на: XL Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", г. Новосибирск, 2002 г., 31-й Итоговой студенческой научной конференции, г. Ижевск, 2003 г., Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы", г. Воронеж, 2003 г., Международной конференции "Колмогоров и современная математика", г. Москва, 2003 г., Шестой Российской университетско -академической научно - практической конференции, г. Ижевск, 2004 г., семинаре по дифференциальным уравнениям и теории оптимального управлени под руководством профессора Е. Л. Тонкова, г. Ижевск, 2007 г., семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям по руководством профессора А. П. Солдатова, г. Белгород, 2009.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Для того, чтобы описать результаты работы, введем некоторые понятия и обозначения. Через
У3 = ^1Ч-,Фі)Фі (0.4)
г=1
будем обозначать самосопряженный оператор конечного ранга (сепара-бельный потенциал).
Под функцией Грина оператора будем понимать ядро его резольвенты, вообще говоря, продолженное по параметру Е на соответствующую рима-нову поверхность.
Спектр оператора А будем обозначать через сг(А). Существенным спектром оператора A (cress(A)) называют его спектр за вычетом собственных значений конечной кратности.
Через (ф, ф) будет обозначаться не только скалярное произведение функций ф,ф Є L2(R), но и, в случае, когда фф Є LX(R), вообще интеграл JR ф(х)ф(х)(іх.
Введем, далее, обозначения Щ = —d2/dx2, Hs = Щ -f- Vs и Я = Я0 + eW(x) + V8.
Обозначим через RQ(Е) = (HQ~E)-\ RS(E) = (Нд-Е)-1, R{E) = (Я-Е)~1 резольвенты операторов Яо, Я5, и Я соответственно. Как известно (см. [27]), ядро ЩЕ) имеет вид G0(x, у, k2) = -(2^)-^1^1, где к = у/Ё (разрез выбираем вдоль полуоси [0, сю)).
Несколько параграфов данной работы посвящены трехмерному оператору Шредингера для кристаллической пленки. Такого рода оператор в случае локального потенциала имеет вид [8]:
Я = -Д + У(я), (0.5)
где Д - оператор Лапласа, х = (х\,Х2, #з) Є R3, потенциал V(x) предполагается вещественным, периодическим по переменным х\}Х2^ с периодом единица и убывающим при |хз| -> сю. Операторы подобного рода возникают в квантовой теории твердого тела [28]. Как известно (см. [29], [30]), изучение оператора Я с периодическим по переменным жі, ж2 потенциалом сводится к изучению семейства операторов Н(к\\) = —A + V(x) (здесь и далее употребляются обозначения вида к\\ — (&ь&2)), определенных на
(достаточно гладких) блоховских по переменным X\,x(см. ниже, раздел 1.1) функциях из L2(Q), где Q = [0, if xR- ячейка, Щ Є П* = [—7г,тг)2 -квазиимпульс. Более точно, семейство операторов {H(k^)}knen* образует разложение оператора Н в прямом интеграле пространств (см. [4], [29], а также ниже, стр. 19-21)
/ L2(Q)dk\\ ~ L2(Q х П*).
В дальнейшем будем использовать для случая трехмерной кристаллической пленки следующие обозначения: Яо(&||) = —Д, Hs(k^) = —Д + Т^ для операторов Шредингера и Ro(k\\,E) = (Н0(Ц) — Е)~г, Rs(k\\,E) — (Hs(k\\) — Е)"1 для их резольвент.
Как известно, ядро резольвенты оператора Но(к\\) имеет вид (см. [31])
G0{x,y,k\\,E) =
_ „ ехр(г((/сц + 2тгп||, у/Е- (кц + тгпц)2), (хц - т/ц, | ж3 - 2/з |)))
2i^/E- (fc|| + 2тгп
где ж = (х||, ж3), 2/ = (2/||, 2/з) Є ^, Іт-^Е? - (/су + 27ггац)2 > 0. Согласно [20] оно представимо в виде
exp(z((fc||, JE- fc|), (а;ц - 2/ц, | ж3 - г/з |)))
G0(z, ?/, khE) =
2iJE-k2
+6^-^,,5), (0.6)
где Gi(rc, /Ьц, Е) представляет собой аналитическую L2(Q,) - значную функцию параметра Е в комплексной окрестности точки /су. Заметим, что отсюда и из утверждения об относительно компактных возмущениях [29] легко следует, что сгеаа(Н(к\\)) = сге8а(На(Щ\)) = сг(Я0(/су)) = [&jj,oo) (см. теорему 1.3 для одномерного случая).
Будем в дальнейшем пользоваться обозначениями вида Go(x, у, к) вместо Go(x,y,k\\,E), где к = (fc||,fc3), ^з = уЕ~Ц\- Функция Грина Gq оператора Щ(к\\) имеет ветвление второго порядка по Е в комплексной окрестности точки Щ] по параметру &з функция Go мероморфна в комплексной окрестности нуля. В то время, когда /% пробегает окрестность нуля, Е пробегает двулистную риманову поверхность (на втором "нефизическом" листе располагаются резонансы - см. ниже определение).
Из (0.6) получаем:
G0(x, у, к) = — — + Gi(x -у,к) =
2ъкз 2гк%
где G^ обладает тем свойством, что y/W(x)G^(x:y, k)^/W{y) (а также G^l\x,y,k)W(y) и G^l\x,yik)y/W(y)) представляет собой L2(Q х Q) -значную функцию параметра / в окрестности нуля (существование производной нетрудно доказать, применяя теорему Лебега о предельном переходе к конечно-разностному отношению, а затем используя векторнозначныи вариант теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящемся ряде, составленном из аналитических функций - см. подробное доказательство для аналогичного случая в статье [32], а также ниже, в разделе 2.1). Сказанное, очевидно, справедливо также для функции Gi(x,y,k).
Определение. Будем говорить, что к Є С (в трехмерном случае /сз Є С) или соответствующее Е = к2, (в трехмерном случае Е = к2 = = Щ + к2) является резонансом оператора Н) если существует ненулевое экспоненциально возрастающее решение интегрального уравнения
ф(х) = - [ G0{x: у, к2)Уф{у)о1у (0.8)
Jr.
(в трехмерном случае уравнение имеет вид ф(х) = — fQ Gq(x, у, к)Уф{у)сіу).
Заметим, что резонансы отвечают к (или /) с Ітк < 0 (Гт&з < 0)
или второму листу римановой поверхности для функции л/Ё. Заметим также, что данное определение эквивалентно для локальных потенциалов обычному определению резонанса [24] как полюса резольвенты R{E) = (H—E)~l; это следует из леммы 1 [33] и аналитической теоремы Фредголь-ма (см. также ниже раздел 1.1). Экспоненциально возрастающему решению уравнения Шредингера с отсутствующей "налетающей волной", т.е. решению однородного уравнения Липпмана - Швингера с Е на втором листе отвечает в математических работах резонансное состояние (см. об этом [12], [34]), в физической литературе - "квазистационарное" (метаста-бильное) состояние (см. [35], [36]).
Уровнем оператора Н в дальнейшем будем называть его собственное значение или резонанс.
Перейдем теперь к описанию содержания работы.
В первой главе диссертации исследуется наиболее простой случай одномерного уравнения Шредингера с оператором Vg в качестве потенциала.
Первый раздел главы имеет вспомогательный характер. В нем приведены формулировки нескольких известных теорем, получены, для полноты изложения, формулы для резольвенты оператора Hs = —d2/dx2+ + *Т^і=і\{'іФі)Фі и исследована асимптотика интеграла -^е1к\х~у\ф(у)(1у. В этом разделе также рассмотрено разложение оператора Н для кристаллической пленки в прямой интеграл пространств. Результаты раздела используются в последующем изложении.
Второй раздел первой главы посвящен изучению одномерного оператора Шредингера с сепарабельным потенциалом вида V = А(-, фо)фо. В частности, доказаны существование и единственность уровня в некоторой окрестности точки к = 0 где А достаточно мало, исследована его асимптотика. Получен простой критерий того, когда уровень является собственным значением (резонансом).
В третьем разделе исследуются уровни оператора Шредингера с потен-
циалом вида V = Vs — X^ILi ^г(*; Фі)Фі, ГДе параметры Aj аналитически зависят от малого е. В случае п = 2 доказано существование ровно двух уровней в некоторой окрестности нуля, для которых получена асимптотическая формула. В общем случае доказана следующая теорема.
Т с о р е м а 1.4. Существует ровно п уровней оператора Шредингера Н, которые представляют собой аналитические функции от аргумента б в окрестности нуля, за исключением, возможно, конечного числа точек, в которых уровни сливаются. Вблизи пуля эти функции можно разложить в сходящиеся ряды Пюизо.
Вторая глава работы посвящена изучению уровней оператора Шредингера с потенциалом, являющимся суммой локального и сепарабельного.
В первых двух разделах рассматривается одномерное уравнение Шредингера. В первом разделе исследованы условия существования уровней оператора Н с потенциалом V = eW(x) + \(-,фо)фо. Доказано, что при фиксированном А ф 0 и всех достаточно малых е данный оператор Шредингера уровней не имеет.
Пусть f(z) - аналитическая функция, определенная в комплексной окрестности нуля, переводящая некоторую вещественную окрестность нуля в себя. Предполагаем, что параметры А и б связаны друг с другом соотношением А = /(еа), где а0 > 0. Пусть также / ф 0,/(0) = 0. Тогда, разлагая / в ряд Тейлора, получаем А = Кеа + о(єа), где К = const ф 0, а > 0. Предполагаем, что выполнены следующие условия:
f W(x)dx ф0, [ W{x)dx + К\ [ ф0(х)о!х \2ф 0,
Jr. Jn Jr
.
фо(х)д,х ф 0.
В этом случае доказано, что в некоторой окрестности точки k = 0 для всех достаточно малых є существует ровно два различных уровня, для которых получена асимптотическая формула при е —^ 0.
Во втором разделе изучается оператор Шредингера с потенциалом V = eW(x)-\-Xi(-, фі)ф\+Х2(-і 02)02- Здесь предполагаем, что є достаточно мало, а Лі, Х-? - некоторые постоянные. При определенных условиях доказано существование и единственность уровня в окрестности нуля и исследована его асимптотика.
В третьем разделе второй главы изучается трехмерный оператор Шредингера в L2(Q) с нелокальным потенциалом (возникающим, например, в теории псевдопотенциала [23]), соответствующим кристаллической пленке, вида
Н(кц) = -A + eW(x) + AVi. (0.9)
Здесь И/Г(ж)-вещественная функция, удовлетворяющая оценке | W(x) |< Се-а1Хз1, где С, a = const, причем а > 0 (функции, удовлетворяющие неравенству такого вида будем называть экспоненциально убывающими по переменной жз), Vi — ^(':Фо)Фо - одномерный оператор; здесь фо -блоховская по х\,Х2 и экспоненциально убывающая по хз функция; наконец, є, А - вещественные параметры. В данном разделе предполагаем, что 0о удовлетворяет условию
[ e-i{-k^Uo(x)dx ф 0, Jn
а решение ф ищется в классе функций, удовлетворяющих условиям \/ЇІЇф Є Ь2(П) и ффо Є L\Q).
Предполагаем в данном разделе, что параметры А и б связаны друг с другом соотношением А = Дєа), где а0 > 0 (функция / определена выше.)
Рассмотрим вначале случай / ф 0, /(0) = 0. Тогда А = Кеа + о(єа), где К — const ф 0, а > 0 (см. выше).
Получено следующее утверждение.
Теорема 2.4. Пусть а в соотношении А = Кеа целое. Тогда в некоторой окрестности точки /сз = 0 для всех достаточно малых є
существует только два, возможно, сливающихся уровня, которые м,оэю-но разложить в ряды Тейлора по степеням е или л/е. Пусть, кроме того, выполнены следующие условия.
[w(x)dx^0, [ W{x)dx + K\ [ е-і^^)ф0(х)о1х\2^0.
Jo. Jn Jq
Доказано, что для всех достаточно малых є в некоторой окрестности точки / = 0 существует ровно два различных уровня, для которых получена асимптотическая формула.
Рассмотрен случай /(0) Ф 0. Доказано, что существует такая окрестность точки &з = 0, в которой для всех достаточно малых є уровней нет.
Рассмотрен также случай, когда є = 0, Л - константа. Доказано, что существует такая окрестность точки /% = 0, что для всех достаточно малых Л в этой окрестности имеется ровно один уровень / = кз(\); кроме того, исследовано его асимптотическое поведение.
В заключительной, третьей главе диссертационной работы исследуется задача рассеяния для нелокального потенциала вида V = eW(x)-\-X(-, фо) х 0о- В первом разделе изучается одномерная задача рассеяния. Доказывается существование и полнота волновых операторов Q±(H,Hq) (см. общую теорию рассеяния в нестационарном подходе в монографиях [37], [38]); для "пленочного"оператора Шредингера с локальным потенциалом волновые операторы исследовались в статье [1-4]). На основе стационарного подхода получена асимпотика решений уравнения Липпмана-
Швингера (0.3) при х —> ±оо, при достаточно малых є и Л = Кеа + о(еа), где К — const, а Є (0,+со). Исследованы амплитуды прохождения и отражения частицы. (О связи упомянутых стационарного и нестационарного подходов см. замечание после теоремы 3.2).
Во втором разделе исследуется вопрос о конечности числа собственных значений оператора Шредингера для кристаллической пленки, доказывается существование решения уравнения Липпмана - Швингера - одного
из основных инструментов изучения рассеяния, а также устанавливается связь уравнения Липпмана - Швингера и аналогичного уравнения, возникающего при использовании функции Грина оператора Н(к\\) вместо функции Грина оператора До(&ц).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15], [32], [39]-[42].
Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, ведущему научному сотруднику Ю.П. Чубурину за постановку задачи, внимательное и чуткое руководство.
