Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Одночастичный оператор 24
1. Предварительные сведения 24
2. Функции Грина 27
3. Спектр и квазиуровни 46
4. Задача рассеяния для оператора Но + V 57
5. Задача рассеяния для оператора Щ + є(-, щ)іро 63
Глава 2. Двухчастичный оператор 74
6. Разложение в прямом интеграле двухчастичного оператора 74
.7. Функции Грина для возмущенного периодического оператора 77
8. Квазиуровни в случае W = 0 91
9. Квазиуровни в случае возмущенного периодического потенциала 100
Список литературы 116
- Функции Грина
- Задача рассеяния для оператора Но + V
- Функции Грина для возмущенного периодического оператора
- Квазиуровни в случае возмущенного периодического потенциала
Введение к работе
Дискретное уравнение Шредингера изучалось в большом количестве математических работ. Отметим работы, наиболее близкие по тематике к диссертации. В статье Ф. де Виега (F. da Veiga), Л. Иоратти (loriatti) и М. О'Кэррола (O'Carroll) [1] исследуется двухчастичный дискретный оператор Шредингера указанного выше вида с потенциалом взаимодействия
V = fJL6ni
—п2 > ГДЄ 5nijU2 символ Кронекера. Установлено, что этот оператор при фиксированном квазиимпульсе (см. определение ниже) либо имеет единственное собственное значение, либо не имеет собственных значений в зависимости от значений энергии взаимодействия /і > 0 и квазиимпульса.
Оператор, подобный одномерному дискретному оператору Шредингера, рассматривается в статье А. А. Арсеньева [2],' посвященной задаче рассеяния на квантовом бильярде в приближении сильной связи. В ней исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса и объясняется влияние симметрии системы на картину расеяния. Показано, что при выполнении некоторых условий существует полюс матрицы' рассеяния; кроме того, получено соотношение для коэффициентов отражения.
Обратные задачи рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля исследуются в монографиях В. А. Юрко [3], [4]. Случай дискретного оператора Штурма-Лиувилля рассматривался в работе А. И. Аптекарева и Е. И. Никишина [5], а дискретного периодического оператора Шредингера - в работе Е. Коротяева и А. Кутценко [6].
В статье С. Н. Лакаева [7] исследовались свойства собственных значений
и резонансов /V - частичного дискретного оператора Шредингера в терминах некоторого «резольвентного» определителя Фредгольма. В работе С. Н. Лакаева и М. Э. Муминова [8] показана конечность числа связанных состояний при малых значениях полного квазиимпульса для системы трех квантовых частиц на трехмерной решетке.
Природа появления связных состояний двухчастичных кластерных операторов при малых значениях параметра исследовалась в работе Ш. С. Ма-матова и Р. А. Минлоса [9]. Показано, что для размерности v ^ 3 у оператора имеется лишь непрерывный двухчастичный спектр, а для размерности v = 1,2 у него в некоторых областях значений полного квазиимпульса могут появиться ветви связанных состояний.
В работе Ж. И. Абдулаева, С.Н. Лакаева [10] рассмотрен трехчастич-ный дискретный оператор Н^(К) (// > 0 - энергия взаимодействия двух частиц, К - полный квазиимпульс системы), описывающий систему трех одинаковых частиц, взаимодействующих с помощью парных контактных потенциалов притяжения. Получена асимптотика для числа собственных значений оператора Н^0(К), лежащих ниже z ^ 0 при К —» 0 и z —* —0, где z - спектральный параметр. Установлено отсутствие собственных значений оператора Н^(0) при /л <С 1 и существование единственного собственного значения ниже существенного спектра при /j,^$> 1.
В работе Ж. И. Абдулаева [11] исследуется двухчастичный оператор Н(к), где к - квазиимпульс, с потенциалом взаимодействия специального вида. Доказывается, что при фиксированном квазиимпульсе данный оператор имеет бесконечное число собственных значений, которые накаплива-
ются у левого края непрерывного спектра.
В работе С. Н. Лакаева, А. М. Халхужаева [12] рассматривается семейство двухчастичных дискретных операторов Шредингера Н(к), отвечающих гамильтониану системы двух фермионов на ^ - мерной решетке W, v ^ 1, где к Є {—tt^Y - двухчастичный квазиимпульс. Доказано, что для любого v данный оператор имеет собственное значение, лежащее левее существенного спектра, если оператор Н(0) имеет виртуальный уровень {у = 1,2) или собственное значение [у ^ 3) на левой граничной точке существенного спектра.
В статье Н. И. Карачалиоса [13] оценивается число отрицательных собственных значений дискретного оператора Шредингера с быстро убывающим потенциалом. В статье Д. Е. Пелиновского и А. Стефанова [14] изучается нестационарное дискретное одномерное уравнение Шредингера. Спектральные свойства многомерных дискретных операторов на некоторых разновидностях бесконечных графов рассматриваются в работе D.E. Dutcay, Р. П. Jorgensen [15].
Одной из важных задач квантовой механики является задача о цепочке N взаимодействующих частиц (например, атомов) со спином 1/2 [16]. Физическая проблема состоит в исследовании собственных значений и собственных векторов матрицы гамильтониана (оператора энергии)'.
Назовем d-магнонным состоянием Ф цепочки из атомов ситуацию, когда m спинов (точнее, их проекций на ось Ожз) направлены, для определенности, вверх, а остальные вниз (см. [17]). Состояние Ф является собственным вектором гамильтониана Гейзенберга [17]. Взаимодействия между этими
состояниями изучаются, например, в физических работах [18] - [21].
Методом анзаца Бете можно показать (см. [16], [17]), что амплитуды ф = {фп}, п — {тії,- ,Tid), определяющие - состояния Ф, т. е. значения последовательности (функции) ф аргумента п, удовлетворяет дискретному уравнению Шредингера вида
Ноф = \ф, А Є К,
где Но действует по формуле
{Н0ф)п = ^ {Фп+ej + Фп-ej) , (0.1)
здесь d - положительное целое число, п Є Zd; ej — (0,..., 05vl , 0,..., 0).
з Большой физический интерес представляет задача о взаимодействии
между одномагнонными состояниями в ферромагнетике. В случае ферромагнетика с периодически расположенными примесями уравнение Шредингера имеет вид
(Но + W)4> = \ф,
где W - периодический потенциал. В физической литературе обычно рассматриваются конечные цепочки атомов с некоторыми граничными условиями [16], которые моделируют взаимодействие между магнонами. В подходе, который используется в диссертации, цепочки бесконечны, как например, в работах [1], [7]; это означает, что аргумент п — (щ,..., rid) функции ф, пробегает Zd. При этом в гамильтониане вместо граничных условий вводится потенциал V = {Ущ-П2} взаимодействия между одномагнонными
состояниями. В случае d - магнонного гамильтониана взаимодействие между магнонами моделируется убывающим при |п| —> со потенциалом вида V = {Vn}, что допустимо для ограниченной области.
Близкие модели, в которых появляются дискретные операторы, возникают при описании так называемых «квантовых нитей» (quantum wires) с внедренными вблизи них «квантовыми точками» в приближении сильной связи (см. [22] - [25]). Подобные задачи актуальны в наноразмерных технологиях.
Таким образом, исследуемые в диссертации дискретные операторы и близкие к ним в последние годы активно изучаются как в математической, так и физической литературе. Вместе с тем, остается неисследованным важный вопрос о спектральных свойствах оператора Шредингера с малым потенциалом, в том числе в двухчастичном случае. Недостаточно изученна задача рассеяния, в частности, не было результатов для потенциала, не являющегося оператором умножения на последовательность. Таким образом исследование данных вопросов указывает на актуальность темы диссертации.
В диссертации рассматривается одночастичное уравнение Шредингера
(#0 + V> = A^, (0.2)
где оператор Hq действует в l2(Zd) по формуле (0.1), оператор V (потенциал), отождествляемый с последовательностью {Vn} Є l(Zd), действует в l2(Zd) по формуле {уф)п = Vntyn, п Є %d- Предполагается, что Vn - нену-
левая, вещественная последовательность, удовлетворяющая оценке
|К| ^ Се-а|п|, а > 0, п Є Zd. (0.3)
В дальнейшем последовательности, удовлетворяющие оценкам такого рода, будем называть экпоненциалъно убывающими.
В случае d = 1 рассматривается также «нелокальный» потенциал вида
V8 = (.t(p)
представляющий собой самосопряженный оператор ранга один (в физической литературе встречаемый под названием «сепарабельный потенциал (separable potential)» [26]). Здесь є - вещественный параметр (константа связи), (fn — заданная экпоненциально убывающая последовательность из пространства /2(Z), являющаяся четной или нечетной. Далее положим
Я = #о + У, He = H0 + eV, HS = HQ + VS. (0.5)
Введем обозначение для резольвенты оператора #о, полагая Ro(X) = (Щ — А/)-1. Ядро резольвенты, продолженное, вообще говоря, по параметру А на соответствующую риманову поверхность Л4, будем называть функцией Грина оператора Щ и обозначать через Gm(\).
Уравнение (0.2), рассматриваемое в классе /2(Zd), для A .
<ф = -Ro(\)Vtl>. (0.6)
Перейдем к новой неизвестной функции (р = -\/\V\i/j и положим
yfV^sgny (только для V). Тогда уравнение (0.6) можно записать в виде
(0.7)
и, продолжая оператор — -\/\V\Ro(\)VV на риманову поверхность Л4 с помощью его функции Грина, рассматривать его как оператор в l2(Zd) для ХеМ.
Предположим, что d = 1, тогда Л4 - двулистная риманова поверхность, полученная склейкой двух экземпляров комплексной плоскости вдоль интервала (—2,2); при этом [—2,2] является существенным спектром оператора Щ (см. 3).
Определе.ние 0.1. Число А, принадлежащее второму листу рима-новой поверхности функции Грина G^m(X), будем называть резонансом оператора Я, если существует ненулевое решение (р Є 12{Ъ) уравнения (0.7).
Определение 0.2. Квазиуровнем оператора Н будем называть его собственное значение или резонанс.
В случае, когда А принадлежит второму («нефизическому») листу ри-мановой поверхности Л4, ненулевые решения (р уравнения (0.7), вообще говоря, экспоненциально возрастают вместе с функцией Грина Gm(\) (см. доказательство теоремы 2.1). Такие решения отвечают квазистационарным (распадающимся) состояниям. По физическим соображениям величину |ImA| можно считать достаточно малой, так.как время жизни квазистационарного состояния, отвечающего резонансу, обратно пропорционально данной величине - см. [27], а слишком короткоживущие состояния не играют роли в физических процессах. Поскольку трп при |п| —» со ведет себя
как и G^>m(A), то для исследования резонансов допустимо предположение у/Уф Є /2(Z).
Рассеяние на потенциале при d = 1 как и в «непрерывном» случае [28] описывается уравнениями Липпмана-Швингера
Й(А) = Й(А) - ]Г <m(A ± *0)V^±(A), (0.8)
где А Є (—2,2), ^(А) — некоторая последовательность, удовлетворяющая уравнению Яо^о = ^о- Функция Gm(\ ± г0) здесь продолжена по параметру А сверху и снизу в точки существенного спектра А Є сг(-Но)-
В диссертации также исследуется двухчастичное дискретное уравнение Шредингера
(Hq + W + У)ф = \<ф. (0.9)
Оператор Щ действует (см. [29]) в пространстве l2(Z2d) аналогично одноча-стичному случаю. Операторы Жи7 действуют в l2(Z2d), соответственно,
по формулам
Функция Wnun2 предполагается вещественной периодической с целым периодом Т > 0 по каждому аргументу. Если периоды по разным переменным разные, то общий период- их произведение. Последовательность УПх-п2 вещественная и удовлетворяет оценке:
IKJ^Ce-0!"1', С,а>0. (0.10)
Уравнение (0.9) рассматривается в двух случаях:
в пространстве при W = 0;
в пространстве /2(Z2).
Далее пользуемся следующими обозначениями для двухчастичных операторов
Hv = Я0 + У, Я = Я0 + Ж + V.
Целью работы является исследование собственных значений и резонансов одно- и двухчастичного дискретного оператора Шредингера, а также изучение задачи рассеяния для одночастичного оператора. Задачи, решаемые в диссертации:
изучение общих спектральных свойств одно- и двухчастичного дискретного оператора Шредингера;
исследование собственных значений, резонансов и рассеяния для одночастичного дискретного оператора Шредингера в случае малой константы связи;
исследование обратной задачи рассеяния для одномерного одночастичного оператора Шредингера с потенциалом ранга один;
исследование собственных значений и резонансов для двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым потенциалом при фиксированном квазиимпульсе;
изучение асимптотики решений дискретного уравнения Шредингера.
На защиту выносятся:
1) теоремы существования собственных значений и резонансов дискретного оператора Шредингера с убывающим на бесконечности малым потен-
циалом для различных &\
теорема существования и единственности решения дискретного уравнения Липпмана-Швингера, нахождение коэффициентов прохождения и отражения;
теорема единственности решения обратной задачи рассеяния для дискретного оператора Шредингера с потенциалом, являющимся оператором ранга'один;
доказательство существования и исследование асимптотики, в зависимости от малой константы связи, собственных значений и резонансов двухчастичного двумерного дискретного оператора Шредингера с возмущенным периодическим потенциалом при фиксированном квазиимпульсе.
Диссертация состоит из введения, двух глав (9 параграфов) и списка литературы. Применяется двойная нумерация лемм, теорем, формул, определений и замечаний (например, теорема 2.1. - это первая теорема в работе, находящаяся во втором параграфе).
Первая глава диссертационной работы посвящена изучению функций Грина оператора Яо, спектра и квазиуровней оператора Н Исследуются прямая задача рассеяния для операторов Дг, Hs и обратная задача для оператора Hs.
В первом параграфе приводятся определения и утверждения, наиболее часто используемые в диссертации.
В втором параграфе работы найден удобный для дальнейших исследований вид функции Грина G^m(X) в случае d = 1.
Обозначим через g{z) = z — л/z2 — 1 обратную функцию к функции
Жуковского.
Теорема 2.1. Функция Грина оператора Щ имеет следующий вид
G„V(A) = G_ra(A) = - 1_[г(л/2/,І"~тІ
где А Є С \ [—2,2], и для Л > 2 выбирается арифметический корень.
Выбор знака отвечает убыванию функции Грина на первом листе для Л > 2 при аналитическом продолжении арифметического корня.
Кроме того, доказаны необходимые для дальнейшего изложения утверждения, относящиеся к свойствам функции Грина для d ^ 2. Исследовано поведение функции Грина для физически наиболее важного случая d = 3 вблизи точек существенного спектра оператора Но. Получена, в частности, следующая теорема.
Теорема 2.2. Функция Грина оператора Но в пространстве имеет предел
lim С?(А ± is) = G(A ± iO), Л Є (-6,6)
є—»0
и этот, предел равномерно ограничен для, всех достаточно малых є ип Є Z3.
Далее, в третьем параграфе работы изучается существенный спектр оператора Н. Показано, что возмущение V относительно компактно, так что ae8a[H\ = (T[Ho] = l-2d12d\.
Также исследуются квазиуровни оператора Не = Ho+eV, действующего в пространстве l2(Zd) для различных d. Результаты отражены в следующих
теоремах.
Теорема 3.2. Пусть d = 1 и v = ^2 V(n) ф 0. Тогда в некоторых
окрестностях точек А = ±2 для всех достаточно м,алых е оператор Н имеет, ровно по одному квазиуровню, для котюрых справедлива формула, соответственно,
A = ±(2 + ^2) + 0(e2).
При этом если v > 0, то уровень вблизи тючки X — 2 {соответственно А = —2) является собственным значением (соответственно, резонансом), а еслии < 0; то резонансом (соответственно, собственным значением).
Теорема 3.3. Пуст,ь d = 2 и пусть последовательность {Vm} сохраняет, знак (т,.е выполнено Vm ^ 0 для всех т или Vm ^ 0 для всех т). Тогда для любого $ > 0 и для всех дост,ат,очно малых є в множестве (—4 — $, —4) U (4,4 + $) существует хотя бы одно собственное значение оператора НЕ. При этом, собственное значение находится в промежутке (—4 — #, —4) в случае Vm ^ 0, в промежутке (4,4 + #) в случае Vm ^ 0.
Теорема 3.4. Оператор Нє для всех достаточно малых є при d > 2 собственных значений вне промежутка а^^Н) = [—2d, 2d] не имеет.
В четвертом параграфе исследуется для d = 1 прямая задача рассеяния для оператора Н. Положим 9 = arg[(A — л/А2 — 4)/2]. Считаем, что 9 Є (0,27г), 9 ф 7Г. Уравнение Липпмана-Швингера (0.8) записывается в переменных 9 и доказывается, что для всех 9 Є (0,27г) за исключением, возможно, дискретного множества точек 9, существует единственное решение этого уравнения в классе Z(Z).-Также находится асимптотика такого
решения при п > 0 и п < 0.
Теорема 4.2. Решение уравнения (0.8) в классе /(Z) имеет следующий вид:
фп(Є) = А+(Є)еівп + гі+{Є), п>0,
фп(в) = еівп + A_(0)e-i0n + 77-(0), п < 0.
л+(е) = і + ^ e-ievm) л-(в) = Е е*"*й
meZ тЄІ>
— коэффициенты прохождения и отражения. Функции Т)(6) и rj^i^) экспоненциально убывают при п —> ±оо соответственно.
Здесь Л = v^JA - \Шеі9т
Коэффициенты Л+, Л_ имеют следующий физический смысл: |^4+|2, |А_|2 - это соответственно, вероятности прохождения и отражения квазичастицы.
Теорема 4.3. Коэффициенты прохождения и отражения в т,еореме 4.2 связаны следующим соотношением:
|А_(0)|2 + И+(<9)|2 = 1.
Пятый параграф посвящен изучению прямой и обратной задач рассеяния для оператора Hs. Положим
й(в) = е"|п-га|Л,
где
Для прямой задачи рассеяния получена следующая теорема.
Теорема 5.1. Пусть
(&(в),&)*о-
і ІХ
sin#
Тогда уравнение. (0.8) (с Vs вместо V) имеет единственное решение фп(в) в пространстве /(Z). При этом, справедлива формула
Фп(0) = А+(в)еівп + г]І(Є), п>0,
-фп(в) = е?вп + А-(в)е-*п+ г)-(0), п<0.
Здесь
А+{6) = 1 + C0J2 ^V, A-W = О) еІ*>-
а функции Т)п (0), ry~(в) экспоненциально убывают, при п —> ±оо соответственно.
Введем унитарный оператор U : /2(Z) —> L2(0,2tt) (преобразование Фурье), определенный формулой: Ucp = ^, где
Далее, после возвращения к прежней переменной Л с помощью замены Л = 2 cos (9, показано, что коэффициент прохождения А+(Х) полностью определяется функцией |у?(А)|. Поэтому, обратная задача рассеяния исследуется в следующей формулировке: нахождение функции |^о(А)| по заданному коэффициенту прохождения А+ (А) (или коэффициенту отражения Л_(А)). Доказано, что данная функция на Г = [—2,2] U 7, где 7 - верхняя
полуокружность с центром в начале координат и радиусом равным двум, удовлетворяет сингулярному интегральному уравнению вида:
2тгіє[А'+(\) - 1]— [U^-dX - 2І7г/'(А) - 1 - А'+(Л), (0.12)
к і J A — A
где /'(Л) = —л, ,\\ , а через А'+(Х) обозначена продолженная на 7 кон-
2-4.(А) стантой, равной единице, функция А+(Х).
Под индексом <; = ind/(2:) на контуре Г комплекснозначной функции f(z) будем понимать число полных оборотов вектора f(z), когда z пробегает контур Г в положительном направлении.
Следующие утверждения дают нам условия единственности решения обратной задачи рассения для уравнения Липпмана-Швингера (0.8).
Лемма 5.1. Пусть выполнены условия А'+(Х) ф 0, А+(Х) Ф 2, где X Є (-2,2). Если я = ind / (А) = 0, то уравнение (0.12) имеет, единственное решение в классе Ь2([—2,2]). Если я = ind / (А) > 0, то уравнение (0.12) имеет, не более одного решения в классе L2([—2,2]).
Будем рассматриваем класс /С четных или нечетных последовательностей ipQn таких, что выполнены следующие условия: 1) |<р| ^Ce-al"l, neZ]
3) b(0) = Й(тг) = Е Й = о.
Теорема 5.4. В условиях леммы.Ь.1 для заданного коэффициента прохождения Д+(А), X Є (—2,2) функция |такая что (р Є /С, определяется единственным образом.
Во второй главе собраны результаты, относящиеся к исследованию двухчастичных операторов Ну = Но + V и Н — Но + W + V.
Обозначим через Td = [—7Г,7г)^ d-мерный тор. Рассмотрим унитарный оператор
U:l2(Z2d)->l2(Z)l2(Td),
определяемый формулой
(и<ф)п(к) = {27v)-d'2 J2 е-і<к^>фп+^ ,
где параметр к Є Td называется квазиимпульсом. Через < , > обозначено обычное скалярное произведение в md.
В шестом параграфе с помощью отображения U оператор Ну раскладывается в так называемом прямом интеграле пространств (см. [51], [31])
/
ф l2(Zd)dk = l2(Zd) L2(Td)
т. е. оператор Ну унитарно эквивалентен оператору, действующему в данном тензорном произведении. Это означает, что исследование оператора Ну можно заменить изучением семейства операторов
действующих при фиксированном /с в пространстве l2{Zd). Также исследуется существенный спектр оператора Ну (к).
Введем в рассмотрение элементарную ячейку прямой решетки, то есть множество вида Г2о = {0,Т,... ,Т — I}2, а также элементарную ячейку
ДВОЙСТВеННОЙ решеТКИ - МНОЖеСТВО Qq = [—71"/Т, тг/Т].
Рассмотрим унитарный оператор
U0 : 12{Ъ2) - 12{П0) .L2(Q5) = / l2(Q0)dk,
(Uocp)n(k) = — J^ exp[-i(/c,m)T](^n+rm.
roeZ2
Оператор #V = Яо + W разлагается в указанном прямом интеграле пространств в семейство операторов Но (к) + W, действующих при фиксированном к Є Qq в пространстве /2(Г2о).
Перейдем к новой ячейке Q = Z х Г2о и рассмотрим унитарный оператор
/': /2(Z2) - /2(ft) 0 L2(fT) ^ / /2(Q0)^, (0.13)
/ 21
^-^ V^r^e""MT"
Здесь Q* = [—7г/Т,7г/Т), / Є П*- квазиимпульс.
Седьмой параграф разбит на два пункта. В первом пункте получена удобная для исследований формула для ядра резольвенты оператора Щ(к) в случае d — 1 (формула аналогична формуле для одночастичного оператора) и устанавливаются некоторые ее свойства. Во втором пункте с помощью отображения U' оператор Н разлагается в указанном прямом интеграле пространств (0.13) и, таким образом, вместо него исследуется соответствующее семейство операторов
{#(«)W = {#<>(«) + W + V}Ken*. Введем следующие обозначения
{Я{г(л) W = U'HwU'-\ {Я'(л) W = U'HU'-1.
Теорема 7.1. Справедливы, следующие равенства:
aess[H'(K)] = a[H{v(^} = \J a[H'w(k)}.
кі+к2=к
Положим Нєу(к) — Но(к) + eV. В восьмом параграфе исследуются квазиуровни оператора Ну(к) для различных d. Результаты аналогичны од-ночастичному случаю.
Теорема 8.1. Предположим, что d = 1 и V = ^ Vn ф 0. Тогда в некоторых окрестностях точек ±4cos(A;/2) для всех достаточно м,алых є существует, ровно по одному квазиуровню А = Ає кратности единица оператора Ну(к), для котюрых справедлива формула
e2V2
\F = ±
4cOS^2) + 8^W^)J+0()- (014)
При этом, квазиуровень, расположеннъш вблизи тючки 4cos(;/2) (соответственно —4:COs(k/2)), является, при V > 0 собственным значением (соответственно, резонансом), а при V < 0 — резонансом (соответственно, собственным значением).
Теорема 8.2. Предположим, что d = 2 и последовательность Vn не меняет знак. Тогда оператор Ну(к) для всех достаточно малых є > 0 имеет, хотя бы одно собственное значение Л, причем Х < — 4[cos(&i/2) + cos(&2/2)] в случае Vn < 0 и Лє > 4[cos(A;i/2) + cos(^/2)] в случае Vn > 0.
Теорема 8.3. Оператор Ну(к) в случае d ^ 3 для всех достаточно малых є > 0 не имеет собственных значений вне промежутка
o-esS(HV(k)) = [-4^cos(A;i/2),4j]cos(A;:?-/2) .
3=1 3=1
В девятом параграфе исследуются квазиуровни оператора Н'(є, к) — Но(к).+ W + єУ, действующего в пространстве l2(Q).
Предположим, что Ло = \N(kw,K — кю) является невырожденным собственным значением оператора Hw{kio,K — &ю) отвечающим нормированной собственной функции iftN(kw,K, — кю). Далее предполагаем, что
dXN(k10iK-ki0) d2\N(k10,K-kl0) _^n
dh ~U'. dk\ *
Кроме того, пусть число точек k\ Ф fcio таких, что Xм (к\, к — к\) — Ло для некоторого М конечно и в этих точках
эк, ^а
Имеет место следующая теорема-Теорема 9.1. Предположим,что
vN = YsУщ-П2\^[(кик- к10)]\2 ± 0.
Тогда для всех достаточно малых є > 0 существует, ровно один квазиуровень Л = \N(kw,K — кю) кратности единица, оператюра Н'(є^к,) при этом, .
x==Xo~ 2d2xN(km к - kl0)/dk2 + (e3)-
Если кроме того,
d2XN(kio,K,-k10) N
dk2 v < '
то квазиуровень является собственным значением.
Заметим, что соответствующие решения уравнения Шредингёра в случае собственного значения экспоненциально убывают, а в случае резонанса, вообще говоря, экпоненциально возрастают.
Основные результаты работы опубликованы в работах [32] - [40]. Из них [40] опубликована в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.
Материалы диссертации докладывались и обсуждались на городском математическом семинаре по дифференциальным уравнениям и теории оптимального управления под руководством профессора Тонкова Е. Л. (Ижевск, 2006 г., 2007 г.); на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XVII" (2006 г.), "Понтрягинские чтения -XVIII" (2007 г.); на семинаре в БелГУ по дифференциальным уравнениям и их приложениям под руководством профессора Солдатова А. П. (г. Белгород, 2009 г.); на семинаре в СГУ им. Чернышевского по математической физике и вычислительной математике под руководством профессора Юрко В. А. (г. Саратов, 2009 г.).
Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук Ю. П Чубу рину за постановку задачи, руководство и всестороннюю помощь в ходе исследований.
Функции Грина
Диссертация состоит из введения, двух глав (9 параграфов) и списка литературы. Применяется двойная нумерация лемм, теорем, формул, определений и замечаний (например, теорема 2.1. - это первая теорема в работе, находящаяся во втором параграфе).
Первая глава диссертационной работы посвящена изучению функций Грина оператора Яо, спектра и квазиуровней оператора Н Исследуются прямая задача рассеяния для операторов Дг, Hs и обратная задача для оператора Hs.
В первом параграфе приводятся определения и утверждения, наиболее часто используемые в диссертации. В втором параграфе работы найден удобный для дальнейших исследований вид функции Грина G m(X) в случае d = 1. Обозначим через g{z) = z — л/z2 — 1 обратную функцию к функции Жуковского. Теорема 2.1. Функция Грина оператора Щ имеет следующий вид G„V(A) = G_ra(A) = - 1_[г(л/2/,І" тІ где А Є С \ [—2,2], и для Л 2 выбирается арифметический корень. Выбор знака отвечает убыванию функции Грина на первом листе для Л 2 при аналитическом продолжении арифметического корня. Кроме того, доказаны необходимые для дальнейшего изложения утверждения, относящиеся к свойствам функции Грина для d 2. Исследовано поведение функции Грина для физически наиболее важного случая d = 3 вблизи точек существенного спектра оператора Но. Получена, в частности, следующая теорема. Теорема 2.2. Функция Грина оператора Но в пространстве имеет предел lim С?(А ± is) = G(A ± iO), Л Є (-6,6) є—»0 и этот, предел равномерно ограничен для, всех достаточно малых є ип Є Z3. Далее, в третьем параграфе работы изучается существенный спектр оператора Н. Показано, что возмущение V относительно компактно, так что ae8a[H\ = (T[Ho] = l-2d12d\. Также исследуются квазиуровни оператора Не = Ho+eV, действующего в пространстве l2(Zd) для различных d. Результаты отражены в следующих теоремах. Теорема 3.2. Пусть d = 1 и v = 2 V(n) ф 0. Тогда в некоторых neZ окрестностях точек А = ±2 для всех достаточно м,алых е оператор Н имеет, ровно по одному квазиуровню, для котюрых справедлива формула, соответственно, A = ±(2 + 2) + 0(e2). При этом если v 0, то уровень вблизи тючки X — 2 {соответственно А = —2) является собственным значением (соответственно, резонансом), а еслии 0; то резонансом (соответственно, собственным значением). Теорема 3.3. Пуст,ь d = 2 и пусть последовательность {Vm} сохраняет, знак (т,.е выполнено Vm 0 для всех т или Vm 0 для всех т). Тогда для любого $ 0 и для всех дост,ат,очно малых є в множестве (—4 — $, —4) U (4,4 + $) существует хотя бы одно собственное значение оператора НЕ. При этом, собственное значение находится в промежутке (—4 — #, —4) в случае Vm 0, в промежутке (4,4 + #) в случае Vm 0. Теорема 3.4. Оператор Нє для всех достаточно малых є при d 2 собственных значений вне промежутка а Н) = [—2d, 2d] не имеет. В четвертом параграфе исследуется для d = 1 прямая задача рассеяния для оператора Н. Положим 9 = arg[(A — л/А2 — 4)/2]. Считаем, что 9 Є (0,27г), 9 ф 7Г. Уравнение Липпмана-Швингера (0.8) записывается в переменных 9 и доказывается, что для всех 9 Є (0,27г) за исключением, возможно, дискретного множества точек 9, существует единственное решение этого уравнения в классе Z(Z).-Также находится асимптотика такого решения при п 0 и п 0. Теорема 4.2. Решение уравнения (0.8) в классе /(Z) имеет следующий вид: — коэффициенты прохождения и отражения. Функции Т)(6) и rj i ) экспоненциально убывают при п — ±оо соответственно. Здесь Л = v JA - \Шеі9т Коэффициенты Л+, Л_ имеют следующий физический смысл: 4+2, А_2 - это соответственно, вероятности прохождения и отражения квазичастицы.
Задача рассеяния для оператора Но + V
Здесь исследуется прямая задача рассеяния для оператора Н — Щ + V, действующего в пространстве /2(Z). Доказано существование и единственность решения уравнения Липпмана-Швингера, получена асимптотика решений этого уравнения при п — ±оо. Исследованы также коэффициенты прохождения и отражения.
Положим q = Х5 . Так как А Є (—2,2), то выполнено равен ство \q\ = 1. Перейдем к новой переменной 9 = argg. Будем считаем, что в Є (0,2"7г), 9 т= "Л", тогда соответствие между А Є (—2,2) и 9 будет взаим но однозначным. Используем обозначения вида G _m{9) вместо G_m(\). Запишем в новых переменных функцию Грина (2.5) Следует заметить, что в силу свойств аналитической функции (2.4) обратной к функции Жуковского, изменению в в промежутке (7Г, 27г) соот-вествует предел А -Н І0, а изменению 0 Є (0,7г) — предел А — г0. Будем для определенности рассматривать 9 Є (0,7г) (случай 9 Є (тг,27г) исследуется аналогичным образом). Сделаем в уравнении (4.2) замену, полагая, что ip = у/\У\ф. После этого уравнение (4.2) запишем в операторном виде tp = V\V\eidn - y/\V\Ro(9)y/V p. (4.3) Обозначим ip = л/У\егвп и введем оператор тогда уравнение (4.3) примет вид р = р + єМ{0)ір. (4.4) Будучи оператором Гильберта-Шмидта, оператор М(9) является компактным в 12{Ъ) (см. утверждение 0.1). Определение 4.1. Будем называть дискретным множеством в Q Є С множество, не имеющее предельных точек в Г2. Замечание 4.1. Легко видеть, что дискретность по отношению к переменной 9 Є (0,7г) означает дискретность по отношению к Л Є (—2,2). Теорема 4.1. Для всех 9 Є (0,7г) за исключением, возможно, дискретного множества точек 6, существует единственное решение уравнения (4.4) в классе l2(Z). Доказательство. Положим Д; = (0,7г) х (—6,со) С С, где S 0— достаточно мало. В силу аналитической теоремы Фредгольма 0.4 достаточно доказать, что хотя бы в одной точке области D$ уравнение (4.4) однозначно разрешимо. Докажем, что оператор М(в) остается в D$ компактным оператором, аналитически зависящим от 9. Ядро оператора М{9) аналитически зависит от 9 в любой точке области D$. Для аналитичности операторнозначной функции М(6) по теореме Веерштрасса об аналитичности ряда, составленного из аналитических функций, применительно к векторозначным последовательностям (см. например [49]) достаточно до казать, что (ж, М(6)у) является аналитической функцией для любых последовательностей ж,у Є /2(Z). Пусть в — а -Ь і/З, где а є (0,7г), (3 0. Оценим, используя условие (0.3) и неравенство Коши-Буняковского, так как выполнено sin# єо 0, для Є Є D. Из сделанной оценки следует неравенство Рассмотрим Таким образом, М(0) 1 для достаточно больших (3 и V а Є (0,7г). В силу аналитической теоремы Фредгольма 0.4 теорема доказана. Следствие 4.1. Для всех в Є (0,7г) за исключением, возможно, дискретного множества точек, существует единственное решение уравнения (4.2) в классе 1(Ж).
Функции Грина для возмущенного периодического оператора
Под индексом ; = mdf(z) на контуре Г комплекснозначной функции f(z) будем понимать число полных оборотов вектора f(z), когда z пробегает контур Г в положительном направлении. Для доказательства следующей леммы необходима теорема.
Теорема 5.3. [см. [50, с. 106]]. Пусть а(А),6(А) Є С(Г). Для того чт,о-бы оператор В == aPp + bQr, был обратим в пространстве L2{Y) хотя бы с одной стороны] необходимо и достаточно, чт,обы выполнялись следующие условия Если эти условия выполняются, то оператор В будет, обратим, обратим только слева или обратим только справа в зависимости от того, будет, ли число равным, нулю, положительным или отрицательным. В рассматриваемой задаче (см. [50, с. 106] ) Заметим, что ind/ (Л) = 0, то есть ind/ (Л) = ind /(A). Лемма 5.1. Пуст,ъ выполнены условия где А Є (—2,2). Если я = ind / (А) = 0, где / (А) определяется из (5.15), то уравнение (5.14) имеет единственное решение в классе L2([—2,2]). Если я = ind / (А) 0, то уравнение (5.14) имеет, не более одного релиения в классе L2([—2,2]). Доказательство. Следует из теоремы 5.3. Следствие 5.1. Если е достаточно мало, то решение уравнения (5.13) существует и единственно в классе L2([—2,2]). Действительно, в силу (5.10) коэффитщент прохождения А+(А) как угодно близок к единице и согласно (5.14) с = 0. Замечание 5.2. В случае є 0 решение уравнения (5.13), если оно существует, не единственно в рассматриваемом классе (см. [50]): Из (5.7), и (5.10) видно, что картина рассеяния полностью определяется функцией /з(А) или, что то же, функцией /(А). Поэтому под обратной задачей рассеяния для уравнения Шредингера (0.8) понимаем определение функции /(А) по заданному коэффициенту прохождения .А+(А) (или коэффициенту отражения Л_(А)). Далее рассматривается класс /С четных или нечетных последовательностей ifn таких, что выполнены следующие условия: 1) \ рп\ Се-аІпІ, п Є Z; 2) ( ) 3) (0) = (тг) = Е = о. Теорема 5.4. В условиях леммы 5.1 для заданного коэффициента прохождения 4+(А) функция /3(А), такая что ір Є /С, определяется единственным, образом,. Доказательство. Рассмотрим класс решений /(A) на Г таких, что /(А) = 0 на 7- Если существуют два таких решения, то они дадут и два решения на отрезке [—2,2], но в силу леммы 5.1 они совпадут. Теорема доказана.
Квазиуровни в случае возмущенного периодического потенциала
Здесь будут исследованы квазиуровни оператора Н (є, к) = Яо(л) + W + eV: я є fi , є О, действующего в пространстве l2(fl). Предположим, что Ло = \N(kw,K — кю) является невырожденным собственным значением оператора Hw(kw,K, — кю) отвечающим нормированной собственной функции ifjN(kio, к—кю). Можно считать, что Л и ipN аналитически зависят от параметра к\ в окрестности кю (см. например [31]). Далее предполагаем, что d\N{kio,K-kio) д2\м(кю,к-кю) ,п дкх дк\ Кроме того, предположим, что число точек к\ Ф кю таких, что \м(кі,к — к\) = Ло для некоторого М конечно и в этих точках dXM(khK-h) фО. дкі Пусть ( = к\ — кю. Лемма 9.1. (см. [52]) Для А из некоторой комплексной окрестности точки Ао существует ровно два корня Q = Cj(A), j = 1,2 уравнения A"(fcio + «- io-0 = A, (9Л) таких, что Ci(Ao) = Сг(Ао) и Сі (А) Ф Сг(А), если А ф Ао- Кроме того существует аналитическая в окрестности нуля функция (2 — M(CI)J причем М (0) = 1. 100 Доказательство. Разлагая функцию Хм в ряд Тейлора в окрестности нуля, запишем уравнение (9.1) в виде -Л-Ло, (9.2) где ф - некоторая аналитическая вблизи нуля функция такая, что (С) = О(С). В силу подготовительной теоремы Вейерштрасса 0.1 уравнение (9.2) имеет ровно два корня (с учетом кратности комплексных корней Сі и С2). При этом, согласно (9.2) связь между Сі и С2 задается неявной функцией где корни являются аналитическими продолжениями арифметических значений этих корней для Л Ло и вещественных Сі и С2- В достаточно малой окрестности точки (0,0) Є С2 имеем поэтому по теореме о неявной функции для аналитических функций [42] функция Сг = М&) существует и аналитична в окрестности нуля. При этом Лемма доказана. = _3f(Q,Q)/aCi = _х MW dF(0,0)/d(2 Положим, что (i(\) 0) если А Ло- В дальнейшем вместо спектрального параметра А будем использовать параметр Сі = Сі ( )- И для краткости записи будем пользоваться обозначениями вида Спт(к, Сі) вместе G n m(K,X) ат.п. 101 В следующей лемме функция Грина Gn (к, 1) аналитически продолжена по параметру (д в окрестность нуля с выброшенным нулем, возможность такого продолжения следует из доказательства. Непрерывный аналог этой леммы см. в [52]; приведенное ниже доказательство существенно отличается от доказательства в [52]. Лемма 9.2. Для (д из достаточно малой комплексной окрестности нуля имеет место равенство іФп[{кт к kioMmiiho, к - кю)] d2XN{kio,K-k10) С: 1" дк\ При этом л/Кі п,т( Сі)л/ т является, L2(Q х fit) - значной аналитической функцией параметра д. Доказательство. Вследствие подготовительной теоремы Вейер-штрасса 0.1 и леммы 8.2 в окрестности точки (0, Ао) Є R2 Є С2 имеем А - A (C) = а(С, А)[С - Ci(A)][C - С2(А)] = = а(С, А)[С - Ci(A)][C - Md(A))], (9.3) где &(С А) - аналитическая функция, обращающаяся в нуль в окрестности (0, Ао). Равенство (9.3) запишем в виде а(0,А0) + 0( /1(12 + А-Ао2) C2+p(A)C + g(A) , (9.4) 102 где р(Л) = — [Сі(А) + Сг(А)], g(A) = (і(Д)(2(Д) _ аналитические функции (см. [42]). Имеем р(Ло) = (Ло) = 0, поэтому из (9.4) следует, что а(0,А„) = -№С (9.5) Запишем функцию Грина оператора Hw(k\, к, — кі) в виде Gn TO(fci,A) = /кУ +Qn,m(klt\). (9.6) У ( іЩ і) XN{h) - А Функция Q является аналитической Ь2(Г2о х S 2o) - значной функцией параметра Л. Это следует из сделанных в начале раздела предположений и доказательства леммы 9.1.
Выберем функцию w(X) Со(К.) такую, что w(X) = 1 в окрестности нуля U и, кроме того в некоторой окрестности множества suppit/ имеют место разложения (9.3),(9.4) и (9.6) (с указанным свойством Q). Далее предположим, что Л — До настолько мало, что (і Ыл j = 1,2. Без ограничения общности можно считать, что suppu С (—7г,7г) (если кзо = ±тг, то к пределам интегрирования в (9.7) прибавляем константу).
