Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена изучению ряда коэффициентных обратных задач, а также уравнения Рисса, которое возникает при решении некоторых обратных задач. Рассматриваемые задачи так или иначе связаны со свойством полноты произведений решений дифференциальных уравнений.
Некоторые обратные задачи восстановления коэффициентов волновых уравнений по данным рассеяния, сводятся к уравнению Рисса
(см. работы М. М. Лаврентьева [3, 4], А. Л. Бухгейма [1], В. М. Исакова [7], И. Сайто [13]). Здесь П — ограниченная область в Ш3, Ь(у) — искомая функция, а правая часть /(ж) задана при х Є По> ^о П Q = 0. Существует несколько способов доказательства единственности решения этого уравнения, первый из которых принадлежит М. Риссу [12]. Однако устойчивость до сих пор не изучалась. Использование уравнения Рисса при исследовании обратных задач делает его интересным с точки зрения численного решения и получения необходимых для этого оценок условной устойчивости.
В своей классической работе [14] Дж. Сильвестер и Г. Ульман доказали существование специальных экспоненциально растущих решений уравнения
Au + q(x)u = 0, xEtlfsM3, п ^ 3,
что позволило доказать единственность в задаче восстановления q(x) по измерениям на границе П, в частности, по оператору Дирихле — Неймана, и вызвало общий интерес к подобным задачам. Далее, их идея была использована в работах Г. Алессандрини [5], В. М. Исакова [8], Ракеша и В. Саймса [11] и др. для доказательства единственности и
устойчивости в различных задачах нахождения коэффициентов по измерениям на границе.
В последнее время наблюдается повышенный интерес к задачам восстановления памяти, т. е. ядра сверточного интегрального оператора, входящего в интегродифференциальное уравнение (см. работы А. Л. Бухгейма [6], Д. К. Дурдиева [2], А. Лоренци [10], Дж. Янно и Л. Вольферсдорфа [9]). Однако большинство авторов рассматривали случай, в котором память не зависит от пространственной переменной.
В связи с изложенным представляется интересным изучить различные постановки задач восстановления коэффициентов и памяти, зависящей от пространственных переменных, по данным рассеяния и оператору Дирихле — Неймана.
Цель работы. Изучить различные задачи восстановления коэффициентов волновых уравнений, в частности, задачи нахождения памяти интегродифференциальных гиперболических уравнений. Доказать единственность и условную устойчивость решения этих задач. Кроме того, изучить уравнение Рисса, возникающее при решении задач нахождения коэффициентов волновых уравнений по данным рассеяния, с точки зрения возможности численного решения.
Методика исследования. В работе используются методы теории условно-корректных задач, теории дифференциальных операторов с частными производными, теории функций комплексного переменного и теории интегральных операторов. При решении обратных задач восстановления памяти применяется преобразование Фурье — Лапласа для сведения рассматриваемых задач к стационарным. При рассмотрении уравнения Рисса используется техника априорных оценок кар-лемановского типа.
Научная новизна. В работе впервые получены следующие результаты:
предложен новый подход к изучению уравнения Рисса, с помощью которого можно строить эффективные алгоритмы для численного решения;
доказана условная устойчивость решения уравнения Рисса;
доказана условная устойчивость решения в задаче восстановления переменной скорости в приведенном волновом уравнении по данным рассеяния;
доказана единственность решения в задаче восстановления поглощения и пространственно неоднородной памяти в гиперболическом интегродифференциальном уравнении по данным рассеяния;
_4-
доказана условная устойчивость решения в задаче восстановления
пространственно неоднородной памяти гиперболического интегро-
дифференциального уравнения по оператору Дирихле — Неймана.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит преимущественно теоретический характер. Однако доказанные в работе оценки условной устойчивости могут быть использованы при численном решении соответствующих задач. Предложенный подход к изучению уравнения Рисса может быть использован для построения численных алгоритмов решения указанного уравнения. Кроме того, методы, используемые в работе, могут применяться для решения других обратных задач математической физики.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях:
Условно-корректные задачи математической физики и анализа (Новосибирск, июнь 1992 г.);
International Symposium on Computerized Tomography (Новосибирск, август 1993 г.);
Advanced Mathematics, Computations, and Applications (Новосибирск, июнь 1995 г.);
Сибирская конференция по неклассическим уравнениям матфизики (Новосибирск, сентябрь 1995 г.);
Второй сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, июнь 1996 г.);
Обратные задачи геофизики (Новосибирск, сентябрь 1996 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, список которых приводится в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа оформлена в системе TgX с использованием макропакета A/^S-T^K и занимает 102 страницы печатного текста.
