Введение к работе
Актуальность темы. Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории дифференциальных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков. Причиной этому, по-видимому, является, с одной стороны, исключительная практическая важность параболических уравнений, а с другой — то, что их исследование связано с развитием различных разделов математики: теории рядов и интегралов, функционального анализа, теории приближений, теории вероятностей и случайных процессов.
К параболическим уравнениям и системам уравнений приводит математическое описание многих сложных явлений в современном естествознании, экономике и технике. Кроме классических задач теплопроводности и диффузии, параболические уравнения и системы встречаются, например, в теории тепло- и массопереноса при описании процессов сушки и охлаждения, в теории ядерных цепных реакций при изучении процесса замедления нейтронов, в теории сигналов при макроскопическом описании случайного процесса на выходе радиотехнического устройства, при изучении многих процессов в химической и биологической кинетике и в других задачах.
Краевые задачи с негладкими коэффициентами для дифференциального уравнения второго порядка параболического типа являются одним из классических объектов исследования. Теории таких задач посвящена, например, монография О.А. Ладыженской.
Настоящая работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач для некоторых специальных классов параболических уравнений с разрывными коэффициентами. Краевые задачи для уравнений с разрывными коэффициентами были предметом исследований в работах О.А. Олейник, в которых рассмотрены первая краевая задача и задача Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка и первая краевая задача и задача Коши для общего параболического уравнения с разрывными коэффициентами, при-
чем поверхности разрывов коэффициентов параболического уравнения могут зависеть от времени.
В дальнейшем, решению различных краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами были посвящены работы Я.А. Ройтберга и З.Г. Шефтеля, Н.Н. Уральцевой, А.Х. Гудиева, Ю.А. Алхутова и И.Т. Маме-дова и других. Из последних работ, посвященных исследованиям разрешимости краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами, хотелось бы отметить работы И.Х. Керефовой, А.Р. Алиева, М.Ф. Череповой, Э.А. Гасымова.
Также в работе рассмотрена краевая задача для параболического уравнения с меняющимся направлением времени. Первыми работами, посвященными уравнениям параболического типа с меняющимся направлением времени, по-видимому, были работы М. Жевре. Имеется целый ряд работ отечественных и зарубежных авторов, в которых поставлены и исследованы краевые задачи для такого вида уравнений. Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением времени. Простейшей моделью является уравнение вида
д(х)щ + Ьи = f, g(x) = sgnx, (1)
где L — эллиптический оператор второго порядка. Отметим, что граничные условия для уравнений вида (1) задают на части верхней и части нижней границы, и они представляют собой, по сути, одно граничное условие. Подобные задачи выходят за рамки общих вопросов теории граничных задач. Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С.А. Терсенова, A.M. Нахушева, И.Е. Егорова, А.А. Керефова, Н.В. Кислова, И.М. Петрушко, С.Г. Пяткова, С.Г. Подгаева, Т.Д. Джураева, В.В. Катышева, Х.Х. Ахмедова, М.С. Боуенди, П. Грисварда, К.Д. Пагани, Г. Таленти, О. Арены и других авторов. В последнее время активно изучались схожие задачи в работах Попова СВ., Пинигиниой И.Р., Потаповой СВ., Туласынова М.С.
Помимо начально-краевых задач в диссертации для линейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами рассмотрен вопрос разрешимости нелокальной краевой задачи дифракции и связанной с ней обратной коэффициентной задачи. Ранее задачи в такой постановке не рассматривались.
Нелокальные краевые задачи — это задачи, в которых вместо задания значений решения или (и) его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же или иных функций на других внутренних или граничных многообразиях.
В настоящее время особый интерес к нелокальным задачам обусловлен, с одной стороны, значительными теоретическими достижениями в данном направлении и, с другой стороны, их важными приложениями.
Впервые внимание к задачам с нелокальными условиями для параболических и для гиперболических уравнений было привлечено в работах Дж.Кэн-нона и Л.И.Камынина. Впоследствии в работах ряда авторов эта проблема получила дальнейшее развитие.
Задачи с нелокальными условиями для параболических уравнений активно изучаются в последнее время. Большую роль в развитии этого направления сыграли статьи А.В. Бицадзе и А.А. Самарского, в которых были предложены новые постановки задач для уравнений в частных производных. A.M. Нахушев исследовал нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений гиперболического и параболического типа. Подобные задачи в классах суммируемых функций с общими нелокальными по времени условиями были изучены в работах А.А. Керефова, J. Chabrowski, В.В. Шелухина, Г.М. Либермана, А.И. Кожанова. и др.
Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения вместе с решением неизвестных коэффициентов дифференциальных уравнений, неизвестной правой части, неизвестных граничных или начальных условий. Неизвестные элементы начально-краевых
задач определяются по некоторой дополнительной информации. Такой информацией служат различного рода условия переопределения. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов, геофизики, сейсмологии, компьютерной томографии, геотомографии, диагностики плазмы, квантовой теории рассеяния, подводной акустики, квазиоптики, дифракции, теории колебаний молекул, георадиолокации приводят к обратным задачам, что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики и современного математического моделирования.
Теория обратных задач составляет важное самостоятельное направление исследований в области дифференциальных уравнений. Публикации по обратным и некорректным задачам появились в первой половине 20-го века. Они были связаны с физикой, геофзикой, астрономией и другими областями естествознания. В 1943 году А.Н. Тихонов указал на практическую важность подобных задач и возможность устойчивого их решения. В 50-60-х годах появился ряд новых подходов, которые стали основополагающими для теории некорректных задач и привели к ней внимание многих математиков.
В настоящее время теория обратных задач активно развивается представителями целого ряда отечественных математических школ. Корректность обратных задач для параболических уравнений, а также краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении о независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственных переменных изучались во многих работах — отметим здесь, прежде всего, работы Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова, Е.Г. Саватеева, А.И. Прилепко, В.В. Васина, А.И. Кожанова, Ю.Я. Белова, СИ. Кабанихина, Н.И. Иванчова, И.А. Каляева, М.М. Сабитовой, В.Е. Федорова, Д.С. Ткаченко, С.Г. Пяткова, Н.Л. Аба-шеевой и других. Целый ряд результатов в последние десятилетия зарубежные авторы из Италии, Голландии, Швеции, Франции, Японии и другие.
Цель диссертационной работы — доказательство теорем существования и единственности в пространствах Гельдера для параболических уравнений 2п-го порядка с разрывными коэффициентами; доказательство разрешимости в пространствах Соболева нелокальной задачи дифракции, а также связанной с ней обратной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами.
Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых изучение краевых задач сводится к исследованию систем интегральных уравнений. Для доказательства разрешимости нелокальных и обратных задач применен метод продолжения по параметру.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: поставлены и исследованы краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами с общими условиями склеивания, найдены и явно представлены необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач; доказана безусловная разрешимость исходной задачи; доказана теорема единственности и существования решения краевой задачи для параболического уравнения 2п-го порядка с разрывными коэффициентами; доказана разрешимость нелокальной задачи дифракции и связанной с ней обратной задачи для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах.
Область приложений полученных результатов — краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых крае-
вых задач для уравнений с разрывными коэффициентами, в том числе и для уравнений с меняющимся направлением времени.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре "Уравнения переменного типа" профессора СВ. Попова (кафедра математического анализа ИМИ СВФУ), на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" профессора И.Е. Егорова (ФГНУ "НИИ математики при ЯГУ"), на научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" (Якутск, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007), на Всероссийской научной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2005, 2007), на IV и V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2004, 2007), на Всероссийской школе-семинаре и Всероссийской научной конференции для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий РФ" (Якутск, 2005, 2006, 2007, 2008), на XLIII и XLIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно- технический прогресс" (Новосибирск, 2005, 2006), на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2007" (Москва, 2007), на Молодежной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2009), на Международной конференции по математическому моделированию "Mathematical modeling" (КНР, г. Линьи, 2010), на научном семинаре лаборатории обратных и некорректных задач ИМ СО РАН под руководством профессора Ю.Е. Аниконова (Новосибирск, 2010), а также на научном семинаре "Неклассические уравнения математической физики" ИМ СО РАН под руководством профессора А.И. Кожанова (Новосибирск, 2010).
Работа выполнена при финансовой поддержке следующих грантов: гранта ректора ЯГУ (2005 г.); гранта НП МО РФ "Университеты России" (2002-2005 гг.); гранта ИМИ ЯГУ для студентов и магистрантов (2006 г.); гранта
ФЦНТП "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники" на 2002-2006 годы по мероприятию 1.9 "Проведение молодыми учеными научных исследований по приоритетным направлениям науки, высоких технологий и образования" (2006 г.); грантов ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 гг. по мероприятию 1.3.1 "Проведение научных исследований молодыми учеными-кандидатами наук" (2009-2010 гг.) и по лоту "Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области математики" мероприятия 1.1; гранта Президента РС(Я) (2009 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах: 7 статьях и 15 тезисах докладов [1] [22].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 118 страниц. Список цитируемой литературы содержит 227 наименований.
