Введение к работе
Актуииъностъ шілч. Одну из фундаментальных проблем современной квантовой мі> химики, представляет обратнчя задача о восстаноьлешин потенциала но данным рассеяния (извлекае(лыми из эксперимента).
Принципиальная возможность решения обратной задачи доказана советскими математиками И.М. Гельфавдом, Б.М. Левитаном, В.А. Марченко, М.Г. Крейним. Выведенные шли интегральные уравнения,' ныне называемые уравнениями Гвльфанда - Левитана - Марченко (ГЛМ), легли в основу дальнейшего развития теории. Существенные успехи в теории обратных задач были достигнуты применением сперва D.A. Мар-чешю H,2,3J, а ?атем Б.Я. Левшшм (4) и другими математиками для исследования этих задач, так называемых, операторов преобразования, т.е. решений операторного уравнения:
ни = ин0 ,
1. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального опера
тора второго порядка // Доклады АН СССР. - М., 1950. - Т. 72.
- J6 3. - С. 457-460.
-
Марченко В.А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Московского математического общества. - Ы., 1952. - Т. 1. - С. 327-420.
-
Марченко В.А. Восстановление потенциальной анергии по фазам рассеянных волн // Доклада АН СССР. - М., 1955. - Т. 104. - *Г>.
- С. 695-699.
4. Левин Б.Я. Преобразования типа Фур:,о и Лапласе прл помощи ре
шений дифференциальных уравнений второго поряд, ч // Доклады АН
СССР. - Ы., 1956. - Т. 106. - Я 2. - С. 1ЄГМ90.
гдо Н и HQ задаются выражениями
d а
tfxd ахг
с граничными условиями либо в пуло, либо на бесконечности. Эти решения имеют структуру операторов Волътерра:
U,m) = Г(х) + J Л,(x.y)I(y)dy, U2J(x) = f(x) + Г A2(x.y)X(y)dy
х -to
и ядро этих операторов является решениями краевых задач для уль-трагшерболичоского уравнения.
Недавно возобновился интерес к ультрагиперболическим операторам. Это вызвано прежде всего следующим обстоятельством: в тоории многомерных ооратних задач квантового рассеяния важную роль играют операторы преобразования для оператора Шредингера, т.е. решения операторного уравнения: Ш = UHQ, где HQ = -Д (Л - оператор Лап-'
ласа), Н = Н0 + q(x), вещественная функция q(x) называется потенциалом. В зависимости от того какаим выбран оператор преобразования, получается тот или иной путь решения обратной задача.
Первое глубокое исследование многомерной обратной задачи предпринял Л.Д. Фаддеев в цикле работ [1-2] часть результатов которого
-
Фаддеов Л.Д. Трехмерная обратная задача квантовой теории рассеяния / Сб. тр. Всес. симпозиума по обратным задачам для дифференциальных уравнений. - Новосибирск, 1972. - С. 94-99.
-
Фаддеев Л.Д. Трехмерная обратная задача квантовой теории рассеяния / Современные проблемы математики. - М.: ЗКС?". 1970. - Т. 3. - С. 93-180.
били независимо получены Р. Ньютоном!1,2J.
однако, к настоящему времени, строго не было доказано суще-СГІЮВ01ШЯ іш одного оператора преобразования для уравнения Шре-дангера. Например, Л.Д. Фаддеев о) ВВ8л оператор преобразования для уравнения П'рвдингера в виде:
У Г - Г(х) + Г іух.у)Г(у)(Зу. (1)
(х-у.7) где 7 - одиничний вектор в R3 задающий направление вольтерровости и предложил путь, как можно доказать существование таких операторов преобразования, т.е. внвел 14} необходимое и достаточное условие существования соотввтствунцйго локального потенциала, но дал лишь приблизительную схему доказательства "достаточности". Р. Ньютону удалось лшь доказать, что если существует оператор преобразования, то он единственен, но ему но удалось доказать это в общем случае (21.
Следующим шагом в поисках операторов преобразования является
-
Newton R.C. Proceeding or the NATO Advanced Study Institute of the Scattering Theory, eda. Levita J.A., J. Movchand, Denver, Colorado. 1973. - 173 p.
-
Newton H.C. She Three-dlmencia Inverse Scattering Problem In Quantum Mechanics, Indiana Univ., Blooralngton. 1974. - 14П p.
-
Фоддеов Л.Д. Трехмерная обратная задачо квантовой теории рассеяния / Сопроншшш проблеми матвіштміш. - Н.: ВШГИТЙ, 1770. - Т. 3. - С. 93-1 ВО.
-
Фаддеев Л.Д. / Препринт Института теоротячоск' (5 фмтт. - К;я»п: КТФ -71-1Ш5. 1971.
работа 11), где А.А. Дурмагамбетовым впервые било предложено искать операторы преобразования в виде:
Uf = Г(х) + j" A(x,y)f(y)Oy. (!!)
І*І>|УІ
Там же било получено, что в обоих случаях ядра операторов преобразования Фаддеовского вида (J) и нового вида (1!), удовлетворяют характеристическим задачам для ультрапшерболического уравнения. В первом случав получена характеристическая задача Коши для уль-трагипврболического уравнения, а во втором, краевая задача для ультрагжюрболического уравнения с данными на характеристическом конусе.
В связи с этим возникает необходимость решения некоторых краевых задач для ультрагвдврболичвекого уравнения, чему и посвящена настоящая работа, хотя изучение самой теории ультрагиперболических уравнении вызывает немаловажный интерес.
Цель роботи. Настоящая работа посвящена решению некоторых краевых задач для ультрагиперболического уравнения, необходимость которых следует из вьшвизложенного. И в конечном итоге, завершает построение операторов преобразования в обоих предложенных Л.Д.Фадцеевым и А.А.Дурмагамбетовым видах поиска операторов преобразования.
1. Дурмагамбетов А.А., Сейдалин Т.М. Оператори преобразования для многомерного уравнения Шредингера / Тезисы всесоюзной конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дюМарон-циалышх уравнений". - Алма-Ата, 1991. - С. 119.
-г-
Hayouix новизна. Б диссертационной рябого предлагается метод роїиіігля краевых уидяч длїі ультр»г"лпнроЧшіческого уравнения для ядра оперн-гор^н лрообразовлния, нродлохешінх Л.Д.Фаддвввим [11 и А. А.Дурмн'.'нчСч.т>л»м KM .
Н.чиб' 'jet- іі.'іхннч моментом при доказательстве единственности рчшеяим крмешх задач для ультрагштерболичоского уравнения , -яіиіяютсй otciflrnia Функции Ірина, построешюЯ нами в этой so работе. Доказательство единетиеішостії решения дало нам возможности він-рвия ввести новое определение операторов прообразопаїшя в обобщенном смысле. Доказательство существования решения краевых задач для ультрагштрболического уравнения, впервые оішрается нэ »мтод последовательных приближений для обобщенных функция.
Теоретическая и пракпичесная ценность. Робота носит теоретический характер. Результаты работа могут быть применены тгри исследовании нелянейшх Уравнений, и том числе в обратной задаче рассеяния; в компьютерной томографии, в квантовой механике.
3. Фаддеев Л.Д. Трехмерная обратная задача кваптопоА теории рас-сетмя / Соврбидшшв проблема математики. - М.: ВИШ'И, 1970. - Т. 3. - С. 93-180.
1. Дурмагамботсп А.А., Сейдялкн Т.М. Оператора преобразования для многомерного уравнения ігіредіпггера / Тезиси всесоюзной копів -рсівдш "Кртялів задачи и six сивктр&яьпио иекцюсы для діі№4И" цч-глытх ураттпняй", - Алма-Ата, 1991. - С. 159.
Лпробаціія работы. Основіше результаты диссертации докладывались на семинарах членов корреспондентов ИЛИ РК, профессоров: М.О. Отелбпевв, К..А. Касимова, С.Н. Харина. Д.У. Умбетаанова; академика ИА РК Ш.С. Смагудова, на наїчних конференциях "Краевыо задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений"(г.Алма-Ата, 1991.май), "Теория приближения и вложения функциональных пространств" (г.Караганда, 1991, июнь), на семинарах КПМ, на научном семинаре в Инженерной Академии.
UyCuuxaufJU- По теме диссертации опубликоваїш четыре статьи, перочонь которых приложен в конце реферата.
Структура и объел роботи. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на 7 параграфов, и списка литературы, содержащего 34 наименования.
Похожие диссертации на О свойствах операторов преобразования для многомерного уравнения Шредингера
