Содержание к диссертации
Введение
Глава I. О разрешимости обратной задачи потенциала ... 12
1. Постановка обратной задачи и сведение ее к нелинейной краевой проблеме для анали тических функций 12
2. Локальная разрешимость обратной задачи потенциала 25
3. Достаточные условия разрешимости обратной задачи потенциала 41
4. Оценки коэффициентов ограниченных однолистных функций 63
5. Оценки коэффициентов однолистных полиномов : 77
6. Необходимые условия разрешимости обратной задачи и априорные оценки решений 95
7. Продолжение по параметру решения обратной задачи потенциала III
Глава II. Об одном классе обратных краевых задач для аналитических функций 123
I. Постановка и классификация задач 123
2. Обратная линейная задача. Определение плотности тела по заданному потенциалу ...136
3. Об аналитичности и гладкости решений обратной задачи 162
4. Об одной задаче сопряжения гармонических функций и обратной к ней. Метод искусственного подмагничивания в электроразведке 175
5. Обратная задача для интеграла типа Коши, случай ограниченной и неограниченной линий интегрирования 191
Глава III. Некоторые приложения к гравиразвещке и магниторазведке 209
I. Постановка задач. Алгоритм численного
построения эквивалентного семейства ре
шений по аналитически заданному полю 209
2. Об одном способе аппроксимации (аналитического продолжения) гравитационных полей. 216
3. Примеры численного построения эквивалент ных семейств решений 219
4. О нулях гравитационного потенциала. Восстановление сечений тела по модулю градиента внешнего потенциала 231
5, Таблица оценок коэффициентов однолистных полиномов 239
Литература
- Локальная разрешимость обратной задачи потенциала
- Обратная линейная задача. Определение плотности тела по заданному потенциалу
- Обратная задача для интеграла типа Коши, случай ограниченной и неограниченной линий интегрирования
- Об одном способе аппроксимации (аналитического продолжения) гравитационных полей.
Введение к работе
Обратные задачи для дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными) состоят в определении дифференциального оператора (коэффициентов, правой части, на -чальных и граничных значений по некоторой информации о решении (дополнительные граничные или начальные условия, задание решения на некотором подмножестве области его определения, задание функционалов от решения). Первой обратной задачей можно считать классическую задачу, идущую от Ньютона, о фигурах равновесия вращающейся жидкости: найти такое тело, ньютоновский потенциал которого совпадает на искомой границе с заданной функцией, описывающей потенциал центробежных сил. С точки зрения обратных задач данная проблема трактуется как задача определения правой части уравнения Пуассона по дополнительным граничным данным. Теория фигур равновесия приковывала к себе внимание известных математиков в течение дли -тельного периода времени; это связано с важностью ее выводов для теории фигур небесных тел, в том числе и Земли, а также привлекательностью ее задач, сочетающих простоту постановки с большими трудностями решения.
В связи с развитием геофизических методов исследования внутреннего строения Земли возникли и начали изучаться об -ратная кинематическая задача сейсмики, обратная задача теории потенциала, которая является математической моделью об- ратных задач гравиразведки и магниторазведки, обратная задача электроразведки. Широко известны обратная задача Штурма - Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения, и обратная задача рассеяния, нашедшие применение при исследовании ряда важнейших нелинейных уравнений физики.
Круг рассматриваемых обратных задач постоянно расширяется. Одновременно идет процесс внутреннего развития теории обратных задач, устанавливается классификация по типам дифференциальных уравнений, относительно которых ставится обратная задача, по размерности искомых функций, по методам их исследования и т.д.
Обратные задачи, как правило, являются некорректно поставленными. Дело осложняется тем, что данные обратных геофизических задач измеряются с ошибками и лишь в конечном числе точек, здесь возникает задача аналитического продолжения (продолжение решением уравнения) функций, которая сама является типично некорректной.
В связи с большой прикладной важностью некорректных задач, а также - с развитием вычислительной техники методы их решения интенсивно развивались начиная с середины пятидесятых годов. В вопросе постановки и исследования некор -ректных задач принципиально важное значение имеют работы А.Н.Тихонова [ІІ8-І24] , М.М.Лаврентьева [53-55, 58-62] и В.К.Иванова [33, 35, 40, 4IJ . Развитие теории некоррект -ных задач и ее приложение к решению конкретных задач дано в работах их учеников и последователей |_7, 19, 72, 73, 87, 102, 103, 117] .
Также интенсивно в этот период исследовались обратные задачи для дифференциальных уравнений; особенно большой вклад внесен М.М.Лаврентьевым и его сотрудниками, в иссле- дованиях [З, 6, ІЗ, 55-62, 94, 95, 127, 128) рассмотрен широкий круг вопросов для обратных задач, возникающих в геофизике. Возникающие в обратных задачах проблемы часто отличаются от классических постановок в теории дифференциальных уравнений, это стимулирует развитие самой теории.
2. Обратная задача потенциала состоит в определении области и плотности по заданному внешнему ньютоновскому потенциалу. Спецификой является то, что неизвестный объект -область. Это роднит данное направление с задачами, встречающимися в теории фигур равновесия вращающейся жидкости [42, 65, 66J в теории упруго-пластичности j_5j , в гидродинамике и в теории фильтрации [51, 7IJ . Существенным моментом является нелинейность этих задач.
Первый результат в обратной задаче теории потенциала относится к проблеме единственности. П.С.Новиков в 1938 г. доказал Г?5J , что из равенства внешних потенциалов звездных областей постоянной плотности следует совпадение областей. Разработанный им метод (лемма П.С.Новикова), заключающийся в том, что плотность, создающая нулевой внешний потенциал, ортогональна всем гармоническим функциям, успешно применялся многими авторами Гв, 32, 45, 67, 97, 101, I67-I69J; особенно полные исследования проведены А.И.Прилепко [79-83, 85, 87J . Второй подход к проблеме единственности, связанный с исследованием особых точек потенциала, предложен А.А.Замо-ревым 26-29J , он применяется в классе областей, границы которых имеют общий участок. В отличие от интегрального характера метода П.С.Новикова здесь задача локализуется.
Вопрос о существовании решения обратной задачи потенциала начал.изучаться Л.Н.Сретенским J99J в 1938 году. Используя методы, применяемые в теории фигур равновесия враща- ющейся жидкости Гб5, 66] , он доказал существование решения "вблизи" шара в случае постоянной плотности. В более общей ситуации локальные теоремы существования были получены В.К.Ивановым I 34J и А.И.Прилепко I 84J , а также в I 44J . Рассматривался только трехмерный случай.
В широко известной работе IlI8j А.Н.Тихонова предложен принципиальный подход к вопросу об устойчивости: "... Хпри соблюдении некоторых условий) устойчивость обратной задачи есть непосредственное следствие теоремы единственности". Различные конкретные оценки устойчивости обратной задачи потенциала получены И.М.Рапопортом [ 9ij , Ю.А.Шаш-киным JI69J , В.К.Ивановым Гзз] , М.М.Лаврентьевым [55J , А.И.Прилепко [85J и другими авторами.
В связи с геофизической интерпретацией обратной задачи потенциала большой интерес представляет проблема продолжения измеренного по поверхности Земли гравитационного (магнитного) поля вниз, в область, недоступную для непосредственных измерений. Основы теории аналитического продолжения (продолжение решением дифференциального уравнения) функций с части границы области заложены М.М.Лаврентьевым [53-55, 59J . В цикле работ В.К.Иванова и его учеников [36-39J разработаны методы определения некоторых характеристик (моментов) возмущающих аномальных масс по измеренным значениям производных потенциала.
Численные методы решения обратной задачи потенциала (гравиметрии, магнитометрии), основанные на понятии регуляризации некорректных задач, которое ввел А.Н.Тихонов |_I20 , I2IJ , разрабатывались В.Н.Страховым J_I03J , Б. В.Г ласко l9] , В.И.Старостенко Г102] , Е.А.Мудрецовой JJ73J и другими авторами.
В.К.Иванов [ЗО,Зі! двумерную обратную задачу потенциала свел к нелинейному сингулярному уравнению относительно функции конформно отображающей единичный круг на искомую область. С этих работ началось исследование обратных задач методами теории аналических функций комплексного переменного. Один частный случай еще ранее был рассмотрен И.М.Рапопортом [90J . В последнее десятилетие шло интенсивное развитие этого направления. Различные обобщения и приложения уравнения В.К.Иванова были сделаны В.Н.Страховым [І04-ІІЗ] , А.В.Цирульским JJ3I-I36J особенно широко использовался тот факт, что в некоторых случаях нахождение отображающей функции сводится к отысканию конечного числа параметров из конечного числа уравнений. По существу построена новая математическая теория плоской обратной задачи потенциала на основе методов теории функции комплексного переменного. Автор данной работы также принял в этом участие.
3. Дадим постановку задач, рассматриваемых в диссертации.
ЗАДАЧА I (обратная задача потенциала). В односвязной области I плоскости "Z- X+LUs определена непрерывная функция М (? ?) , а в окрестности точки "5F = ОО задана аналитическая функция to=# + -fk+"'+-%^- «> *+ Т
Найти такую ограниченную односвязную область oU в / с жор-дановой границей, что ии[^)~ Ц(^ Я)0м) , где
ЗАДАОД 2 (определение плотности). Задана область а в определена аналитическая функция вида (I) непрерывная в JJ . Найти такую функцию /VI ^н) в о/ , что Ull^lT&^fA) .
Исследуется также трехмерный аналог задачи 2, как для ньютоновского потенциала, так и для потенциала эллиптического уравнения, в частности для уравнения Гельмгольца.
ЗАДАЧА 3. В односвязной области Т определена аналитическая функция -ffe) , а в окрестности точки "Z=GO задана аналитическая функция (/.() вида (I). Найти такую область с границей р и аналитическую в си функцию
Задача 3 составляет математическую модель обратной задачи магниторазведки в методе подмагничивания. Функция -г описы вает искусственное магнитное поле, LL - измеряемое вторичное поле, /1~(/^І±+М%)/(Мі-ЛІ2) , где МіЛІ - магнитные проницаемости сред Q) , J) соответственно.
Изучается также обратная задача для интеграла типа Коши состоящая в нахождении такой кривой, потенциал типа Коши, которой с определенной плотностью совпадает с заданной в окрестности точки 2"-со аналитической функцией. В случае неограниченной кривой получается математическая модель гравиразведки слоистых сред.
Выработан (совместно с А.И.Прилепко) подход к постановке и исследованию широкого класса обратных задач (задач с неизвестной границей) для аналитических функций. Пусть задана область oU с границей м . Требуется найти функции аналитические в <Ю,0 соответственно и непрерывные вплоть до границы по условию аҐ+№+сТ+ЛГ=1> HtSjc^o, (2, где (Х9 Vy С. й f - заданные функции. Обратными к этой задаче линейного сопряжения являются следующие типы задач.
I. Даны ; найти ОС и некоторые из коэффици- ентов cf9 о? С, of при заданных других по условию (2).
П. Даны cty о? с, a f в области / и Щъ) в окрестности точки ~^оо ; найти оО в / и U в оО по условию (2).
Ш. Вместо задания U (Z) в II задается ещё одно краевое условие на неизвестной границе
Кроме сформулированных выше задач в построенный класс входят и другие обратные задачи, возникающие в приложениях.
4. Главной целью работы является описание картины разрешимости и построение решений обратных задач теории потенциала. Используются методы теории функций комплексного переменного. Разработана методика исследования плоских обратных задач, основанная на теории краевых задач для аналитических функций и теории однолистных функций. В диссертации содержатся следующие основные результаты:
I. Доказаны локальные теоремы существования решения обратных задач потенциала как в случае ограниченных тел, так и в случае слоистых сред, а также в методе искусственного подмаг-ничивания. %щДоказана разрешимость обратной задачи потенциала для достаточно малых постоянных плотностей.
Получены необходимые условия разрешимости обратной задачи потенциала.
Получены априорные оценки решения обратной задачи потенциала.
Дано решение обратной задачи потенциала в классе звезд- - II - ных областей методом продолжения по параметру.
Разработаны методы, дающие лучшие в настоящее время численные оценки коэффициентов ограниченных однолистных функций и однолистных полиномов. Выявлена глубокая связь между обратной задачей потенциала и теорией однолистных функций.
На основании полученных теоретических результатов построен, реализованный на ЭВМ, алгоритм решения обратной задачи потенциала (гравиразведки) по полю заданному аналитически, характеризующийся универсальностью и обоснованностью.
Решена задача о нахождении гладких плотностей в данной области, создающий заданный потенциал как в двухмерном, так и трехмерном случаях.
Изучен вопрос о гладкости границы области в зависимости от гладкого продолжения через границу потенциала этой области.
10. Выработан общий подход к постановке и исследованию широкого класса обратных задач для аналитических функций, встречающихся в приложениях.
Локальная разрешимость обратной задачи потенциала
Исследование обратной задачи указанным способом в случае функции ) вида (27) при мъ-Ъ наталкивается на большие трудности, они связаны как с решением алгебраической системы, так и с проверкой решений на однолистность. Говорят, что обратная задача разрешима в конечном виде, если ее решение Z(t) представимо с помощью конечного числа параметров. Такой подход к исследованию обратной задачи вслед за В.К.Ивановым j3lj развивался в работах [I08-II0, 135-136} .
Здесь доказывается теорема существования и теорема единственности решения обратной задачи "в малом" или, как еще говорят, для тела близкого к данному. Применяются методы, отличные от разработанных, в трехмерном случае / 34, 44, 84, 99J , в частности, используется теория краевых задач для аналитических функций. Доказательство существования весьма конструктивно, последовательные приближения, позволя ющие найти решение задачи, строятся в явном виде, это будет использовано в дальнейшем для построения численного алгоритма решения обратной задачи, Отметим два принципиальных момента в нижеприведенных исследованиях. Во-первых, полностью изучена линеаризованная задача; во-вторых, преодолены трудности, связанные с возникающим уравнением разветвления. Изложение ведется по работе автора [144] .
Пусть функции а удовлетворяют условию Гельдера на окружности . Рассмотрим задачу нахождения функций (А (і)? Ф [i] , аналитических при и (і/ і соответственно и непрерывных в замыкании этих областей по краевому условию
Это есть обобщенная задача Гильберта или общая задача линей ного сопряжения Гіб, 18, 64, 70j . Известно, что она явля ется нетеровой при & (чФО , в частности, фредгольмовой, если индекс СС (ч равен нулю. В случаях lui - /о/ и \ь\ /#/ число линейно-независимых решений и над по лем действительных чисел однородной задачи определяется по индексам функций СС. ; каково С в других слу чаях, вообще говоря, неизвестно L64J . Если обозначить Со- - , то (10) запишется в виде (12), где ауи[г02] , и как по казывают примеры, ни одно из двух указанных соотношений между СС и о не выполняются. Тем не менее определим число с в данном случае. Для этого преобразуем (10).
Предельный элемент обозначим Мбо По построению имеем (Aoafe)- U fc) I ZeJc , отсюда, в силу теоремы единственности для аналитических функций получаем . Поэтому величи на стремится к нулю при Кь - со , что про тиворечит (25). Решение Шх(ч уравнения (21) есть предел по -следовательных приближений где CUQ - любой элемент из шара Цсо// Я Оператор П построим явно, для этого решим краевую задачу (18). Запишем (18) в виде р+=Ії миї + іг /іио +№3± А)З Ш э (26) где г Z Ф . Отсюда получаем для г следующее крае вое условие Решение этой задачи дается формулой Шварца - 37 Краевое условие (26) принимает вид здесь уже известная функция. Задача об отыскании функции to (t аналитической при , по краевому условию (27) называется задачей Римана - Гильберта. Как легко проверить, функция і %(Ч есть решение однородной задачи (27), но тогда известно, что решение неоднородной задачи записывается в виде С помощью этой формулы упомянутые последовательные приближения (. находятся явно. Итак, доказано существование решения обратной задачи потенциала "в малом" и дан метод его построения.
Обратная линейная задача. Определение плотности тела по заданному потенциалу
Следующим этапом является исследование вопросов существования и единственности решения обратных задач в целом.
Так как многие обратные задачи имеют важные приложения, то весьма актуальным является построение алгоритмов численной реализации их решений, что осложняется некорректностью этих задач.
Остановимся на вопросе аналитичности границы искомой области оО в зависимости от данных обратной задачи.
ТЕОРЕМА. I. Пусть /Ь замкнутая кривая Жордана и iUU + cW+ ]Vr=f,xe$. (Ю) Тогда, если функция (A () аналитически продолжается из 3j в окрестность точки %0 Р , функции DyCjO0 -f аналитичны по 2 , "2 в окрестности 20 и то P - аналитическая кривая в окрестности 2$ . Общий случай задачи (I) сводится к рассмат-риваемому условию (10) исключением члена содержащего U с помощью условия сопряженного к (I).
В случае 6-і -%с=0 , d--d получаем известный результат [ЗО, I39J об аналитичности границы области в предположении продолжимости внешнего потенциала этой области с аналитической плотностью М- f № )ФО . Из построенных в этом случае примеров следует, что / не обязательно регулярная аналитическая кривая, а если условие (II) нарушено, то /-) может быть не аналитической кривой.
Покажем, что из (10), (II) следует где g(z) - аналитическая функция в и непре рывная в - достаточно малая окрест ность Zo . Построим вспомогательную функцию
Функция: U определяется формулой U-Czj & () . В силу условий теоремы,функция /"(2,Vf,?j аналитична по комплексным переменным Z W Z в окрестности Zc , Wo=" e , То-і Ш и F(zo7Wo o} 0. Далее Выражая 2Г= U (z) из (10) и подставляя в г на основании (II), получаем rw (Zo; W0 TG) 0 . Теперь из теоремы о неявных функциях следует где Фіг ) - аналитическая функция в окрестности точки 5Ъ to . Эти рассуждения справедливы для всех точек достаточно близких к Zo и лежащих на м , благодаря этому имеем (ft), где a[z) = Ф& 1t №) .
Пусть (ту - конформное отображение круга на область , тогда 2"/т/ есть пределнное значение функции (//- 2" try аналитической при Ш d. . Из - 136 (12) получаем . На основании свойств функции ofe) и принципа непрерывности для аналитических функций эта формула дает аналитическое продолжение функции ъ Ш из lH d в окрестность точки Z0 . Но тогда и г(Г/ - аналогична в окрестности с О , т.е. р - аналитическая кривая. Теорема доказана.
Для обратной задачи потенциала вопрос о гладкости искомой границы в зависимости от гладкости исходных данных в классах Гёльдера рассмотрен в 5 3.
Обратная линейная задача. Определение плотности тела по заданному потенциалу Исследуется задача о нахождении плотности тела, создающего заданный потенциал вне тела. Вопрос о единственности решения этой задачи был поставлен М.М.Лаврентьевым (см. 82 ). Ряд классов единственности построен А.И.Прилепко 80, 87 . Данная задача имеет важное значение при интерпретации аномальных- гравитационных и магнитных полей ИЗ .
Здесь дается явное описание всех плотностей из пространства Гёльдера, создающих нулевой внешний потенциал в зависимости от формы области, а также строится частное решение этой линейной задачи. Исследование проводится как в двумерном так и многомерном случаях. Дается обобщение результатов для потенциалов эллиптических уравнений, в частности, для уравнения Гельмгольца. В последнем случае получаем математическую модель синтеза объемных акустических антенн [А] . Приводится также ряд частных результатов, относящихся к вопросу об определении плотности в некоторых классах
Обратная задача для интеграла типа Коши, случай ограниченной и неограниченной линий интегрирования
Интеграл, записанный слева в (I), есть функция, удовлетворяющая условию Гёльдера во всей плоскости с показателем сколь угодно близким к единице, а значит # иг) , где Е сколь угодно близко к // и //. Поэ -тому функция f- , определяемая (7), принадлежит
Покажем ограниченность второго слагаемого в круглых скобках при //і/ і , Ня1 1 . Можем считать, что и пусть Q - расстояние от до окружности Ш-± . Рас смотрим два случая /;г // ц и /x Zi/ c/ .В первом случае, используя неравенство , заключа ем , что оцениваемая величина ограничена числом Z КцК Кб Если же \LZ Т-І\ ц , то, принимая во внимание оценку \iHi)\ K6J -9 Ш І-J, имеем it Итак, доказана ограниченность второго слагаемого в (15), поэтому d Обратимся к (7), в силу наших предположений (АГ )]б CQI (Т иГ) , а значит и Cd ( / ill). Поэтому из уравнения tifk , где И , k строятся по формулам (12), вытекает [{)є С. , что и требовалось.
В начале докажем, что Р » если С этой целью покажем, что правая часть в (9) есть функция класса L,[T УГ/. Функции J , & му классу принадлежит, покажем, что d. для чего достаточно доказать
Первое слагаемое, очевидно, из L ( I Ul J . Исследуем функцию d 2" п/ Так же как и в лемме 3 имеем
Из этих оценок следует, что доопределяя нулем при , получим непрерывную в T+l/T UP функцию. Повторяя рассуждения, использованные в лемме 2 (или 3), получаем
Применяя последовательно описанный способ, убеждаемся в справедливости леммы 4. Сформулированная в 1 теорема I является следствием лемм 1-4. При доказательстве теоремы 2 приходим к (б), где функ-ция If = if И) аналитична в и непрерывна в . Но тогда, на основании принципа непрерывности для аналитичес -кого продолжения, формула (6) дает аналитическое продолже -ние функции Н) из Ш в окрестность точки i0 , ; функция "2#(f/ поэтому также аналитична в окрестности "to Последнее означает, что кривая к в окрестности точки 0=2(/0/ есть образ дуги окружности при аналитическом отображении, т.е. /Ь - аналитическая кривая. Этим заканчивается доказательство теоремы 2.
При условиях теоремы 2 не используется и не доказывается регулярность границы р , возможен случай, когда z tfo/ O . В I гл. I приведен пример ана - 172 литического продолжения внешнего потенциала кардиоиды "Н(г/ t+zZ через особую точку 2" -/
Условие не обращения в нуль плотности существенно для справедливости теорем I, 2. Это вытекает из следующего примера.
Пусть си - треугольник с вершинами в точках И±=0 , 2 =4 , 73=с , а М&,ъ) = 2ъ2 = 2(Х +у ) . Покажем, что в этом случае функция ц (%) аналитически продолжается в окрестность угловой точки функция аналитическая в окрестности 5 . Обозначим сумму двух последних интегралов через J( z) , вычислим Jfe) :
Отметим, что в последовавших за этим примером работах / 7б, 115J изучался вопрос о влиянии обращения в нуль плотности в угловой точке границы на продолжимость потенциала через эту точку. . Рассмотрим интеграл типа Коши по гладкой кривой м с гёльдеровой плотностью I (Zj Z) :
На основании формулы Сохоцкого - Племеля получаем краевое условие (3). Значит справедливо следующее утверждение. Если ПбЬл в окрестности точки Z0 6 Р , l feoj-Zc) О и (/fe) или Й/У продолжается в окрестность 5# функ-цией класса І, , то Р6 у в окрестности -Z.Q
Теоремы I, 2 используются для построения классов единственности решения обратной задачи потенциала. Теорему 2 можно сформулировать так. Если граница н области U) в точке Z06и не является аналитической кривой, а плотность м( ) аналитична в Ч.о и MlZo oJ O , то потенциал V ІЖ\ заведомо не продолжается аналитически в окрестность о В случае М const им- кусочно-аналитической кривой это использовал А.А.Заморев /_2б - 29] . при построении классов единственности, затем его исследова,-. ния были продолжены в работах [42, I32J .
Об одном способе аппроксимации (аналитического продолжения) гравитационных полей.
Пусть граница области JJ принадлежит классу С , 0 d d и функция \л/бС (Ю7) . При М% = 0 задача (I), (2) равносильна задаче Шварца (12), которая, как известно, имеет единственное решение.
Если М О , то задача (I), (2), в силу теоремы I сводится к решению общей задачи линейного сопряжения (9). Известно, j_64J , что индекс задачи (9) равен удвоенному индексу коэффициента при и , т.е. в нашем случае нулю, поэтому задача (9) фредгольмова. Далее, известно, [70J , что однородная \f ) задача (9) при 1/11 1 (случаю /f i соответствует Mi- 0 ) имеет только тривиальное решение, а значит для любой f («V существует решение задачи (9) из класса С1($) . При /УК ГІФО теория краевых задач для аналитических функций не дает ответа на вопрос о числе решений однородной задачи. Лишь в том: случае, когда ой -круг, легко заметить, что однородная задача также имеет только тривиальное решение. Отметим, что если , то числа Mi. , М% одного знака, а при У1 . - разных знаков. В случае //-0 (А = 0 ) задача (9) не является нор - 181 мально разрешимой. В частности, для круга (tl d нетрудно проверить, что она разрешима только при 4-0 и тогда ее решение есть U -4 , U -с/+ » где с/+ - произвольная функция, лишь только д {о)-0 ,
В случае круга задачу (9) удается решить явно для любой f- . Перепишем (9) следующим образом
Известно, что U если предельное значение функции аналитической при Мкі , а Р - аналитической при Ц1 1 , равной нулю при 2г=с о # Поэтому на основании принципа непрерывности аналитического продолжения получаем, что левая и правая части равны нулю, т.е.
При Мо 0 задача (I), (2) сведена к задаче Шварца (12), решение которой можно выписать явно. G этой целью ис пользуем отображение 2я(/ внешности круга с условием (OQ) 0 . Функция У1Мш есть предельное значение функции (А (у аналитической в круге Ш 4 , поэтому (12) принимает вид Решение этой задачи дается формулой Шварца.
Невыясненным остается вопрос о явном решении задачи (9) а значит и задачи (I), (2) в общем случае.
Займемся вопросом об аналитическом продолжении решений задачи (I), (2) через кривую р . Пусть кривая Р аналитична и регулярна в окрестности точки 0 м и . -ffe) аналитична в окрестности 2о , тогда решение задачи (9) функции 11%), Щг) аналитически продолжается в окрестность 2 э . Обозначим через z(x/ функцию конформно отображающую круг на область ои с условием Известно, что H(w аналитична в окрестности точки to : r/zoJ= 0 Краевое условие (9) запишем в виде
Функция аналитична в окрестности l0 , как супер-позиция аналитических функций, тогда [T Z 4X J \YI ТО же аналитична в окрестности 0 и fx=f при lil=d. Функция аналитична во внешней относительно области \t\ i полуокрестности и о , а тогда есть предельное значение функции аналитической во внутренней полуокрестности точки о . Итак, левая часть является пре -дельным значением функции Ф [ 1 аналитической во внутренней полуокрестности tо .
