Введение к работе
Актуальность темы Асимптотические методы занимают важное место в теории дифференциальных уравнений Это объясняется тем, что задачи, рассматриваемые в теории дифференциальных уравнений, в подавляющем большинстве не имеют явного решения в виду сложной зависимости от числовых и функциональных параметров, входящих в эти задачи Однако правильное описание решения или нахождение приближенного решения можно существенно упростить, если известно, что некоторые из параметров очень малы, либо, наоборот, велики Для решения таких задач привлекаются асимптотические методы Эти методы, как правило, связаны со спецификой рассматриваемой задачи Одним из классов задач, которые успешно решаются применением асимптотических методов, являются сингулярно возмущенные задачи Такие задачи описывают многие реальные модели окружающего мира Этим они интересны для исследователей-физиков Значительный вклад в развитие асимптотических методов в теории сингулярно возмущенных задач внесли В М Бабич, Н С Бахвалов, Н Н Боголюбов, В Ф Бутузов, А Б Васильева, М И Вишик, Р Р Гадылыпин, Ю Д Головатый, В В Жиков, А М Ильин, Л А Калякин, С М Козлов, О А Ладыженская, Л А Люстерник, В Г Мазья, В П Маслов, Ю А Митро-польский, С А Назаров, В Ю Новокшенов, О А Олейник, Г П Па-насенко, Б А Пламеневский, Э Санчес-Паленсия, Б И Сулейманов, А Н Тихонов, М В Федорюк, Г А Чечкин, А С Шамаев и многие другие
Одним из типов сингулярно возмущенных задач являются задачи, асимптотики решения которых не могут быть описаны при помощи только одного асимптотического ряда Для полного и правильного описания решения требуется построение нескольких асимптотических рядов Такого типа задача исследуется в данной диссертационной работе
В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи для оператора Шредингера в ограниченной области Практически во всех задачах, рассматриваемых в диссертации, возмущение описывается потенциалом, который зависит от малого параметра є таким образом, что при є — 0 мера носителя потенциала стремиться к нулю, а значение потенциала неограниченно растет В последнем параграфе заключительной главы, рассматривается случай, когда возмущение - потенциал, принимающий конечные значения С физической точки зрения, рассматриваемая задача, в зависимости от знака потенциала, соответствует или задаче о потенциальной яме или задаче о потенциальном барьере с бесконечно высокими стенками Цель работы -
построение асимптотических разложений собственных значений и соответствующих собственных функций для рассматриваемых задач То есть, в диссертации проводится исследование дискретного спектра оператора Шредингера, с указанным выше возмущением
Изучение дискретного спектра стационарного оператора Шредингера, возмущенного малым потенциалом, на оси и плоскости - классическая задача математической физики Исследованию такой задачи посвящено достаточно много работ Выделим лишь основные
В книге Л Д Ландау и Е М Лившица1 авторами рассмотрена задача о возмущении оператора Шредингера малым потенциалом на оси На физическом уровне строгости авторами вычислены асимптотики собственных значений и соответствующих собственных функций Математически строгие результаты для задач на оси и плоскости были получены в работах В Simon, М Klaus, R Blankenbecler, М L Goldberger 2 В этих работах исследован дискретный спектр операторов
--T-j + eV(x), -A + eV{x), 0 < е < 1 на оси и плоскости, соответственно Функция V удовлетворяет условию
f{l + \x\)\V{x)\dx
і \V(x)\1+^dx < со, /"(1 + x2)->\V{x)\dx < оо,
»2 К2
где 7 > 0 - некоторое число В этой постановке авторами были установлены необходимые и достаточные условия существования малого собственного значения Оказалось, что вопрос наличия собственного значения зависит от среднего значения потенциала V
(V) = fv{x)di
1Л Д Ландау, Е М Лившиц Теоретическая физика Т 3 Квантовая механика Нерелятивистская теория М Наука, 1974
2 В Simon The bound state of weakly coupled Schrodinger operators in one and two dimensions // Ann Phys 1976 V 97 P 279-288
M Klaus On the bound state of Schrodinger operators in one dimension // Ann Phys 1977 V 108 P 288-300
R Blankenbecler, M L Goldberger, В Simon The bound states of weakly coupled long-range one-dimensional quantum Hamiltonians//Ann Phys 1977 V 108 P 69-78
M Klaus, В Simon Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum mechanics I Short-range two-body case//Ann Phys 1980 V 130 P 251-281
В случае, когда собственное значение существует, то строятся первые члены его асимптотики по малому параметру є Случай нелинейной зависимости потенциала от малого параметра был рассмотрен F Bentosela, R М Cavalcanti, Р Ехпег, V A Zagrebnov3 В работах Гадыльшина Р Р 4 результаты, полученные в упомянутых выше работах, были обобщены на случай возмущения, осуществляемого произвольным малым локализованным оператором второго порядка Упомянем также задачи о квантовых волноводах задачи для оператора Лапласа в бесконечном цилиндре в Rn, п > 2 с граничным условием Дирихле на границе и с малым возмущением Возмущением может быть, например, малый потенциал, искривление области, смена типа граничного условия и тд Таким задачам посвящены работы Duclos Р и Exner Р 5, Bulla W , Gesztesy F , Renger W и Simon В 6, Exner P и Vugalter S A 7, Bonsov D , Ехпег P , GadyPshm R и Krejciflk D 8 В свою очередь, результаты последних работ были обобщены в статье Гадыльшина Р Р9 В этой работе был развит подход, предложенный автором в работах о возмущении оператора Шредингера на оси и плоскости
Заметим, что в отличие от приведенных выше работ, где рассматривалось регулярное возмущение, в диссертации рассматривается случай, когда возмущение является сингулярным А именно, в диссертации рассматривается задача в ограниченной области с возмущением осуществляемым потенциалом
e-vg), а<2,
где V - бесконечно дифференцируемая финитная функция То есть, при є —> 0 носитель потенциала сжимается в точку, в то время как значение потенциала неограниченно растет Заметим также, что в силу ограниченности области замена переменных у = хє~1 не сводит эту
3 F Bentosela, R М Cavalcanti, Р Ехпег, V A Zagrebnov // J Phys А 1999 V 32 Р 3029-3039
4Гадыльшин Р Р О локальных возмущениях оператора Шредингера на оси // Теоретическая и математическая физика 2002 Т 132 С 97—104
Гадыльшин Р Р О локальных возмущениях оператора Шредингера на плоскости // Теоретическая и математическая физика 2004 Т 138 С 41-54
5Duclos Р , Ехпег Р , Curvature-induced bound states in quantum waveguides in two and three dimensions// Rev Math Phys - 1995 № 7 P 73-102
6 Bulla W , Gesztesy F , Renger W , Simon В , Weakly coupled bound states m quantum waveguides // Proc Amer Math Soc 1997 № 127 P 1487-1495
rExner P , Vugalter S A Bound states in a locally deformed waveguide the critical case И Lett Math Phys 1997 №39 P 59-68
8Bonsov D , Exner P , Gadyl'shin R , Krejcink D , Bound states in weakly deformed strips and layers // Ann H Poincare 2001 v 2 № З P 553-572
9 Гадыльшин P P О локальных возмущениях квантовых волноводов // Теор и матем физика 2005 Т. 145 Д«3 С 359-372
задачу ни к упомянутым выше решенным задачам, ни к более простой
Похожими по постановке с задачами, рассматриваемыми в диссертации, являются задачи о концентрированной массе Особенность и схожесть этих задач заключается в том, что в качестве возмущения рассматривается прикрепление массы на малом участке области, диаметр, которой является малым параметром є С математической точки зрения, масса соответствует множителю при спектральном параметре произвольного эллиптического оператора в ограниченной, либо неограниченной области с произвольным граничным условием Этот множитель, зависящий от малого параметра є, стремиться к бесконечности при є —» 0 Для таких задач ставится вопрос об изучении влияния сосредоточенной массы на спектр эллиптического оператора при различных условиях на скорость роста значений массы Этим задачам посвящены работы Ю Д Головатого, О А Олейник, С А Назарова, Э Санчес-Паленсия, Gomez D , Lobo М , Perez Е
Заметим, что задачи, рассматриваемые в диссертации, не сводятся к задачам о концентрированной массе
Близкими по постановке являются задачи для эллиптических операторов, рассматриваемые либо в областях, которые получаются из фиксированной области выбрасыванием из нее малой подобласти, либо со сменой типа граничного условия на малой части границы Таким задачам посвящены работы А А Самарского, Sh Ozawa, В Г Мазьи, С А Назарова, Б А Пламеневского, А М Ильина, Р Р Гадыльшина и других авторов
Цель работы. Основная цель работы - доказательство теорем сходимости и построение асимптотических разложений по малому параметру собственных значений и собственных функций рассматриваемых краевых задач Малым параметром является мера носителя потенциала
Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем
1 В ограниченной области пространства числа переменных больше двух для возмущенного оператора Шредингера с граничным условием Дирихле и с потенциалом, принимающим большие значения, носитель которого сжимается в точку, доказана сходимость решений и собственных элементов к решениям и собственным элементам предельной задачи Дирихле для оператора без потенциала Получены равномерные по малому и спектральному параметрам оценки решений
В трехмерном случае построены и строго обоснованы полные асимптотические разложения по малому параметру собственных элементов для возмущенного оператора Получена явная формула для первого возмущенного члена асимптотики собственного значения
В случае произвольного числа переменных при дополнительном ограничении на скорость роста значений потенциала (а < 1) возмущенного оператора построена и строго обоснована двучленная асимптотика собственных значений Получена явная формула для первого возмущенного члена асимптотики собственного значения.
Методика исследования. Решения краевых задач понимаются в обобщенном смысле Сходимость решений возмущенных краевых задач к решениям предельной задачи и оценка решения доказываются в норме пространств Соболева Асимптотики строятся в два этапа Вначале проводится формальное построение асимптотических разложений, затем формальные асимптотики строго обосновываются Формальное построение проводится на основе метода согласования асимптотических разложений Обоснование формальных асимптотик осуществляется с помощью оценки решений возмущенной задачи в окрестности собственного значения предельной. При дополнительном ограничении на скорость роста значений потенциала возмущенная задача сводится к задаче теории регулярных возмущений
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы при изучении задач математической физики Такие исследования проводятся в С -Петербургском отделении Математического института РАН им В А Стеклова, Институте математики и механики УрО РАН (Екатеринбург), Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (Уфа), МГУ им М В Ломоносова, СПбГУ, БашГУ, БГПУ им М Акмуллы, Институте ядерной физики (Ржеж, Чешская Республика), а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинаре дифференциальных уравнений и математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН, на семинаре кафедры математического анализа БашГПУ, на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, БашГУ, 2002), на международных XXV и XXVI конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2003, 2004), на международной конференции "Дни дифракции-2006", (С -Петербург, 2006), на международной конференции "Тихонов и современная математика", посвященной 100-летию со дня рождения А Н
Тихонова (Москва, 2006), на международной конференции "Operator Theory in Quantum Physics", посвященной 60-летию P Exner (Прага, 2006), на всероссийской конференции "Математика Механика Информатика" (Челябинск, 2006), на международной конференции "Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика" (Уфа, 2007)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1)-[7] Работа [1] выполнена совместно с Р Р Гадыльшиным Работа [3] выполнена совместно с Д И Борисовым Из результатов этих работ в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых в совокупности на восемь параграфов и списка литературы, содержащего 80 наименований Общий объем диссертации - 92 страницы
