Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Двумерная краевая задача с локально периодическим чередованием граничных условий 25
1. Формальное построение асимптотических разложений для произвольной области 25
2. Модельная задача для пограничного слоя 32
3. Непрерывная зависимость от г\ и оценки коэффициентов формальных асимптотик 39
4. Доказательство теоремы 0.1 44
5. Доказательство теоремы 0.2 48
Глава 2. Двумерная краевая задача с непериодическим чередованием граничных условий 53
1. Формальное построение асимптотических разложений . 53
2. Формальное асимптотическое решение 63
3. Доказательство теорем 0.3, 0.4 77
Глава 3. Трехмерная краевая задача с периодическим чередованием граничных условий 81
1. Сходимость 81
2. Формальное построение асимптотик в условиях теоремы 0.6 91
3. Формальное построение асимптотик в условиях теоремы 0.7 100
4. Доказательство теорем 0.6, 0.7 111
Литература 115
- Непрерывная зависимость от г\ и оценки коэффициентов формальных асимптотик
- Формальное построение асимптотических разложений
- Формальное асимптотическое решение
- Формальное построение асимптотик в условиях теоремы 0.6
Введение к работе
Краевые задачи с различного рода сингулярными возмущениями -объект исследований многих ученых. Подобный интерес объясняется тем, что, с одной стороны, сингулярно возмущенные краевые задачи часто возникают как математические модели в различных приложениях, а с другой стороны - наличием у этих задач большого числа разнообразных свойств, интересных с математической точки зрения. Примерами такого рода задач могут служить краевые задачи для уравнений с малым параметром при старшей производной, с быстро осциллирующими коэффициентами, задачи в области с вырезанным множеством малой меры, задачи со сменой граничного условия на малом участке границе, задачи с частой сменой граничных условий, с концентрированными массами, задачи в областях с быстро осциллирующей границей, в перфорированных областях, в областях с тонкими отростками и многие другие (см., например, монографии [1, 2, 13, 28, 34, 37, 39, 41, 44, 46, 53, 54, 62], статьи [21, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 36, 40, 42, 43, 49, 50, 77, 78, 84] и многие другие работы).
Диссертация посвящена изучению сингулярно возмущенных краевых задач с частой сменой типа граничных условий. Вначале опишем в общих чертах такого рода краевые условия. На границе области, в которой рассматривается уравнение, выделяется подмножество. Основным свойством этого подмножества является то, что оно состоит из большого числа непересекающихся частей малой меры. Как правило, это подмножество зависит от одного или нескольких характерных малых параметров, при стремлении которых к нулю расстояние между отдельными компонентами этого подмножества и мера каждой отдельной компоненты стремятся к нулю (см. рис. 1). На этом подмножестве задается граничное условие одного типа (например, условие Дирихле), в то время как на оставшейся части границы задается граничное условий другого типа (например, условие Неймана). Цель исследований - описать поведение решений, когда характерные малые параметры стремятся к нулю. Рассматриваются
также задачи, в которых описанная смена краевых условий задается не на всей границе, а лишь на фиксированной ее части, в то время как на остальной части границы ставится одно из классических краевых условий.
Одной из самых простых физических моделей, описываемой краевой задачей с частой сменой граничных условий, является задача о мембране,
часто закрепленной на малых участках гра-Те ницы.
Рисунок 1.
Вопросы усреднения эллиптических краевых задач с частой сменой граничных условий исследовались достаточно широко (см., например, [3, 4, 56, 57, 61, 65, 67, 68, 69, 70, 74, 79, 80]). Основной целью этих работ было определение вида предельных (усредненных) задач при минимальном наборе требований к структуре чередования граничных условий, то есть, к поведению множеств с разными краевыми условиями. В [67, 69] рассматривалось уравнение Лапласа в ограниченной области с частой сменой граничных условий Дирихле и Неймана. Рассматривалось чередование граничных условий, имеющее непериодическую структуру, но дополнительно предполагалось, что части границы с разными граничными условиями имеют одинаковый порядок малости. В работах [3, 56, 57, 65, 68, 74, 79, 80] для линейных эллиптических задач с чередованием первого краевого условия со вторым либо третьим краевым условием были получены усредненные задачи и приведены достаточно простые условия, определяющие зависимость типа усредненной задачи от структуры чередования. Случай, когда подмножество границы с граничным условием Дирихле имеет периодическую структуру, исследовался в [57, 65, 68, 79, 80]. Сходимость в непериодическом случае изучалась в [4, 56, 74]. Отметим, что ограничения на структуру чередования граничных условий, гарантирующие
вывод усредненных задач, в работах [3, 56, 65, 68, 74, 79, 80] были сформулированы в терминах расстояний между отдельными частями границы с условием Дирихле, а также в терминах мер этих частей. В [57] ограничения на структуру чередования давалось в терминах минимального собственного значения некоторой модельной краевой задачи на "ячейке периодичности". При некоторых дополнительных предположениях это условие было переписано в терминах расстояний и мер. В [3] была рассмотрена краевая задача для уравнения Лапласа с частым чередованием граничных условий Дирихле и Неймана весьма общей непериодической структуры. Также было исследовано чередование, описываемое на основе вероятностного подхода. Были получены достаточно общие условия, гарантирующие сходимость решения рассматриваемой задачи. Краевые задачи для нелинейных эллиптических уравнений с частой сменой типа граничных условий рассматривались в [61, 70]. В [61] численно решалась задача, являющаяся моделью химической задачи о тепловом взрыве газа в результате экзотермической реакции в длинном цилиндрическом сосуде. Смена граничных условий возникала вследствие того, что теплоизолированные части стенок сосуда часто и периодически чередовались с идеально проводящими участками. Результаты, полученные численно в [61], в целом хорошо согласуются с результатами цитированных выше работ [3, 56, 65, 68, 74, 79, 80]. Численные результаты [61] позднее были теоретически подтверждены в [70], где рассматривалось усреднение некоторого класса нелинейных уравнений, в который уравнение из [61] входило как частный случай. В [70] вопрос о сходимости решений нелинейной задачи фактически был сведен к аналогичному вопросу для некоторой линейной задачи. Сходимость же последней может быть установлена на основе результатов [3, 56, 65, 68, 74, 79, 80].
Основные результаты, полученные при изучении сходимости задач с частой сменой типа граничного условия (как периодической, так и непериодической), кратко можно сформулировать следующим образом. Краевые эллиптические задачи с частой сменой типа граничного условия при
достаточно общих предположениях сходятся к задачам с классическими граничными условиями. Тип граничного условия в усредненной задаче зависит от соотношения мер частей границы с разными типами краевых условий в исходной возмущенной задаче.
Помимо определения вида усредненных задач для задач с частой сменой граничных условий, важен и актуален также вопрос об оценках скорости сходимости решений возмущенных задач к решениям усредненных. Для эллиптических задач с периодической сменой краевых условий такого рода оценки были получены в работах [3, 19, 57]. Оценки для непериодического чередования были установлены в [25, 47, 48, 66, 83].
В последние годы появились работы, в которых строились асимптотические разложения решений эллиптических краевых задач с периодической структурой чередования граничных условий [6, 17, 18, 20, 22, 58, 59, 75]. Отметим, что факт периодичности при получении асимптотик использовался по существу. В [58, 59] была рассмотрена краевая задача для уравнения Пуассона в многомерном слое, ограниченном двумя гиперплоскостями. Периодическое чередование граничных условий Дирихле и Неймана задавалось на одной из гиперплоскостей, причем части границы с краевым условием Дирихле стягивались к точкам. Также дополнительно предполагалось, что меры частей границы с разными типами граничных условий имеют одинаковый порядок малости. Для решения рассматриваемой задачи было получено полное асимптотическое разложение. В работах [6, 17, 18, 20, 22, 75] изучалась краевая задача на собственные значения оператора Лапласа в ограниченной двумерной области с периодическим и локально периодическим чередованием граничных условий. В [75] для единичного круга со строго периодической сменой граничных условий были формально построены первые члены асимптотических разложений минимального собственного значения в случае усредненных первой, второй и третьей краевых задач. В [17] для случая круга со строго периодическим чередованием и усредненной задачи Дирихле были получены полные асимптотические разложения собственных значений в до-
полнительном предположении, что части границы с разными граничными условиями имеют одинаковый порядок малости. В отсутствии этого предположения в [17] для произвольной области и чередования, сводимого к строго периодическому конформной заменой переменных, были получены первые члены асимптотических разложений собственных значений, сходящихся к простым собственным значениям задачи Дирихле. В работе [20] вновь были рассмотрены случай круга со строго периодической сменой краевых условий и случай произвольной области с чередованием, сводимым к строго периодическому конформной заменой переменных, но уже в предположении усредненной задачи Неймана. Отношение длин частей границы с условием Дирихле и Неймана задавалось явной модельной функцией. Для круга были построены полные асимптотические разложения собственных значений, для произвольной области -первые члены асимптотик собственных значений, сходящихся к простым предельным собственным значениям. Также было доказано, что в случае круга собственные значения возмущенной задачи, сходящиеся к предельным двукратным собственным значениям, сами имеют кратность два. В работах [6, 18, 22] для произвольной области с чередованием граничных условий, сводимого к периодическому некоторой гладкой заменой переменных, были построены первые члены асимптотических разложений собственных значений, сходящихся к простым предельным собственным значениям. Были рассмотрены случаи усредненных первой [18], второй [18] и третьей краевых задач [6, 22].
В работах [71, 72, 73] были рассмотрены краевые задачи для параболического уравнения с частым чередованием первого и третьего краевых условий. Чередование задавалось по пространственным переменным. Дополнительно предполагалось, что меры частей границы с разными граничными условиями имеют одинаковый порядок малости, что при усреднении приводило к граничному условию Дирихле. В [71], [72] - для периодической, а в [73] - для почти периодической смены граничных условий в различных нормах были оценены скорости сходимости и построены
первые члены асимптотических разложений решений рассматриваемых задач.
К задачам с частой сменой типа граничных условий близки задачи в областях с мелкозернистой границей. Постановка таких задач в общих чертах выглядит следующим образом. Уравнение рассматривается в неограниченной области. Краевое условие ставится на границе множества, состоящего из большого количества непересекающихся малых областей, расположенных близко друг к другу. Изучается поведение решения, когда число областей неограниченно возрастает, а расстояния между ними и их размеры стремятся к нулю. Вопросы усреднения таких задач изучались достаточно подробно (см., например, [41, 54, 55]). Асимптотические разложения решений таких задач с периодической структурой граничных условий были построены в [23, 24, 76].
Достаточно близки к задачам с частой сменой граничных условий задачи с большим количеством концентрированных масс. Здесь обычно рассматриваются уравнения на собственные значения, где при спектральном параметре стоит весовая функция. Граничные условия задаются часто чередующимися. Упомянутая весовая функция зависит от характерных малого (малых) параметра (параметров) и равномерно по ним ограничена всюду в области за исключением малых окрестностей, расположенных вдоль границы близко друг к другу. В этих окрестностях весовая функция имеет порядок обратной степени малого параметра - линейного размера окрестности. Усреднению такого рода задач посвящено достаточно много работ (см., например, [26, 51, 81, 82, 85]). Работам по усреднению задач со многими массами предшествовали исследования задач с одной концентрированной массой (см. [46] и содержащийся в монографии обзор литературы).
В диссертации рассматриваются двух- и трехмерные краевые задачи на собственные значения оператора Лапласа с частым чередованием типа граничных условий. Изучается чередование, имеющее как периодическую, так и непериодическую структуру. Основной целью являет-
ся получение асимптотических разложений собственных элементов рассматриваемых задач. Асимптотические разложения выводятся по следующей схеме. Вначале строятся формальные асимптотические решения. При этом используются методы асимптотического анализа: метод согласования асимптотических разложений [34], метод составных разложений [15] и метод многих масштабов [5]. Этот этап также включает в себя анализ коэффициентов формально построенных асимптотических рядов. Формальное построение завершается доказательством того, что построенные асимптотические ряды являются формальным асимптотическим решением. Это означает, что частичные суммы данных рядов удовлетворяют исходной возмущенной задачи с точностью до невязок малого порядка. Причем порядок малости должен увеличиваться при увеличении числа членов в частичных суммах. На следующем этапе формально построенные асимптотики строго обосновываются. Под обоснованием асимптотик понимается получение оценки для разности между истинными собственными элементами и формально построенными асимптотическими рядами. Подобное обоснование необходимо, так как формальное построение само по себе не может гарантировать, что полученные формальные асимптотические разложения действительно асимптотики истинных собственных элементов.
Опишем задачи, рассматриваемые в каждой главе диссертации, и основные результаты, полученные при их изучении.
Первая глава посвящена изучению двумерной краевой задачи с периодическим и локально периодическим чередованием граничных условий. Постановка задачи следующая. Пусть х = (х\, xq) - декартовы координаты, ш - произвольная ограниченная односвязная область в Ж2 с гладкой границей, s - натуральный параметр кривой дш, a S - длина этой кривой, s Є [0,5). Точки границы дш будем описывать с помощью натурального параметра, фиксировав направление обхода (против часовой стрелки) и произвольно выбрав точку на ди, которой соответствует значение s — 0. Для удобства изложения точкам границы, которым соответствуют
s, близкие к 5 или к нулю, сопоставим дополнительно значения (s — 5) и (5 + s). Обозначим: N ~Э> 1 - натуральное число, є — 2N'1
- малый положительный параметр. Для каждого значения N на границе дсо зададим подмножество j, состоящее из N открытых непересекающихся связных частей границы (см. рис. 1). Опишем множество /у более подробно. Для каждого значения N задаются точки хє, Є дсо, j = 0,..., N — 1, соответствующие значениям натурального параметра se- Є [0,5), причем расстояние между любыми двумя соседними точками, измеренное вдоль границы дсо есть величина порядка е. Далее, пусть заданы два набора из N функций каждый: аДє) и Ъ3(е), j = 0,. .., N — 1, где функции о,- и bj -неотрицательны и ограничены. Множество г)Е определяется следующим образом:
N-1
Ъ = (J Ъ,з, Ъ,з = {х : ~^А)
Без ограничения общности будем считать, что 7ej не пересекаются.
Рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача на собственные значения:
-Аф = Хф, хе со, (0.1)
ф = 0, хє7е, ^ = 0, хЄГє, (0.2)
где v - внешняя нормаль к границе дсо, Т — дсо\у. Целью является построение асимптотических разложений собственных элементов этой задачи при є —> 0 (или, эквивалентно, N —> со).
Положим а/у(є) = &о(є), &лг(є) = Ьо(є), seN = Sq. На множество j наложим следующее условие.
(С1). Существует функция 9{s) : [0,5] - [0,2тг], (9(0) = 0, 0(5) = 2тг, такая что для всех j — 0,..., N — 1,
Щ - єаЛє)) = (4) + 7rJ - єа{є), 0(s) + єау(є)) = 0(4) + ^ttJ + б(є),
0i С(дсо), 0 < сі < 6'(s) < C2, где сі, c2 - некоторые константы, не зависящие от s, а(е) и 6(e) - ограниченные неотрицательные функции.
Условие (С1) имеет простую геометрическую интерпретацию. Оно означает, что границу дои можно гладко отобразить на окружность единичного радиуса так, что при этом отображении множество ує перейдет в строго периодическое множество (см. (0.3)). Чередование граничных условий, имеющее подобную структуру, будем называть локально периодическим. Первая глава посвящена исследованию локально периодического чередования граничных условий в случае, когда усреднение в задаче (0.1), (0.2) приводит к краевому условию Дирихле. Согласно [56, 57, 74], собственные значения задачи (0.1), (0.2) сходятся к собственным значениям задачи Дирихле с сохранением совокупной кратности при выполнении равенства
lim е In 77(e) = 0, (0.4)
где 77(e) = 2 Одним из основных результатов первой главы является следующая
Теорема 0.1. Пусть выполнены условие (С1) и равенство (0.4)- Тогда для каждого простого собственного значения задачи
-Ат/^о = Ао^о, х Є о;, фо = 0, х Є дси. (0.5)
существует единственное собственное значение Х задачи (0.1), (0.2), сходящееся к Xq при е —> 0. Собственное значение Х простое и имеет двупара.м,етричесхую асимптотику
Ае = Ао + ХУ'АДт7), (0.6)
3 = 1
где Xj{r}) непрерывны по ц Є (0, тт/2], Xj{jt/2) — 07 j > 1,
^) = /^ In sin Tj, ^1 = /(^7) ^, (0-7)
A2(r/) = K2 In зіпту, i^2 = у ^7^7 у» (0-8)
Aj(r7) = Kjlnjrj + 0(\lnri\j-*), 77-+0, (0.9)
00 ~ нормирована в L2(u), ф\\ - ортогональное фо в L2(lo) решение краевой задачи
1 Q /
-Афп = \0фп +Кгф0, xw, ^и =-——, х Є дш, (0.10)
Kj, j > Ъ - некоторые константы. Асимптотика соответствующей собственной функции фє в норме Н1{и)) имеет вид (1.48).
Замечание 0.1. Отметим, что условие (0.4), непрерывность \j(rj) и формулы (0.9) обеспечивают асимптотичность ряда (0.6), несмотря на наличие сингулярностей у \j(r]) при ?7 —^ 0. Отметим также, что существует достаточно широкий класс функций г)(є), стремящихся к нулю при є —> 0 и удовлетворяющих одновременно условию (0.4) (например, rj = єа, а > 0, ц = е~1^а. 0 < а < 1, и др.)
Замечание 0.2. Отметим, что условие непересечения множеств 7e,j и неотрицательность функций а(е) и Ь(є) влекут неравенство: 0 < Г) < 7г/2. При г\ — тс/2 множество j совпадает со всей границей дш, а, в силу теоремы 0.1, все члены асимптотики 0.6 обращаются в нуль.
При отсутствии кратных собственных значений у задачи (0.5) теоремой 0.1 исчерпываются все собственные значения задачи (0.1), (0.2). Более того, наличие кратных собственных значений у задачи (0.5) для произвольной области - ситуация довольно экзотическая. Поэтому случай кратного предельного собственного значения будет изучен на примере единичного круга с центром в нуле со строго периодическим чередованием граничных условий. Хорошо известно, что на единичном круге задача (0.5) имеет двукратные собственные значения, которыми являются квадраты нулей функций Бесселя Jn целого порядка п > 0; соответствующие собственные функции имеют вид ф$(х.) = Jn (л/^ог) Т±(пв),
T+(t) — cos(t), Т (t) — sin(f). Здесь (г, в) - полярные координаты, соответствующие X.
Теорема 0.2. Пуст,ь выполнены условие (С1) и равенство (0-4), и -единичный круг с центром в нуле, 0(s) = 5. Тогда для каждого двукратного собственного значения Aq задачи (0.5) существует единственное собственное значение \є задачи (0.1), (0.2), сходящееся к Aq при є —> 0. Собственное значение \е двукратное и имеет асимптотику (0.6), где Aj(t/)GC(0,7r/2], А,-(тг/2) = 0, j>l;
Лі(?7) = 2A0lnsinr7, \2{г}) = 2А0 In2 sin т?, (0.11)
ЛДг/) = Kj lnj г, + 0(| Іптур-і), п -+ 0, (0.12)
Kj - некоторые константы. Асимптотики соответствующих собственных функций в норме Н1(ш) имеют вид (1.58).
Отметим, что асимптотики из теорем 0.1, 0.2 для случая единичного круга и г) = const были получены в работе [17]. В случае переменного г] и произвольной области в [18] был формально получен первый член (0.7). Обоснование этого первого члена было проведено в [17] для частного случая, когда чередование граничных условий может быть сведено к строго периодическому конформной заменой переменных. Вопрос о полных асимптотиках в случае переменного п остался открытым. Решение этого вопроса существенно более сложное, чем при r\ — const, так как необходимо выяснить характер зависимости коэффициентов от параметра г/, что представляет собой совершенно самостоятельную и нетривиальную задачу. Решение этой задачи и, в частности, доказательство формул (0.9), (0.12) составляет самую сложную и ключевую часть первой главы. Подчеркнем также, что получить для Xj при j > 3 явные формулы типа (0.7), (0.8) не удается.
Сформулированные теоремы 0.1, 0.2 составляют основные результаты первой главы. Доказательство этих теорем состоит из нескольких этапов; опишем их более подробно. В первом параграфе первой главы формально строятся асимптотические разложения для собственного значения Ає и
соответствующей собственной функции фє в условиях теоремы 0.1. Данное построение проводится на основе комбинации метода составных разложений и метода многих масштабов. Данные методы применяются для формального построения асимптотики собственной функции. Пограничный слой, который строится на основе метода составных разложений, позволяет учесть микроструктуру граничных условий (0.2). В результате формального построения для функций пограничного слоя выводится рекуррентная система краевых задач, зависящих от параметра ц. Эта зависимость носит сингулярный характер при т\ —> 0, что требует дополнительного нетривиального исследования этих задач. Такое исследования проводится во втором параграфе, где изучается зависимость от параметра г) решения модельной задачи. Упомянутые краевые задачи для функций пограничного слоя являются частными случаями данной модельной задачи. В третьем параграфе на основе результатов второго параграфа выясняется зависимость функций пограничного слоя от параметра т\ и устанавливается характер сингулярностей этих функций при ту —> 0. Также доказывается, что формальные асимптотики, построенные в первом параграфе, являются формальным асимптотическим решением исходной задачи. Обоснование формально построенных асимптотик в четвертом параграфе, что завершает доказательство теоремы 0.1. Пятый параграф посвящен доказательству теоремы 0.2. Оно проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 0.1: формальное построение асимптотик, исследование характера зависимости пограничного слоя от параметра г\, обоснование асимптотик.
Результаты первой главы были опубликованы в [7, 8].
Случай усредненных второй и третьей краевых задач для задачи (0.1), (0.2) с локально периодическим чередованием также поддается изучению. Методика здесь в целом не отличается от методики работ [20, 64]. Результаты работы [20] были описаны выше. В [64] изучался случай усредненной третьей краевой задачи для круга и были построены полные двупа-раметрические асимптотические разложения собственных элементов. В
диссертации, однако, подробно будет изучена более сложная задача о построении асимптотических разложений в случае принципиально непериодического чередования. Решению этого вопроса посвящена вторая глава. Основной целью является выяснение максимально слабых ограничений на множество 7е, оставляющих возможность построить первые члены асимптотических разложений собственных элементов задачи (0.1), (0.2). Сформулируем эти ограничения в виде следующего условия.
(С2). Существуют функция 9(s) : [0,5] —) [0, 2тт] и положительная ограниченная функция г}(є) такие, что для j = 0,. . ., N — 1
0е(ф = №о) + ^h с3г}(є) < а,(е) + b,j{e) < 2 Ує), (0.13)
0Є(О) = 0, 9{S) = 2тг, в'е Є C(<9u;), 0 < Cl < Є'є{з) < с2, где сь с2, с3 - некоторые положительные константы, сі, C2 не зависят от Є И S, Сз не зависит от є, rj и j. Выполнено равенство
lim(e In 77(є))-1 = -А (0.14)
с A = const > 0. Если Л > 0, то при 5-)-0 функция #(s) сходится в С1 [0, 51] к некоторой функции 6q(s), 6'0 Є С(ди)). Норма Ц^Ц^.з,^,, ограничена равномерно по е.
Соотношения (0.13) более слабые по сравнению с равенствами (0.3). Геометрически равенства из (0.13) означают, что с помощью функции в точки {хЕЛ можно отобразить в периодическое множество точек, лежащее на единичной окружности. Более того, точку хЕ, можно выбрать произвольно на множестве jj, переопределив соответственно функции dj и bj. Поэтому равенства из (0.13) являются (достаточно слабым) ограничением на распределение множеств 7e,j на границе дси. Неравенства из (0.13) означают, что длины множеств 7e,j должны иметь одинаковый порядок малости при е—)-0. Этот порядок малости описывается функцией г] (в теоремах 0.1, 0.2 ввиду локальной периодичности чередования функция г] описывала точные длины множеств 7e,j)- Таким образом, условию
(C2) подчиняется достаточно широкий класс множеств уЄ} описывающих принципиально непериодическое чередование. Равенство (0.14) и сходимость функции 9е при А > 0 призваны обеспечить усредненное второе либо третье краевое условие. А именно, согласно [56, 57, 74], при выполнении условия (С2) собственные значения задачи (0.1), (0.2) сходятся к сохранением совокупной кратности к собственным значениям задачи
-Аф0 = \0ф0, хеш, (— + А6'А<фо = 0, хедсо, (0.15)
где при А = 0 полагаем 9q(s) = s.
Для того, чтобы сформулировать основные результаты второй главы диссертации, нам понадобятся следующие вспомогательные обозначения.
Функцию 9Є продолжим на значения 5 Є [—S,2S) по правилу 9e(s) = 9(s - kS) + 2тгк, s Є [kS, (к + 1)S), к = -1, 0,1. Обозначим:
= а,(е) + 6,(е) . = в^ + ebfe)) - Єє(^ - єа^є))
А ' 2т](е) ' 1 ; 2єг](є)
53(є) = dJ+1{e) - dj(e), 6J(e) = ^'+1(є) - dj(e).
Пусть x(t) ~ бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице при t < 1/4 и нулю при t > 3/4 и принимающая значения из отрезка [0,1]. Введем еще одну функцию f(9) следующим образом:
Ц9) = d*+\e) -х{(0- ^))/Ы) V(e),
при 0 < в - 9{sj) < en, j = 0,..., N - 1.
Следующее утверждение носит вспомогательный характер и необходимо для формулировки основных результатов второй главы. Его доказательство проводится в первом параграфе второй главы.
Лемма 0.1. Пусть А > 0, функция 9(s) Є С(дш) равномерно по є ограничена в норме С(дш) и для А > 0 имеет место сходимость II^е — $о11с(эШ) —> 0. Тогда для каждого простого собственного значения Ао задачи (0.15) существует единственное и простое собственное значение задачи
-ДФ0 = Л0Ф0, х Є cj, (0.16)
f- + (A + /i)H*o = 0, хєди, (0.17)
сходящееся к Ло при (є, /і) —» 0. Для соответствующим нормированных в Li [uS) собственных функций имеет место сильная в Н1{ш) сходимость Фо ~^ Фо- Собственное значение Ло(дг, є) w соответствующая собственная функция Фо(х,/і, є) голоморфны по ц (последняя - в норме Н\ш)).
Основными результатами второй главы диссертации являются следующие утверждения.
Теорема 0.3. Пусть выполнены условия, (С2) и равенство
6*(є) = max \53(є)\ = о(є1/2(А + д)"1), (0.18)
где fi — fi(e) = — (є In 77(e)) — А. Тогда для каждого собственного значения Ло задачи (0.15) существует единственное сходящееся к нему собственное значение ХЕ задачи (0.1), (0.2). Это собственное значение простое и имеет следующую двупараметрическую асимптотику:
Хє = Л0(/і, є) + єЛі(//, є) + о(є(А + /і)), (0.19)
ЛіОи, є) = (Л + д)2 f (Ф0(х, /і, є))2 lnf(^(s))^(S) ds, (0.20)
где Ло ті Фо удовлетворяют утверждению леммы 0.1. Функция К\ неположительна и голоморфна по ц. Асимптотика соответствующей собственной функции фє в норме Н1(ш) имеет вид (2.58).
Замечание 0.3. Обратим внимание на равенство (0.18). Величины 6j характеризуют разность длин двух соседних множеств Jej+i и 7ej) поэтому равенство (0.18) фактически означает, что длины двух соседних составляющих 7є не очень сильно отличаются друг от друга.
Замечание 0.4. Отметим, что произвол в выборе срезающей функции х не оказывает существенного влияния на вид члена єЛі в асимптотике (0.19).
Выбор функции х влияет на значения функции f(9) только при єтт/4 < в — 0(sj) < Зє7г/4, где в силу (0.18) выполнено /є(0) = о{є1'2{А + ^)^1). Поэтому произвол в выборе х способен изменить слагаемое еК\ лишь на величину о{є^/2{А + /і), что не превышает остатка в асимптотике.
В следующей теореме приведены асимптотики собственных значений возмущенной задачи в случае нарушения равенства (0.18) и сохранения остальных условий теоремы 0.3.
Теорема 0.4. Пусть выполнено условие (С2).Тогда для каждого собственного значения Ло задачи (0.15) существует, единственное сходящееся к нему собственное значение Ле задачи (0.1), (0.2). Собственное значение \г простое и имеет следующую двупараметрическую асимптотику:
Ає = Л0 + /і / (Vo(x))4(s)ds + 0(v2 + ^2 + А(ає + є1/2)) , (0.21)
ди>
где а — ||^ — 0'0\\С{дш). Асимптотика соответствующей собственной функции ipe в норме Hl{uS) имеет вид (2.59).
Асимптотика (0.21) конструктивна при А = 0, а в случае А > 0 - при <7 + е1/2 = о(д).
Замечание 0.5. Случай кратного предельного собственного значения в условиях теорем 0.3, 0.4 рассматривается аналогично (см. [12])
Теоремы 0.3, 0.4 являются обобщениями аналогичных результатов работ [18, 22].
Доказательство теорем 0.3, 0.4 проводится следующим образом. В первом параграфе второй главы демонстрируются основные идеи формального построения асимптотических разложениях в условиях теорем 0.3, 0.4, позволяющие учесть непериодическую структуру чередования. В построении помимо метода составных разложений и метода многих масштабов используется и метод согласования асимптотических разложений. На основе последнего строится внутреннее разложение, которое вместе
и пограничным слоем позволяет удовлетворить требуемым граничным условиям. Используемая здесь схема построения является нетривиальным обобщением схемы из [18, 22], использованной для изучения локально периодической смены граничных условий.
Первые члены асимптотик, формально построенные в первом параграфе, после подстановки в исходную задачу, не дают невязок нужного порядка малости. Чтобы добиться невязок нужного порядка малости, приходиться строить дополнительные вспомогательные члены асимптотических разложений. Это построение проводится во втором параграфе, результатом которого является построение формального асимптотического решения и оценка невязок в терминах є, /і и 5*. В третьем параграфе проводится обоснование асимптотических разложений, что завершает доказательство теорем 0.3, 0.4.
Результаты второй главы были опубликованы в [6, 9, 12].
Третья глава диссертации посвящена изучению трехмерной краевой задачи с частым периодическим чередованием граничных условий. Постановка задачи такова. Пусть х — (х,жз) и х = (#1,^2) ~ ДВУХ~ и трехмерные декартовы координаты, Q = ш х [0,Я], где о;, напомним, произвольная односвязная ограниченная область в К2 с бесконечно дифференцируемой границей, s - натуральный параметр кривой ди. Через Е обозначим боковую поверхность цилиндра Г2, через uj\ и о^ - верхнее и нижнее основания соответственно, uj\ = {х : х Є duj^xj, = Н}} ^2 — {х : х Є дси,хз = 0}. Малый параметр введем следующим образом: є = H/(ttN), где N ^> 1 - натуральное число. Боковую поверхность разобьем на два подмножества Y и Г, определив эти подмножества как объединение большого числа узких полос: j6 = {х : х Є ди>, \х3 -тг(і + 1/2)|
ные значения:
фє = 0, х Є uj\ U 7'
дф,
= 0, ^ш2иГ,
(0.22) (0.23)
где ^ - внешняя нормаль к границе сЮ. Отметим, что в этой задаче разбиение границы из не производится, а разбивается только боковая поверхность цилиндра Q. Сечение этого цилиндра обозначается здесь через из, чтобы не вводить излишних обозначений.
В работе [80] была изучена сходимость краевой задачи для уравнения Пуассона в круговом цилиндре с граничными условиями (0.23) в предположении g(s) = 1. В третьей главе диссертации
на основе методик работ [22, 57,
Рисунок 2. „ . оп1 ,.
74, 80J будет изучена сходимость
задачи (0.22), (0.23) и доказано следующее утверждение.
Теорема 0.5. Пусть норма \\ge\\c2{a^) ограничена равномерно по є, а для функции г] выполнено одно из равенств (0.4), (0.Ц). Тогда собственные значения задачи (0.22), (0.23) сходятся к собственным значениям одной из предельных задач:
-Аф0 = Х0ф0, х Є О,
дфо _ (0-24)
0, Є и)2,
фо — 0, х Є ш\ U Е,
если для ту выполнено равенство (0.4), и
-Аф0 = Х0ф0, х eU, Фо = 0, х Є ш\,
= 0, ж Є ш2,
+ А)фо = 0, х є Е,
(0.25)
если для т] выполнено равенство (0.14). Совокупная кратность собственных значений возмущенной задачи, сходящихся к одному и тому -лее предельному собственному значению, совпадает с кратностью этого предельного собственного значения. Для всякой собственной функции фо, соответствующей собственному значению Xq, существует сходя-щаяся к пей линейная комбинация собственных функций возмущенной задачи, соответствующих собственным значениям, сходящимся к Xq. Эта сходимость - сильная в Hl(Q), если предельная, - задача (0.24) или (0.25) с А = 0, и сильная в 1^(^) и слабая в І71(Г2), если предельная -задача (0.25) с А > 0.
Как и в двух предыдущих главах, основной целью третьей главы является построение асимптотических разложений собственных элементов задачи (0.22), (0.23). Прежде чем сформулировать основные результаты третьей главы, введем дополнительные обозначения.
Задачи (0.24), (0.25) легко решаются разделением переменных: Aq = М2 + х, ф0(х) = фо{х) cos Мх?,, где М = тг(т + 1/2)#-1, т > 0 - целое число, х и фо - собственные элементы двумерной задачи
-Ахф0 — хф0, х Є ш, фо — 0, х Є дш, (0.26)
- для задачи (0.24) и
- Ахф0 = хф0, хеш, (— + а)Фо = 0, хедш, (0.27)
- для задачи (0.25). Здесь v - внешняя нормаль к дш.
Сформулируем теперь основные результаты третьей главы диссертации.
Теорема 0.6. Пусть выполнено равенство (0.4) и существует с$ > 0, такое что норма Гельдера ||ge||c2+c5(aw) ограничена по е. Тогда собственные значения Х задачи (0.22), (0.23), сходящиеся к простым собственным значениям Ао задачи (0.24), имеют следующие двупараметриче-ские асимптотики:
Х = А0 + eAifa, є) + 0 (є3/2(| 1пг7І3/2 + 1)) , (0.28)
Аі^'Є) = /(37) lnsin^ds> (-29)
где ||o||l2(W) — 1- Асимптотика соответствующей собственной функции фє в норме Нг(ії) имеет вид (3.54).
Следующая лемма носит вспомогательный характер и необходима для формулировки теоремы 0.7. Доказательство этой леммы будет проведено в третьем параграфе третьей главы диссертации.
Лемма 0.2. Для каэюдого простого собственного значения к задачи (0.27) существует единственное и простое собственное значение задачи
- АХФ0 = Ф0, хесо, (0.30)
(— + А + /Л Ф0 = 0, хЄдш, (0.31)
сходящееся к ж при /л —» 0. Для соответствующим нормированных в L2{u) собственных функций имеет место сильная в Н1(и) сходимость Фо —* Фо- Собственное значение K,(/i) и соответствующая, собственная функция Фо(х, jj) голоморфны по ц, (последняя - в норме Н1(ш)).
Теорема 0.7. Пуст,ь выполнено равенство (0.14) для функции ц и норма llgellc2^) ограничена равномерно по є. Тогда собственные значения Х задачи (0.22), (0.23), сходящиеся к простым собственным значениям \q задачи (0.25), имеют следующие двупараметрические асимптотики:
А = Л0(м) + єЛі(/х, є) + є2Л2(^, є) + 0(є\А + д)), (0.32)
Лі(//,)=(Л + /х)2 / Ф1п&(1в,
A2(fi,e)=(A + ii)2 J (ф0Фі1п&-^кФЇМ ds+ (0.33)
ди>
+ (А + Д)3 /*Ф2іп2а5,
где Ад = /С(д) +М2, К и Фо удовлетворяют лемме 0.2, причем, К выбра
но из условия JC(fi) > х. Функция Фі = Фі(х, /і, г) - решение задачи
fj,—»0
- АхФі = /СФі + ЛіФ0, хеш, (0.34)
ґ -^ + Л + a/ j Фх = -(Л + /2)2Ф0 lng, х Є &«;, (0.35)
удовлетворяющее условию ортогональности (Фо, Фі)і2(ш) = 0; k(s) =
— (r"(s),v(s))R2, v = v(s), r(s) - двумерная вектор-функция, задающая
duj. Функции Аі, Фі голоморфны по fi (последние - в норме Н1^)). Асим
птотики соответствующих собственных функций фЕ в норме Н1(С1)
имеют вид (3.56).
Замечание 0.6. Отметим, что в случае кратного предельного значения у задач (0.24), (0.25) также возможно построить асимптотики собственных элементов задачи (0.22), (0.23). Кроме того, методика построения асимптотик в условиях теорем 0.6, 0.7 позволяет также строить и полные асимптотические разложения собственных асимптотики собственных элементов задачи (0.22), (0.23). Подобные исследования были сделаны в работах [10, 11], где изучался случай кругового цилиндра с полосами постоянной ширины (g = 1). В [11] - для усредненной задачи (0.24), а в [10J
- для усредненной задачи (0.25) были построены полные асимптотиче
ские разложения собственных значений задачи (0.22), (0.23), сходящихся
к простым и кратным предельным значениям, а также полные асимпто
тические разложения соответствующих собственных функций. На основе
полученных асимптотических разложений удалось установить достаточ
но простой и конструктивный критерий определения кратности у задан
ного собственного значения задачи (0.22), (0.23).
Теорема 0.5 будет доказана в первом параграфе третьей главы. Схема доказательства теорем 0.6, 0.7 аналогично доказательству теорем 0.1-0.4. Формальные построения асимптотик в условиях теорем 0.6, 0.7 проводятся во втором и третьем параграфах. Четвертый параграф посвящен обоснованию формальных асимптотических разложений.
Результаты третьей главы были опубликованы в [10, 11, 63].
Прежде, чем приступить к доказательству сформулированных теорем, сделаем несколько замечаний об обозначениях, используемых в диссертации. В формальных построениях асимптотик будут использоваться различные пограничные слои и внутренние разложения. Они будут строиться в терминах характерных "растянутых" переменных, которые мы всюду будем обозначать через (для пограничных слоев) и <; (для внутренних разложений). Определение этих переменных зависит от размерности задачи, но эту зависимость в обозначениях мы не будем подчеркивать. Сами пограничные слои, внутренние разложения, а также внешние разложения мы также будем всюду обозначать одни и теми же символами вида г/jf (пограничный слой), фгєп (внутреннее разложение) и ф^х (внешнее разложение), несмотря на то, что эти ряды будут своими для каждой из рассматриваемых задач. Коэффициенты пограничных слоев и внутренних разложений также будем обозначать соответственно буквами v и w, каждый раз подразумевая, что эти величины свои для каждой из задач. Кроме того, у нас будут встречаться еще подобные одинаковые обозначения различных вспомогательных величин, которые определяются каждый раз в зависимости от задачи, но вместе с тем несут одну и ту же идейную нагрузку для всех задач. Подобные обозначения в диссертации используются, с одной стороны, чтобы указать на идейную связь в схемах формального построения для различных задач, с другой стороны, чтобы избежать излишней громоздкости в обозначениях. Всюду, где могут возникнуть двусмысленности, мы будем оговаривать, о каких именно величинах идет речь.
Выражаю самую искреннюю благодарность моему научному руководителю Гадыльшину Рустему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.
Непрерывная зависимость от г\ и оценки коэффициентов формальных асимптотик
Пуст,ь выполнены условие (С1) и равенство (0-4), и -единичный круг с центром в нуле, 0(s) = 5. Тогда для каждого двукратного собственного значения AQ задачи (0.5) существует единственное собственное значение \є задачи (0.1), (0.2), сходящееся к AQ при є — 0. Собственное значение \е двукратное и имеет асимптотику (0.6), где Aj(t/)GC(0,7r/2], А,-(тг/2) = 0, j l; Kj - некоторые константы. Асимптотики соответствующих собственных функций в норме Н1(ш) имеют вид (1.58).
Отметим, что асимптотики из теорем 0.1, 0.2 для случая единичного круга и г) = const были получены в работе [17]. В случае переменного г] и произвольной области в [18] был формально получен первый член (0.7). Обоснование этого первого члена было проведено в [17] для частного случая, когда чередование граничных условий может быть сведено к строго периодическому конформной заменой переменных. Вопрос о полных асимптотиках в случае переменного п остался открытым. Решение этого вопроса существенно более сложное, чем при r\ — const, так как необходимо выяснить характер зависимости коэффициентов от параметра г/, что представляет собой совершенно самостоятельную и нетривиальную задачу. Решение этой задачи и, в частности, доказательство формул (0.9), (0.12) составляет самую сложную и ключевую часть первой главы. Подчеркнем также, что получить для Xj при j 3 явные формулы типа (0.7), (0.8) не удается.
Сформулированные теоремы 0.1, 0.2 составляют основные результаты первой главы. Доказательство этих теорем состоит из нескольких этапов; опишем их более подробно. В первом параграфе первой главы формально строятся асимптотические разложения для собственного значения Ає и соответствующей собственной функции фє в условиях теоремы 0.1. Данное построение проводится на основе комбинации метода составных разложений и метода многих масштабов. Данные методы применяются для формального построения асимптотики собственной функции. Пограничный слой, который строится на основе метода составных разложений, позволяет учесть микроструктуру граничных условий (0.2). В результате формального построения для функций пограничного слоя выводится рекуррентная система краевых задач, зависящих от параметра ц. Эта зависимость носит сингулярный характер при т\ — 0, что требует дополнительного нетривиального исследования этих задач. Такое исследования проводится во втором параграфе, где изучается зависимость от параметра г) решения модельной задачи. Упомянутые краевые задачи для функций пограничного слоя являются частными случаями данной модельной задачи. В третьем параграфе на основе результатов второго параграфа выясняется зависимость функций пограничного слоя от параметра т\ и устанавливается характер сингулярностей этих функций при ту — 0. Также доказывается, что формальные асимптотики, построенные в первом параграфе, являются формальным асимптотическим решением исходной задачи. Обоснование формально построенных асимптотик в четвертом параграфе, что завершает доказательство теоремы 0.1. Пятый параграф посвящен доказательству теоремы 0.2. Оно проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 0.1: формальное построение асимптотик, исследование характера зависимости пограничного слоя от параметра г\, обоснование асимптотик.
Случай усредненных второй и третьей краевых задач для задачи (0.1), (0.2) с локально периодическим чередованием также поддается изучению. Методика здесь в целом не отличается от методики работ [20, 64]. Результаты работы [20] были описаны выше. В [64] изучался случай усредненной третьей краевой задачи для круга и были построены полные двупа-раметрические асимптотические разложения собственных элементов. В диссертации, однако, подробно будет изучена более сложная задача о построении асимптотических разложений в случае принципиально непериодического чередования. Решению этого вопроса посвящена вторая глава. Основной целью является выяснение максимально слабых ограничений на множество 7е, оставляющих возможность построить первые члены асимптотических разложений собственных элементов задачи (0.1), (0.2). Сформулируем эти ограничения в виде следующего условия. (С2). Существуют функция 9(s) : [0,5] —) [0, 2тт] и положительная ограниченная функция г}(є) такие, что для j = 0,. . ., N — 10Є(О) = 0, 9{S) = 2тг, в е Є C( 9u;), 0 Cl Є є{з) с2, где сь с2, с3 - некоторые положительные константы, сі, C2 не зависят от Є И S, Сз не зависит от є, rj и j. Выполнено равенство
с A = const 0. Если Л 0, то при 5-)-0 функция #(s) сходится в С1 [0, 51] к некоторой функции 6Q(S), 6 0 Є С(ди)). Норма Ц Ц .з, ,, ограничена равномерно по е.
Соотношения (0.13) более слабые по сравнению с равенствами (0.3). Геометрически равенства из (0.13) означают, что с помощью функции в точки {хЕЛ можно отобразить в периодическое множество точек, лежащее на единичной окружности. Более того, точку хЕ, можно выбрать произвольно на множестве JJ, переопределив соответственно функции dj и bj. Поэтому равенства из (0.13) являются (достаточно слабым) ограничением на распределение множеств 7e,j на границе дси. Неравенства из (0.13) означают, что длины множеств 7e,j должны иметь одинаковый порядок малости при е—)-0. Этот порядок малости описывается функцией г] (в теоремах 0.1, 0.2 ввиду локальной периодичности чередования функция г] описывала точные длины множеств 7e,j)- Таким образом, условию (C2) подчиняется достаточно широкий класс множеств уЄ} описывающих принципиально непериодическое чередование. Равенство (0.14) и сходимость функции 9е при А 0 призваны обеспечить усредненное второе либо третье краевое условие. А именно, согласно [56, 57, 74], при выполнении условия (С2) собственные значения задачи (0.1), (0.2) сходятся к сохранением совокупной кратности к собственным значениям задачи
Формальное построение асимптотических разложений
В настоящем параграфе будет продемонстрирована схема построения формальных асимптотических разложение собственных элементов задачи (0.1), (0.2) в условиях теорем 0.3, 0.4. Данная схема позволяет учесть принципиально непериодическое чередование граничных условий. Кроме того, в отличии от предыдущей главы в формальном построении применяется метод согласования асимптотических разложений. Необходимость использования этого метода в первую очередь связана с третьим (вторым) краевым условием в усредненной задаче. Всюду в главе будем считать выполненным условие (С2).
Так как собственное значение Ао задачи (0.15) простое, то из [56, 57, 74] следует, что к нему сходится одно собственное значение Ає задачи (0.1), (0.2) и это собственное значение - простое. Асимптотику собственного значения Хє будем строить в виде: Асимптотика фе строится на основе комбинации метода согласования асимптотических разложений, метода составных разложений и метода многих масштабов. Эта асимптотика будет получена как сумма трех разложений: внешнего разложения, пограничного слоя и внутреннего разложения. Внешнее разложение будем строить следующим образом: Пограничный слой строится с использованием метода составных разложений в виде: где = (1, 2) _ "растянутые" переменные, Напомним, что координаты (S,T) были определены в первом параграфе первой главы. Выбор переменных будет пояснен в замечании 2.1. Внутреннее разложение будем строить на основе метода согласования асимптотических разложений в малых окрестностях точек хє- в виде: Целью данного параграфа является определение вида функций Л,;, Фг-, Уравнения для функций Фо и 1 получаются стандартной подстановкой (2.1) и (2.2) в уравнение (0.1) с последующим выписыванием коэффициентов при одинаковых степенях є. Такая процедура приводит к уравнению (0.16) для функции Фо и следующему уравнению для Фі:
Граничные условия для функций Фо и 1 будут определены ниже при построении пограничного слоя и внутреннего разложения. Определим пограничный слой. Вначале получим задачи для функций V{1 для чего подставим (1.5), (2.1), (2.2) в (0.1), перейдем к переменным и выпишем коэффициенты при старших степенях е. Тогда для функций v\ и г?2 получим следующие уравнения: Следуя методу составных разложений, потребуем, чтобы сумма функций ф х и ipf удовлетворяла однородному граничному условию Неймана всюду на duj за исключением точек хе-\ Переписываем теперь второе слагаемое в последнем равенстве к переменным и заменяем функции ф х и ifjf на правые части равенств (2.2) и (2.3), после чего вычисляем коэффициенты при старших степенях , которые приравниваем к нулю. В результате получаем граничные условия для функций Vf
Замечание 2.1. Как и в первой главе, переменная і выбирается так, чтобы задачи для функций V{ были периодичны по i. Здесь эту периодичность обеспечивают равенства из (0.13). Указанный выбор 2 позволяет получить уравнения Пуассона для функций г і и г 2 Согласно методу составных разложений, будем искать экспоненциально убывающие при & — +оо решения задач (2.8), (2.9), (2.10). Обратим внимание на то обстоятельство, что пограничный слой "контролирует" только граничное условие Неймана, так как мы перешли к формальному пределу при г] — 0 при выводе граничного условия (2.10). Казалось бы, можно попытаться за счет пограничного слоя удовлетворить и граничное условие Дирихле, как это было сделано в первой главе. Однако, здесь такой путь приводит к неразрешимым задачам для функций.
Формальное асимптотическое решение
Основной целью данного параграфа является доказательство теоремы 0.5. Схема доказательства этой теоремы в целом совпадает с доказательством аналогичных утверждений в [22, 57, 74, 80]. Всюду в параграфе будем считать выполненными условия теоремы 0.5. Для доказательства этой теоремы нам потребуются дополнительные обозначения и ряд вспомогательных лемм. В окрестности боковой поверхности Е введем координаты (s, т, #з), где (S,T) определены в первом параграфе первой главы. Всюду в параграфе константу со считаем выбранной согласно (1.37).
Лемма 3.1. Пусть ио,/о Є Я1(Г2), f\ Є 1/2( )- Тогда существует решение и Є Я1 ) краевой задачи имеющее на 7Є след, равный щ, где v - произвольный элемент из Н1 ), v = 0 на 7е- В случае ри — и дополнительно предполагается, что и\Ш1 = О, = 0. Заметим, что данное интегральное уравнение получается стаидартным интегрированием по частям с учетом того, что координаты (s, т) - криволинейные. Правая часть этого интегрального уравнения, очевидно, оценивается сверху величиной
Как и в двух предыдущих главах, эти переменные в различных формальных построениях асимптотик будут играть роль характерных переменных для пограничных слоев и внутренних разложений. Именно поэтому, несмотря на иное определение, мы оставляем за этими переменными прежнее обозначение. Через Z = Z(q) обозначим функцию Z из (2.26) с a? = /3J — 1/2. Будем считать, что функция г) удовлетворяет равенству (0.14), и рассмотрим функцию:
1/3 С учетом последней и леммы 3.1 заключаем, что существует решение задачи (3.1) с ри = т , щ = 0, /і = 0, /о = — Wln] обозначим это решение через Wd. В силу теорем о повышении гладкости решений эллиптических уравнений имеем: W d Є Я1 (О) П C(Q). Из леммы 3.1 следует равномерная по є и г/ оценка где X - из (2.12), Хг(ж) = 1 — і=о xd l7?3 4)- Далее нам понадобятся некоторые свойства функции We, которые удобно сформулировать в виде следующей леммы.
Лемма 3.2. Функция We Є Н1{ї)С\С{0) обладает следующими свойствами: a) WE = О, х Є Y, jk = х є 1 U 2 Доказательство. Так как функция WE задана явно, то доказательство пунктов а) и б) сводится к проверке утверждения леммы прямыми вычислениями. При этом следует лишь учитывать гармоничность функций X и Z, асимптотики (2.13), (2.28) (последняя - с а3 = /З3 = 1/2), ограниченность нормы gec2(an)) равенство (0.14) для функции г/, а также краевую задачу для WEd и оценку (3.3). Кроме того, следует учесть, что suppx(MV/4) С supp х(г/с0) и Лемма доказана.
Лемма 3.3. Пусть функция п удовлетворяет равенству (0.14), k О - произвольная последовательность, ик - последовательность функций из Н1(С1), имеющих нулевой след на и\ U Yk и сходящихся, при к — со к и Є Hl{Q) слабо в Hl{Vt) и сильно в 1 ( ), причем иЄк\дп сходится к U \QQ сильно в L/2(dQ). Тогда для любой функции /? Є C(Q) верны сходимости:
Доказательство. Всюду в доказательстве для краткости будем опускать индекс к у последовательности є&. Ясно, что
Первое слагаемое в правой части в силу пункта б) леммы 3.2 и слабой сходимости и к и в Н1{0.) стремится к J (Vu , V /?) dx, а второе с помощью интегрирования по частям представляется в виде:
Здесь мы проинтегрировали по частям с учетом граничных условий для W (пункт а) леммы 3.2) и для и. Используя полученные формулы, пункт б) леммы 3.2, сходимости для функций ик и очевидную ограниченность последних в норме Hl{ft) (равномерную по к), убеждаемся, что второе слагаемое в правой части (3.4) сходится к Л(и , )L2(i:).
Формальное построение асимптотик в условиях теоремы 0.6
Первые члены асимптотики собственного значения Л, сходящегося к Ло, будем строить в виде
Асимптотику соответствующей собственной функции будем строить на основе метода согласования асимптотических разложений, метода составных разложений и метода многих масштабов. Основным отличием от построения предыдущего параграфа здесь является то обстоятельство, что использование только внешнего разложения и пограничного слоя не позволяет добиться требуемых граничных условий на 7Е и Г. Поэтому приходится применять также метод согласования асимптотических разложений и строить дополнительное внутреннее разложение в окрестности множества 7е Внешнее разложение для собственной функции определим следующим образом:
Здесь под мы вновь понимаем "растянутые" переменные, введенные в первом параграфе данной главы. Выведем уравнения для функций Ф . Для этого подставим (3.30) и (3.31) в уравнение (0.22) и вычислим коэффициенты при степенях єр, р = 0, 1,2. Эта процедура приводит к уравнению (0.30) с /С(/І) = Ло(//) — М2 для Фо, к уравнению (0.34) для Фі и к следующему уравнению для Ф2: Граничные условия для функций Ф будут получены ниже. Из этих граничных условия и уравнений для Фг будет следовать, что Ф Є С(р), поэтому всюду ниже будем считать функции ФІ бесконечно дифференцируемыми. Выведем теперь краевые задачи для функций пограничного слоя. Для этого подставим (3.30) и (3.32) в уравнение (0.22), учтем выражение (1.5) для оператора Лапласа и вычислим коэффициенты при одинаковых степенях є отдельно для Т+(Мжз) и Т (Мжз). В результате получим уравнения (3.21) и Потребуєм, чтобы сумма функций [феєх-\-фь ) удовлетворяла однородному граничному условию Неймана на Е \ {х : х Є OJ, 3 = єтг(І + 1/2)}- Это приводит к граничным условиям для функций vf: Отметим, что за счет пограничного слоя мы удовлетворяем только граничному условию Неймана на Гє. Попытка одновременно добиться также выполнения и граничного условия Дирихле на 7е за счет пограничного слоя приводит к неразрешимым задачам иа функции пограничного слоя. Краевые задачи (3.21), (3.34), (3.35) решаются явно, их их решения имеют следующий вид: Здесь bf = bf(s,fi,s) - некоторые вполне определенные функции, имеющие вид полиномов по к, Ф", производным этих функций но s до второго порядка и по /С, Л Более того, функции bf обращаются в нуль, если равны нулю функций функции Ф , производные этих функций по S И Лі. Выясним асимптотики функций пограничного слоя при — . Ясно, что в силу -периодичности по i достаточно выяснить эти асимптотики при — 0 и распространить их затем на остальные точки Л Вычислим асимптотику для интеграла /+X(6,t)dt. Обози ачим: Ясно, что для функций X и Y выполнены условия Коши-Римана (3.24). С учетом последних, выводим формулы: Отсюда в силу (2.13) и определения функции Y следует, что при — 0: где а ід, Э2о - некоторые числовые константы. Интегрирование полученных асимптотик по i позволяет получить асимптотики при -+ О для интегралов LtpX(i,t)dt. В результате, с учетом (2.13), (2.36), (3.37), (3.38) можно утверждать, что функции vf обладают следующими асимптотическими разложениями при — 0: где д - полярный угол, соответствующий переменным , ЬІ - функции, полиномиально зависящие от Ф , к, производных этих функций по s до второго порядка и от Ло, Лі, причем Ь; обращаются в нуль, если равны нулю функции Ф , Ф , Ф , их производные по s и коэффициент Лі.
Сумма (феХ -\-iljf) не удовлетворяет однородному граничному условию Дирихле на 7е даже асимптотически. Более того, функции vf имеют логарифмические особенности в точках = (TTJ, 0), j Є Ъ. Поэтому в окрестности этих точек (то есть, в окрестности отдельных составляющих множества 7Є) асимптотику собственной функции будем строить в виде внутреннего разложения:
Похожие диссертации на Асимптотические разложения собственных элементов оператора Лапласа с частой сменой типа граничных условий
