Введение к работе
Актуальность темы. Большой класс физических процессов, связанных с колебательными системами, моделируется волновым уравнением, при этом на практике часто возникают задачи граничного управления, когда нужно сгенерировать колебания нужной частоты, уменьшить амплитуду колебаний, стабилизировать колебания или полностью успокоить систему.
Первые результаты в теории граничного управления распределенными системами были получены Ж.-Л. Лионсом. В частности, он был одним из первых, кто исследовал задачи об управлении колебаниями в форме смешанных начально-краевых задач. В работе Ж.-Л. Лионса1 для одномерного волнового уравнения в терминах обобщенного решения исследовалась задача о переводе колеблющейся струны из некоторого начального состояния в нулевое с помощью граничного управления смещением, была доказана разрешимость такой задачи, а так же неединственность решения при больших промежутках времени рассмотрения колебаний. Позже в работах Ж.-Л. Лионса2 были исследованы задачи оптимизации управления системами, описываемыми уравнениями с частными производными эллиптического, параболического и гиперболического типа. Одним из важнейших результатов Ж.-Л. Лионса является метод решения задачи точной управляемости для системы, описываемой гиперболическим уравнением второго порядка, который заключается в сведении исходной задачи к задаче о точной наблюдаемости для сопряженного уравнения. Этот метод получил название гильбертов метод единственности.
Большое число технологических процессов, приводящих к задачам уп-
1 Lions J.-L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems // SIAM
Rev. 1988. V. 30. № 2. P. 1-68.
2 Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными про
изводными. М.:Мир. 1972. 414 с.
равления рассмотрено в книге А.Г. Бутковского , предложены различные методы решения задач оптимального управления, например, метод моментов, метод Фурье, метод гармоник. В частности, показано, как можно свести задачу оптимального управления колебаниями в некоторой распределенной упругой среде к соответствующей проблеме моментов. Говоря о методах, разработанных для решения задач оптимального граничного управления, отметим метод падающих и отраженных волн, разработанный А.И. Егоровым4.
К ранним работам по теории оптимального управления можно также отнести работу М.М. Потапова5, в которой метод разностной апроксимации применен для приближения решения задачи оптимального граничного управления решениями начально-краевой задачи для системы Гурса-Дарбу.
В цикле работ Ф.П. Васильева, В.А. Куржанского, М.М. Потапова6 задачи оптимального граничного управления исследуются исходя из концепции теории двойственности для линейных систем управления. В этих работах гильбертов метод единственности формулируется в форме, позволяющей применить его к широкому классу задач управления распределенными системами. Кроме того, были разработаны численные методы решения задач управления и наблюдения, основанные на конечномерных аппроксимациях рассматриваемых динамических систем. В книге Ф.П. Васильева, А.З. Ишмуха-
3 Бутковский А.Г. Теория оптимального граничного управления системами с распределенными
параметрами. М.:Наука. 1965. 474 с.
4 Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые
задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Серия Математика. 1965. Т. 29, № 6. С. 1205-1256.
5 Потапов М.М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления сис
темами Гурса-Дарбу // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 1978. № 2. С. 17-26.
6 Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференц.
уравнения. 1995. Т. 31. № 11. С. 1893-1900. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 1993. № 3, С. 8-15.
метова, М.М. Потапова был развит предложенный ранее метод моментов. В работе М.М. Потапова8 строится устойчивый вычислительный метод построения приближенных решений для задач управления и наблюдения, которая применима и для волнового уравнения.
Отметим работы А.Н. Зарубина9, в которых исследовались задачи граничного наблюдения для уравнения смешанного типа и был указан явный рекуррентный метод нахождения решения.
Начиная с 1999 года В.А. Ильиным был исчерпывающим образом исследован ряд задач оптимального граничного управления процессами, описываемыми гиперболическими уравнениями и, в первую очередь, волновым уравнением
utt(x,t)-uxx(x,t) = 0 в QT = [0 < х < 1} х [0 < t < Т]. (1)
Задача состоит в переводе струны из начального состояния, которое характеризуется начальным смещением и(х,0) = <р{х) и скоростью щ(х,0) = ф(х), в финальное состояние и(х,Т) = ф(х): щ(х,Т) = ф(х). Рассматривались задачи управления смещением u(0,t) = fi(t) или силой ux(0,t) = fi(t) на одном конце струны при условии закрепления u(l,t) = 0 на втором конце или когда второй конец свободен ux(l,t) = 0. Кроме перечисленных были изучены задачи, когда управление осуществляется на обоих концах струны (одного вида или разных). В первых же работах10 В.А. Ильиным был введен специальный класс функций W^Qt)-, в котором ищется обобщенное реше-
7 Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах опти
мального управления. М.:Изд-во Московск. ун-та. 1989. 142 с.
8 Потапов М.М. Устойчивый метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущенным
оператором // Докл. РАН. 1999. Т. 365. № 5. С. 596-598.
9 Зарубин А.Н. Задача граничного наблюдения за упругими колебаниями с последействием. // Мат.
межд. конф. "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики". Москва,
МГУ. 2009. С. 174-175.
10 Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный
промежуток времени // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 11. С. 1517-1534. Ильин В.А. Граничное
ниє. Рассмотрение всех задач граничного управления проводится в терминах обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения (1) с заданными начальными условиями и такими граничными условиями на концах х = 0 и х = /, которые обеспечивают выполнение в финальный момент времени t = Т заданных финальных условий.
Принадлежность обобщенного решениям(x,t) классу W^Qt) позволяет точно указать требования гладкости, которым должны удовлетворять функции начальных, финальных и граничных условий.
В первых работах В.А. Ильина по этой тематике задача состояла в нахождении минимального времени, за которое систему можно перевести из произвольного начального состояния в произвольное финальное без существенных дополнительных ограничений на функции начальных, финальных и граничных условий. Такой промежуток времени был назван критическим. Было установлено, что в случае управления на одном конце ТКр = 2/, а при управлении на двух концах ТКр = /. В работе В.А. Ильина и В.В. Тихомирова11 исследовался случай, когда Т < ТКр в терминах решения из W^Qt) (этот класс аналогичен W^{Qt) с той разницей, что на функции из него накладываются повышенные требования гладкости), были найдены необходимые и достаточные условия на начальные и финальные функции, обеспечивающие существование допустимых управлений, далее при выполнении найденных условий искомые управления были предъявлены в явном аналитическом виде.
В работах В.А. Ильина и Е.И. Моисеева 2004-2005 годов исследовался случай больших промежутков времени (Т > ТКр). В этом случае существует бесконечное множество решений задачи граничного управления, поэто-
управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения
с конечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 11. С. 1513 - 1528.
11 Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и
задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 5. С. 692
-704.
му логично было поставить задачу оптимизации. Для каждого Т ищется управление, которое не только переводит струну из заданного начального состояния в финальное, но и доставляет минимум интегралу граничной энергии при наличии условий связи, вытекающих из заданных начальных и финальных условий. Сначала оптимальное граничное управление находилось в предположении, что промежуток времени Т кратен 2/ при граничных условиях на двух концах одного рода и кратен 4/ при граничных условиях на двух концах разных родов, это позволило записать итоговые выражения для оптимального управления в лаконичном виде. Далее в цикле работ 2005-2008 годов была развита техника для изучения поставленных задач при произвольных Т, а также был исследован случай обобщенного решения из пространства W^{Qt)- Было показано, что для некоторых задач (когда есть условие закрепления на одном из концов) оптимальное управление имеет один и тот же вид сразу для всех р > 1, для остальных задач это верно тогда и только тогда, когда выполнены дополнительные условия на начальные и финальные функции. В статье Е.И. Моисеева12 исследуется задача управления смещением при свободном конце и показано, что при р ^ 2 оптимальное управление может нелинейно зависеть от начальных и финальных условий.
В 2008 году В.А. Ильин исследовал ряд задач граничного управления с модельными нелокальными граничными условиями типа Бицадзе - Самарского
u(l,t) = —u{x)t)) u(l,t) = u{x)t))
\ ) ux{l,t) = -ux(x,t), ux(l,t) = ux(x,t).
Условия такого вида впервые возникли в известной работе А.В. Бицадзе и
А.А. Самарского13 при исследовании задачи для равномерно- эллиптического
12 Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением в W^ струной со свободным концом
// Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 5. С. 709-711.
13 Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических
краевых задач // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 739-740.
уравнения. Отличие этой задачи от исследованных ранее состояло в том, что граничные значения искомого решения повторялись во внутренних точках области, где искомая функция должна удовлетворять уравнению.
В работах В.А. Ильина14 были исследованы задачи управления смещением и силой при наличии одного из условий (2), при этом либо начальные либо финальные условия полагались равными нулю (т.е. ставились задачи о возбуждении колебаний струны и об успокоении колебаний). Основным результатом указанных работ было доказательство того, что при наличии одного из нелокальных граничных условий (2) рассматриваемые задачи для любого сколь угодно большого промежутка времени Т являются только условно управляемыми. В работах найдены условия, которым должны удовлетворять финальные функции, чтобы струну можно было перевести из нулевого начального состояния в заданное финальное, и аналогичные условия на начальные функции, чтобы струну из начального состояния можно было перевести в нулевое. Далее при выполнении найденных условий решается задача оптимизации посредством сведения каждой из рассматриваемых нелокальных задач к изученным ранее локальным. Кроме этого, в одной из работ15 доказана единственность обобщенных решений смешанных задач с более общими нелокальными граничными условиями.
Говоря о задачах граничного управления с нелокальными граничными условиями, отметим статью А.А. Кулешова16, в которой исследовались на-
14 Ильин В.А. Аналитический вид оптимального граничного управления смещением на одном конце
струны с модельным нелокальным условием одного из четырех типов // Докл. РАН. 2008. Т. 420. № 3.
С. 309-313. Ильин В.А. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны с
модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов // Докл. РАН. 2008. Т. 420. № 4.
С. 442-446.
15 Ильин В.А. Теоремы о единственности обобщенных решений четырех смешанных задач для вол
нового уравнения с нелокальными граничными условиями // Докл. РАН. 2008. Т. 420. № 2. С. 309-313.
16 Кулешов А.А. О четырех смешанных задачах для уравнения колебаний струны с граничными и
нелокальными условиями первого и второго родов // Докл. РАН. 2009. Т. 426. № 3. С. 307-309.
чально - краевые задачи с нелокальными граничными условиями более общего вида, нежели (2), а также работу автора 17, где нелокальным было само управление (fi(t) = ux(l,t) -ux(0,t)).
Цель диссертационной работы. Диссертационная работа посвящена изучению задач оптимального граничного управления колебаниями струны при наличии модельных нелокальных граничных условий типа Бицадзе - Самарского четырех видов и произвольных начальных и финальных условий. Цель работы — получить необходимые и достаточные условия управляемости системы, а далее при выполнении этих условий найти оптимальное граничное управление.
Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие основные результаты
Для каждой задачи граничного управления с нелокальными граничными условиями найдены в явном виде условия на начальные и финальные функции, которые являются необходимыми и достаточными условиями управляемости струны. Наличие таких условий иллюстрирует тот факт, что задачи граничного управления с нелокальными граничными условиями и произвольными начальными и финальными данными, вообще говоря невозможно свести к суперпозиции двух задач: об успокоении колебаний струны и о возбуждении колебаний струны.
При выполнении найденных условий решается задача оптимизации. Оптимальное граничное управление предъявляется в явном аналитическом виде для каждой из восьми задач.
Во второй главе решаются возникающие попутно, ранее не изучавшиеся
17 Холомеева А.А. Оптимизация нелокального граничного управления колебаниями струны с закрепленным концом за произвольный кратный 21 промежуток времени // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 5. С. 696-700.
задачи оптимального граничного управления колебаниями струны на одном конце при наличии на другом конце заданного режима смещения или силы.
Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер, однако ее результаты можно использовать для моделирования различных колебательных процессов в задачах математической физики.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научном семинаре кафедры оптимального управления ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессора Ф.П. Васильева, на конференциях
научная конференция Тихоновские чтения, факультет ВМК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, октябрь 2010 г.;
международная конференция Дородницын-100, Вычислительный центр имени А.А. Дородницына РАН, Москва, декабрь 2010 г.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 3 статьях в изданиях, рекомендованных ВАК.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав и библиографии. Общий объем диссертации 114 страниц. Библиография включает 45 наименований на б страницах.
Похожие диссертации на Оптимальное граничное управление колебаниями струны с нелокальными граничными условиями типа Бицадзе-Самарского
