Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов с нелокальными условиями сопряжения Фадеева Оксана Владиславовна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Краевые задачи для уравнения гиперболического типа с условием сопряжения на характеристике 18

1.1. Вспомогательные утверждения 18

1.2. Краевая задача с граничными условиями второго рода 28

1.3. Краевая задача с граничными условиями первого рода 40

1.4. Краевая задача со смешанными граничными условиями 45

Глава 2. Краевые задачи со смешанными граничными условиями для уравнения смешанного типа 49

2.1. Постановка задачи Vx. Единственность решения 49

2.2. Существование решения задачи V\ 55

2.3. Постановка задачи V2. Вспомогательные утверждения 72

2.4. Единственность решения задачи V2 74

2.5. Существование решения задачи V2 78

Глава 3. Задача со смешанными краевыми условиями на всей границе области для уравнения смешанного типа 84

3.1. Постановка задачи DN. Вспомогательные утверждения 84

3.2. Единственность решения задачи DN 86

3.3. Существование решения задачи DN 89

Библиографический список 101

• Краевая задача с граничными условиями второго рода
• Краевая задача со смешанными граничными условиями
• Постановка задачи V2. Вспомогательные утверждения
• Единственность решения задачи DN

Введение к работе

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических уравнений, а так же уравнений смешанного типа. Интерес к этому классу уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой и гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в различных разделах механики сплошных сред и других областях знаний.

Основы этой теории заложены в известных работах Ф. Трикоми [69, 70], С. Геллерстедта [83], К.И. Бабенко [2,3], Ф.И. Франкля [79,80], М.А. Лаврентьева [39], А.В. Бицадзе [8,9]. Уравнения смешанного типа систематически стали изучаться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики. И.Н. Векуа указал приложения в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей безмоментной теории оболочек.

Теоретические основополагающие результаты принадлежат Ф. Трикоми, который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения

3^ + ^ = 0. и С. Геллерстедту, который провел исследования для уравнения

У"*Ч + «„ = 0, meN.

М.А. Лаврентьев, с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа, предложил новую модель уравнений

"» +sgn^-M_w =0.

Исследования задачи Трикоми и ее обобщений для этого уравнения принадлежат А.В. Бицадзе. Теперь оно называется уравнением Лаврентьева-Бицадзе. А.В. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для за-

дачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для различных уравнений смешанного типа [58].

Одно из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными - постановка новых задач, как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. В этом направлении во второй половине XX века появляются новые работы, среди которых можно отметить работы А.В. Бицадзе, А.А. Самарского [61], М.М. Смирнова [65,66], Ю.М. Крикунова [36], В.Ф. Волкода-вова [11], СП. Пулькина [51,52], Е.И. Моисеева [41,42], К.Б. Сабитова [57-60], А.И. Кожанова [33], В.И. Жегалова [27,28], A.M. Нахушева [43,44], Р.С. Хайруллина [81,82], A.M. Ежова [26], О.А. Репина [54], Л.С. Пулькиной [53] и других.

В последних работах В.Ф. Волкодавова впервые исследуются краевые задачи для уравнений эллиптико-гиперболического типа, отличающихся от ранее рассматриваемых тем, что линия изменения типа является его характеристикой. В постановках задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка или интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в этом направлении опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова и О.Ю. Наумова [18], где рассматривается краевая задача для уравнения

Ы,, У<0-Уравнения такого типа встречаются в работах его учеников - O.K. Бы-стровой [14], И.А. Кузнецовой [37], И.Н. Родионовой, СВ. Бушкова [55] и других. Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.А. Плотниковой [47] для частных случаев уравнения гиперболического типа

u^ + a{x, y)u_x + b(x, y)u_y + c(x, y)u = 0

и уравнения смешанного типа

и +и -Ли, v>0, Л = const,

0 =

хх уу ⁷ У ⁷ '

и л-Ли, у< 0.

Н.А. Куликовой [38] изучены краевые задачи, условия сопряжения которых содержат производные дробного порядка, для уравнения

Lu = и_ +

-и = 0, aeR,a^0.

х + у

В работах В.Ф. Волкодавова, Е.А. Баровой [4,13] доказаны существование и единственность решений краевых задач для уравнения

и.

Lu =

и„+и„+-и_х=0, у>0,

х + у

(м,+и_у) = 0, у<0,

где так же на линии у = 0 сопрягаются производная по нормали с дробной производной.

Настоящая диссертационная работа, состоящая из трех глав, посвящена исследованию ряда краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в постановке которых условие сопряжения содержит производные по нормали, интегралы и производные дробного порядка от искомой функции. Приведем краткое содержание каждой главы.

Первая глава посвящена решению краевых задач для уравнения

2ву

^1и - ^и*у⁺— г^и* Ї г^иу = >

у -х у -х

0<а,/?<1/2, 0<а+р<\, рассматриваемого на множестве G = G_\JG₊, где G_ = {{х,у)\0<-x₊ = {(х,у)\0

0)

В 1.1 для уравнения (1) в областях G_ и G₊ в явном виде построены

решения задач Коши-Гурса и Дарбу.

1.2 содержит решение краевой задачи с граничными условиями второго рода для уравнения (1) в следующей постановке.

Задача N. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1. и{х,у)еС(0)ПС¹(0),и_1у eC{G);

2. и(х,у) - классическое решение уравнения (1) в областях G. и G₊;

3. и(х,у) удовлетворяет краевым условиям Jim (и, +и_у\у + x)^a+/1 = v_(х), хе(-/г,0)

})S^U* ~^иу^У~ ^ХУ*" ^{= v}+ W' ^{х є} (»^h)' ^

где v_ (х), v₊ (х) - заданные достаточно гладкие функции;

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения

L(y) = bh₊{y), ye(0,h), (3)

щеЬєЛ, ЬфО,

hXy) = }^J {у²-t²)^P[uixj)+uX-t,y)Wl 0

-X

м,(х,у)- решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области G_ с данными:

щ{0,у)=<р{у),уе[0,к], YimJy + x)^a+p(u_u+u_l}/)=0, xe(-h,0),

щ(х,у) - решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области G_ с данными:

и₂(0,у)=0, уфЛ \im(y + x)^a+l3(u_2x+u_2y)=v_(x),XE(-h,0),

,у+д:-»+0

У , ,,

K{y)=Ym ) [u_x(x,t)+u₂(t_tyy(t% 0<Л<1, (4)

дг—>0+0 ^J х

м,(х,у)- решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области G₊ с данными:

".(О'-УЬ^М* je[0>4 \imjy-x)^a+/,(u_u -u_ly)=0, xe{0,h),

a u₂(x,y)~ решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области G₊ с данными:

u₂(V>y) = 0, ye[0,h], Umjy-x)^a*^p{u_2x-u_2y)=v₊(x), xe(0,h).

Задача N исследована следующим образом. Используя решения вспомогательных задач Коши-Гурса в областях G_u G₊, найдены выражения для функций h_(y) и h₊(y) . Принимая во внимание условие сопряжения (3), получаем:

4. в случае р = Я выражение для (р{у) в явном виде;

5. в случае р Ф Я вопрос существования решения сводится к вопросу разрешимости уравнения Вольтерра второго рода относительно функции у/{х):

(р{х) л—ї-фіх)

у/(х) - к₀ \i//(s)K(x, s)ds = Р(х). где ц/{х) = х^2р

Теорема 1. Функция K(x,s) непрерывна на множестве

{(x,s): 0 < s < х < h}, кроме линии s = x, где для нее справедлива оценка

1*М ^й і _%-\r-A> ^С> ^{= COmt >} *

{X S)

Теорема 2. Если функции v_(x)eC\-h,0), v₊(x)<=C^l(0,h) и абсолютно

h h

сходятся интегралы \v'_(-z){h-z)'^a'^pdz, lv'₊(z)(h-z)~^a~^fidz, то

о о

Р(х)еС[0,Щ.

Единственность решения задачи N следует из однозначного характера построения решения в каждом из случаев. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Если функции v_(x), v+(x) удовлетворяют условиям теоремы 2, то существует единственное решение задачи N.

В 1.3 - 1.4 для уравнения (1) решаются краевые задачи с граничными условиями первого рода и со смешанными граничными условиями в следующих постановках.

Задача D . Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

\)u{x_ty)eC{G)nC^l(G)₉u_vC(G);

2. и(х,у) - классическое решение уравнения (1) в областях G_ и G₊;

3. и(х,у) удовлетворяет краевым условиям

и(х,-х) = т_(х), хе[-h,0], (5)

и(х,х) = т₊(х), xe[0,h], где т_[х),т₊(х) -заданные достаточно гладкие функции, г_(0) = г₊(0);

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения (3), где

hiy)=\mj(y²-t²y[u_i{x,t)+u₂{-t,y)}i(t²), 0<р<1, (6)

-дг

щ(х,у) - решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области G_ с данными: Щ (0> У) = <Р{У), У є [0, h], щ (х-х) = О, х є [-/z,0],

а и₂(х,у)- решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области G_ с данными: Щ(>У) = 0,уе[0,Щ, и₂(х-х) = т_(х),хе[-А,0];

К{у)=}\т_о] {у² -t²y[uXx,t)+u₂{t,y)]d(t²), 0<Я<1,

щ(^х>у)~ решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области G₊ с данными:

«і (> У) = <Р(У% У ^є [> Л], щ (х, х) = 0,хе [О, h],

а и₂{х,у)- решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области G₊ с данными:

u₂(0,y) = 0,ye[0,h], u₂(x,x) = r₊(x),xe[0,h].

Задача DN. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1. u(x,y)eC{p)r\C^l{G),u_veC(G);

2. и(х,у) - классическое решение уравнения (1) в областях G_ и G₊;

3. и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (2) и (5);

4. и(х,у) подчиняется условию сопряжения (3), где h_(y) задана формулой (6), a h₊ (у)- формулой (4).

Исследования задач D и DN проводятся аналогично решению задачи N, но в случае задачи D используются решения вспомогательных задач Дарбу в областях G_ и G₊; а в случае задачи DN - решение задачи Дарбу в области G_ и решение задачи Коши-Гурса в области G₊.

Для обеих поставленных краевых задач доказаны теоремы существования и единственности решения. Приведем, например, теорему существования и единственности решения задачи D.

Теорема 4. Если г_(*)єС[-Л,0]пС'(-А,0), _г+(_х)_є C[0,h]nC\0,h),

г_(0) = г₊(0) = 0 и сходятся абсолютно \r'_{-z){h-zj^p'^'^{dz,

| т'₊ (z)(h - z)^'^'¹ dz, mo существует единственное решение задачи D.

Во второй главе рассматриваются две краевые задачи для уравнения смешанного типа

Lm =

2р 2q л л
и„+и„,+—и,+—и =0, д;>0,
х у

2 ⁽⁷⁾

на множестве D = D_ U D₊, D_ = {(x, y) \ -1 < -x < у < 0}, D₊ - область, ограниченная гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти, с концами в точках А(\,0) и В(0,1), и отрезками О А иОВ, 0(0,0).

В 2.1 приводятся постановка задачи V_x и доказательство единственности ее решения.

Задача V_v Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую следующим условиям:

5. u(x,y)eC{D)f]C^](D_)nC²(D₊),u_xy eC(D_);

6. и(х,у) - классическое решение уравнения (7) в областях D_ и D₊;

7. и{х,у) удовлетворяет граничным условиям:

u\_r=(p(s),se[0,], (8)

і -длина кривой Г, S -длина дуги кривой Г, отсчитываемая отточки А,

Й*^2/Ч^=1/оМ> .У є (ОД), (9)

и(х ,-х) = w(x), X є [0,l], ₀{y) -заданные достаточно гладкие функции,

4) и{х,у) подчиняется условию сопряжения

v₊(x)=V_{x),xe{0,\), (10)

у₊(х)=Ыу²< и_у, ₍₁₁₎

V_(x)=-^) (х² -е)^Кщ{t,0)d{t²)+ )(х² -і^гУщ(х,ч№)> 0<*<1,

ш: о о

^wi (^х»у) ~ решение задачи Дарбу для уравнения (7) в области D_ с данными

и, (х,0) = г(х), х є [ОД], w, (х,-х) = 0, х є [0,1],

и₂(х,у) - решение задачи Дарбу для уравнения (7) в области D_ с данными

и_г (х,0) = 0, х є [0,1], и₂ (х,-х) = w(x), х є [ОД].

Установлен характеристический принцип локального экстремума для уравнения (7) в области D_ в следующей постановке.

Лемма 1. Пусть функция u[x,y)eC{D_) и является решением уравнения (7) в области D_; и(х-х) = 0. Тогда, если и(х,0) = т(х)на сегменте [0,1] достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке(х₀,0), 0<х₀<\> то

V_(x₀)>0(<0).

Теорема 5. Если существует решение задачи V_x, то оно единственно. Справедливость данного утверждения устанавливается с помощью рассмотренного принципа локального экстремума и леммы Бабенко.

В 2.2 доказывается существование решения поставленной задачи в

случае, когда D₊ ограничена кривой Го:* + у = 1 и р = g. В области D₊ используется решение краевой задачи с данными (8), (9) и (11), полученное в работе [11]. С учетом условия сопряжения (10), вопрос существования решения задачи V_x эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода

і
т'(х) = \t'(s)K(x, s)ds + Q(x\ 0 < х < 1. (12)

о Теорема 6. Если Я + 2р<1, то функция K{x,s)является непрерывной в квадрате [0,1; 0,1], кроме линий s = х,х = 1, где для нее справедлива оценка:

где С-здесь и в дальнейшем положительные постоянные.

Теорема 7. Если м(х)еС[0,\]глС¹(0,\), jc²"V(*)eZ[0,l],

v₀(y)eC[0,l)nl[0,l] и v₀(y) имеет представление v₀(y) = y^riVo(y), где Ко(у)єС[0,1)пі[о,і], г, > 1 + 2/7; (р(х)еС[0,\] и <р(х) имеет представление

= (і -x)'² % (x), где ₀(x) є C[0,1], r₂ > 112; Л + 2р<\, mo 6(*)eC[0,l)nZ[0,l].

В силу теоремы единственности решения задачи V_] и альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение (12) разрешимо в классе функций С[0Д) п ЦОД] и притом единственным образом. Доказана следующая теорема существования и единственности решения задачи V^.

Теорема 8. Если Г = Г₀ :у - VI-х¹, х є [ОД], p = q, Я + 2р < 1, функции w(x), v₀(y), %{х) удовлетворяют условиям теоремы 7, то существует

единственное решение задачи V_x.

В 2.3 - 2.5 аналогичным образом исследуется задача V₂ в следующей постановке.

Задача V₂. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

8. u(x,y)GC(D)f)C\D_)nC²(D₊),u,_y eC(D_);

9. и(х,у) - классическое решение уравнения (7) в областях >_ и D₊;

10. и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (8), (9) и

где $?(.?), /(у), и₀(у) - заданные достаточно гладкие функции, <р(0) = /(0);

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения (10), где функция v₊(jc) за
дана формулой (11), а

у{х) =—\ (?-x)-\(f,0)fifr + J {t-x)~^xu₂(x,-i)dt, 0 <А< 1,

ах* *

щ{х,у) - решение задачи Гурса для уравнения (7) в области d_ с данными и,(х,0) = т(х), х є [ОД], щ(1,у) = 0,уе[-1,0],

а и₂ {х,у)~ решение задачи Гурса для уравнения (7) в области d_ с данными и₂ (х,0) = 0, д: є [ОД], и₂(\,у) = Ду), у є [-1,0].

Единственность решения задачи V₂ доказывается с применением

принципа локального экстремума.

Доказательство существования проводится при следующих условиях:

f[yj — 0, Г=Го: х² + у² = 1, х,у> О и р = q. Вопрос существования решения задачи эквивалентно редуцируется к вопросу однозначной разрешимости интегрального уравнения вида (12) с интегрируемым ядром и непрерывным свободным членом. Разрешимость полученного уравнения следует из теоремы единственности поставленной задачи. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 9. Если Г = Г₀ :у = Vl-x², хє[о,і], P = q, f{y) = 0,

v_o(y)eC[0,\)nL,[0,\] и v₀(y) имеет представление у₀{у)⁼У'^Уо(у)> где Vo(у)єС[0,1)nbio,!], r_l>l + 2p; cp{x)єC[0,1] и (p\x) имеет представление (р(х) = (і - x)^h q>₀ (x), где cp_Q (x) є C[0,1], r₂ > 1 / 2; Л + 2p < 1, то существует единственное решение задачи V₂.

Отметим, что интересные результаты по исследованию задач для уравнения (7) при p = q = 0 были получены в работах В.Ф. Волкодавова, O.K. Бы-

стровой [14], Е.И. Томиной [68], Л.А. Игнаткиной [29].

Третья глава посвящена решению краевой задачи для уравнения смешанного типа

2р 2q л л

««+«»,+—^+-^,= У^>0>

Lu =

х у

и_ху+-и =0,у<0,

0<2р<\, 0<2q<\, на множестве D = D_uD₊, где D_ - D~ u D~, D\ - область, ограниченная прямыми х + у = 0, у = 0, х = 1/2;

(13)

Z)J - область, ограниченная прямыми х-у = \, у = 0, х = 1/ 2; D₊ - область, введенная выше.

Задача DN. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

11. u{x,y)eC{D)nC¹(D_)^C²(D₊),u_xy eC(DJ;

12. и(х,у) - классическое решение уравнения (13) на D;

13. и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (8), (9) и

u(x-x) = w(x),xe[0,l/2], (14)

u(x,x-\) = g(x),xe[\/2,\], (15)

где (p\s),v_Q{y), щх), g(x) - заданные достаточно гладкие функции, w(\/2) = g(\/2), g(l) = p(0);

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения

v₊(x)=r,"(x),xe(0,l/2),

v₊{x)=V{(x),xe{\/2,l), где функция v₊(x) задана формулой (11), а

V;(x)=j (x-t)~*u(x-t)dt, 0<Л<1,

V;(х) = \(t-х)~^х и(х,t-l)dt,

и(х,у) - решения задач Дарбу для уравнения (13) в областях Ц" hD₂"c дан-ными(14), и(х,0)=т₁(х), хє[0,1/2] и (15), и(х,0) = т₂(х), хє[l/2,l] соответственно.

Исходя из представлений функций V_{~ (x),V₂~ (х) доказаны следующие принципы локального экстремума.

Лемма 2. Пусть функция и{х,у)єС\рї) и является решением уравнения (13) в области Д~ / и(х,-х) = 0. Тогда, если и(х,0) = г, (х) на [0/1/2] дости-

гает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке (х₀,0), 0 < х₀ < 1/2, то

VC(x₀)>0(<0). Лемма 3. Пусть функция w(x,j>)eC(D₂~) и является решением уравнения (13) в области D~₂; u(x,x-l)=0. Тогда, если и(х,0)=т₂(х) на [1/2,1] достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке (х₀,6), \/2<х₀<\, то

v;(x₀)>o(

На основании лемм 2 и 3 установлен принцип экстремума для уравнения (13) в области D₊.

Лемма 4. Пусть u(x,y)eC{D₊)r\C²(D₊), Lu = 0 в D₊,

и(х,х-\) = и(х,-х) = 0. Тогда, если тзхи(х,у) = и(())>0 (mmu(x,y) = u(Q)<0),

то максимум (минимум) u[Q) достигается на кривой Г.

Теорема 10. Если существует решение задачи DN, то оно единственно.

Существование решения задачи DN рассматривается в случае, когда Г = Г₀: х² + у² = 1, х > 0,у > 0, (p\s) = 0, и оно эквивалентно сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода

Ф) = ^l'lTi(.s)K(x,s)ds + Q(x), 0<х<1/2. (16)

Теорема 11. Если Я, + 2р<\, A + 2q<\, p + qK(x,s) непрерывна в квадрате [0,1/2; 0,1/2], кроме линий s = x и л: = 1/2, где для нее справедлива оценка

\К(х, s)\ < S +-%-.

¹ ^ ^А \x-s\²⁴

Теорема 12. Если v₀(y)єС(0,\), y-^2pv₀(y)eL[0,\], w(x)gC(0,1/2),
w(x)(l/2-xy²⁴ єДОД/2], g(x)eC(\/2,l), g(x)(x-V2y^2q є ДІ/2,1],

1/2 1/2

Jw(z)X + 2q

о 0

В силу теоремы единственности решения задачи DN и альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение (16) разрешимо и притом единственным образом в классе функций С[0,1/2].

Теорема 13. Если Г = Г₀: х² + у² = 1, х > 0,у > 0, q>(s) = О, функции
v₀(y), g(x), w(x), удовлетворяют условиям теоремы 12,

Я + 2р< 1, Л + 2q < 1, p + q

Таким образом, автором на защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Доказательство характеристических принципов локального экстремума для уравнений гиперболического типа.

2. Доказательство теоремы существования и единственности решения краевых задач для гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами с граничными условиями I, II рода, а так же со смешанными граничными условиями.

3. Доказательство теорем существования и единственности решения краевых задач для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом и характеристической линией изменения типа.

4. Доказательство теоремы существования и единственности решения краевой задачи для уравнения смешанного типа с характеристической линией изменения типа и со смешанными краевыми условиями на всей границе области.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22],[23], [71] - [77]. В работах [22], [23] соавтору Волкодавову В.Ф. принадлежат постановки задач.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались:

1. на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора Волкодавова В.Ф. (г. Самара, СамГПУ, 2001 - 2005гг.);

2. на 56-ой, 57-ой научных конференциях СамГПУ (г. Самара, 2002, 2003 гг.);

3) на международной научной конференции «Спектральная теория
дифференциальных операторов и родственные проблемы» (г. Стерлитамак,
24 - 28 июня 2003г);

4. на международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами» (г. Душанбе, 25 -28 октября 2003 г.);

5. на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 1 - 3 июня 2005г);

6. на научно-технической конференции сотрудников СамГАСУ но итогам НИР (г. Самара, 2006,2007 гг.);

7. на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители: д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов и д.ф.-м.н., профессор И.А. Калиев, март 2007г.) и кафедры теоретической физики (научный руководитель: д.т.н., профессор А.И. Филиппов, апрель 2007г.) Стерлитамакской государственной педагогической академии;

8. на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета (научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Я.Т. Султанаев, апрель 2007г.).

Краевая задача с граничными условиями второго рода

Основы этой теории заложены в известных работах Ф. Трикоми [69, 70], С. Геллерстедта [83], К.И. Бабенко [2,3], Ф.И. Франкля [79,80], М.А. Лаврентьева [39], А.В. Бицадзе [8,9]. Уравнения смешанного типа систематически стали изучаться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики. И.Н. Векуа указал приложения в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей безмоментной теории оболочек. Теоретические основополагающие результаты принадлежат Ф. Трикоми, который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения М.А. Лаврентьев, с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа, предложил новую модель уравнений Исследования задачи Трикоми и ее обобщений для этого уравнения принадлежат А.В. Бицадзе. Теперь оно называется уравнением Лаврентьева-Бицадзе. А.В. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для за- дачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для различных уравнений смешанного типа [58]. Одно из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными - постановка новых задач, как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач.

В этом направлении во второй половине XX века появляются новые работы, среди которых можно отметить работы А.В. Бицадзе, А.А. Самарского [61], М.М. Смирнова [65,66], Ю.М. Крикунова [36], В.Ф. Волкода-вова [11], СП. Пулькина [51,52], Е.И. Моисеева [41,42], К.Б. Сабитова [57-60], А.И. Кожанова [33], В.И. Жегалова [27,28], A.M. Нахушева [43,44], Р.С. Хайруллина [81,82], A.M. Ежова [26], О.А. Репина [54], Л.С. Пулькиной [53] и других. В последних работах В.Ф. Волкодавова впервые исследуются краевые задачи для уравнений эллиптико-гиперболического типа, отличающихся от ранее рассматриваемых тем, что линия изменения типа является его характеристикой. В постановках задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка или интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в этом направлении опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова и О.Ю. Наумова [18], где рассматривается краевая задача для уравнения Ы,, У 0-Уравнения такого типа встречаются в работах его учеников - O.K. Бы-стровой [14], И.А. Кузнецовой [37], И.Н. Родионовой, СВ. Бушкова [55] и других. Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.А. Плотниковой [47] для частных случаев уравнения гиперболического типа Н.А. Куликовой [38] изучены краевые задачи, условия сопряжения которых содержат производные дробного порядка, для уравнения В работах В.Ф. Волкодавова, Е.А. Баровой [4,13] доказаны существование и единственность решений краевых задач для уравнения где так же на линии у = 0 сопрягаются производная по нормали с дробной производной. Настоящая диссертационная работа, состоящая из трех глав, посвящена исследованию ряда краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в постановке которых условие сопряжения содержит производные по нормали, интегралы и производные дробного порядка от искомой функции. Приведем краткое содержание каждой главы.

Краевая задача со смешанными граничными условиями

Аналогично тому, как это было сделано при доказательстве теоремы 2.1.2, можно показать, что функция и[х,у) не может достигать наибольшего положительного, наименьшего отрицательного значений в области эллиптичности на кривой Г и на полуинтервалах О А оси д = 0и ОВ оси х = 0. Тогда max и(х,у) 0 может достигаться только в точке 0(0,0). В дальнейшем воспользуемся приемом, предложенным в работе [60]. Пусть 0(0,0)- точка изолированного максимума. Выберем г настолько близким к и(0,0), что кривая у, состоящая из линий уровня и{х,у) = г 0, целиком лежит в малой окрестности U(0,S), 0 S 1, и для всех точек ( , ) из области, ограниченной кривой у и отрезками ОА и ОВ: u(x,y) r. Обозначим D - область, ограниченная кривой у и отрезками ОАу и ОВ?, где А (я,0) и В (0,Ь) - точки пересечения кривой у с отрезками ОА и ОВ соответственно. В области Dr введем функцию f(x,y)=u(x,y)-r и проинтегрируем тождество Так как y2qf (х,0) = у2чи (x,0+0) = v+(x), то, согласно условию сопряжения (2.1.5), y2qfy(x,0) = V_(x). Возьмем настолько близким к 0, что на про- межутке (0,0 + ] функция f(x,0) была положительной и возрастала при х- 0. Пусть - произвольная точка из промежутка (0,0 + S). Тогда на отрезке [0,] функция f(x,0) достигает максимума в точке (,0). По лемме 2.4.1 Р,"() 0. В силу произвольности точки получаем V_(x) = y2qfy(x,0) 0 при 0 х а и Очевидно, что и остальные интегралы в левой части этого равенства неотрицательны. Из этого следует, что в области Dy: fy = fx = 0 , то есть f(x,у) =const, а так как / = 0, то f{x,y) =0. Тогда и(х,у) = г в U(0,S), что противоречит условию изолированности максимума в точке 0(0,0). Тогда из единственности решения смешанной задачи Дирихле-Неймана для уравнения (2.1.1) в области D+ следует, что ( , ) = 0 в Д., а из равенства (2.3.3) следует, что и(х,у)= 0 в D_. Таким образом, и(х,у)= 0 в D. Для простоты вычислений доказательство существования решения задачи V2 проведем в случае, когда f(y) = 0, Г =Г0: х +у =1, х, 0 и p = q. В области D+ для уравнения (2.1.1) используем решение задачи N с данными (2.1.2), (2.1.3) и (2.1.6).

Это решение имеет вид (2.2.1). С учетом условия сопряжения (2.1.5) формула (2.2.1) принимает вид В последнем равенстве перейдем к пределу при у -» 0 (предварительно осуществив переход х0 - х,у0 - у), а затем продифференцируем по х. Получим следующее уравнение относительно неизвестной функции т (х) Преобразуем это уравнение с учетом представления функций V_(x) и G(x, у, Х0,у0), а также нашего предположения, что f(y) = 0. Будем иметь где 4 W= 24 ./W Функции 4/W »=Ь8 заданы формулами (2.2.4) -/=] (2.2.11); функция А 2(х) задана формулой (2.2.12); Преобразуем слагаемое В {х) и изменим в нем порядок интегрирования, найдем где Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 2.2.1. Таким образом, из утверждений теорем 2.5.1 и 2.2.2 следует, что уравнение (2.5.6) есть уравнение Фредгольма II рода с ядром со слабой особенностью и непрерывным свободным членом. В силу теоремы единственности решения задачи V2 и альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение (2.5.6) разрешимо, причем единственным образом. Его решение может быть записано в виде: где R(x,s)- резольвента ядра интегрального уравнения (2.5.6). Из последнего равенства в силу указанных свойств ядра (Л:,,У) и функции Q(x), а также свойств резольвенты, следует, что функция г (х)єС[0,і], т.е. удовлетворяет условиям теоремы 2.3.1.

Подставив найденное т (х) в формулу (2.3.3), получим решение задачи V2 в области _. Используя условие сопряжения (2.1.5) и формулу (2.4.4) будем иметь При подстановке последнего равенства в формулу (2.2.1) получим решение задачи V2 в области D+. Так, имеет место следующее утверждение Теорема 2.5.2. Если Г = Г0 :у = І\-х2, х =[0,\], Р = Ч функции vo(y)eC[0,l)nZ.[0,l] и vQ(y) имеет представление v0{y)=y iVo{y), где vo {у) є С[0,1) n L[0,\], r{ l + 2p; р(х) є С[0,1] и р(х) имеет представление (р(х)=(\-х)Г2(р0(х), где р0(х)єС[0,\], г2 \/2; Л + 2р \,/{у)=0, то существует единственное решение задачи V2, которое определяется формулами (2.3.3), (2.5.7) в области D_ и (2.2.1), (2.5.7), (2.5.8) в области D.

Постановка задачи V2. Вспомогательные утверждения

Пусть функция u(x,y)eC[D_) и является решением уравнения (2.1.1) в области D_; и(х,-х) = 0. Тогда, если и(х,6) = т(х) на сегменте [0,1] достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке ( 0,0), 0 х0 1, то V{x0) 0{ 0). Доказательство. Любое классическое решение уравнения (2.1.1) в области D_, непрерывное в D_, можно представить в виде решения задачи Дарбу, определенного формулой (2.1.9). Из ранее выполненных преобразований следует, что тогда функцию V_(х) можно представить в виде (2.1.13). По условию леммы w(x) = 0. Тогда равенство (2.1.13) принимает вид В правой части равенства (2.1.14) представим r (t) в виде —j(f)-r(x)] и выполним интегрирование по частям. Тогда получим Пусть функция т(х) достигает наибольшего положительного значения на [0,l] в точке л:0:0 дг0 1. Положим в равенстве (2.1.15) х = х0. Получим К_(л:0) 0. Очевидно, что если в точке х0 достигается наименьшее отрицательное значение, то V_(x0) 0. Лемма доказана. Теорема 2.1.2. Если существует решение задачи V\, то оно единственно. Доказательство. Пусть функция и(х,у)- решение однородной задачи Pj, т.е. и\Г=0, и(х,-х)=0 и Как непрерывная в замкнутой области D функция и(х,у) достигает там своих наибольшего и наименьшего значений. Поскольку иг=0, то по принципу максимума для эллиптических уравнений [9, с.29], наибольшее положительное (наименьшее отрицательное) значение функции и{х,у) в D+ достигает на отрезках ОА или ОВ. Пусть наибольшее положительное значение и(х,у) достигает на отрезке ОА оси у=0. Тогда наибольшее положительное (наименьшее отрицательное) значение достигается функцией и(х,6)=т(х) во внутренней точке дг0 отрезка [од], так как г(о) = г (і) = 0.

В силу того, что по лемме Бабенко v+ (х0) 0 ( 0), а по лемме 2.1.1 V_ (х0) 0 ( 0), получаем противоречие с условием сопряжения (2.1.5). Значит, функция т(х) не может достигать на [од] ни наибольшего положительного, ни наименьшего отрицательного значений, т.е. г(х) = 0 на [од]. Пусть теперь функция и(х,у) принимает наибольшее положительное (наименьшее отрицательное) значение на отрезке ОВ оси х = 0. Поскольку и(0,0)= w(0,l) = 0, то функция и(0,у)достигает это экстремальное значение во внутренней точке yQ отрезка [од]. Тогда, по лемме Бабенко, функция и(0,д ) не может достигать на [од] ни наибольшего положительного, ни наименьшего отрицательного значений, т.е. и(0,у) = 0 на [од]. Тогда из единственности решения смешанной задачи Дирихле-Неймана для уравнения (2.1.1) в области D+ следует, что и(х,у) = 0 в D+, а из равенства (2.1.9) следует, что и(х,у) = 0 в D_. Таким образом, и(х,у) = 0 в D. Теорема доказана. Доказательство существования решения задачи Pj для простоты вычислений проведем для случая, когда кривая Г совпадает с дугой окружности Г0: Xі + у2 = 1 и p=q. В области D+ для уравнения (2.1.1) используем решение задачи N[11, 3] с данными (2.1.2), (2.1.3) и (2.1.6). При Г = Г0 :у = 1-х2 и p=q это решение имеет вид

Единственность решения задачи DN

Из приведенных выше оценок и теоремы о непрерывности интеграла, зависящего от параметра[78, т.2, с.660], следует утверждение теоремы. На основании теорем 2.2.1 и 2.2.2 делаем вывод, что уравнение (2.2.21) есть уравнение Фредгольма II рода с ядром со слабой особенностью и свободным членом, непрерывным в [ОД), а при х - 1 имеющим особенность порядка 2р. Из утверждения теоремы 2.1.2 следует, что соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение. Тогда, по теории данных уравнений [см. напр., 35], уравнение (2.2.21) имеет единственное решение, непрерывное в [0,1), а при х = 1 имеющее слабую особенность. Решение данного уравнения можно выписать через резольвенту R(x,s) ядра K(x,s): Решение задачи Vx в области D_ получим, решив уравнение (2.2.22) относительно функции т(х) из класса С[0,1]пС [0,1), при этом т (х)єЦ0,\], и подставив найденное т(х) в формулу (2.1.9). Получив выражение для т (х), мы можем найти и{х,у) в области D+ следующим образом.

Из условия сопряжения (2.1.5) и равенства (2.1.13) будем иметь Подставляя равенство (2.2.23) в формулу (2.2.1), получим решение и(х,у) задачи Vl в области D+. Тем самым доказана Теорема 2.2.3. Если Г = Г0:у = 1 х2, хє[0,і], p = q, Я + 2р \, функции w(x), vQ(y) и р(х)удовлетворяют условиям теоремы 2.2.2, то существует единственное решение задачи vv определяемое формулами (2.1.9), (2.2.22) в области D_ и (2.2.1.), (2.2.22), (2.2.23) в области D+. Уравнение (2.1.1) рассмотрим на множестве D, введенном в 2.1. Задача V2- Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами: 1) и(х,у) - классическое решение уравнения (2.1.1) в областях D_ и D+\ 2) и(х,у) -удовлетворяет краевым условиям (2.1.2), (2.1.3) и " заДанные достаточно гладкие функции, )(0) = /(0); 4) и(х, подчиняется условию сопряжения (2.1.5), где функция v+(x) определена по формуле (2.1.6), а функции щ(х,у), и2(х,у) будут введены ниже. Предварительно для уравнения (2.1.1) в области _ построим решение следующей вспомогательной задачи.

Решение задачи Гурса находим методом Римана [см. напр., 56]. Функция Римана данной задачи для уравнения (2.1.1) построена в работе [21, с.ЗО] и имеет вид Функция R(x,y,x0,y0) обладает следующими свойствами: 1. R(x,y,XQ,у0) как функция от (х,у) является решением сопряженного уравнения LU = 0, а как функция от (х0,у0) является решением уравнения (2.1.1); Доказательство данной теоремы следует из свойств функции Римана и условий теоремы. Представим функцию F(-) В виде ряда и вычислим внутренние интегралы в последнем равенстве, применив теорему об интегрировании равномерно сходящегося ряда и выполнив замены t = \-(\ + s)z в первом слагаемом и t = 1 - (l - x)z - во втором слагаемом.

Похожие диссертации на Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов с нелокальными условиями сопряжения

Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряженияБарова Евгения Анатольевна

Краевые задачи с нелокальными условиями сопряжения для дифференциальных уравнений смешанного типаИсянгильдин, Амир Хызырович

Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряженияПлотникова Юлия Александровна

Задачи типа Геллерстедта для уравнений смешанного типа с нелокальным интегральным условием сопряженияСкороход, Анна Владимировна

Краевые задачи для уравнений Эйлера-Дарбу с условиями сопряжения на характеристике и нехарактеристической линииПодклетнова Светлана Владимировна

Начально-граничные задачи на сопряжение для уравнений параболического типа с переменным направлением времениПулькин Игорь Сергеевич

Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной областиСабитова Юлия Камилевна

Краевые задачи для уравнений термоупругости с граничными условиями типа неравенствСелютин Алексей Алексеевич

Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений параболического типаДанилкина Ольга Юрьевна

Задачи с граничными условиями второго рода для уравнений смешанного типаШустрова Наталья Вячеславовна