Введение к работе
Актуальность темы. Возникшая в двадцатые годы прошлого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике и во многих других областях.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, где бьши впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как "задача Трикоми"и "задача Геллерстедта".
Ф. И. Франкль впервые обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. А. В. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для уравнений смешанного типа.
В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались ученые у нас в России и за рубежом. Полученные результаты приведены в монографиях А.В. Бицадзе, Л. Берса, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдинова, Е.И. Моисеева, Т.Д. Джураева. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.
Задачей Геллерстедта для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль, М.А. Лаврентьев, А.В. Бицадзе, В.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер, А.Н. Зарубин, В.И. Жегалов, A.M. Нахушев, Хе Кан Чер, М.М. Смирнов, С. Morawetz, Е.И. Моисеев, Т.Ш. Кадьменов, Т.Д. Джураев, К.Б. Сабитов, А.Н. Кучкарова, Н.Б. Плещинский, К.А. Губайдуллин, А.А. Косовец, А.А. Полосин и другие.
С. Геллерстедт для уравнения
утихх + uyv = 0, (1)
где т - натуральное нечетное число, в области D, ограниченной простой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > О с концами в точках А\(аі,0) и ^2(02,0), а при у < 0 - характеристиками A\Ci, С\Е, ЕС2, С2А2 уравнения (1), где Е(е,0), ах < е < о2, исследовал краевые задачи с данными на Г U AiC\ U А2Сі (задача G\) и с данными на Г U С\Е U ЕСч (задача Gi). Существование упомянутых задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает
с "нормальной"кривой Го:
*2+(^т+2=1^>0- (2)
Для уравнения М.А. Лаврентьева
sgny-uxx + Uyy = 0 (3)
задача G\ подробно изучена А.В. Бицадзе. При этом единственность решения задачи Геллерстедта доказана на основании принципа экстремума при произвольной кривой Г, существование обосновано методом интегральных уравнений.
С. Morawetz доказала единственность решения задачи G\ для уравнения Чаплыгина
К{у)ихх + Uyy = О,
где уК(у) > 0 при у > О, К(0) = 0, К'(у) > 0, К(у) - достаточно гладкая функция, методом вспомогательных функций при некоторых ограничениях на рост градиента решения в окрестности точек Ai, Е и Ач и кривую Г. Например, кривая Г должна быть звездной относительно точки Е,
В.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер для уравнения
sgny\y\muxx + Uyy={), m>0, (4)
доказали единственность решения задачи Gx методом экстремума при произвольной кривой Г, а\ = —1, а2 — 1, но при условии, что
и+(х) = v-(x), -1 < х < 1,
v+(x)= \im uv{x,y), i/_(x)= Um щ(х,у), x ф є,
у—*и+и y—*u—v
lim v-(x) = lim v-(x).
i->e-0 i-»e+0
A.H. Зарубин исследовал краевую задачу типа Геллерстедта для уравнения смешанного типа с тремя линиями вырождения
УІУ - 1)«и + хиуу = О,
методом интегральных тождеств им доказана единственность решения, а существование проведено методом интегральных уравнений.
М.М. Смирнов на основании работ Хе Кана Чера для уравнения (4) установил справедливость принципа экстремума, из которого следует единственность решения задач G\ и G%, когда Г - произвольная кривая и
производные их и Uy решения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы в окрестностях точек А\, Е и А^. Следует отметить, что здесь при доказательстве принципа экстремума используются явные формулы решений задач Хольмгрена и Дарбу в области эллиптичности и гиперболичности соответственно.
Методом разделения переменных Е.И. Моисеев построил решение задач G\ и Gz с нулевыми краевыми условиями на характеристиках для уравнения (3) в виде суммы биортогональных рядов в случае, когда область эллиптичности является полукругом.
К.Б. Сабитов, А.Н.Кучкарова изучили спектральные свойства решения задачи G\ и показали применения этих свойств при построении решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе методом биортоганальных рядов.
В последние годы жизни В.Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа, для которых линия изменения типа является характеристикой. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной дробного порядка из области эллиптичности с интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в данном направлении были опубликованы в работе В.Ф. Волкодавова, О.Ю. Наумова1 для уравнения
0 _ Г ихх + щУ1 у > О,
\ иху = О, у < 0,
в области U, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках Л(0,0) и 5(1,0) оси у = 0, и отрезками прямых АС(х + у = 0) и СВ(х = 1) в полуплоскости у < 0, с условиями сопряжения:
и{х,0 + 0) = и{х,0-0), 0<х<1,
Н+{х) = 6(х)Я_(х), 0 < х < 1,
Н+{х) = f(i- t)~p и'х [t, Q)dt, 0 < р < 1, о
Я_(х)= lim (x-t)'xu(x,-t)dt, 0 < А < 1.
V-—0 J
-у
волкодавов В.Ф., Наумов О.Ю. Для уравнения сметанного типа задача с сопряжением специального иида // Никлассическио ураигюния матчм. физики. НигтснПирск: Игг-т матем. СО РАН, 2()02. С. 41 4!).
Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работах Б.А. Баровой, О.В. Фадеевой и И.П. Егоровой.
Цель работы. Основной целью диссертации является постановка и обоснование теорем существования и единственности решения задач типа Геллерстедта с нелокальными интегральными условиями сопряжения для уравнения смешанного типа
Утихх + Uyy = 0, т > О, у > О,
(«) =
и*У ~ JTZ (и* ~~ uv) = > <1=Щ%Щ> У<0> ж<0' (5) q "
uxv + («х + «в) = 0, у < О, X > 0.
х + у
Уравнение (5) при у > 0 совпадает с обобщенным уравнением Трикоми, а при у < 0 то же самое уравнение записано в характеристических координатах, что позволяет при минимальных условиях на граничные функции доказать существование классического (а не обобщенного, как было в работах К.И. Бабенко и других) решения в области гиперболичности.
В постановке предложенных задач условия сопряжения на линии изменения типа содержат производные и интегралы дробного порядка. Введение этих новых условий сопряжения вызвано тем, что линия изменения типа у — 0 является характеристикой уравнения (5). В силу этого известное условие сопряжения иу (х, 0 + 0) = иу (х, 0 — 0) не подходит.
Методы исследования. При решении поставленных задач использованы аналитические методы решения дифференциальных уравнений с частными производными: Римана и Римана-Адамара; принципы экстремума; теория интегральных уравнений Фредгольма, а также аппарат специальных функций.
Научная новизна.
-
Постановка краевых задач для эллиптико-гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами на линии изменения типа в случае, когда эта линия является характеристикой.
-
Установлены принципы экстремума для уравнений гиперболического и смешанного эллиптико-гиперболического типов.
-
Доказаны теоремы существования и единственности решения краевых задач, для эллиптико-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа и нелокальным условием сопряжения, содержащим производную дробного порядка.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней исследованы краевые задачи с неклассическим интегральным условием сопряжения на линии изменения типа эллиптико - гиперболического уравнения. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшей разработке нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа.
- Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:
на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под
руководством д. ф.-м. н., проф. В.Ф. Волкодавова (г. Самара, СамГПУ,
2004 - 2005 гг.);
на научных семинарах по теории дифференциальных уравнений под руководством д. ф.-м. н., проф. К.Б. Сабитова (г. Самара, СамГПУ, г. Стерлитамак, СФ АН РБ, 2006 - 2010 гг.);
на научном семинаре кафедры уравнений математической физики под руководством д. ф.-м. п., проф. Л.С. Пулькшюй (г. Самара, СамГУ, ноябрь 2010 г.);
на научном семинаре под руководством д. ф.-м. н., проф. Солдатова А.П. и Мейрманова A.M. (г. Белгород, НИУ БелГУ, март 2011 г.).
на первой международной научно-практической конференции,
посвященной памяти профессора Б.М. Бредихина "Математическое
образование: прошлое, настоящее, будущее" (1-2 ноября 2006г., г. Самара,
СамГПУ);
на всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их
приложения"(29 января 2 февраля 2007г., г. Самара, СамГУ);
на международной научной конференции "Дифференциальные
уравнения и смежные проблемы", посвященной юбилеям академиков В.А.
Ильина и Е.И. Моисеева (г. Стерлитамак, 24 - 28 июня 2008г., СФ АН РБ);
на международной конференции "Современные проблемы
математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора
МГУ академика В.А. Садовничего ( 30 марта - 02 апреля 2009г., Москва,
МГУ);
на второй всероссийской научно-практической конференции,
посвящепной памяти заслуженного деятеля науки РФ, профессора
В.Ф.Волкодавова "Интегративный характер современного
математического образования"( 26 - 28 октября 2009 г., г. Самара,
ПГСГА);
на второй международной конференции "Математическая физика и
ее приложения"(29 августа-4 сентября 2010г., г.Самара, МИАН, СамГУ).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 9 работах, в том числе в издании из перечня ВАК [4], список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 124 страницах и состоит из введения, двух глав и библиографического списка, включающего 93 наименования.
Похожие диссертации на Задачи типа Геллерстедта для уравнений смешанного типа с нелокальным интегральным условием сопряжения
