Задачи с граничными условиями второго рода для уравнений смешанного типа Шустрова Наталья Вячеславовна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

1.1. Постановка обобщенной задачи Моравец и редукция к обобщенной задаче Трикоми 17

1.2. Единственность и существование решения задачи Моравец 19

1.3. Единственность решения обобщенной задачи Моравец 21

Глава 2. Задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром

2.1. Постановка спектральной задачи Моравец 24

2.2. Построение частных решений уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром 25

2.3. Построение системы собственных функций и исследование их на полноту 27

2.4. Построение решения задачи Моравец для уравнений с оператором

Лаврентьева-Бицадзе 37

2.5. Пространственный аналог задачи Моравец 40

2.6. Построение решения задачи Моравец для уравнения с оператором Лаврентьева-Бицадзе в усложненной области 46

2.7. Обобщенная задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром 55

2.8, Обобщенная задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

с параметром в усложненной области 69

Глава 3. Задачи с краевыми условиями второго рода на части границы для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром

3.1. Построение решения обобщенной задачи Трикоми-Неймана 73

3.2. Обобщенная смешанная задача 78

3.3. Обобщенная задача Трикоми-Неймана в усложненной области 81

3.4. Аналоги обобщенной смешанной задачи в усложненной области 83

3.5. Построение решения задачи TN для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром в эллиптических координатах 90

Литература 95

• Постановка обобщенной задачи Моравец и редукция к обобщенной задаче Трикоми
• Построение частных решений уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром
• Построение решения обобщенной задачи Трикоми-Неймана

Введение к работе

Исследования различного рода физических процессов тесно связаны с развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа.

Основоположниками этой теории являются Ф.Трикоми и С.Геллерстедт. Дальнейшими исследованиями в этой области занимались Ф.И.Франкль, А.В.Бицадзе, К.И.Бабенко, В.Ф.Волкодавов, В.Н.Врагов, Т.Д.Джураев, В.Н.Диденко, В.А.Елеев, В.И.Жегалов, А.Н.Зарубин, Т.Ш.Кальменов, Г.Д.Каратопраклиев, А.И.Кожанов, Ю.М.Крикунов, А.Г.Кузьмин, О.А.Ладыженская, В.П.Михайлов, Е.И.Моисеев, А.М.Нахушев, С.М.Пономарёв, С.П.Пулькин, Л.С.Пулькина, О.А.Репин, К.Б.Сабитов, М.С.Салахитдииов, М.М.Смирнов, А.П.Солдатов, Р.С.Хайруллин, Хе Кан Чер, Л.И.Чибрикова, S.Agmon, L.Nirenberg, M.Protfcer, C.S.Morawetz, P.Germain, R.Baber, P.Lax, R.Phillips, M.Schneider и многие другие.

К основным краевым задачам для дифференциальных уравнений смешанного типа относятся задачи Трикоми, Геллерстедта, Трикоми-Неймана. Моравец и их обобщения (с отходом от характеристики).

Ф.Трикоми [48] для уравнения yv>xx + u_yy = 0 (0.1) в области Д ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках А и В оси у = 0, а при у < 0 — характеристиками АС и ВС уравнения (0.1), выходящими из этих точек и пересекающимися в точке С, исследовал задачу с граничными данными первого рода на Г U АС. Существование и единственность решения этой задачи доказано при некоторых ограничениях на кривую Г. Геллерстедт [58] решает задачу Трикоми для уравнения у^ти_хх + щу -cu = F{x,y), (0.2) где т > 0 и т = 0(mod2), с = const > 0, но достаточно малая, F(x,y)~ заданная функция. В другой работе Геллерстедта [57] для уравнения y^mu_xx + u_yy = 0, (0.3) где т — натуральное нечетное число, в области D, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > О с концами в точках Лі(аі,0) и Аг(а2,0), а при у < 0— характеристиками АіС\,СіЕ,ЕС^С^Аі уравнения (0.3), где E(e,Q), а\ < е < а% исследованы задачи с граничными данными первого рода на Г U А\С\ U А₂С₂ (задача G\) и на Г U С\Е U ECz

В работе [50] Ф.И.Франкль исследовал задачу Трикоми для уравнения Чаплыгина

К{у)и_хх + и_уу = 0, К(0) = О, К'{у) > 0. (0.4)

Единственность решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина была доказана им при условии, что функция F(y) = 2(К/К'У + 1<0приу<0. (0.5)

Для уравнения М.А.Лаврентьева и_хх + sgny и_уу = 0 (0.6) задачи Трикоми, G\ и задача, в которой задано |^ на Г, подробно изучены А.В.Бицадзе [5-9]. В работе [8] единственность решения задачи Геллсрстедта доказана на основании принципа экстремума при произвольной кривой Г, но при некоторых ограничениях на поведение производных и_х и и_у в малой окрестности точки Е.

Применяя метод "abc", Проттер [62, 63] доказал теорему единственности решения задачи Т для уравнения (0.4) в случае, когда К (у) имеет непрерывную производную третьего порядка, которая в полуплоскости у < 0 удовлетворяет условию К'" < 0 всякий раз. когда F(y) < 0 при у < 0.

К.И.Бабенко [1] доказал единственность и существование обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина, когда \dx/dy\ < Cy²(s) в окрестности точек А к В на кривой Г, где С—положительная постоянная.

С.П.Пулькин [29] доказал единственность и существование обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения u_Xx + sgny u_yv + a(x, y)u_x + b(x, y)u_y + c(x, y)u = 0 (0.7) при некоторых ограничениях на коэффициенты а_}Ъ,с в случае, когда касательная к гладкой кривой Г в точках А я В параллельна оси Оу.

М.М.Смирнов [42] рассмотрел краевую задачу для уравнения (0.4) при К{у) = sgny \у\^т, т > 0, в котором на характеристике АС задало значение искомой функции, а на кривой Г- задается S_s[u] = У^т^и_х — %и_у.

В работах C.S.Morawetz [59, 60] единственность решения обобщенной задачи G\ (т.е. задачи G\ с отходом от характеристики) для уравнения Чаплыгина (0.4), где К(0) = 0, К'(у) > 0, К (у) — достаточно гладкая функция, доказывается методами вспомогательных функций и "abc", при некоторых ограничениях на кривую Г и рост градиента решения в окрестности точек Ai, Е и Ач. Кривая Г должна быть звездной относительно точки Е. C.S.Morawetz [61] также доказала теорему единственности аналога задачи Неймана (6₈[и] ~ 0 на Г U А\С\ U А2С2) для уравнения (0.4) методом вспомогательных функций и построила контрпример, в котором ограничения, наложенные на кривую Г, нарушаются, а аналог задачи Неймана с нулевыми данными имеет нетривиальное решение.

Аналогичная краевая задача изучена для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в монографии Л.Берса [4, с.118], где методом вспомогательных функций Моравец получена теорема единственности решения этой задачи при следующих геометрических ограничениях на кривую Г : производная dxjdy = 0 в точках А я В, dy/dx не обращается в нуль на Г при у > 0, за исключением одной точки.

Обобщенная задача Трикоми впервые была изучена А.В.Бицадзе [7] для уравнения Лаврентьева-Вицадзе, При следующих ограничениях на кривые Г (в эллиптической части области) и 7 (в гиперболической части области)

Г : {х - х² - y²)dy - ydx > 0, (0.8)

7 : у = -а(х), а(0) = 0, а(х) > 0 при х > 0,

О < а'(х) < 1, а\х) < а{х)/(х - х² + а²) (0.9) он доказал единственность решения. На основании теоремы единственности им доказано существование решения обобщенной задачи Трикоми в случае, когда кривая -у в некоторой окрестности точки А совпадает с характеристикой, а Г принадлежит классу Ляпунова и в малой окрестности точек А я В оканчивается как дуга полуокружности с центром в точке (1/2,0).

А.П.Солдатов [45] методами теории аналитических функций доказал единственность решения обобщенной задачи Трикоми, сняв ограничение (0.8) на кривую Г и заменив условие (0.9) на следующее

0 < а'(0) < 1, а'(х) > а{х)/х.

Единственность решения обобщенной задачи Трикоми, возникшей в теории сопла Лаваля, доказана в работе К.Б.Сабитова и Н.Ю.Капустина [32J.

Методом разделения переменных Е.И.Моисеев [20-24] построил решение обобщенной задачи Трикоми, а также решения задач G\ и ( с нулевыми граничными условиями па характеристиках для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в виде суммы би ортогональных рядов в случае, когда область эллиптичности является круговым сектором.

К.Б.Сабитов и А.А.Карамова [34] распространили этот метод для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа.

В работе К.Б.Сабитова и А. Н. Куч каровой [36] изучены спектральные свойства решений задачи ( и показаны их применения при построении решения этой задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром и для уравнения смешанного типа со степенным вырождением.

Краевые задачи для уравнений смешанного типа с заданием производной по нормали на эллиптической части границы рассмотрены в работах К.В,Сабитова и С.Л.Хасановой [37], [38] методами спектрального анализа.

Из данного обзора видно, что в основном исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа с заданием граничных условий первого рода, а задачи с граничными условиями 2-го рода изучены сравнительно мало. Поэтому представляет интерес исследование краевой задачи для уравнений смешанного типа с граничными условиями второго рода (задачи Моравец), задач со смешанными граничными условиями и их обобщений в областях с отходом от характеристики в гиперболической части области.

Не изучены также спектральные свойства решения задачи Моравец и ее обобщений.

Целью данной работы является изучение спектральных задач для уравнения смешанного типа и>хх + sgny и_уу + Хи — О, A Є С, (0.10) с однородными граничными условиями второго рода и смешанными граничными условиями в различных областях и применение полученных результатов при построении решения краевых задач для уравнения (0.10) в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующих спектральных задач.

В главе 1 задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе Lu(x_:y) = и_хх + К{у) -и_уу = 0, К (у) - sgny, (0.11) сводится к обобщенной задаче Трикоми и доказывается единственность решения этой задачи,

В 1.1 для уравнения (0.11) в области D, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках А(0,0) и 5(1,0), кусочно-гладкой кривой 7 = АС ' dx + y--K{y)dy > 0 и характеристикой СВ : х — у = 1 уравнения (0.11) при у < 0, ставится обобщенная задача Моравец.

Обобщенная задача Моравец, Найти функцию и(х,у)_} удовлетворяющую условиям: и{х,у) Є C(D) П C\D) Л C²{D₊ U LL), (0,12) Lu{x,y) = 0,(x,y) eD+UlL, (0.13) dv dx

6_s[u]\_v == u_x— - sgny Uy-j- = (p(s), 07 = #0,Ob (0.15) где ip(s), -0(s) - заданные достаточно гладкие функции, s- длина дуги кривой, отсчитываемая от точки А, I— длина кривой Г, 1\— длина кривой y,D± = Dn{±y>d}.

Определение 1. Под регулярным в D решением уравнения (0.11) будем понимать функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям (0.12), (0.13) и дополнительно потребуем, чтобы функция —K(y)u_ydx + u_xdy была интегрируемой вдоль любой кусочно-гладкой кривой, лежащей в D.

Рассматривая функцию (0,0) обобщенную задачу Моравец можно свести к обобщенной задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе относительно функции v(x, у) :

Ф(Ю>у(^в)) = і v{x{t),y(t)]dt = (s), г v(x(s),y(s)) ф[х{і),у{і)]& = Щз).

В 1,2 доказаны теоремы единственности и существования решения задачи Моравец для уравнения (0.11) в случае, когда j совпадает с характеристикой.

Теорема 1. Пусть: 1) Г - кривая из класса Ляпунова, 2) и(х, у) - решение однородной задачи Моравец из класса регулярных в D решений уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Тогда и(х,у) = const в D.

Теорема 2. Если кривая Г из класса Ляпунова, cp(s) Є С[0, (J, ф{х) Є C^l[0,1/2], то задача (0.12) -- (0.14) и (и_у - и_х) = ф(х), 0 < х < 1/2, для уравнения Лаврентъева-Бицадзе имеет решение, определяемое формулой {?,у) и{х,у)- / v_ydx ~ ~-~~dy + с. (0.17) (Щ В 1.3 доказаны теоремы единственности решения обобщенной задачи

Моравец для уравнения (0.11) по результатам [45], [32].

Теорема 3. Пусть 1) кривая Г из класса Ляпунова, 2) кривая 7 : У = -а(ж), а(0) = 0, а(х) > 0 при х > 0, 0 < а'(0) < 1, а'(х) >а(х)/х. Тогда ее- ли существует решение однородной задачи (0.12) - (0.15) (ip(s) = 0, ф(з) = О), то и(х,у) = const.

Во второй главе изучены спектральные свойства решений задачи Моравец для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьев а-Бицадзе и показаны их применения при построении решения задачи Моравец.

В 2.1-2.3 рассматривается задача Моравец для оператора Лаврентьева-Бицадзе. Для уравнения Lu = и_хх + sgny и_уу Л- Хи = 0, (0.18) где А Є С, в области D, эллиптическая часть которой D₊ при у > 0 ограничена дугой окружности единичного радиуса Г = ВР(г = 1, 0 < (р < іро, 0 < щ < 7г), и отрезком AP(ip = щ, 0 < г < 1), а гиперболическая часть которой D- при у < 0 ограничена характеристиками уравнения (0.18) АС{х + у = 0), С(ж - у = 1), где 4(0,0), 5(1,0), С(^~|), поставим следующую спектральную задачу.

Задача Мд. Найти значения комплексного параметра X и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям: и(х, у) Є C(D) П C\D) П С²(>+ U L), (0.19)

1ф, г/) - 0, (ж, у) Є D+ U L, (0.20)

ЗД-0, (ж, у) Є Г U 4(7 U АР, (0.21) zdeD_±^Dn{±y>0}.

Применяя метод разделения переменных в эллиптической и гиперболической частях области D, получено следующее утверждение: собственному значению А = 0 соответствует собственная функция щ₀(х,у) = const, собственным значениям A.,_tm, являющимся т~-мч корнями уравнения vXJ' (vA) = 0, соответствуют собственные функции Wnmfoj/) = С„_т^(\/Апт(ж²-3/²)) (~T~) ' (^Х>^УЇ ^' ^^0-23^ собственным значениям А ^ Х_пт, соответствуют собственные функ- u_x(r, 0J_Q(VXr) + T ^j-^f^sin (w + 7) , (x, y)ED+, (0.24) «а(яг,ї/) = ^о(^А(я;²-у³))+ g^e /j_n = —(n — І), n Є iVj Co, C_nm~ действительные числа, коэффициенты f_n определяются no формулам, полученным в работе [20J, причем в нашем случае f{ip) = — Co\/X/q(Va) : к = -( !(ч>)К{ч>)&Р, (0-26) . .. 2^)"^f " Mw = Ч— )^stnk—B_n__k, о _ V^ І-тп<т/і\1-т rjn _ ''V ~ Ч..-{1 ~~ ^п + Ч ^—* 2 ПІ f - с_п\/2ЛЛ(УА)Г(3/4) , _ Соу^АЛ(УЛ)Г(3/4) л _ с₀^АЛ(7А)Г(3/4)-/¹ ^Г(5/4) ' Л 5v^r(5/4) ' ^j3 24^(5/4) ' "' _ oVXM^A) A A ^^^-1/4)^-7^+1/2) >»- ^ ^^п'^к^^{[ 1) 2к} Г(* + 1/4) где Г(-) - гамма-функция.

Изучен вопрос о полноте систем собственных функций (0.22), (0.23) в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области.

Теорема 4. Система собственных функций (0.22) задачи М\ полна в

Теорема 5. Если щ Є (0,тг/2), то система собственных функций (0.23) задачи М\ полна в L^DS)* Если щ [7г/2,7г], то подсистема, собственных функций (0.23) задачи Мд, начиная с номера п = 2, 3,..., полна в L,2{DJ).

Теорема 6. Система собственных функций (0.22),(0.23) задачи М\ не полна в Li2(D).

В 2.4 на основании работ [21, 22] показаны применения системы собственных функций при построении решения задачи Моравед для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьев а-Бицадзе.

Для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (0.11) в области D рассмотрена следующая задача.

Задача Моравец (задача М). Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.19), (0.20) и ^1==/(0,0^) Є Г, (0.27) <ЭД = 0, (ж, у) Є AC U АР., (0.28) где }{ф) - заданная достаточно гладкая функция.

Теорема 7. Если f(а[0,іро], 0 < а < 1, то существует решение задачи М и оно имеет, вид: и(г, <р) = с₀ + У] —r^sindxntp + т), (ж, у) Є D+, '^ = ^с+Е -#-0=+»)*"> (^ж>»)^є ^-, где \Хп~ (п — |) —^ коэффициенты f_n вычисляются по формуле (0.26).

Для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром (0.18) в области D найдено решение задачи Моравец.

Теорема 8. Если f(ip) Є С^а[0,(ро], 0 < а < 1,А ф Х_пт, то существует решение задачи Моравец и оно имеет вид: fnJuniVXr) sm [№ ⁺ 7 ' ^> y)^eD+> и{х,у) _{=MxiV) +} у ШЯ (^Г^/2, _{(ііУ) є D}__t где ft_n = — (n — |), /_n есть коэффициенты разлооїсения в биортогопалъпый ряд функции f(ip) и они вычисляются по формуле (0.26), и\(х/у) вычисляются по формулам (0.24), (0.25).

В 2.5 изучен пространственный аналог задачи Моравец для уравнения LW = W_xx + sgny Wyy + W_tz = 0 (0-29) в области #о = D х [0,7г], где D — область, описанная на стр. 9.

Обозначим через 5о часть цилиндрической поверхности х²-\-у = 1, у > 0, z Є [О, ir], Я₀⁺ - #о П {у > 0}, Я₀- = #о П {^ > 0, у < 0}.

Задача М. Найти функцию W{x₎y,z), удовлетворяющую условиям: (0.30) (0.31) (0.32) W(x,y, z) Є С{Щ П С¹ {Н₀) П 0²^ U Я₀-), LW = О, 8W _{= Нч>Л}

0,(p = 0 < г < 1,0 < z < к, W_x(x,-x,z)-W_y(x,~x,z) = 0, 0

Теорема 9. Если функция F(tp, z) по переменной ц> удовлетворяет па отрезке [0,^о] условию Гелъдера с показателем а Є (0,1], а по переменной z па отрезке [0, ж] условию Гелъдера с показателем /3 6 (0,1], то существует решение задачи Моравец в области Щ и оно имеет вид: _{Л *-} W(x, у, z)) = с% + ] ^r^w5ffl(_№^ + ₄ ^ ( и_п{х,у) + ]Г ^У^вт [_т + j) ) _Co_Sn₂, (^, г) Є Я₀⁺, fc=l ^ со со ж+ 3/)^ + .^-У,

2^ Цп(з,у) + 2^ _ДгіМ—-|^~r) |^cosn5; ,(х,у,2)єЯ₀, n=l \ fc=l ^v """/V где /_п(;г) — модифицированная функция Бесселя. /^, /,^ есть коэффициенты разлооїсения в биортогоналъный ряд функций f_n(), /о(^) соответственно, сами функции определяются по формулам /п(<р) — — / -f¹^, г)со5пгйл, n = 0,1,.... а функции Unix, у) J cMnv) + Eti l!rwMw + ї)> (*, У) Є D₊,

2.6 определяются собственные значения спектральной задачи, соответствующей задаче Моравец для уравнения (0.18) в усложненной области G, в которой впервые была изучена задача Моравец уравнения Чаплыгина [61], - эта область в полуплоскости у > 0 ограничена простой кривой Г (в нашем случае Г является дугой полуокружности единичного радиуса) с концами в точках 5(1,0} и Р{—1,0), а в полуплоскости у < 0 ограничена характеристиками заданного уравнения (в нашем случае - характеристиками РЕ{х + у = -1), ЕА{х - у = 0), АС(х + у = 0), СВ{х - у = 1), где Е{—\, — |), С(|, —!))> ^и исследуется на базнсность соответствующая система собственных функций. На основании работ [21, 22J показаны применения системы собственных функций при построении решения задачи Моравец для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе в области G.

В заключение этого параграфа построено решение пространственной задачи Моравец (0.30) — (0.35) для уравнения (0.29) в области Я = G х [-7Г, тг]. Обозначим через S часть цилиндрической поверхности х² + у² — 1, z Є [-тг, тг], Н⁺ = Я_г П {у > 0}, Щ = Я П {у < 0, я > 0} Щ = ЯП{у <0,ж<0}.

В 2.7 строится решение задачи Моравец для уравнения (0.18) в области Dk, в которой в отличии от области D в гиперболической части вместо характеристики, проходящей через начало координат, взята прямая у = —&ж, 0 < к < 1, и вместо точки С получена точка (.

Теорема 10. Собственным значениям л_пт, являющимся тп— ыми корнями уравнения уАЛ (vA) = 0, соответствует, система собственных функций ( / \ ^ Unm(x,y) = C_nmJ^_n(^\_nm{x² - у²)) і ——- J + у) - C_nmv/2(l + X²^)J^(>A^ + ?))5m (^+ собственным значениям A ^ X_nm соответствует система, собственных функций (Va) Ц^у. и_х{х,у) = С₀Jo(vAr) + > j^- ^{~frH 2)іМе^ (o,36)} u\{x,y) ^C₀J₀(VAr) + ₊ \ _ч (smfaV + cos/j_n^+ ^«₌₁ ^{v^iJvA)} +^"(со5/^уг - sm/i^)), (ж,ї/) Є D_fc+, (0.37) zcte C_n есть коэффициенты разложения по системе Ф_п(<р) — sin/j^'-p + cos/^ + К^(сов(і„(р - sinfaip), К - 1^1, tp^o = ї'

В 2.8 решена задача Моравец для уравнения (0,18) в усложненной области Gk, в которой в отличии от усложненной области G в гиперболической части вместо характеристик, проходящих через начало координат, взяты прямые у ~ ±&ж, 0 < к < 1, и вместо точек С, Е получены

СООТВеТСТВеш-Ю ТОЧКИ С к И Efg.

В 3 главе рассматриваются краевые задачи со смешанными граничными условиями в областях, в которых удается разделить переменные в полярных и эллиптических координатах,

Здесь для уравнения (0.18) в области Gk рассмотрим задачу Трякоми-Неймана.

Задача TN. Найти функцию и(х,у)_> удовлетворяющую условиям (0.19) -(0.20) и условиям и{х,у) = 0, (х,у)еАЕ_киАС_к, (0. <Щ|_Г = 0. (0.39)

Теорема 11. Собственным значениям А_пг/(, являющимся in ными корня- ми уравнения л/А J' (л/А) — 0, соответствует система собственных функций задачи TNx в усложненной области Gk- у) = С_пт3^{у/\_пт{х² + ^)){sinn_n(p + cos^n^-+К^^п(.5гпіі_п^ - cos[in-*"" fef Г ' ' ^ <Ъ- ^шлД %

,у) - 0^(-1)^(^4^-у²)) а? — г/

Я + 2Л я; + у^х '² где \і_п являются полоэюительпыми корнями уравнения / = п — ^+ ^arctgK^, п = 1,2,....

Теорема 12, Если f(tp) Є С^а[0,7г], 0 < а < 1, А ^ А„_т; то существует решение задачи TN и оно имеет вид: _n=i vH«(vA) -frT^fsm^ - Gossip)), (х,у) Є G⁺, _{Va^(\/a) ІДя-г// V^ + y.}

71=1 ^V /- CO ^, , -,-,„_l_1 _T / /,/ ^Г OU // N Ь _{>.») =} XJ'JVX) \\x + V. где C_n ест,ь коэффициенты разлооїсения функции f(ip) no системе функций Sinfi_nip + COSfJ,_nip -Ь K^^sirifinip — cosfi_nip).

В этой главе для уравнения (0.18) в областях D& и ( рассматриваются обобщенная задача Трикоми-Неймана и обобщенная смешанная задача, а так- же аналоги обобщенной смешанной задачи в усложненной области G.

В заключение главы 3 построено решение обобщенной задачи Трикоми-Неймана в эллиптических координатах. Здесь рассматривается уравнение LW = W_xx + sgny - W_yy + XW - 0 (0.40) в области Q, ограниченной в полуплоскости у > 0 четвертью эллипса Г = ВК : х² + 7т2 = 1 ^и отрезком КЕ оси х = 0 и четвертью эллипса у = ЕА -Л зj + -д-^'. = 1, а в полуплоскости у < 0 ограниченной гиперболой АС s^ = 1, 0 < с < 1, где #(0,>/П^), 5(1,0), A(c.cosd,0),?(0,c sind).

Обозначим Q₊ = Q П {у > 0}; Q_ = Q ҐІ {y < 0}. Задача TJV. Найти функцию T^Kfa;, у), удовлетворяющую условиям

Ж (ж, у) є C(Q) П С¹^) П C²(Q₊ U Q_), (0.41) ^,у) = 0₁(г_ї|)єд₊ид„₎ (0.42)

И^ ІЛ= W Ц_с= 0, (0.43) cW 6W _Ш\кЕ=0>_Ш\вк=т- (0.44)

Теорема 13. Ъга f(v) Є С²[0, тг/2], ,f(ir/2) ~ 0, (9 ^ в_тп. то существует решение задачи TN : тт^/ х _ у^ /2т+ізе^44(М)^еУ2т+і(гі,0)5е_гт+і(и,0) ^ Gey_2m+i{d, 9)Se!_2m+l(arch\, 9) - Se_2m+1{d, 9)Сеу_2т+1{агсЦ, в) f2m+ise_2m+i{v, 9)Se_2m+i{d, 9)Gey_2m+1(u, 9))

, (ж,у) Є Q+, Gej/am+iK^'S'e^+^arc/ii,^) - Se_2m+i(d,#)Ge^_m+i(arc/^,#) „,, ч _ V^ /Zm+l^m+l^; Q)Gey2_m+l{d, 9)Se_2m+].(u, &) ^ Gey₂m+i(rf, 9)Se'_2m+l(arch\, в) - Se_2m+1(d, 9)Gey'_2m+1(arch±, 9) f2m+iSe_2m+i(v, 9)Se_2m+l(d, e)Gey_2m+i{u_} 9)) Gey_2m+1(d, 9)Se'_2m+l{arch\, 9) - Se_2m+1(d, 9)Gey'_2m+l{arch\, 9)'

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Камилю Басировичу Сабитову за постановку задач, за идеи доказательств, за руководство и помощь при выполнении этой работы.

Постановка обобщенной задачи Моравец и редукция к обобщенной задаче Трикоми

Краевая задача (1.2) - (1.5) приведена в монографии Л.Берса [4, с.118], где методом вспомогательных функций Моравец получена теорема единственности решения этой задачи при следующих геометрических ограничениях па кривую Г : производная dxjdy = 0 в точках А и 5, dyjdx не обращается в нулв на Г при у 0, за исключением одной точки. В связи с работами [4, 61] возникла проблема о получении теорем единственности и существования регулярных или обобщенных решений задачи Моравец без ограничений геометрического характера на эллиптическую часть границы Г.

В этой главе рассмотрены случаи, когда кривая 7 совпадает с характеристикой АС(х + у = 0) уравнения (1.1) и общий случай, когда 7 вообще говоря, не является характеристической кривой. В первом случае доказаны теоремы единственности и существования решения задачи Моравец без каких-либо ограничений геометрического характера на кривую Г при у 0, а в общем случае при некоторых ограничениях на кривую 7 получены теоремві единственности решения задачи Моравец в классе регулярных в D решений уравнения (1.1) без ограничений геометрического характера на кривую Г.

Определение 1.1. Под регулярным в D решением уравнения (1.1) будем, понимать функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (1.2), (1.3) и дополнительно потребуем, чтобы функция —K(y)uydx + uxdy было, интегрируемой вдоль любой кусочно-гладкой кривой, лежащей в D.

Построение частных решений уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром

Производная суммы последнего ряда по г при г = 1 есть разложение функции /((/?) по системе функций Фи(( ), которое равномерно сходится на [0, р0]. Если (ж,?/) є Л,;, то поскольку 0 (gj) 1 и 0 №(g)f 1, то предпоследний ряд в гиперболической части области D равномерно сходится. Отсюда следует равномерная сходимость решения задачи (2.2), (2.3), (2.88), (2.89), (2.103) в области D.

Решение спектральной задачи, соответствующей обобщенной задаче Моравец, получим теперь несколько иным способом.

Решение уравнения (2.1) в области D+, удовлетворяющее граничному условию (2.88) запишем в виде.

Построение решения обобщенной задачи Трикоми-Неймана

Обобщенная задача Трикоми для уравнения (2.1) при А = 0 была изучена в работе [22], а в статье [37] решена задача Трикоми-Неймана для уравнения (3.1). В данной работе на основании результатов [22, 37] методом спектрального анализа построено решение смешанной задачи с отходом от характеристики для уравнения Лаврентьев а-В ицадзе с параметром при всех А ф Хпт, где \nm собственные значения соответствующей спектральной задачи.

2. Рассмотрим спектральную задачу, соответствующую обобщенной задаче (3.1) -(3.5), которую обозначим "задача ТІУд".

Похожие диссертации на Задачи с граничными условиями второго рода для уравнений смешанного типа

Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго родаЕгорова Ирина Петровна

Прямо-обратные краевые задачи и задачи типа Стефана для вырождающегося параболического уравнения первого родаТуйчибаев, Назимжон Салиевич

Краевые задачи для уравнений термоупругости с граничными условиями типа неравенствСелютин Алексей Алексеевич

Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной областиСабитова Юлия Камилевна

Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений параболического типаДанилкина Ольга Юрьевна

Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряженияБарова Евгения Анатольевна

Краевые задачи с нелокальными условиями сопряжения для дифференциальных уравнений смешанного типаИсянгильдин, Амир Хызырович

Задачи типа Геллерстедта для уравнений смешанного типа с нелокальным интегральным условием сопряженияСкороход, Анна Владимировна

Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряженияПлотникова Юлия Александровна

Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов с нелокальными условиями сопряженияФадеева Оксана Владиславовна