Введение к работе
Актуальность темы. В шестидесятые годы А.В.Бицадзе была выдвинута проблема поиска правильной постановки краевых задач для уравнений смешанного типа, когда все точки характеристической части границы области равноправны как носители краевых данных. С работы А.В.Бицадзе и А.А.Самарского [lj началось изучение задач типа Бицадзе-Самарского или задач со смещением. Начиная с 1969 года в этом направлении появился ряд оригинальных работ, среди которых следует отметить работы Ф.И.Франкля, А.М.Нахушева, В.И.Жегалова, Н.И.Ионкина, В.Ф.Волкодавова и их учеников.
Однако краевые задачи со смещением в условиях сопряжения на линии изменения типа для дифференциальных уравнений смешанного типа недостаточно исследованы и недостаточно разработаны методы исследования этих задач. Развитие таких методов требуется еще в связи с тем, что в последние годы в газовой динамике появился ряд прикладных задач, в которых на линии изменения типа уравнения в силу свойств краевой задачи возникают некоторые соотношения со смещением, хотя граничные условия задаются, без смещений. Примерами таких краевых задач являются задачи для уравнений смешанного типа с характеристиками, дважды пересекающими линию изменения типа. Библиография работ, посвященных таким задачам и их приложениям, содержится в работе [2].
Указанные задачи сводятся к задачам для аналитических и других классов функций с краевыми условиями со смещениями на границе области и в конечном итоге - к сингулярным уравнениям или их системам со смещениями, вообще говоря, некарлемановского типа. Исследование условий разрешимости этих систем и вопросов их эквивалентности исследуемой задаче представляет большие трудности. Поэтому возникает необходимость развить методы исследования корректности таких задач.
Целью настоящей работы является исследование краевых задач для некоторых вырождающихся дифференциальных уравнений параболического, эллиптико-параболического и эллиптико-гиперболического типов с нелокальными (со смещением) условиями сопряжения на линии вырождения или изменения типа. В частности, получение достаточных условий единственности решений этих задач независимо от получаемых сингулярных интегральных уравнений со смещением.
Методы исследования. При выяснении условий единственности решений поставленных задач применяется метод интегральных тождеств. Доказатель-
сво существования решений сводится к исследованию систем сингулярных интегральных уравнении со смещением, которые затем регуляризуются к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
Научная новизна работы состоит в том, что для исследуемых уравнений автором впервые поставлены и исследованы краевые задачи с нелокальными условиями сопряжения только на линии вырождения или измененгч типа. В ранее известных работах нелокальные условия сопряжения поточечно связывали значения функции и его производных (вообще говоря, дробных определенных порядков) на линии изменения типа со значениями в точках на характеристиках, на линиях внутри области и др.; смещения на линии изменения типа или вырождения, в основном, отсутствовали.
Практическая и теоретическая ценность работы заключается в том, что получены достаточные условия единственности решений, не связанные с исследованием получаемых интегральных уравнений, которые, в основном, являются также достаточными для существования решения. Полученные результаты могут быть использованы, например, при исследовании краевых задач для уравнений с характеристиками, дважды пересекающими линию изменения типа, имеющих в последние годы приложения в газовой динамике.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались:
на областном семинаре по дифференциальным уравнениям смешанного типа при Куйбышевском государственном педагогическом институте (руководитель - доктор физ.-мат. наук, проф. Волкодавов В.Ф.; 1981-82г.);
на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (руководитель - доктор физ.-мат. наук, проф. Чибри-кова Л.И.; март 19S2r.);
на семинаре по дифференциальным уравнениям с частными производными при ИМ им. Романовского АН УзССР (руководитель - академик АН УзССР М.С.Салахнтдинов; г.Ташкент, май 19S2n);
на Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения" (г.Уфа, февраль 1986г.);
на семинаре отдела дифференциальных уравнений ИМ с ВЦ Уфимского научного центра (руководитель - доктор физ.-мат. наук, проф. Калякин Л.А., июнь 1993г, май 1996г.);
на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета (руководитель - доктор физ.-мат. наук. проф. Сул-танаев Я.Т.; г.Уфа, май 1994г.);
на .международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"' (г.Самара, 27-30 июня 1995г.);
на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г.Уфа, 28-30 мая 1996г.);
на научном семинаре по дифференциальным уравнениям смешанного типа при Стерлитамакском государственном педагогическом институте (руководитель - доктор физ.-мат. наук, проф. Сабитов К.Б.; 1992-1996г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ [3-7], в которых отражено ее основное содержание.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 151 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и библиографии, содержащей 62 наименования.
Похожие диссертации на Краевые задачи с нелокальными условиями сопряжения для дифференциальных уравнений смешанного типа
