Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной области Сабитова Юлия Камилевна

Нелокальная начально — граничная задача II рода

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми [65] и С. Геллерстедта [77]. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, С. Агмона, Л. Ниренберга, М. Прот-тера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты полученные ими и их последователями приведены в монографиях А.В. Бицадзе [6], [9], Л. Бер-са [5], К.Г. Гудейлея [13], Т.Д. Джураева [14], М.М. Смирнова [57], [58], Е.И. Моисеева [35], К.Б. Сабитова [53], М.С. Салахитдинова [54]. Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф. И. Франкля [67], А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [7], В.А. Ильина, Е.И. Моисеева [18], [19], Н.И. Ионкина [26], В.И. Жегалова [15]—[17], А.И. Ко-жанова [29], A.M. Нахушева [41], Л.С. Пулькиной [44], [45], О.А. Репина [46], [47], А.Л. Скубачевского [56], А.П. Солдатова [61] и других. Особо выделим работу А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [7], которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений. М.Е. Лернер, О.А. Репин [33] в полуполосе D = {и(х,у)\0 х 1,у 0} изучили задачу: найти функцию и(х, у) со свойствами: где т(х), ірі(у), Р2{у) — заданные достаточно гладкие функции, причём т(х) ортогональна к системе функций 1, cos(2n + 1)7гж, п = 0,1,2,... . В другой работе [34] ими исследована аналогичная задача в полуполосе D для уравнения при условии fi(y) = 0 и р2{у) = 0.

В этих работах на основании принципов экстремума доказана единственность. Методом разделения переменных и интегральных преобразований установлена разрешимость рассматриваемой задачи. Е. И. Моисеев в [36] изучил аналогичную нелокальную краевую задачу в полуполосе D для вырождающегося эллиптического уравнения: в классе функций и(х,у) Є С (І)) П C2(D) и стремящихся к нулю или ограниченных на бесконечности. Методом спектрального анализа доказано единственность и существование решения. При этом решение задачи построено в виде суммы биортогонального ряда. В другой работе [37] эти результаты перенесены на уравнения утихх + иуу — Ь2ути — 0, Ъ = const 0, т 0, и (0.1). В работе Сабитова К. Б. и Сидоренко О. Г. [49] решена следующая нелокальная задача: найти в области D = {(я,г/)0 х 1,0 у Т} функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: где т(ж) и v{x) — заданные достаточно гладкие функции. Здесь доказательство единственности и существования решения задачи приводится спектральным методом. Нахушев A.M. установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области [39]. В работах Сабитова К.Б. [50] — [52] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и доказана теорема существования решения задачи Дирихле.

Изложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применен при обосновании корректности постановки нелокальных начально -граничных и граничных задач для различных типов вырождающихся дифференциальных уравнений. Целью данной работы является доказательство единственности и существования решения краевых задач для вырождающегося уравнения смешанного типа где К (у) = sgny ym, т = const 0,b = const 0, в прямоугольной области D = {(я,у) 0 х 1, —а у /?}, а,/3 0, со следующим нелокальным условием: в сочетании с другими локальными граничными данными, методом спектрального анализа. Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул. В главе 1 исследуются нелокальные начально-граничные и граничные задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа. Методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решений задач.

Нелокальная граничная задача II рода

Они являются биортонормированными системами, полны и образуют базис Рисса в пространстве Хг(0,1). Используя системы (0.12) и (0.13), решение задачи (0.4) - (0.7) построено в виде суммы биортогонального ряда т„, vn — коэффициенты разложения функций т{х) и v{x) по системе {4 sin(27rnx го, щ — коэффициенты разложения функций т(х) и и(х) по системе {2(1 — х)}, ты, v\n — коэффициенты разложения функций т{х) и v{x) по системе {4(1 - х) cos(27rnrc)}. Справедливы следующие утверждения. Теорема 0.1. Если существует решение задачи (0.4) — (0.7), то оно единственно. При доказательстве этого утверждения используется полнота системы функций (0.13) в пространстве 1 (0,1]. Теорема 0.2. Если т(х),и(х) Є С3[0,1] и т(0) = т(1), i/(0) = i/(l), т (0) = 0, i/(0) = 0, т"(0) = т"(1), и"(0) = И(1), то существует решение (0.4) -(0.7) « оно представимо в виде суммы ряда (0.14), где коэффициенты определяются по формулам (0.15) — (0.17). Аналогично решение нелокальной задачи 1.2 построено в виде суммы биор-тогонального ряда (0.18) где функции щ{у), un(y),vn(y) определены соответственно по формулам (0.15) — (0.17), но тп, vn — коэффициенты разложения функций т(х) и и(х) по системе {4sin(27ra;z)}, TQ, Щ — коэффициенты разложения функций т(х) и v{x) по системе {1}, Tin, vin — коэффициенты разложения функций т(х) и и(х) по системе {cos(27rn:c)}. Теорема 0.3.

Если существует решение задачи (0.4) - (0.6) и (0.8), то оно единственно. При доказательстве используется полнота системы функций (0.12) в пространстве L i [0,1]. Теорема 0.4. Если T{X),V(X) Є 73[0,1] и г(0) = г(1), и(0) = z/(l), т (0) = 0, и (0) = 0, т"(0) = т"(1), u"(Q) = f"(l), mo существует решение задачи (0.4) — (0.6) и (0.8) и око представимо в виде суммы ряда (0.18), где функции щ(у)іг п(у), п(у) определены соответственно по формулам (0.15) — (0.17) с учетом новых значений коэффициентов тп, vn, то, щ, т\п и v\n. Решение задачи (0.4), (0.5), (0.9) и (0.10) построено в виде суммы ряда (0.14), где функции uo(y),un(y),vn(y) определены соответственно по формулам: Теорема 0.5. Если существует решение задачи (0.4), (0.5), (0.9) и (0.10), то оно единственно только тогда, когда при всех п Если нарушено условие (0.22) при некотором п = щ и Т = Го, то однородная задача 1.3 (где т(х) Теорема 0.6. Существуют Т и постоянная Со 0 такие, что при больших п справедлива оценка Теорема 0.7. Если т(х),ф(х) Є С3[0,1], 5т(п) ф 0 при всех п Є N, г(0) = г(1), (0) = ф(1), т (0) = 0, (0) = 0,т"(0) = r"(l),V"(0) = (1), выполнены условия (0.22) и (0.23), то существует решение задачи (0.4), (0.5), (0.9), (0.10), и оно представимо в виде суммы ряда (0.14), где функции uQ{y)iun{y),vn{y) определены соответственно по формулам (0.19) — (0.21). Аналогично обосновываются теоремы единственности и существования для задачи (0.4), (0.5), (0.9) и (0.11). Также в первой главе для уравнения колебания струны Пи(х, t) = utt -ихх = 0 в прямоугольной области Q = {(x,t) 0 я /, 0 t Т} изучена задача Ильина В. А. об управлении. Задача 1.5. Найти в замкнутой области Q функцию u(x,t) и соответствующие управления /i(t), где ip(x),il)(x),ipi(x),il i(x) — заданные достаточно гладкие функции, причём tp(0) = /z(0), Vi(0) Эта задача на управление впервые была решена В. А. Ильиным в классах функций W iQ) и W iQ). Важными частными случаями задачи 1.5 являются задача о полном успокоении колебательного процесса и задача об отыскании таких граничных управлений fj,(t) и u(t), которые для струны, находящейся в начальный момент времени t = 0 в покое, приводят ее в момент времени t = Т к наперед заданному смещению и скорости. Эти задачи рассматривались Ф.П. Васильевым, А.Г. Бутковским как в ситуации граничного управления на двух концах, так и в ситуации, когда управление ведётся только на одном конце, а другой конец закреплён.

Нелокальная граничная задача II рода

Замечание. Условия (1.142), (1.147) и (1.148) при Т = / переходят в три соответствующих условия, которые ранее были установлены в работе [21]. Остаётся теперь найти условия, когда решение u(x,t), определяемое формулой (1.141), принадлежит пространству C2(Q). Для этого необходимо и достаточно, чтобы при всех Т/2 х / — Т/2 выполнялись условия (1.142), (1.147), (1.148) и иш(х,Т/2) = и3«( ,Т/2), ulxt{x,T/2) = иы(х,Т/2). Последние два равенства на основании формул (1.137) и (1.138) записываются в виде: (1.163) Вычислим вторые производные Uitt(x,t),Uixt(x,t),i = 1,4, и приравнял их вдоль соответствующих характеристик ЛЕ, ED, FB и FC, получаем равенства: Сопоставляя равенства (1.160), (1.161) и (1.164), (1.165) видим, что они попарно равносильны между собой, точно также равенства (1.166) и (1.167) равносильны равенствам (1.162) и (1.163). Следовательно, доказано следующее утверждение. Теорема 1.12. При 0 Т I решение u(x,t) задачи (1.127) - (1.131) принадлежит C2(Q) только тогда, когда 1) функции (р(х), рі(х) Є С2[0,/], ф(х),фг(х) Є Cl[0,l], 2) для всех x б [Т/2,/ —Т/2] выполнены условия (1.Ц2), (1.Ц7), (1.Ц8), (1.158) и (1.159). При этом граничные управления (1.ЦЗ) и (1.Ц4) принадлежат классу С2[0, Т], удовлетворяют условиям согласования (1.132), (1.157) и В этом случае замкнутые области Q\ и ( не имеют общих точек пересечения, поэтому для построения однозначного решения задачи управления для уравнения (1.123) в области Q данных (1.124) и (1.125) явно не достаточно. На основании данных (1.124) и (1.125) можно однозначно построить решение u(x,t) только в областях Q\ и Q .

При Г I задача (1.123) — (1.125) становится не доопределенной. Решение поставленной задачи можно построить, если дополнительно задать значения искомого решения и(х, і) на некоторых отрезках замкнутой области Q. Допустим, что в определённый момент времени t = То мы в состоянии определить смещение U(X,TQ) и скорость щ(х,То) точек струны, где Т — I То I, то есть при t = TQ задать дополнительные условия: и(х,Т0) = ро(х),щ(х,Т0) = фо(х),0 х 1, (1.169) где (ро,фо произвольные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие определённым условиям разрешимости поставленной задачи (1.123)-(1.125). В случае задания дополнительных условий (1.169) задача (1.127)-(1.131) при Т I равносильно решению двух задач типа (1.127)-(1.131) в областях QT0 = Qf){t T0} uQT = Qn{T0 t T}. Пусть М = (0,T0),L = (1,Т0). Из вершин А,В,ЬиМ прямоугольникаQT0 проведём характеристики уравнения (1.123): x = 0, x + t = l, x = l — То, х + Т = То. Образованные при этом области ABFE, BLF,LMEF, АЕМ,ще Е = (То/2, результатами п.2 выпишем функции Ui(x,t),i = 1,4, в соответствующих областях Qi и управления рі(і) и v(t) при 0 t TQ. Затем решим задачу (1.127) — (1.131) в области Qr, где за начальные условия (1.124) примем (1.169). Также используя результаты п.2 выпишем все функции uj(z,),z = 1,4, для соответствующих областей Q\ и функции управления /i(t) и u(t) при То t Т. Далее в зависимости от класса Ck(Q),k = 0,1,2, на основании теорем 1.9 — 1.11 найдём необходимые и достаточные условия разрешимости доопределённой задачи (1.127) — (1.131), (1.169). Из этих рассуждений ясно, что в случае I Т 21 граничные управления fi,(t) и u(t) определяются неоднозначно и их аналитические выражения будут содержать две произвольные функции щ(х) и фо(х), удовлетворяющие определённым условиям разрешимости задачи (1.127) — (1.131), Для случая I Т 21 аналог задачи (1.127) — (1.131) поставим следующим образом.

Задача 1.6. Найти в замкнутой области Q функцию u(x,t) и соответствующие граничные управления /i(t) и v(t), удовлетворяющие условиям где p,il),ipi,ifii — заданные достаточно гладкие функции, а щ,фо — введенные нами дополнительные произвольные достаточно гладкие функции, при этом На основании указанного выше плана выпишем функции щ(х,Ь) в областях Qi- Аналогично на основании результатов п.2 выпишем функции u[(x,t) в областях Q f Исходя из формул (1.176), (1.180) и (1.174), (1.178) найдём граничные управ- ления: где щ(х, t), і = 1,4, задаются соответственно в областях Qj формулами (1.173) — (1.176), а функции и\{х, t) определяются соответственно в областях Q\ формулами (1.177) — (1.180). При этом граничные управления (1.131) находятся по формулам (1.181) и (1.182).

Нелокальная граничная задача I рода в полуполосе

Используя Рп(у), Qn{y), Мп(у) и Nn(y) функцию vn(y), определяемую формулой (3.19), представим в следующем виде: Из (3.49) в силу леммы 3.2 получим оценки для функций vn(y), v n(y) и v n(y). В силу лемм 1.1 и Доказательство аналогично доказательству лемм 2.2 и 1.9. При получении оценок (3.50) дополнительно применяется теорема о скорости убывания коэффициентов ряда Фурье функции, удовлетворяющей на [0,1] условию Гельдера с показателем j Є (0,1). Теорема 3.2. Пусть ф) Є С3[0,1], ф(х) Є С3+7[0,1], \ у 1, ф) = у (1), ф(0) = (1), у/(0) = 0, где функции щ(у),ип(у), vn(y) определены соответственно по формулам (3.26), (3.35), (3.19). Доказательство.

Поскольку системы функций (1.6) и (1.7) образуют базис Рисса, то если ір(х), ф(х) Є [0,1], тогда функцию и(х, у) можно представить в виде биортогонального ряда (3.51), который сходится в Z O, 1] при любом у Є [-а,/?]. В силу лемм 3.3 и 3.4 ряд (3.51) при любом (х,у) из D мажори- руется сходящимся рядом поэтому ряд (3.51) в силу признака Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно в замкнутой области D. Следовательно, функция и(х, у) непрерывна на D как сумма равномерно сходящегося ряда (3.51). Ряды из производных второго порядка в D мажорируются также сходящимся числовым рядом Поэтому сумма и(х,у) ряда (3.51) принадлежит пространству C2(D) и удовлетворяет уравнению (3.1) в D. Следствие 3.1. Построенное решение и{х, у) задачи (3.2) — (3.5) принадлежит классу C2(D) и функция и(х,у) всюду в D является решением уравнения (3.1). Следовательно, линия изменения, типа у = О уравнения (3.1) как особая линия устраняется. 3.2. Нелокальная граничная задача II рода Рассмотрим уравнение (3.1) в прямоугольной области D = {(х,у)\ 0 х 1, -а у /?} и исследуем сопряжённую относительно задачи 3.1 задачу. Задача 3.2. Найти в области D функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям: где р(х) и ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, причем p (Q) = /(1), р(1) = 0, ф (0) = ф (1), ф{1) = 0,D+ = Dn{y 0}, D. = DH{y 0}. Пусть u(x, у) - решение задачи (3.52) - (3.55). Вновь воспользуемся системами (1.6), (1.7). Рассмотрим функции о Отсюда в силу полноты системы (1.6) в пространстве Z fO, 1] следует, что функция и(х,у) = 0 почти всюду на [0,1] при любом у Є [-а,/?] . Теорема 3.3. Если существует решение и(х,у) задачи (3.52) - (3.55), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех п выполняется условие (3.16). Действительно, если выполнено условие (3.16) и решение задачи (3.52) -(3.55) существует, то оно единственно.

Пусть при некоторых а, (3 ип = к Є N нарушено условие (3.16), т. е. Ak(a,(3) = 0. Тогда однородная задача (3.52) -(3.55) (где р(х) = ф(х) = 0) имеет нетривиальное решение где функции щ(у), un(y),vn(y) определены соответственно по формулам (3.65), (3.62), (3.69). Доказательство теоремы 3.4 аналогично доказательству теоремы 3.2. Следствие 3.2. Построенное решение и(х, у) задачи (3.52) — (3.55) принадлежит классу C2(D) и функция и(х,у) всюду в D является решением уравнения (3.1). Следовательно, линия изменения типа у = 0 уравнения (3.1) как особая линия устраняется. Рассмотрим уравнение смешанного типа (3.1) в бесконечной прямоугольной области D = {(х,у)\ 0 х 1,—а у}, где а - заданное положительное число, и следующую нелокальную задачу. Задача 3.3. Найти в области D ограниченную функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: где ф(х) - заданная достаточно гладкая функция, причем ф(0) = ф(1) = 0, ф (0) = 0,D+ = Dn{y 0},D- = Dn{y 0}. Пусть и(х,у) - решение задачи (3.70) - (3.73). Рассмотрим функции (3.6) -(3.8). Рассуждая аналогично 3.1 построим явный вид функции vn(y) по формуле (3.14). Отметим, что для функции (3.14) выполнено равенство г (0+0) = v n(0 — 0) = 0. Отсюда и из равенств (3.13) вытекает, что v+(y) является продолжением решения v (y) на промежуток [0, +оо) и, наоборот, v (y) является продолжением решения v (y) на промежуток [—а, 0]. Следовательно, функции (3.14) принадлежат классу С2[—а, +оо) и удовлетворяет уравнению (3.9) всюду на [—а, +оо).

Похожие диссертации на Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной области

Краевые задачи для уравнений смешанного типа в областях с треугольной эллиптической частьюШакиров, Рафис Гильмегаянович

О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей Аубакиров Болат Уатаевич

Краевые задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольной областиГучаева, Зера Хамидбиевна

Исследование краевых задач для уравнений соболевского типа в нецилиндрических областяхВинокур Марина Владимировна

Нелокальные и обратные задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольной областиЮлдашева Гузель Рамилевна

Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа в двусвязной областиКаримов, Шахобиддин Тончиевич

Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной областиРахманова Луиза Хасаняновна

Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областяхДемина Татьяна Ивановна

Задача Дирихле для нагруженных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной областиМелишева, Екатерина Петровна

Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений в прямоугольных областяхКечина Ольга Михайловна