Введение к работе
Актуальность темы: Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из наиболее интенсивно развивающихся в настояшее время разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Первые основополагающие исследования в этой области были проведены в известных работах Ф.Трикоми и С.Геллерстедта.
Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа стали работы Ф.И.Франкля, который нашел приложения этих уравнений в околозвуковой газовой динамике. Вскоре были обнаружены и другие применения, что способствовало более активному исследованию указанных задач. Результаты, полученные в работах М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко послужили отправными точками для исследований многих математиков как в нашей стране, так и за рубежом. Наиболее известными являются работы М. Чибрарио, П. Жермена, Р. Баде, Л. Берса, К. Моравец, М.М. Смирнова, Л.И. Чибриковой, СП. Пулькина, В.Ф. Волкодавова, В.Н. Врагова, В.И. Жегалова, Ю.М. Крикунова, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова и других авторов.
Достаточно полные обзоры проводившихся исследований и библиография содержатсяв монографиях А.В. Бицадзе, М.М. Смирнова, Ю.М. Крикунова.
В указанных выше монографиях, а также в книгах Ф. Трикоми, М.М. Смирноваи Е.И. Моисеева изложены методы исследования основных краевых задач для уравнений смешанного типа.
М.А.Лаврентьев с целью упрощения исследований предложил модельное уравнение
«и + sgnyuyy = О, (1)
что позволило использовать методы комплексного анализа.
Естественно, при исследовании краевых задач большую ценность представляет их явное решение. Такие решения, как правило, были получены, когда эллиптический контур является частью окружности, в остальных случаях задачи сводились к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и на основании теоремы единственности этих задач утверждалось о существовании их решения.
Ю.М.Крикунову удалось построить явное решение задачи Трикоми
'первоначальное руководство
работой осуществлял кандидат физико-математических наук, доцент Ю.М. Крикунов
для уравнений (1) и
sgn х их% + sgn yuyy=Q, (2)
в области, для эллиптической части которой известно конформное отображение ее на полукруг, четверть круга или полуплоскость. Особенно полные исследования были проведены для области, являющейся квадратом, диагональ которого совпадает с линией изменения типа уравнения (1).
Подобные области представляют также интерес при решении некоторых задач для уравнений смешанно-составного типа 4-го порядка.
Иелыо данной работы является изучение возможности распространения указанных результатов Ю.М.Крикунова на другие задачи. При этом в качестве модельной эллиптической подобласти Пі взят прямоугольный равнобедренный треугольник с вершинами в точках 0(0,0), А(1,0) и В(0,1) . Дается решение задач типаТрикоми для уравнений (1),(2) и уравнения второго рода с двумя линиями вырождения, задач типа Франкля для уравнения (1), а также двух задач для уравнения смешанно-составного типа с двумя особыми линиями.
Методы исследования. Используется метод интегральных уравнений. Для вывода основных соотношений из эллиптической подобласти строятся решения задач N , Неймана и смешанной с помощью конформных отображений. Полученные интегральные уравнения решаются явно сведением их либо к известным уравнениям, либо к краевым задачам для аналитических функций. Задачи для уравнения смешанно-составного типа 4-го порядка решаются путем сведения их к решению двух задач для уравнений второго порядка. При исследовании задач для уравнения второго рода используется неинтегральное представление его решения в эллиптической подобласти через аналитические функции. Единственность решения всех рассматриваемых задач следует из однозначности определения некоторых функций и единственности решения вспомогательных задач. Широко используется аппарат специальных функций и функций комплексного переменного.
Научная новизна работы: решены в явном виде ряд задач для уравнений (1),(2) и соответствующего уравнения смешанно-составного типа в областях с треугольной эллиптической частью; решены две новые задачи для уравнения второго рода с двумя перпендикулярными линиями вырождения.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях краевых задач теории уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Они могут найти применение при решении прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.
Апробация работы. Основные результаты диссертации в целом докладывались в Казанском государственном университете на семина-
ре кафедры дифференциальных уравнений (февраль 1996 г., руководитель - профессор В.И.Жегалов).
Отдельные результаты сообщались на пленарных заседаниях Волжского межвузовского семинара по дифференциальным уравнениям с частными производными (январь 19S3 г., май 1984 г., г. Куйбышев, руководитель - профессор В.Ф.Волкодавов), на Всесоюзной конференции по классическим и неклассическим краевым задачам для дифференциальных уравнений с частными производными (апрель 1987 г., г. Куйбышев), на Международной конференции по алгебре и анализу, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (июнь 1994 г., г.Казань).
ГГубликации. По теме диссертации опубликовано 12 работ.
Объем и структура работы: Диссертация изложена на 119 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, списка библиографии, содержащей 105 наименований.
