Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях Демина Татьяна Ивановна

Содержание к диссертации

Введение

1 Краевые задачи для уравнения лаврентьева-бицадзе в прямоугольных областях 20

1. Постановка смешанных задач. Теоремы существования и единственности решении 20

2. Доказательство единственности решения смешанных задач 22

3. Доказательство существования решения задачи 1.1 25

4. Доказательство существования решения задачи 1.2 39

5. Задача Неймана 47

2 Краевые задачи для уравнений гиперболо-эллиптического типа в цилиндрических областях

1. Единственность решения смешанной задачи GO

2. Смешанная задача в прямоугольном параллелепипеде . G5

3 Краевые задачи для гиперболических уравнений в многомерных областях 74

1. Постановка краевых задач 74

2. Единственность решения смешанных задач в цилиндриче ской области

3. Смешанные задачи для телеграфного уравнения в прямо угольной области 81

Заключение 94

Список литературы

• Доказательство единственности решения смешанных задач
• Доказательство существования решения задачи 1.2
• Смешанная задача в прямоугольном параллелепипеде
• Единственность решения смешанных задач в цилиндриче ской области

Введение к работе

Изучение уравнений смешанного типа в силу ее прикладной важности является одной из центральных проблем теории уравнений с частными производными.

Большое внимание привлекают вопросы корректности краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа. Интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их многочисленными практическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в прогнозировании уровня грунтовых вод, в математической биологии и других областях. Поэтому разработка методов решений краевых задач для уравнений смешанного типа является одной из важных проблем современной теории дифференциальных уравнений.

Теория уравнений смешанного типа берет свое начало от фундаментальных исследований Франческо Трикомп, опубликованных в двадцатых годах прошлого столетия.

Впервые задача нахождения решения уравнения смешанного типа в смешанной области была поставлена и исследована для уравнения

уи_хх + и_уу - 0, (0.1)

которое сейчас называют уравнением Трикомп. Ф.Трпкомп изучил краевую задачу (задачу Трикомп) в области, гиперболическая часть которой

огранпчена отрезком действительной осп [0, 1] на линии перехода и двумя пересекающимися характеристиками, исходящими из точек (0, 0) и (1,0).

Исследования были продолжены в 30-е годы Ы. Чибрарио п С. Гел-лерстедтом. Обобщения результатов Ф. Трпкоми для уравнения

принадлежат С. Геллерстедту.

С.А. Чаплыпш показал, что построение теории газовых струй тесно связано с изучением уравнения

Цу)»хх + Uyy = 0,

которое в настоящее время носит его имя. Коэффициент к является известной функцией переменного у, которая предполагается положительной при у > 0 п отрицательной при /у < 0. Случай к(у) > 0 соответствует дозвуковому течению, а случай к(у) < 0 - сверхзвуковому течению газа.

При изучении околозвукового течения газа приходится иметь дело с уравнением Чаплыгина в смешанных областях.

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля, в которых было показано, что задача истечения сверхзвуковой струн из сосуда с плоскпмп стенками сводится к задаче Трпкоми для уравнения Чаплыгина. М.А. Лаврентьев предложил

более простую модель уравнений смешанного типа

iixx + sign у Пуу = 0, (0.2)

впоследствии названное уравнением Лаврентьева-Бицадзе. А.В. Бпиадзе [5] осуществил подробное исследование этого уравнения.

И.Н. Векуа указал на важность изучения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в связи с задачами теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака. Возникла проблема нахождения областей, для которых задача Дирихле окажется корректно поставленной, что явилось объектом дискуссии многих авторов.

В работах Н.Н. Вахання [9] и I.R. Cannon [66] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения (0.2) в прямоугольных областях, обладающих специальными свойствами.

A.M. Нахушсвьш [37] установлено, что задачи Дирихле; для уравнения (0.2) в области U = Q\ U / U f2, где S2] - ограниченная односвязная область верхней полуплоскости у > 0 с кусочно-гладкой границей, содержащей интервал / : 0 < х < 1 прямой у = 0, a 1 = / х / - квадрат 0 < х < 1, -1 < у < 0, всегда разрешима, и притом единственным образом.

В работе [57] А.П. Солдатовым дается прямое доказательство существования и единственности решения задачи Дирихле для уравнения (0.2) в канонической смешанной области, ограниченной дугами окружности п гиперболы, а также общей смешанной задачи (по терминологии А.В. Бнцадзс) и задачи к ней сопряженной. Эти результаты были ранее

анонспрованы в работах [55], [5G].

Единственность решения задачи Дирихле для гиперболического ^уравнения

[a^tJ(x)u_Xi] - с(х)и - и_уу = О

в цилиндрической области доказана D.R. Dunningcr и Е.С. Zachinanoglov [67], а для уравнений в частных производных смешанного типа A.M. На-хушевым [37].

Особую роль в теории задач Дирихле для уравнения струны сыграла работа Ф.Джона (1941 г.), в которой детально анализируется связь специальных, сохраняющих ориентацию, топологических отображении границы области на себя с разрешимостью п единственностью решения задачи Дирихле для уравнения и_ху = 0.

С.Л. Соболев в работе [54] рассмотрел систему уравнении, эквивалентную уравнению колебания струны, и установил условия существования единственного решения задачи с данными на всей границе. Н.Н. Ва-хання [11] выписал решение предложенной задачи, определив свойства граничных функций.

Ю.М. Бсрсзанскнй [3], [4] рассматривал решения из пространства L-; задачи Дирихле для уравнения струны. Ему удалось построить примеры областей, для которых обобщенные решения задачи устойчивы относительно малых возмущений границы.

Н.И. Попиванов [42] для широкого класса вырождающихся гиперболических уравнений установил оценку решения и доказал существование сильного решения задачи Дарбу для любой правой части.

В работах [G2], [63] найдены условия существования, единственности и непрерывной зависимости от правых частей уравнении и граничных условии решении задач с данными на всей границе области для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического н составного типов.

Также следует отметить ряд работ [9], [10], [40], [58], [59], посвященных попеку смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной. Наиболее полная библиография по этой проблеме представлена в монографии М.М. Хачева [G4].

М.В. Швецкпы [65] решены краевые задачи типа Трпкомп, Дирихле и Неймана для модельного уравнения смешанного тппа

и_хг +sign у \y\^mUyy = 0

с характеристическим вырождением внутри прямоугольной области при определенных значениях параметра т.

К.Б. Сабитовым [48] поставлены смешанные краевые задачи и доказаны теоремы существования п единственности решений для уравнений смешанного типа с сильно характеристическим вырождением типа на границе области. В работах [49], [50] доказана единственность решения задачи Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения

у^ти_хх - ^иуу + Ь\ = 0, т > 0, Ь > 0

в прямоугольной области.

В монографии Е.И. Моисеева [3G] изучается задача Трпкомп для уравнения эллнптико-гпперболпческого тппа со спектральным параме-

тром. Уравнение смешанного типа берется с произвольным степенным вырождением на линии изменения типа, устанавливаются области на комплексной плоскости, в которых нет точек спектра.

Фундаментальные результаты теории уравнений смешанного типа получены в работах А.В. Бицадзе [5] - [8], К.И. Бабенко [2], СП. Пуль-кина [43], [44], М.М. Смирнова [53], С.А. Алдашева [1], Д.К. Гвазава [12], Т.Д. Джураова [27], Т.Ш. Кальмснова [31], Г.Д. Каратопраклпева [32], [33], A.M. Нахушсва [38], Л.С. Пулькнной [45], [4G], О.А. Репина [47], М.С. Салахитдпнова [51], А.П. Солдатова [57], М.М. Хачева [6-І].

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения п списка литературы.

Первая глава посвящена краевым задачам для уравнения Лаврентьева-Бпцадзе (0.2) в прямоугольных областях.

Пусть D - {(х,у) : 0 < .г- < 1, -а < у < /?}, а, /3 = const > 0, D+ - D П {у > 0), D- = D Г) {у < 0).

Решение и = и(х,у) уравнения (1.1) будем называть регулярным в области D, если оно принадлежит классу C^a(D⁺)C\C^l{D~)r\C'²{D⁺\jD~).

В 1 первой главы приводятся постановки смешанных задач.

Задача 1.1. Найти регулярное решение и(х,у) уравнения (0.2), удовлетворяющее краевым условиям:

ф,/3) = <р(х), и{х, -а) = ф(х), 0 < х < 1,

«*(о,2/) - Ну), «х(1,г/) = Му), -«- < у < ft,

и условиям сопряжения:

lim и(х,у) = ki lim ф,у), lim u_y(x,y) = k-₂ lim u_y(x,y), (0.3)

j/->0+ j/-)0- )/-)0+ y->0-

Й(^Є І], fc₂ = COllSt ф 0,

Задача 1.2. Найти регулярное решение и(х,у) уравнения (0.2), удовлетворяющее краевым условиям:

Uy{x,j5) = (р(х), и_у(х_: -а) = ф(х), 0 < х < 1,

»(0,а < У <Р,

и условиям сопряжения (0.3).

В этом же параграфе приводятся формулировки соответсвующпх теорем, доказательства которых предстаплены в 2 - 4.

Теорема 1.1. Пусть

1) <р{х), ф(х) С% 1], щ(у) Є С³[-а,0] ПС³[0,Д, і = 0, 1;

й; ^Н(о) = ^(п)(і), ^(»)(о) = V'⁽'(i), " = і. з,

^⁰(-о) = ^^п)(0) = ^⁰{/3), п = 0,2, і = 0,1;

3} / ^*⁴'(jr) cos яігх dx = 0( sin тгйа), fc -> oo,

о о

J v\{y) cos — у I sin — j, fc -> oo, і = 0, 1;

—a

4) lim 1/Д2/) = Ai lim i/;(w), г = 0, 1;

1/-)0+ 1/-)0-

5yl n - иррациональное число, k\a 4- &2Д Ф 0,

&i йііі7гЛ'сісЬтгА-/5 + hi cos 7r&asli7r&/3 / 0, Л = 1, 2, ... Тогда существует единственное решение задачи 1.1. Теорема 1.2. Пусть

1)₉[х), ф(х)Є C³[0, 1], /^)C¹h«,OjnC⁴[0,/^ /-0,1; 2) ^")(o) = y)H(l), ^И(О) = ф^{п){1), n = 0, 2,

/(^(-^ = /^(0) = /^(^), » = 1,3, * = 0, 1; і

3} І ф^' (x) cos якх dx = O(s'mirka), к -» сю,

о о

//J' (у) cos — ї/ґ/гу = 0( sin — ], к -* oo, г = 0, 1;
a ' V a /

/

^ Нш //_г-(у) =^ lim /*,-(y), i = 0, 1;

5/¹ a - иррациональное число,

k-2 sin 7rfcacli7rfc/3 — &i cos 7rfrasli7r&/3 ^ 0, A: = 1, 2, ... Тогда существует единственное решение задачи 1.2.

В 2 первой главы доказывается единственность решений задач 1.1 н 1.2. Доказательство проводится, следуя методу, предложенному в работе [37].

3 и 4 посвящены доказательству существования решений задач 1.1 и 1.2 соответственно. Решения получены методом разделения переменных [G0, с. 82].

В 5 для задачи Неймана

Задача 1.3. Найти регулярное решение и[х,у) уравнения (0.2), удовлетворяющее краевым условиям:

и_у{х,/3) = vp{x), и„(я, -a) = v_a(x), 0 < х < 1, «г(0,у) = щ(у), и_х{\,у) = vi(y), -а<у< [J,

и условиям сопряжения:

liniiu(x,y) = lim u(x,y), lim u_y(x,y) - lim u_v{x,y),

JM-0+ j/—fO— j/->0+ 1/-+0-

докаїана следующая

Теорема 1.3. Пусть

1)ф) ЄС^:1[0,1], «О-(у) ЄС³[-а,0]ПС³[0,Д, i = a-/5f, j = 0,1;

5J */(()) = (/!(!), z/}(-«) = */(0) = ЇДО), і - a, /5, j = 0, 1;

.) / ^ЇУа ('-') «in тгАта* dx = 0( sin тг&а), к —> со,

о о

/

i/j³⁾ (у) sin — у dy = ОI sin — ), к -> сю, j = 0, 1;

— a

1 /J о

4) / ^(д-)^' = > / ^'Ы Ф = 0» / vj(v) ^ІІУ = О»

о о -«

ї=а, /3, j = 0, 1;

5) a - иррациональное число,

cos тгкаиїткф ф sin 7гАгосії7гА;/3, fc = 1, 2, ... Тогда существует, единственное с точностью до константы решение задачи 1.3,

Во второй главе изучаются краевые задачи для уравнений гпперооло-эллпптического типа в цилиндрических областях.

В 1 второй главы рассматривается уравнение

Ти = к(у) [а^{і(х)и_Хі] - и_уу + с{хЩу)и = 0, (0.4)

где¹

аде С¹ (J_o0) ПС¹ (Jop); а*Цх), с(х) С (D) , г, j = 1,2,.-..";

уЦу)>0 Vj/^O; k'(y)>d Vy>0; ф;)<0,

я*Ч*Ш] > Ш² V* Єй, U К"; /,-₀ = const > 0.

Пусть D - ограниченная область евклидова пространства R" точек х = {х\,х-2,...,х_п) с кусочно-гладкой границей и, J_np -- интервал а < у < fl (а < 0, j3 > 0); Q_n0 = D х J_np - цилиндрическая область в пространстве IR"⁺¹ точек (л;, у); S_n(i ~ граница Q_np; S& ~ а X J_a$ -боковая поверхность.

Решение и = и(х,у) уравнения (0.4) назовем регулярным в области ї_о;ї, если и Є С (&_ар) ПС¹ (fi_ft/J), функции u_tjXj, j = 1,2,..., н, и_Уу являются непрерывными всюду в Q_np за исключением, быть может, точек

В работе [37] A.M. Нахушевым был получен критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения (0.4) в области Cl_np. Предложенный метод используется для решения смешанной задачи.

Задача 2.1. Найти регулярное в области Q_ap при у ф 0 решение и(х,у) уравнения (04), удовлетворяющее условиям:

и_у(х,с\) = (p_Q(x), Ух є D; u_p(xj) = ₀(x), 4xD;

u(x,y) = ф{х,у), V(s,*/) Є S_a.

Доказана

Теорема 2.1. Если S_np, a'i(x) и c(x) обладают тем свойством.

что система собственных функций {v_m(x)}, соответствующих собственным значениям Х_т однородной задачи v\_a = 0 для уравнения

[aⁱ'{x)v_Xi]_Xi+lc{x)+X\v = 0,xeD

полна в пространстве L² (D) и v_m(x) Є С'¹ (D) nC²(D), т = 1,2,..., то задача 2.1 имеет не более одного решения тогда и только тогда, когда

иШ^О Vm,

где ш(у) - решение уравнения

и;^{у) + \_тЦу)и_т(у) = О

из класса С¹ (./«/?) > удовлетворяющее условию и>'_т{с\) = 0. В 2 этой главы рассмотрено уравнение

sign у (u_XiXl + и_ХгТ2) - и_Уу = 0. (0.5)

В прямоугольном параллелепипеде Q_ap = D X ,1_а^ пространства R^;i точек (х,у), где D - прямоугольная область точек х = {х],х-₂), 0 < хі < я,-, і = 1,2, с границей о, J_ap - интервал а < у < ft (а < 0, /3 > 0), _О0 - граница Q_ft, S_a = о х J_nfl ~ боковая поверхность, решается смешанная

Задача 2.2. Найти регулярное в области il_n{i решение и(х,у) уравнения (0.5), удовлетворяющее условиям:

Uy{x,a) = _Q(x), VxeD;

it_y{x,p) = (pp(x), V.t D;

u{x,ij) =0, V(.r,y) S_a.

Доказана

Теорема 2.2. Пусть

1)

дх^к;

C(D),k = 1,2,3,4, j = aj, і =1,2;

c?Vj . їгтіяі . тщхі . . /sin л/Л_Ші,„,/і

sin sin dx]dx<2 = 0\

2J ^

«1 (її

«,=«,-і

_"//S

о 0

дх?

«l

«2

, j = a,P, і = 1,2;

JHj)«2

A - 7Г¹

, j~ct,P, і = 1,2, ї7іі,ш₂-юо;

^ 2 COS ^\_mimips\ly/X_mim₃+ СІ1 yj\_mim$ Sill y/\_mim2P Ф 0,

sin у/\_тітф ф 0,

Тогда существует решение задачи 2.2.

В третьей главе рассматривается гиперболическое уравнение

ін = [«'-'(ф^. - ф;)н - м^ = 0, (0.G)

где й^ч'(;1*) = а*'(х), Ух Є >, i,j = 1,2,...,«, матрица |e^y'(*)||, V .і* Є D, положительно определена, с(х) > 0, V .г Є D, функции «''(.г), ('('-) достаточно регулярны в облатпD.

Здесь 1?от = D х J - цилпнд]шческая область пространства М"⁺ точек (х, у), где D - ограниченная область евклидова пространства IR" точек х = (.Г],2'2,...,„) с кусочно-гладкой границей a, J - интервал 0 < у < Г, Sqt ~ граница S7or, S_a = а х J - боковая поверхность.

Решение и — и(х,у) уравнения (0.G) будем называть регулярным в

области QoTi ^{еслп он} принадлежит классу C¹(Qqt) П C²(Qqt) В 1 третьей главы сформулированы краевые задачи. Задача 3.1. Найти регулярное в области Qot решение и{х, у) уравнения (0.6), удовлетворяющее краевым условиям:

и(х,у) = ф{х,у), V (х,у) Є S_ff, и_у(х,Т) = <р_Т(х), Ухе D,

н(ж,0)=^оМ, V.re D.

Задача 3.2. Найти регулярное в области Qqt решение и(х,у) уравнения (0.6), удовлетворяющее краевым условиям:

и{х,у) = ф(х,у), V (х,у) Є S_ff, и(х,Т) = фт(х), Уже А

Wj,(a:,0)=_VoW, V* >.

Задача 3.3. Найти регулярное в области Qqj решение и(х, у) уравнения (0.6), удовлетворяющее краевым условиям:

и[х,у) = ф(х,у), V (.с,у) Є Я, %(ж,Т) = (рт{х), V^-Є Д %(я,0) = w(s)) Vj; Є D.

Задача 3.4. Найти регулярное в области іїог решение it(x,y) уравнения (0.6), удовлетворяющее краевым условиям:

и(х,у) ~ф(х,у), V (х,у) Є S_a, и(х,Т) = фт(х), Vie D,

и{х,0) = ф₀{х), V,r D.

Задача Дирихле (задача 3.4) для уравнения (0.G) рассмотрена в работе [G7]. Для задач 3.1 - 3.3 в 2 третьей главы доказана

Теорема 3.1. Если Sqt> а^г-*{х) и с(х) обладают тем свойством, что система собственных функций {vk(x)}, соответствуюгцих собственным значениям \k однородной задачи

[«^y(-^cKL. - Ф>+^A*^u = > ^{х є D}i <=

полна й пространстве b'²(D) и г^(х) Є W^iD) C\C²(D), k = 1, 2,..,. тогда любое решение задачи 3.1, 3.2 или 3.3 тождественно равно нулю тогда и только тогда, когда выполняется условие: для задач 3.1 и 3.2 -

А_ЛГ^| + тгт, к, m = l, 2,...,

для задачи 3.3 -

\_кТфтщ к, т = 1, 2,...

B 3 третьей главы для телеграфного уравнения

и_хх - и_ш - си = 0, (0.7)

п прямоугольной области Q = {(х,у) : 0 < х < а, 0 < у < Ь] решаются смешанные задачи, поставленные в 1 этой главы.

Задача 3.5. Найти регулярное в области О, решение и[х,у) уравнения (0.7), удовлетворяющее краевым условиям:

"(0,!/) = /'о(у), "(«>#) = th(y), 0<у<Ь,

ity{x, Ь) = Рь{х), и(х, 0) = г (я), 0 < х < а.

Доказана

Теорема 3.2. Пусть

1) щ(х), т(х) є С% я], (ц(у) Є С%Ь], і = 0, я; 2; ^^(,l)(0) = Л), /*!'(0) - /*!^В,(Ь), г*")(0) = И«)(„), „ = 0,2, ,/|"'(я) = г(")(«) = /4^в)(6)= 0, і = 0,«, « = 1,3;

3) jvl⁴⁾(x)sm\ux(h^0{sm\_2kb),

[т^{х)нтХ_4кх<1х = 0(нтХ_гф),

/ /4^4,(2/)sinA2tyrfi/ = 0(siuAijta), / = 0, я,

Ац. = \/ V " с, А_2А. - -V^' ^Аз* = у~^г + с, X_ik - _т, ^ А^я/тГШ, А_иЬ^- + тгт₎ fc,m = l,2,... Тогда существует единственное решение задачи 3.5.

Задача 3.6. Найти регулярное в области Q решение и(х,у) урав-нения (0.7), удовлетворяющее краевым условиям:

^{«(о,у) = /(о(г/), »(«,*/) =/'«М, о < у < ь,}

н(;с,Ь) = р(ж), %(^,0) = ^ЇУ(Д О < лг < а.

Доказана

Теорема 3.3. Пусть

1. ф), и(х) Є С% «], /<,-(?/) Є С*[0,Ь], і = О, в;

2. ^"»(0) = ?(">(«), у^(н1(«) = ^^(п,(«)> /4'(Ь) = > » = О.²» /,<">(0) = /<<'% 9^(в,(«) = *^(и,(в) = 0, ; = 0, а, н = 1,3;

3) / /<;(і = 0, а;

4) J <р^{'^]] (х) sin X_ikx (h = О (cos А_МЬ),

/ ;у⁽⁴⁾ (jt) sin Хая rfo = О (cos Aatb),

/ /'S'¹⁾(tf)^cos^0^rfy = ^(^sill^ift^fl)» ^г' = ⁰' ^а*

5yl А]д.«<,ф 7гш, Азйб 7^ — + 7г//г, &,m = l,2,...

Тогда существует, единственное решение задачи 3.6. Задача 3.7. Найти регулярное в области f] решение и(х,у) уравнения (0.7), удовлетворяющее краевым условиям:

Uy(xJ)) = щ(х), u_y{x,0) = v{x), 0 < х < а.

Доказана

Теорема 3.4. Пусть

1) щ(х), _V(x) Є С% a], ,_и{у) С⁴[0,6], і = О, а; Ю *1^П)(0) = ^^п,(а), *^(п,(0) = !/<">(,,), /*І^И,(Ь) = 0, п - 0, 2, /^(0) = /,^), і/і^й,(а) = !»(«) = 0, * = 0,я, я = 1,3;

5; і i;l^])(x)*m\_4kxdz = 0(cos\_ub),

о «

/ у'⁴'(.г) sin Л,ц.х" ^Ь' = О (cos Аз^), о

/ $^] (у) cos X^ydy = 0(sinA_u.rt), і = 0, а,

о .

Мк = у ^г- - с, A₂jt = ^, А₃ = Азі = у ^г + с, А4 = A._u. = ^-;

^ Ац.п ^ їгт, ХмЬфкт, k,m = 1,2,...

Тогда существует единственное решение задачи S.7.

Основные результаты дпсссртацип опубликованы о работах [13] -

Доказательство единственности решения смешанных задач

В 2 данной главы доказывается единственность решения поставленных задач, аналогично работе A.M. Нахушсва [37]. В 3,4 получены этп решения, используя метод разделения переменных [60, с. 82], проведено полное обоснование данного метода решения. Доказательство единственности решения смешанных задач

Пусть щ{х,у) и ii 2(x,y) - любые два решения задачи 1.1 (1.2) в области D. Тогда их разность и(х,у) = щ(х,у)-и 2(х,у) является решением однородной задачи 1.1 (1.2). Покажем, что и{х,у) = 0, V(#,?/) Є D, то есть щ(х,у) = іі2(х,у).

Для этого построим вспомогательную функцию и {я ,у) = Vk{x)u k[y), V A: = 1, 2, ..., которая является регулярным решением уравнения (1.1), а также удовлетворяет краевым условиям: v k(D) = ,(1) = О, uik{fi) О ( Ч (О) = 1!к{1) — 0, wj-,(/3) = О) п условиям сопряжения: 1 1 \ш w{x,y) = — lim w{x,y), lim и „(і,2/) = — lim wy(x,y). Ec можно построить методом разделения переменных. В случае задачи 1.1 она имеет вид: { {$\тку — Umkfidmky) cos якх, V (.г1, у) Є D+, (fc[ sin 7T&J/ — A:2th7rA:/3 cos яку) cos 7гА ;г, V (;r, у) Є D . В случае задачи 1.2 сё молено записать следующим образом: { (ЙІІЛІЧ/ — cth7rfc/3cli7rfcj/) sin 7ГА\Г, V (;г, у) Є D+, (&i sin 7Г&г/ — Ласіїїїгй/З cos тгї/) sin якх, V (а:, у) Є D , Обозначим D+ = {( , (/) : є х 1-є,є у Р-є}, D = {(.r, у): є х 1 - є, -а + є у г} , где = const 0, af, т - соответсвующне границы. Интегрируем ТОЛІДССТВО иЬги — wLu = (uwx — гиих)х + sign y{uwy — w «,,),, по области Df(jD . Получим О — / + / (ttLw — wLu) dxdy = н W DJ // («Wj. — « «j:)д: + Sigll Jj(uWy — WUy)y (Ixih) = - sign y{uwy — umy)dx + (uwx - wux)dy Переходя к п])едслу при — 0, имеем / гі{1,у)юх{1,у)-го{1,у)их(1,у) + и(0,у)тх(0,у) « (0,1/)14,(0,у) rfy+ / н(.т,/5)( (.г-, ) - ф,/3)ну ( ,) —«(a;, -ot)wy(x, -а) + « (ж, —а)ы9(лг, —а) rb; = 0. Далее используем однородные краевые условия задачи 1.1 (1.2). Подставляя их в последнее равенство, получаем / Vy{x,-a)u}k{-a)vk{x)dx Q ( / и(дг,-а)ш] (-а)иА(а;) л; = 0 J ПЛИ (к[ sin 7ГАЧІС1І7ГА:/5 + А 2 cos 7гА"а-й1і7гА:/?)тгА; / н ,,(:, -о) cos irkxdx = 0 о (кі cos тгАгаа1і7гА /3 — A si» ттйасЬттА-/?) / «(ж, "a )SH1 nkxdx = 0 В силу полноты системы собственных функций {sin 7ГА\Ї:}, а также -25 используя лемму Лагранжа [39, с. 30], условие 5) теоремы 1.1 (1.2) [G4, с. 14], получаем Hv(.r, —а) = 0 (и(х, —а) = 0). Таким образом, функция и(х,у) является решением однородной задачи ,(0,/,) = 0, «,(1,у) = 0, -а зу О, гіу(х —а) = 0, M(.T,— а) =0, 0 х 1, для уравнения (1.1) в области D , в случае задачи 1.1, или решенном однородной задачи «(0,7,) = 0, и(1,у) = 0, - х у 0, и(х, -а) = 0, иу(х, —а) = О, О л: 1, в случае задачи 1.2.

Тогда и = 0 в области Z)-, откуда с учетом (1.4), (1.5) и = 0 в области D+ . В результате получили и(х,у) = 0 в области , что и требовалось доказать.

Доказательство существования решения задачи 1.1 Решение задачи 1.1 будем искать в виде и{х,у) = щ{х,у) + щ{х,у), где щ(х,у) - решение задачи 1.1 при (р(х) = ф(х) = 0, a и-2{х,у) решение задачи 1.1 при щ{у) = V\{y) = 0. -26-Для нахождения решения щ{х,у) введем обозначение f u+(x,y),V(x,y)ED+, [ щ{х,у), V(x,y) .D , где »(.( , у) - решение уравнения «м + «и, = 0, (1.8) удовлетворяющее условиям: 4(л:, ) = 0, wf(я,0) = 0, 0 J- 1, (1.9) «ІЛ у) = М Л 4Л1 У) = МУ), О У /З, (їло) "Г(,гіУ) решение уравнения UXx - Uyy = 0, (1.11) удовлетворяющее условиям: uj{x,-a) = 0, щ(х,0) = 0, 0 J 1, (1.12) «Г (0 #) = гЛ)і "йО Н М» -о 2/ 0. (1.13) Используя метод разделения переменных, получаем со . «К»,») = Е (о» 1+ь е )sin ту- (1Л4) УСЛОВИЯ (1.10) ПОЗВОЛЯЮТ ОПреДеЛПТЬ dkfbk. Из теории рядов Фурье [01, с. 21] известно, что произвольная кусочно-непрерывная п кусочно-дифференцируемая функция разлагается в ряд -27 Фурье. Функции щ(у) и fi(y), 0 у /3, можно доопределить на отрезке [—/2,0] нечетным образом. В этом случае, с учетом условия 1) теоремы 1.1, каждая функция разлагается в ряд Фурье, который содержит только синусы, а именно:

Доказательство существования решения задачи 1.2

Пусть D - ограниченная область евклидова пространства Ж" точек .( = (#i, х-2-,..., .г в) с кусочно-гладкой границей т, Зпр - интервал о у /3 (а 0, /3 0); іїа/? = D х Ja/j - цилиндрическая область п п]юстранстве IR"+I точек (х,у); Sap - граница Ua0] S = и х ,Jafl -боковая поверхность.

В области fift/? рассмотрим уравнение смешанного типа Ти = k(y) [aij(.r)uri]Xj - uss + с(х)Цу)и = 0, (2.1) где Цу) Є С[ (Jn0) ПС1 (); « (я), ф) Є С(Г»), i,j = 1,2,..., п; (2.2) /%) 0 V / 0; (i/) 0 V / 0; ф;) 0, (2.3) «УМ& «Р V.x- Є Я, Є Є і?в; h = const 0. (2.4) Решение и = "( ?/) уравнения (2.1) назовем регулярным в области Ю,„і, если « є С (Гї„д) ПС1 (fi«/j), функции wrj.Xj., і = 1,2,..., и , иуи являются непрерывными всюду в Qap за исключением, быть может, точек -61 Задача 2.1. Найти регулярное в области {}пр при у ф О решение и(х,у) уравнения (2.1), удовлетворяющее условиям: іф;а) = 9а(х), VxD; (2.5) uy(xj) = pfi(x), V,,;eD; (2.G) ф,у)=ф{х,у), V(;i:,i,)6 5, (2.7)

В работе [37] А.М.Нахушевьш был получен критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения (2.1) в области fift . Предложенный метод доказательства используется для решения смешанной задачи (2.1), (2.5)-(2.7). Справедлива следующая Теорема 2.1. Если Snp, а Цх) и с(х) обладают тем свойством, что система собственных функций {vw{x)}, соответствующих собственный значениям А„, однородной задачи v\ff = 0 для уравнения [ау(Ф,,.] + [с(х) + Л] v = 0, х Є D (2.8) полна в пространстве L2 (D) и vm(x) Є С1 (D) П С1 (D), пг = 1,2,..., то задача (2.1), (2.5) - (2.7) имеет не более одного решения тогда и только тогда, когда Ш 0 Vm, (2.9) -62 где, ui(y) - решение уравнения (У) + КЦу)ы,п(у) = 0 (2.10) из класса С] (Jnii), удовлетворяющее условию ш т(а) = 0.

Доказательство. Система vm(x) будет удовлетворять условиям теоремы, если « (.г-) С 2+к ( ), с(х) Є С1+к (D) и Гранина а является 3 + t; рач непрерывно дифференцируемой, где к п/2 [34, с. 47].

Пусть »](.г,/у) н щ(х,у) два решения задачи (2.1), (2.5) (2.7) в области Qnfl. Тогда и(х,у) = щ(х,у) — ii2{x,y) - решение однородной задачи (2.1), (2.5) - (2.7). Докажем, что и[х,у) 0, V(.c, /) i1afi

Действительно, функция w(x,y) = vm(x)um(y) для любого ш представляет собой решение уравнения (2.1) из класса С1 {Uap) П С2 (О„о) U ($їо,з). обращающееся в нуль на So- и wy(x,y) = vm(x)ui m(ij) обращается в нуль на D. Представим выражение wTu — uTw в дивергентной форме: wTit - uTw = wk{y) [аі}{Фхі]х пЦу) [""(Ф ,] " " / / + uwsa = = [шЦу)а {х)иЛі]Хі - Цу)гих/\х)их, - [uk(y)a (x)wXi]xs + +k(y)uXja,J{x)u Xi - (wuy)y + WyUy + (uwy)y - uywy = = [Цу)агзП (и і - ""У]г. - lwuv - иіі,у (2Л1) Обозначим через Vj = cos(v,Xj), j — 1,2,..., Ji, щ = cos ( ,//) направляющие косинусы внешней нормали v = (vQ,v\,v-2,,...,vn) к границе 50/), dS - элемент поверхности. Учитывая, что Sa/j = Sa U Dn U D , -63 где Д, = D х {у a] , Dp = D х {г/ = /3}, проинтегрируем равенство (2.11) по области S) . Пользуясь формулой Грнна [39, с. 145], а также условиями (2.2), (2.5) - (2.7), получим

Интегрируя последнее равенство по области І1}ф = D X [/ ,,#], получаем равенство (2.12). Учитывая, что « = иу = 0 на 5/( = 5/;/Д [5/t/a П {г/ = /t}], имеем / к {у) (aij(x)uXiuXj - с(ф2) dxdy+ + / (Л(!/)«у(1)нх( + u\ - %)ф)«2) t/5 = 0. 5 /?n{y=AJ Это равенство вместе с условиями (2.3) п (2.4) означает, что и = 0 в Ї2(у. Поэтому и = 0 на Sno и, согласно принципу Хопфа [7, с. 29], и = 0 в її(,о- Теорема доказана.

Замечание. Если условно (2.9) нарушено хотя бы для одного m = г, тогда функция и(х,у) = Vi(x)u i(y) является нетривиальным решением, однородной смешанной задачи.

Смешанная задача в прямоугольном параллелепипеде

Пусть D ограниченная область евклидова пространства W точек .г = (х\,х-2,...,хп) с кусочно-гладкой границей a; J - интервал О у Т; {}(fr D х J - цилиндрическая область в пространстве R"+1 точек [х,у); S r - граница fipr , Sa = а х J - боковая поверхность. В области Пот рассмотрим уравнение Lit = [a J(x)uXf]Zj - uSy - с(х)и = О, (3.1) где а {х) = aji{x), V х Є D, ij = 1,2, ..., ті; матрица \\aij {.r)\\ , V x Є D, положительно определена; с(х) О, V .г Є D; функции С(и (;с), с(х) достаточно регулярны в облптиП. Решение и = и(-і , у) уравнения (3.1) будем называть регулярным в области 12о7 : если оно принадлежит классу С [QQT) П С (1їо7") Сформулируем краевые задачи. Задача 3.1. Найти регулярное в области V/r решение и{х,у) уравнения (3.1), удовлетворяющее краевым, условиям: и(х,у) = ${х,у), V {х,у) Є Sff, (3.2) -75 «„(;г,Т) = .(я), Ухе D, (3.3) и(х,0) = іф), Ухе D. (3.4) Задача 3.2. Найти регулярное а области SVr решение u(x,y) уравнения (3.1), удовлетворяющее краевым условиям: и(х,у) = ф{х,у), У (х,у) Є Sff, и(х,Т) = фТ(х), V.re D7 (3.5) н,М) = оМ, VxG . (3.G) Задача 3.3. Найти регулярное в области Пог решение и(х,у) уравнения (3.1)і удовлетворяющее краевым условиям: и(х,у) = ф(х,у), V (х,у) Є Sff, щ(х,Т) = (рт(х), Ухе Д uv{x,0) = уо{х), Ух Є D. Задача 3.4. Найти регулярное в области Qor решение и(х,у) уравнения (3.1), удовлетворяющее краевым, условиям: и(х:у) = ф(х,у), У (ж,і/) Є 5ff, и(а-,Г) = М, Ухе D, -76 Задача 3.4 (задача Дирихле) для уравнения (3.1) рассмотрена в работе [G7]. Авторами получено необходимое п достаточное условие существования единственности решения этой задачи. Предложенный метод используется для решения смешанных задач 3.1 - 3.3. 2. Единственность решения смешанных задач в цилиндрической области Справедлива следующая Теорема 3.1. Если SQT, aiJ(x) и с{х) обладают тем свойством, что система собственных (функций {vk[x)}, соответствующих собственным значениям Ад однородной задачи И( К1 - Ф + 2и = 0, Є D, (3.7) 4г = 0 (3.8) полна в пространстве L2(D) и Уд (я) Є W D) C\C 2(D), 2,..., тогда любое решение задачи 3.1, 3.2 или 3.3 тождественно равно нулю тогда и только тогда, когда выполняется условие: для задам 3.1 и 3.2 ХьТф + тп, , т = 1,2,..., (3.9) -77-()ля задачи 3.3 \кТфят, к, 7/( = 1, 2,.... (ЗЛО) Доказательство. Пусть и(х, у) - решение задачи 3.1, 3.2 или 3.3. Докажем, что и (,г, у) = О, V (х,у) Пот Функция w(x,y) = Vk{x)uk{y) для любого А; представляет собой ре-гуля])ное і)ешение уравнения (3.1), тогда wy(x,y) — Vk(z)uj k(y). Из уравнения 4iv) + Ь»к{у) = О, fc = 1,2,..., находим щ{у) = Сі cos Afcy + C2 sin \tf/, откуда Ш Ы = -At(Сі sin Aty - C2cosAjty), где С], C 2 - постоянные величины. Функции iv{x,y) п wy(x,y) удовлетворяют краевым условиям: в случае задачи 3.1 (ф:, (/) = 0, V(:r)2/)e5n ш{:г,0)=0, шф:,Г) 0, Ул;Є ; в случае задачи 3.2 w{x,y) = 0, V(i-,y) Є S„, %(x-,0) = 0, ф:,Г) 0, V;r D; в случае задачи 3.3 - ф-,//) = 0, V( ,y)eS„, w„(a;,0) = 0, ІУ„(А ,Г) 0, УІЄЯ. Для самосопряженного дифференциального оператора L справедлп -78 во равенство win - uLw = [a1J(x)(wuX{ - vwXi)]Xj - [wuy - uwy]y. (3.11)

Возьмём произвольное число є О и область QQT внуті)п QQT с границей SQT. Обозначим через vx. = cos (г/, Xj), j = 1,2, ..., n, и у = cos (//, у) направляющие косинусы внешней нормали v к границе SQT, IS - элемент поверхности. Учитывая SlT = SlUDlUDfr, где D — D-x {у = є], D — D-x{y T — s}, D - область внутри Z?, проинтегрируем равенство (3.11) по области Щт. Пользуясь формулой Грина [39, с. 145], получаем На основании леммы Лагранжа [39, с. 24] получаем: при условии (3.9) из равенства (3.12) - и [х,Т) = 0, из равенства (3.13) - ЇІУ{Х,Т) = 0, при условии (ЗЛО) из равенства (3.14) - и (х,Т) = 0.

Далее преобразуем выражение vyLu = vy[at3{x)itZi]Xj - c[x)uuy - uyyUy = = [a,J(x)uXiuy]Xj - atJ{x)uyxjuXf - -\c{x)u\ - -[n % = Окончательно получаем biyLu - 2[aij {х)иХіИу} - [atJ [x)uXiuXj + HJ + c(x)xi\. (3.15) Пусть {}J,T - часть Qori ограниченная плоскостями у It, 0 h T и у — T\ Shr - граница Интегрируем равенство (3.15) по области Щ)Т, 0, расположенной внутри области ЇVr, - учетом краевых условий задач 3.1 - 3.3 2 / uyLudxdy = / [2aiJ{x)uJ,iUyUXj-{atJ(x)uXiuXj + tiy + c(:v.)u2)Uj,]dS = = 2 J aij{x)uXiuy dy - / {a j{x)uXiuXj + uy + ф 2) ilx = ShT SKT = f {aij(x)uXiihj + u\ + c(x)u2) dx = 0. (3.16) Из определения Hn fa:)!!, с(ж) 0, 0 /г Т следует, что равенство (ЗЛО) возможно, если первые производные в области Г?ог равны нулю, следовательно, и = const в Пот п и = О на SOT, тогда и = 0 D SVr-Теорема доказана.

Замечание. Если в теореме ЗЛ не выполняются условия (3.9) пли (3.10), тогда имеются положительные целые числа m н к, для которых Ад,Г = + 7гш или Ад.71 = 7r//t. В этих случаях функция и{х,у) = i k{x)ujk(y) является нетривиальным решением задачи 3.1, 3.2 или 3.3. Рассмотрим смешанные задачи, поставленные в 1 для уравнения (ЗЛ), при п = 1, коэффициенты а (х) и с(х) - постоянные величины. Выберем п])ямоугольную область Я = {(ж,у) : 0 х а, 0 у и}-

Единственность решения смешанных задач в цилиндриче ской области

Для того, чтобы ряд (3.32) являлся решением задачи 3.6, необходимо чтобы он, а также ряды, полученные из (3.32) дифференцированием до второго порядка, сходились. Накладывая некоторые ограничения на заданные граничные функции, это не трудно показать. Таким образом, доказали следующую теорему.

Теорема 3.3. Пусть 1) ф), „(.г) Є С% я], fti(y) Є С4[0Д г = 0, А; 2) v?(H)(0) = р{%), "{к,(0) = (п,И /4П (6) = " = 2 /(j"»(o) = /4И,(Ь), {n)M = {,,,(а) = «і г = « " = з; ь 3) / /(;(,(/) rfy = 0, і = 0, «; о -89 4) / tpMWsmXikxdx = 0(cos\ub)1 о ZA \x) sinA .x- dx = 0(cos A,u&), о ь / / ; (і/) совАзі-у rf// = 0(sin Аі я), i = 0, a, о Ait - у—455 с, Л2 - - , A3fc = - + c, A4t - —, 7Г 5,) Ац.я ЇГШ, AuM : + 7rm, A:,7Jt = 1,2,... Тогда сущестауст единственное решение задачи 3.6. Задача 3.7. Найти регулярное в области Q решение и(х,у) уравнения (3.17), удовлетворяющее краевым условиям,: и(0,у) = / 0(з/), и(а,у) = fta{y), 0 y b, (3.33) и,{х,Ь) = іф), %(. ;, 0) = ф), 0 х я. (3.34) Решение задачи 3.7 будем искать в следующем виде гі{х,у) = щ{х,у) + ич{х,у), где Ч](х,у) -решениезадачи3.7при щ(х) = ф) = 0, щ(х,у) -решение задачи 3.7 при ц0{у) = fia(y) = 0. Из (3.17), разделив переменные, получаем Х"(х) .У"(У)_ х2 Х(х) У(у) Обозначим XI — Х\ + с. 2 = Л -90 Тогда из задачи Г"Ы + АГЫ=0, У (&) = 1"(0) = 0 находим собственные значения А2 = А д = -р, & = 1,2,..., и соответствующие им собственные функции Щу) = Aicos\-iky, а также А2 = \% = 0 п решение У [у) = Д}. Этим значениям соответствуют также решения Хи{х) = В\ cos Лц..г + В2 sin Лих, А (л) = С0ж + Д , где А] = Ац. = У "й--с, fc = l,2,... Получаем решениие оо И!(.г, у) (А cos Aifc.tr + fr sin Ац.г-) cos \2ky + a0.r + bQ. (3.35) i=i Условия (3.33) позволяют определить ojt,bjt,ao)6o- Граничные функции / ()(.у) п / «Ы можно доопределить на отрезке [—/J,0] четным образом и представить в виде разложений в ряды Фурье по косинусам. Имеем равенства оо оо «1 (0,.(/) = 2 "A cos 2кУ = / o(l/) = jp + Х m C0S МУ + &0 Jt=l i=l -91 oo «і («, у) = Yl((lk cos Лц,а + hsin Mk i) cos Аалу + «o« + h = /Ы = Ha(y) = у + 2 Щ cos A20, Jt=l где " о = / МУ) dy, тк = - ft0{y) cos \2ky dy, о о b ь о 0 откуда находим n - mk cos Alta n0 - m0 . m0 «k = nik, bk = :—г , rt0 = —о = - - sin Л a 27/. z При выполнении кіпАц.а 0 решение (3.35) принимает вид пік ній \и(а-х)+пк sin \lkx "і(Л#) = :—: cosA2fcy + к=\ +_ЙГ- +Т- (3 Аналогично находим «a(a;,;y). Из (3.17) получаем "( ) _Пї)_ ,, Л» с- Г(2/) - 3 обозначим А = Ад — с. Методом разделения переменных, находим ОС Мх у) 2 (я cos ыу+& sin Л-и s m A ;t (3 Л=І -92 где ттк тг 2к2 л.\ - ми = —, h Мк = \ —Г- + С, к = 1,2,... а V а1 Используя условия (3.34), определим 0 ,. Решение (3.37) при вы полненпп условия si» Xskb ф 0 принимает вид ОС »2 .Г, //) = ) г - Sill \.ikx, (3.38 % cos A3jt(fr - г) Vk cos Азії где a a 2 f 2 f . PA = О О Складывая выражения (3.36) и (3.38), получаем решение задачи 3.7 Ф,!/) = Y, mjtsin Ац(а - х) + іцатХі х sinAijta k=\ cos A2jt2/ + ft cos A,u 6 - .r) - / cos X x . (n0 - ї»о)я + « "о ,„ „Пч + : r-r— SU1 x + о . (3.39) A3lb sin A3jtb 2a Для того, чтобы ряд (3.39) являлся решением задачи 3.7, необходимо чтобы он, а также ряды, полученные из (3.39) дифференцированном до второго порядка, сходились. Это не трудно показать, накладывая, указанные ниже, ограничения на заданные граничные функции. Итак, доказана, следующая Теорема 3.4. Пусть 1) щ(х), и(х) Є С% в], (ц(у) Є С% Ь], і = 0, «; 2) i/bu){0) = ul%), v{n)(Q) = n (a), /(jn,(6) = 0, n = 0, 2, /( " (()) = / {n)(b), 4n)(a) = iA (a)=(), t = 0,e, n = 1,3; a 3) / U mX x (їх-О (cos Х Ь), г - 0, a; о a / /(4)(.r) sin А я dx = 0( cos А3 Ь), о b / / !;1)( /) t-"»sХ2кУ dy = O(sinAna), b iJt = \j jp1 - c, X — X 3 = 3t = у r + c, A,j = A.fjt = ; Aiifcf/ тгш, Ащб тгш, fc,m = 1,2,... Тогда существует единственное решение задачи 3.7. Замечание. Условия Ац«. 7гт, A fr 4- 7г;х, &, т — 1,2,... являются условиями единственности (3.9) из теоремы 3.1 предыдущего параграфа.

В данной диссертационной работе исследованы краевые задачи для пшерболо-эллпптнческих и гиперболических уравнении в прямоугольных и цилиндрических областях.

1. Доказаны теоремы существования и единственности решений двух смешанных задач и задачи Неймана для уравнения Лаврентьева-Бпцадзе в прямоугольной области.

2. Доказана, единственность решения смешанной задачи для уравнения гнперболо-эллиптнческого типа в цилиндрической области.

3. Доказана теорема существования и единственности решения смешанной задачи для уравнения гнперболо-эллиптнческого типа в прямоугольном параллсшшеде.

4. Доказана единственность решения краевых задач для уравнения гиперболического типа в цилиндрической области.

5. Доказаны теоремы существования и единственности решении трех смешанных задач для телеграфного уравнения в прямоугольной области

Похожие диссертации на Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях

Краевые задачи для уравнений смешанного типа в областях с треугольной эллиптической частьюШакиров, Рафис Гильмегаянович

О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей Аубакиров Болат Уатаевич

Краевые задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольной областиГучаева, Зера Хамидбиевна

Исследование краевых задач для уравнений соболевского типа в нецилиндрических областяхВинокур Марина Владимировна

Нелокальные и обратные задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольной областиЮлдашева Гузель Рамилевна

Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа в двусвязной областиКаримов, Шахобиддин Тончиевич

Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной областиРахманова Луиза Хасаняновна

Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной областиСабитова Юлия Камилевна

Задача Дирихле для нагруженных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной областиМелишева, Екатерина Петровна

Исследование краевых задач в областях типа резонатора ГельшгольцаГадыльшин, Рустем Рашитович