Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Интегральный аналог задачи Гурса 17
1. Интегральная задача Гурса в характеристическом прямоугольнике 17
1.1. Постановка задач. Теоремы существования и единственности решений 17
1.2. Доказательство единственности решения вспомогательной задачи 19
1.3. Доказательство существования решения вспомогательной задачи 23
1.4. Вывод условий единственности решения 36
2. Интегральная задача Гурса с условиями, заданными в части области 42
2.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения 42
2.2. Доказательство единственности решения задачи 43
2.3. Доказательство существования решения задачи 47
Глава 2. Смешанная задача для уравнения колебаний струны с интегральными условиями 62
1. Смешанная задача с интегральными условиями второго рода 62
1.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода 62
1.2. Доказательство теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода 63
2. Смешанная задача с интегральными условиями первого рода 67
2.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи 67
2.2. Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи 68
3. Смешанная задача в произвольной прямоугольной области с интегральными условиями первого рода 70
3.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи 70
3.2. Доказательство единственности решения задачи
3.3. Доказательство существования решения задачи 77
4. Смешанная задача с интегральным условием, заданным в части области 78
Заключение 90
Литература 91
- Доказательство единственности решения вспомогательной задачи
- Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения
- Доказательство теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода
- Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи
Введение к работе
Актуальность темы. Современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, ярким примером которых является класс нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Исследование таких задач вызвано как теоретическим интересом, так и практической необходимостью. Это связано с тем, что математическими моделями различных физических, химических, биологических, экологических процессов часто являются задачи, в которых вместо классических краевых условий задаётся определённая связь значений искомой функции (или её производных) на границе области и в её внутренних точках. Например, ещё в 1896 г. В.А. Стекловым было показано, что математическое моделирование процессов охлаждения тел конечных размеров приводит к задаче нахождения решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего нелокальным условиям, представляющим собой линейную комбинацию значений искомого решения и его производных в различных точках границы.
Большой вклад в развитие теории нелокальных задач для дифференциальных уравнений различных классов внесли работы А.А. Дезина, В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, А.К. Гущина, В.И. Жегалова, А.Л. Скубачевского, A.M. Нахушева, И.И. Ионкина, Л.С. Пулькиной, О.А. Репина и других авторов.
Среди нелокальных задач можно выделить класс задач с интегральными условиями. Появление интегральных условий связано с тем, что при изучении некоторых физических процессов границы областей их протекания могут оказаться недоступными для непосредственных измерений, но известно среднее значение искомых величин. Условия такого вида могут появиться при математическом моделировании явлений, связанных с физикой плазмы, распространением тепла, процессом влагопереноса в капиллярно-пористых средах, вопросами демографии и математической биологии. Нелокальные интегральные условия можно считать обобщением дискретных нелокальных условий или условий локального сдвига.
Первыми публикациями, посвященными исследованию задач с интегральными условиями для уравнений с частными производными, можно считать работу Дж. Кэннона "The solution of the heat equation subject to the specification of ener-
gy", опубликованную в 1963 году, и работу Л.И. Камынина "Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями", опубликованную в 1964 году.
Исследования задач с интегральными условиями для параболических уравнений были продолжены в работах Л.А. Муравья и А.В. Филиновского, Н.И. Юрчука, Н.И. Ионкина, А. Бузиани и других авторов. Значительные результаты, относящиеся к нелокальным задачам с интегральными условиями для эллиптических уравнений, получены А.К. Гущиным, В.П. Михайловым, А.Л. Скубачевским. Задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа начали исследовать позже, и вопрос об их постановке и разрешимости в настоящее время менее изучен. Среди них можно выделить два класса задач: задача Гурса в интегральной постановке, в которой нелокальные условия заданы в виде интегралов вдоль характеристик, и смешанные задачи, граничные или начальные условия в которых заменены интегралами от искомого решения.
Исследования показали, что присутствие нелокальных условий вызывает ряд специфических трудностей, которые не позволяют использовать для исследования разрешимости нелокальных задач стандартные методы. Поэтому вопрос разработки методов исследования нелокальных задач является весьма актуальным.
Если нелокальное условие содержит только интегральный оператор, то такие условия принято называть интегральными условиями первого рода. Если же нелокальное условие помимо интегрального оператора содержит значение искомого решения или его производных на границе области исследования, то условия такого вида будем называть интегральными условиями второго рода.
В процессе изучения нелокальных задач выявлена их тесная связь с нагруженными уравнениями. В ряде работ A.M. Нахушева и его учеников рассмотрены примеры сведения задач с нелокальными условиями к нагруженным дифференциальным и интегродифференциальным уравнениям, которые описывают многие физические процессы. Также нелокальные задачи с интегральными условиями связаны с обратными задачами, которые возникают в различных областях человеческой деятельности. Обратные задачи с интегральным условием переопределения для параболических уравнений были исследованы в работах В.Л. Камынина, А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко, Н.И. Иванчова,
А.И. Кожанова.
Таким образом, актуальность темы представленной диссертационной работы обусловлена как теоретической, так и практической значимостью рассматриваемых задач.
Цель работы. Основной целью диссертационной работы является постановка и исследование качественно новых нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольных областях, а также разработка эффективных методов доказательства разрешимости различных видов нелокальных краевых задач.
Методы исследования. В работе используется аппарат теории дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений, методы функционального анализа, аппарат интегральных уравнений, методы априорных оценок.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
Доказано существование единственного классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике.
Доказано существование единственного классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике в случае, когда интегральные условия заданы в части области.
Предложен эффективный метод, с помощью которого доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями второго рода для уравнения колебаний струны при условии, что стороны области связаны соотношением Т<1.
4. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с
нелокальными интегральными условиями первого рода
f ЩХМ)<Ь = *Ы, (і = 1,2)
для уравнения колебаний струны при условии, что стороны области связаны соотношением Т < I.
5. Разработан метод, применяя который удалось снять
ограничения на область и доказать однозначную разрешимость
смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями первого рода
о для уравнения колебаний струны.
6. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с интегральным условием, заданным в части области.
Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач с нелокальными интегральными условиями.
Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научных семинарах и конференциях:
СамДиф-2007: конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". 29 января — 2 февраля 2007 г. Самарский государственный университет, г. Самара.
"Математическое моделирование и краевые задачи". Четвёртая Всероссийская научная конференция с международным участием. 29 — 31 мая 2007 г. Самарский государственный технический университет, г. Самара.
"Интегративный характер современного математического
образования". Всероссийская научно-практическая конференция.
24 — 27 сентября 2007 г. Самарский государственный педагогический
университет, г. Самара.
"Лобачевские чтения - 2007". Шестая молодёжная научная школа-конференция. 16 — 19 декабря 2007 г., Казанский государственный университет, г. Казань.
"Герценовские чтения - 2008". Научная конференция. 14 — 19 апреля 2008 г., Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, г. Санкт-Петербург.
"Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Международная научная конференция. 24 — 28 июня 2008 г., г. Стерлитамак.
"Лобачевские чтения - 2008". Седьмая молодёжная научная школа-конференция. 1—3 декабря 2008 г., Казанский государственный университет, г. Казань.
"Герценовские чтения - 2009". Научная конференция. 13 — 18 апреля 2009 г., Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, г. Санкт-Петербург.
СамДиф-2009: конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". 29 июня — 2 июля 2009 г., Самарский государственный университет, г. Самара.
"Интегративный характер современного математического
образования". Вторая всероссийская научно-практическая
конференция. 26 — 28 октября 2009 г. Поволжская государственная
социально-гуманитарная академия, г. Самара.
"Лобачевские чтения - 2009". Восьмая молодёжная
научная школа-конференция. 1 — 6 ноября 2009 г., Казанский
государственный университет, г. Казань.
Научный семинар кафедры дифференциальных уравнений
Казанского государственного университета (научный руководитель
- д.ф.-м.н., профессор В.И. Жегалов), 21 октября 2009 г., г. Казань.
Публикации. Автором опубликовано тринадцать работ по теме диссертации, в том числе две работы из перечня ВАК ([8], [13]), которые отражают её основные результаты. Список публикаций приведён в конце автореферата. Работы [6] и [8] выполнены в соавторстве с научным руководителем Л.С. Пулькиной, и полученные в них результаты принадлежат авторам в равной мере.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 95 наименований, включая работы автора. Объём диссертации составляет 101 страницу машинописного текста.
Доказательство единственности решения вспомогательной задачи
В работе [7] рассматривается нелокальная задача для уравнения колебания струны с классическими начальными условиями и интегральными нелокальными граничными условиями подвижные точки струны [0,1], /?, -ф, р, g, /, g — данные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования, и(х, і) — искомая функция, дважды непрерывно дифференцируемая на [0,1) х [0, Т]. Доказана теорема существования единственного решения поставленной задачи. В этой же работе доказаны существование и единственность решения интегральной нелокальной задачи для телеграфного уравнения с однородными начальными условиями и нелокальными граничными условиями.
Отметим, что в работе [7] нелокальные условия являются условиями второго рода, и интегралы, присутствующие в нелокальных условиях, суть интегралы с переменными пределами, что при реализации метода вспомогательных задач приводит к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода.
В диссертационной работе рассматриваются условия, содержащие интегралы с постоянными пределами, что существенно влияет на выбор метода доказательства как единственности, так и существования решения. Также в работе рассматриваются задачи с интегральными условиями первого рода, и с условиями, заданными в части области. Нелокальные задачи с интегральными условиями для вырождающихся гиперболических уравнений исследовались Л.С. Пулькиной и её учениками [61], [5], [15]. В последнее время появились работы, в которых изучаются нелокальные задачи с интегральными условиями для дифференциальных уравнений в частных производных с п пространственными переменными — статьи А.И. Кожанова, Л.С. Пулькиной [46], [67], С.А. Бейлина [88], В.Б. Дмитриева [14], S. Mesloub и A. Bouziani [95]. Исследования нелокальных задач показали их тесную связь с нагруженными уравнениями [53] - [55] и обратными задачами [27], [28], [58] - [60], [45], [19], [68]. Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений более высоких порядков рассмотрены в работах [13], [31], [92], [94]. Актуальность темы данной диссертационной работы обусловлена как теоретической, так и практической значимостью рассматриваемых задач. Представленная диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа и детализации метода вспомогательных задач в различных частных случаях. Объектом исследования в данной работе являются нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений с условиями, содержащими интегральный оператор от искомого решения. Цель работы. Основной целью диссертационной работы является постановка и исследование качественно новых нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольных областях, а также разработка эффективных методов доказательства разрешимости различных видов нелокальных краевых задач. Методы исследования. В работе используется аппарат теории дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений, методы функционального анализа, аппарат интегральных уравнений, методы априорных оценок. Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту: 1. доказано существование единственного классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике; 2. доказано существование единственного классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике в случае, когда интегральные условия заданы в части области; 3. предложен эффективный метод, с помощью которого доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями второго рода для уравнения колебаний струны при условии, что стороны области связаны соотношением Т 1] 4. доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями первого рода для уравнения колебаний струны при условии, что стороны области связаны соотношением Т I; 5. разработан метод, применяя который удалось снять ограничения на область и доказать однозначную разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями первого рода для уравнения колебаний струны; 6. доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с интегральным условием, заданным в части области. Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач с нелокальными интегральными условиями. Структура и объём диссертации- Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 95 наименований, включая работы автора. Объём диссертации составляет 101 страницу.
Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения
В этом параграфе рассматривается вопрос о существовании единственного решения задачи для уравнения колебаний струны с начальными данными Коти и нелокальными условиями второго рода. Доказательство однозначной разрешимости проводится методом вспомогательных задач
Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода В прямоугольной области Q, — {(ж, і) : 0 х I, 0 t Т} исследуем задачу: Задача 4. Найти решение уравнения ии - ихт = 0, (2.1) удовлетворяющее начальным условиям и(х, 0) = 0, щ(х,0) = 0 (2.2) и нелокальным условиям і u(0,t)- J Ki(x,t)u(x,t)dx = si(t), (2.3) о і u(l, t) I K2{x, t)u(x, t)dx = s2{t), (2.4) где функции КІ(Х, і) заданы в области U, a Si(t) — в [О, Г], (і = 1, 2). Под классическим решением задачи 4 будем понимать функцию u(x,t) C(U) П C2(Q), удовлетворяющую в 1 уравнению (2.1) и условиям (2.2) — (2.4). Сначала рассмотрим случай Т I. Теорема 5. Если Ki(x,t) Є С2(П), Si(t) С2[0,Т],(г = 1,2), то существует единственное решение задачи (2.1)-(2.4) в О, при Т I. 1.2. Доказательство теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода Для доказательства этого утверждения рассмотрим вспомогательную задачу. Задача 5. Найти решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальным условиям (2.2) и граничным условиям ti(0,t) = A i( ), и{1Л) = ii2{t), (2.5) где in(t),iJv(t) Є ЖІ[0,!Ґ) [22] (fn(t),fi2(t) Є C2[0,T] и, кроме того, удовлетворяют условиям: //ДО) = 0, /4(0) = 0, щ(Ь) = 0 при t 0). Единственное решение задачи 5 имеет вид u(x,t) = n\{t — х) + fl2{t + х — I). (2.6) Покажем это. Подставляя найденные частные производные utt(x, t) = fi"(t - х) + /4 (t + x-l), ихх{х, t) — fi"(t -x) + /4 ( + x - 0 в уравнение (2.1), получим, что utt(x,t) — UxX(x,t) = 0. Найдём значения функции u(x,t) и её частной производной по t при t= 0 и(х, 0) = ці(-х) + іь(х - I), щ(х, 0) = fi[(-x) + /4(ж - О Так как функщш / () Є Ж2[0,Т], то есть обращаются в ноль при неположительном аргументе, то и{х10) = 0, щ(х, 0) = 0. Полагая в (2.6) х = 0 и х = I и учитывая свойства функций fii(t): получим u(0, t) = /л(і) + fi2(t -1)= m(t), и{1, t) = /nit - I) + / 2() = AfcM Функция и(х, t), определяемая выражением (2.6), удовлетворяет уравнению (2.1), начальным условиям (2.2) и граничным условиям (2.5). Единственность решения задачи 5 доказана в [22]. Найдём функции li\{t) и /іг(0 такие, чтобы выполнялись интегральные условия (2.3) и (2.4). Для этого подставим выражение (2.6) для функции u{x,t) в (2.3) и (2.4): fn(t) - J Кх(х, t) \m(t - х) + fjt2(t + Х-1)} dx = Sl(t), (2.7) о I fi2(t) lK2(x,t)[ji1{t-x) + it2(t + x-l)]dx = S2(t). (2.8) Преобразуем интегралы в формулах (2.7) и (2.8). Полагая f = t—x, получим: О о t = J Ki(t - , MR + У ;( -& М0 6 «-1,2. /,-Z о В силу свойств функции /ІІ() первое слагаемое в правой части равенства обратится в ноль. Полагая = + х — /, будем иметь: і / -ftTi(.T, t)fi2(t + rr — /) &г = о о і = У л;« - + , МО Є + J Ki{t + i, Ы0 & І = і, 2. t-г о Аналогично, в силу свойств функции /хг( ) первый интеграл в сумме обращается в ноль. Получаем систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода in(t) - J Ki(t - ЫШ№ о / - Ki( + l, Ы0 = (t), (г = 1,2) (2.9) ядра и правые части которых непрерывны и ограничены в О [83], поэтому, в силу условий теоремы 5, она однозначно разрешима [49]. Из разрешимости системы (2.9) следует и разрешимость поставленной задачи 4. Заметим, что для Г 21 (п -Ь 1) также существует единственное решение задачи 4. Решение вспомогательной задачи в этом случае имеет представление [21]: п и п+1 (х, ) = 53 A i( - 2&Z) - 53 М + ж - 2Л0+ &=0 &=1 п п+1 + 53 А 2( + ж - 2М - /) - 53 М2( - ж - 2fc/ -Н). fc=o ь=і Проводя аналогичные рассуждения приходим к системе интегральных уравнений относительно Hi{t) и [/ (Ь), которая имеет более громоздкий вид. При наложении ряда условий на функции Ki(x, t) получаем систему (2.9).
Доказательство теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода
Вернёмся к решению задачи 8. Формула (2.48) содержит неизвестную функцию //(/,). Функция й(ж, t), определяемая соотношением (2.34), содержит как и(х, t), так и //(). Так как известно значение интеграла от функции u(x, t) по [0, а], то, найдя значение интеграла от функции й(х, t), определяемой соотношением (2.34), и от й(х, t) — решения задачи 9 в виде (2.48), и,приравняв их, получим уравнение для определения неизвестной функции jJb{t) . Проинтегрируем на [0, а] функцию й(х, t), заданную выражением (2.48): / о 21 тгк lwcosTx " со п Ь=1 й(х, t)dx = тгк [ ... . COS-— t J if (x) тгк 1 cos -j-xdx+ тгк f + Sin-yt / ф {х) . тгк , sm ——xdx+ t і + // Ш, r) sin sin {t - r)didr о dx = 7Tfc , cos —r-xdx+ L WsmTa k=l 2l2 тгк COS -/i W-b -r) /тгк ф (х) sin — xdx-\ тгк + sin —t o L t і Я 7Г/Г 7Гл ДК, r) sin —Є sin — (t - T)dfA о 0 t / I IT ІС SM-W-bT(«-r)A //// ч /чг 1 Т тгА; 7гА; \ , V (ж) I -r - cos -г-ж cos -r sin r-a cte+ L0 \hki l її) ш ) -rr sm —a: sin -r-i sin -г-а аж+ n » і її 2/! d / oo \ Я / . .і. І 7Гл 1ГІС 7ГК \ Mf r) I zJ &з sin f sin ( T)sin a I r I f ,,, л / v v 1 . irk , . . 7Г& \ , W (r) ( iL F smT( ""T)smTaJ Исследуем на сходимость каждый из рядов, стоящих под знаком интеграла. Е 1 тгк тгк . 7г/г тт cos —-ж cos —-г sin —r-ot. — к3 I II Jb=l E l 1 / . 7Г& 7rfc. . 7rfc 7г/:, Л - — ( sm —о;cos —r\x — t) + sm —acos -y-(x + t) 1 = ifc=i E l 1 / . тгк. . 7ГА;, ч 4"F(smT(Q"x + f) + smT(a + I i)+ /С—1 . тг&. . . тгк, \ + sm —(a — re — t) + sm — (a + x + r) 1 . Этот ряд является равномерно, а следовательно, и абсолютно сходящимся в П, так как представляет собой произведение постоянной и суммы равномерно (абсолютно) сходящихся рядов в ft. Покажем это. Ряд sin?f(a-x + t) k=i к3 сходится равномерно, и, как, следствие, абсолютно в О, так как он оо мажорируется сходящимся числовым рядом Yl F Аналогично доказывается равномерная (абсолютная) сходимость рядов sinfja + x) smf(a-x) sinfja + x + t) fc3 Z 3 LJ 3 2 fc=l fc=l Jt=l Так как ряды сходятся равномерно и абсолютно в SI, то их сумма является рядом, сходящимся равномерно и абсолютно в ft. Обозначим сумму этого ряда Л(ж, t). Из теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда следует, что А(х, t) — непрерывная функция в О [83]. Абсолютная, и как следствие, равномерная сходимость рядов ттк ттк -Sill—ZSl к к= I I sm ——t sin —а, fc=l E l . ттк . ттк. . . ттк — sm — Є sm — (t - T) sm —a, ттк sin—a L fc=l E l . ттк доказывается аналогично. Так как ряды равномерно сходятся в S7, то их суммы являются непрерывными в области Q функциями [83]. Обозначим суммы этих рядов соответственно В(х, i), )(, і, г), K(t: т). Получим, что а й(х, t)dx = 2f 7TV I (p"(x)A(x, t)dx + I ф (х)В{х, t)dx+ о Lo t l + J J ДК, г) Л (С, t, r)ddT - l- J »"(T)K{t, T)dT о (2.49) Интеграл от й(х, t) из равенства (2.34) равен а а I й(ж, t)dx = E(t) -Ь / - -fi{t)dx = (х - If = E(t) + (a3-3a2l + 3al2). В силу условия (2.31), соотношений (2.34) и (2.49) 2/2 7Г / р"(х)А(х, t)dx + / tf(x)B{x,t)dx+ .о о + t і J J Л«, r)I K, , т) ф г - I n"(r)K(t, r)di о Обозначим = я( ) + 4(а3--з А + зы2). 6/ 2/2 7Г / p"(x)A(x,t)dx+ Lo r + J ф (х)В{х, t)dx + J J frit, r)D(, , т) ф 0 0 0 Функция G(t) — непрерывная функция в Q [83]. Получим уравнение относительно ц(і): = G(t). г Jfx"(T)K(t, r)dr = G(t) + (a2 - ЗЫ + 3Z2M ). (2.50) о Заметим, что a2 — ЗЫ + 312 ф 0. Проинтегрируем по частям выражение, стоящее в левой части равенства (2.50): t t f ti"(T)K(t, r)dr = K(t, t)/jf(t) - K(t, 0)//(0) - J fi {r)KT{t, r)dr. о 0 K(t, t)fi (t) - K{t, 0)//(0) = 0, так как K(t, t) = 0, и //(0) = 0. При повторном интегрировании по частям получим t t - Jц (т)Кт(і,т)(Іт = -KT(t,t)n(t) + I fi(r)KTT{t:T)dn Тогда t I\i"{r)K{t,T)dr = -KT(t,t)fA(t) + I ц(т)Кгг(і,т)(іп Учитывая, что KAt, T) = 2 Ш sm Ta cos p r) Ik I fc=i найдем значение KT(t,r) при t — r: oo fc=l Так как 0 a 21, то [9]: 7г4а(212 - ЗЫ + а2) Получим интегральное уравнение относительно fi(t): п t 12/2 Г 6 fi(t) - — / »(r)KTT(t, r)dr = ---G(t\ (2.51) 7г а J осі о Ядро этого уравнения oo Krr(t, Г) = 2 - 272 S111 "ГС - T) Sm YQ и правая часть — непрерывные функции [83]. Следовательно, существует единственная непрерывная функция ц(), являющаяся решением этого интегрального уравнения [49]. Задача (2.28)-(2.31) однозначно разрешима.
Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи
В конце двадцатого века появились работы, посвященные разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений. Среди них можно выделить два класса задач: интегральный аналог задачи Гурса и смешанные задачи с интегральными условиями. При постановке интегральной задачи Гурса задаются значения интегралов от искомого решения вдоль характеристик уравнения.
Задачи в характеристическом прямоугольнике рассматривались в работах [57], [62. Интегральные условия имели следующий вид: Исследования разрешимости такой задачи для уравнения привели к условиям единственности решения задачи [62]: последнее из которых является существенным ограничением на класс уравнений, для которых решение интегрального аналога задачи Гурса существует и единственно. Если А(х, у) — В(х,у) = 0, то видим, что теорема единственности не выполняется для телеграфного уравнения. Это подтверждается примером, приведённым в работе Л.С. Пулькиной [62], где изучена задача для гиперболического уравнения в прямоугольнике D = {(х, у) : 0 х а, 0 у Ь} со следующими интегральными условиями: Доказаны теоремы существования и единственности обобщённого решения задачи из пространства L В данной диссертационной работе вместо условий рассмотрены условия: а / К(х, у)и(х. y)dy — (ж), 0 х а, о и показано, что выбором функций К(х,у) можно обеспечить однозначную разрешимость интегрального аналога задачи Гурса и для тех случаев, когда условие Ау(х,у)Вх(х,у) — С2(гс,у) 0 не выполняется. Следующая проблема состоит в нахождении условий на входные данные в случае, когда нелокальные условия заданы только в части области, где ищется решение задачи. Задача с интегральными условиями, заданными в части области была рассмотрена З.А. Нахушевой в работе [57]. Для простейшего гиперболического уравнения в прямоугольной области D — {(х, у) : 0 х а, 0 у Ь} была рассмотрена задача Гурса с интегральными условиями a ft / и(х, y)dx = ф{у), 0 у 6, / и(х7 y)dy = р(х), 0 х а, о о где р(х) и 1р(у) — заданные непрерывные функции, а, (3 — заданные числа, причём 0 о; а,0 /? Ьи получена формула единственного решения. Обоснование разрешимости задачи в [57] опирается на возможность найти общее решение уравнения. В предлагаемой диссертационной работе рассматривается задача с неполными данными для уравнения Ьи = иху + (А(х, у)и)х + (В(х, у)и)у + С(х, у)и = f(x, у), с произвольными гладкими коэффициентами. Исследование смешанных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа проводится в работах А.И. Кожанова [46], Л.С. Пулькиной [63]-[65], [70], Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили [7], A. Bouziani [90], [91], С.А. Бейлина [3], [87], [88] и других авторов [26], [86]. В работе [7] рассматривается нелокальная задача для уравнения колебания струны = Й о /,о «г, с классическими начальными условиями и(х, 0) — р(х), щ(х, 0) = 1р(х), 0 х I, и интегральными нелокальными граничными условиями гДе i(t) 2(i), Vi(t) 772( ) — подвижные точки струны [0,1], /?, -ф, р, g, /, g — данные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования, и(х, і) — искомая функция, дважды непрерывно дифференцируемая на [0,1) х [0, Т]. Доказана теорема существования единственного решения поставленной задачи. В этой же работе доказаны существование и единственность решения интегральной нелокальной задачи для телеграфного уравнения с однородными начальными условиями и нелокальными граничными условиями. Отметим, что в работе [7] нелокальные условия являются условиями второго рода, и интегралы, присутствующие в нелокальных условиях, суть интегралы с переменными пределами, что при реализации метода вспомогательных задач приводит к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода. В диссертационной работе рассматриваются условия, содержащие интегралы с постоянными пределами, что существенно влияет на выбор метода доказательства как единственности, так и существования решения. Также в работе рассматриваются задачи с интегральными условиями первого рода, и с условиями, заданными в части области.
