Краевые задачи для уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами Колыбасова, Валентина Викторовна

Содержание к диссертации

Введение

1 Смешанная задача для уравнения Гельмгольца в двумерной области с разрезами с условием Дирихле на разрезах 28

1.1 Постановка задачи 28

1.2 Интегральные уравнения на границе 31

1.3 Интегральное уравнение Фредгольма и решение задачи 37

1.4 Обоснование дифференцирования под знаком интеграла в (13а) 42

2 Задача Дирихле—Неймана для уравнения Гельмгольца в двумерной области с разрезами с условием Неймана на разрезах 46

2.1 Постановка задачи 46

2.2 Интегральные уравнения на границе 50

2.3 Интегральное уравнение Фредгольма и решение задачи . 55

2.4 Анализ уравнения (20) 59

2.5 Свойства гладкости потенциала двойного слоя 62

2.6 Гладкость прямого значения потенциала двойного слоя . 69

3 Обобщение задачи Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости 73

3.1 Постановка задачи 73

3.2 Сведение задачи к сингулярному уравнению 78

3.3 Регуляризация сингулярного интегрального уравнения. Теорема существования 82

4 Уравнение Гельмгольца вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия третьего рода на разных сторонах разрезов 88

4.1 Постановка задачи 88

4.2 Сведение задачи к интегральным уравнениям 92

4.3 Существование решения 103

Приложение 106

1 Асимптотика потенциалов на бесконечности 106

2 Асимптотика на бесконечности решений уравнения ГельмгольцаЮб

Заключение 109

Литература

• Интегральные уравнения на границе
• Интегральные уравнения на границе
• Сведение задачи к сингулярному уравнению
• Сведение задачи к интегральным уравнениям

Введение к работе

Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач в плоских областях с разрезами для уравнения Гельмгольца. Краевые задачи в плоских областях, содержащих разомкнутые кривые (разрезы), имеют много приложений в физике и механике, так как разрезы моделируют трещины в твёрдых телах, крылья и экраны в жидкостях и газах, электроды в полупроводниках и т. д.

В последнее время, в связи с бурным развитием математического моделирования, в теории краевых задач появилось большое количество новых результатов. В частности, значительный прогресс достигнут в строгом исследовании краевых задач вне криволинейных разрезов и их систем. Метод граничных интегральных уравнений, основанный на методе потенциалов, является одним из наиболее конструктивных при решении краевых задач в областях с разрезами, так как позволяет получить интегральное представление для решения. Этот метод находит широкое применение в доказательстве однозначной разрешимости краевых задач, а также служит теоретической основой разработки алгоритмов их численного решения. Особенно эффективным этот метод оказывается в случае внешних краевых задач для неограниченных областей, позволяя перейти от исходной двумерной задачи к одномерному интегральному уравнению.

Перейдём к краткому обзору работ, посвященных исследованию краевых задач для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости и вне незамкнутых поверхностей в пространстве.

Задача Дирихле для разреза в виде прямолинейного "уголка" численно решена в [1, 2].

Численное решение ряда задач дифракции в канонических областях было получено В. П. Шестопаловым и его коллегами методом задачи Римана-Гильберта. Метод задачи Римана-Гильберта позволяет сводить краевые задачи дифракции в канонических областях, содержащих прямолинейные разрезы либо разрезы вдоль дуг окружностей, к таким бесконечномерным алгебраическим системам, которые легко решаются численно. При этом решение краевой задачи разыскивается в виде ряда, содержащего неизвестные коэффициенты Фурье и учитывающего геометрию области. После подстановки ряда в граничное условие получается система уравнений относительно неизвестных коэффициентов. В этой системе выделяется старший оператор, который допускает обращение в явном виде с помощью точного решения задачи Римана-Гильберта для аналитических функций в соответствующей канонической области. После обращения старшего оператора исходная система уравнений относительно коэффициентов Фурье сводится к бесконечномерной алгебраической системе, которая легко решается численно, так как имеет старшие коэффициенты на главной диагонали. Задача Дирихле для плоской волны, нормально падающей на ленточную решётку (бесконечная периодическая система прямолинейных разрезов, лежащих на одной прямой), численно решена в [3]. Задача Дирихле для двойной ленточной решётки численно решена в [4]. В [5] численно решаются задачи Дирихле и Неймана дифракции плоских волн на ленточных решётках, в том числе многоэлементных и многослойных. Существование и единственность решения задачи Дирихле дифракции плоской волны на ленточной и ножевой (бесконечная периодическая система параллельных прямолинейных разрезов) решётках доказаны в [6]-[8]. Для задачи Неймана на ножевой решётке в среде с поглощением это доказано в [9, 10]. В [11] численно решена задача Неймана для конечной системы прямолинейных разрезов, лежащих на прямой. Существование и единственность решения этой задачи для случая падения плоской волны доказаны в [12]. В [5] численно решены задачи Дирихле и Неймана дифракции плоской волны на дуге окружности. В [13] численно решены задачи Дирихле и Неймана дифракции плоской волны на окружности с двумя щелями. В [14] доказаны существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для дуги окружности, задачи дифракции плоской волны (условия Дирихле или Неймана) на двух дугах разных окружностей. В [15] доказаны существование и единственность решения задачи дифракции плоской волны на решётке из дуг окружностей (задача Неймана), а в [14] — то же для задачи Дирихле (падение плоской или цилиндрической волны). В [14], [16]—[19] доказаны существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для конечного числа дуг окружностей, расположенных произвольно. Задача Дирихле дифракции плоской волны, а также задача Неймана дифракции сферической волны на сфере с круговым отверстием численно решены в [14]. Существование решения осесимметрической задачи Дирихле для бесконечно тонкого сферического сегмента с концентрическим шаровым включением доказано в [14]. Там же численно решены осесимметричные задачи Дирихле и Неймана для двух сфер с круговыми отверстиями и задача Неймана для бочкообразного сферического экрана. Численное решение задачи Неймана рассеяния плоской волны на системе из диска и сферы с круговым отверстием получено в [17].

Л. Н. Литвиненко и его коллеги свели задачи Дирихле и Неймана для прямолинейного экрана к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с помощью полуобращения в [20]. Уравнение решается численно. Задачи Неймана для ленточной и ножевой решёток, а также для ограниченной ножевой решётки численно решены с помощью обращения статической части оператора рассеяния (соответствующей случаю к = 0 в уравнении Гельмгольца Аи + к и = 0, то есть уравнению Лапласа) в [20, 21]. Задача дифракции плоской волны и гауссова пучка на двойной ленточной решётке (условие Дирихле или Неймана) решается численно с помощью операторных рядов, учитывающих многократное отражение от одной решётки. Аналогично решается задача Неймана для двух прямолинейных экранов, расположенных параллельно.

Существенный вклад в исследование задач рассеяния волн на экране произвольной формы вносят работы, связанные с использованием метода саморегуляризации для численного решения интегральных уравнений, выполненные Е. В. Захаровым и его коллегами. В [22, 23] доказано существование решения двумерной задачи Дирихле для гладкого разреза произвольной формы. Она численно решена методом саморегуляризации в [24, 25]. Задача Неймана для прямолинейного разреза на плоскости сведена к интегральному уравнению первого рода с логарифмической особенностью в ядре, которое также предлагается решать методом саморегуляризации. Для разреза, совпадающего с частью сечения координатной поверхности, двумерная задача Неймана сводится к интегральному уравнению первого рода с логарифмической особенностью в ядре, если известны два линейно независимых решения некоторого однородного обыкновенного дифференциального уравнения [26]-[29]. Алгоритм применён к разрезу в форме дуги окружности в [30]. Кроме того, если частично обратить дифференциальный оператор в ОДУ, то задача Неймана сводится к системе двух интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью в ядре. Подобная система получена другим способом в [31, 32]. Уравнение первого рода с логарифмической особенностью в ядре получено и методом интегрирования граничных условий в [26], а также в [33]. В [34, 35] двумерная задача Неймана для разреза, совпадающего с частью сечения координатной поверхности, сведена к интегро-дифференциальному уравнению. Оно решено численно для разреза в форме дуги окружности в [36]. Для разреза произвольной формы задача Неймана сведена к системе интегродифференциальных уравнений, одно из которых содержит сингулярный интегральный оператор. Система решается численно. Разрешимость интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью в ядре изучена в [37]. Разрешимость интегродифференциально-го уравнения задачи Неймана для произвольного разреза доказана в [23], если соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение. Там же сведена к интегральному уравнению первого рода с логарифмической особенностью в ядре осесимметричная трёхмерная задача Дирихле. В [38] доказано существование решения задачи Неймана для разреза произвольной формы на плоскости.

Несколько иной подход к численному решению интегральных уравнений двумерных задач дифракции волн на криволинейных экранах предложен 3. Т. Назарчуком и его коллегами. В [39, 40] задача Дирихле для конечного числа произвольных ляпуновских разрезов на плоскости сведена к сингулярным интегральным уравнениям, а задача Неймана — к интегродифференци-альным уравнениям с сингулярными интегральными операторами. Разрешимость уравнений не изучалась. Отдельно рассмотрены случаи циклического и периодического расположения экранов. Эти уравнения решаются численно в [41]. В [40] двумерная задача Дирихле для конечного числа ляпуновских экранов, которые могут пересекаться и касаться, сведена к системе интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью в ядре, а задача Неймана сведена к системе гиперсингулярных уравнений с дополнительными условиями. Даны алгоритмы их численного решения. Также рассмотрены более сложные двусторонние граничные условия.

Обоснование сходимости алгоритмов численного решения одномерных и двумерных сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений дано И. К. Лифановым в [42] методом дискретных вихрей. В [42] рассматриваются сингулярные, гиперсингулярные и интегродифференциальные уравнения, возникающие при решении задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельм-гольца вне криволинейных разрезов на плоскости и вне разомкнутых поверхностей в пространстве. Обсуждаются численные методы решения этих задач. Кроме того, в [42] задачи Дирихле и Неймана для нормального падения плоской волны на многоэлементную ленточную решётку сведены к сингулярным, гиперсингулярным и интегродифференциальным уравнениям, которые решаются численно.

Задачи Дирихле и Неймана для прямолинейного разреза решаются явно методом разделения переменных в эллиптических координатах в [1], [43]-[46], другим способом — в [47].

Задача дифракции плоской волны, нормально падающей на ленточную решётку с половинным заполнением (условие Дирихле или Неймана), решена явно методом задачи Римана-Гильберта в [9], а методом факторизации — в [48, 49]. Задача Неймана также решена в [50]. В случае наклонного падения волны задача Дирихле решена явно методом Винера-Хопфа-Фока (факторизации) в [16]. В [51, 52] решены задачи Дирихле и Неймана для этого случая.

Задача с заданными на разрезе или незамкнутой поверхности произвольной формы скачками неизвестной функции и её нормальной производной (задача о скачке) решается явно с помощью третьей формулы Грина в [53]. Там же задача Неймана для произвольного разреза сведена к парным интегральным уравнениям для преобразования Фурье плотности потенциала двойного слоя, описаны вариационные методы численного решения краевых задач.

Точное решение задач Дирихле и Неймана дифракции плоской и цилиндрической волн на диске получено в виде ряда по сфероидальным функциям в [53, 44].

Задача Дирихле дифракции плоской волны на двух соосных дисках численно решена Е. А. Ивановым в [46].

Я. Н. Фельд и И. В. Сухаревский в [54] свели задачи Дирихле, Неймана и задачу с граничным условием третьего рода для произвольной незамкнутой поверхности к интегральным уравнениям второго рода. Однако разрешимость уравнений не изучалась. В [55] это сделано в двумерном случае. Разрешимость уравнений также не исследовалась. В [56] решение задач Дирихле и Неймана для незамкнутой поверхности получено в виде сходящегося ряда по системе вспомогательных функций, определяемых формой поверхности.

P. Wolfe исследовал разрешимость задачи Дирихле для уравнения Гельм-гольца на плоскости вне нескольких разомкнутых дуг произвольной формы [57]. Эта задача в [57] была сведена к интегральному уравнению первого рода с логарифмическим ядром. С помощью дифференцирования это уравнение было сведено к сингулярному интегральному уравнению первого рода. Выписав сингулярное интегральное уравнение, P. Wolfe изучил его свойства и доказал разрешимость исходной задачи. При этом P. Wolfe не сводил задачу к однозначно разрешимому уравнению Фредгольма второго рода, то есть не проводил регуляризацию сингулярного уравнения первого рода.

Ю.А. Тучкин в [58] свёл задачу Неймана вне произвольной гладкой дуги на плоскости к операторному уравнению Фредгольма второго рода путём дополнения дуги до замкнутой кривой и регуляризации бесконечной алгебраической системы для коэффициентов Фурье плотности потенциала двойного слоя. Для задачи Дирихле вне нескольких разомкнутых кривых на плоскости это сделано в [59] с помощью потенциала простого слоя.

М. Durand [60] искал решение двумерной задачи Неймана вне одного разреза произвольной формы для уравнения Гельмгольца в виде потенциала двойного слоя. М. Durand свёл задачу к гиперсингулярному интегральному уравнению первого рода и доказал разрешимость этого уравнения.

K.-D. Ih и D.-J. Lee в [61] решали численно краевую задачу для уравнения Гельмгольца с граничным условием третьего рода вне разреза на плоскости.

С. А. Назаров и Б. А. Пламеневский в [62] доказали абстрактные теоремы существования и единственности обобщённого решения эллиптических краевых задач в областях с границей, содержащей конические точки и рёбра, но разрезы там не рассматриваются. В. Г. Мазья и его коллеги в [63] рассмотрели внутреннюю область, содержащую прямолинейный экран конечной толщины, и получили асимптотики решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона при стремлении толщины к нулю.

Задачи с разрезами в многомерных Соболевских пространствах рассматриваются B.-W. Schulze в [64].

В работах П. А. Крутицкого существование и единственность решения краевых задач в областях с разрезами доказываются путём сведения задачи к уравнению Фредгольма второго рода. Задача с косой производной для одного разреза произвольной формы рассмотрена в [65], для нескольких разрезов — в [66]. Задача Дирихле для нескольких двусторонних разрезов (разные граничные условия на разных сторонах разрезов) исследована в [67], задача Неймана — в [68]. Задача о скачке изучалась в [69], обобщение задачи о скачке — в [70].

Разрешимость смешанных задач в областях с разрезами начала изучаться только недавно, поскольку, если пользоваться теорией потенциалов, то на разных участках границы получаются интегральные уравнения с разными типами особенностей в ядре. Изучение таких систем представляет собой сложную задачу.

Существование и единственность решения смешанной задачи для системы разрезов произвольной формы, когда на части разрезов задано условие Дирихле, а на другой части — условие Неймана, доказаны П. А. Крутицким для односторонних разрезов в [71], для двусторонних разрезов — в [72]. Аналогичным методом в [73, 74] для двусторонних разрезов исследована смешанная задача, когда на одной стороне разрезов задано условие Дирихле, а на другой — условие Неймана или условие с косой производной. Кроме того, в [75] изучена обобщённая задача о скачке вне разрезов на плоскости.

Разрешимость краевых задачи в областях, ограниченных замкнутыми кривыми и содержащих разрезы, также не изучалась до недавнего времени. Это связано с тем, что с помощью теории потенциалов на замкнутых кривых обычно получаются интегральные уравнения второго рода, а на разрезах — первого рода. Это усложняет анализ системы.

И. К. Лифанов и его коллеги в [76] изучали двумерную задачу Неймана для уравнения Лапласа во внепіней области, ограниченной замкнутыми и разомкнутыми кривыми, с помощью гиперсингулярных интегральных уравнений. Доказана теорема существования и единственности обобщённого решения. Аналогично исследована трёхмерная задача Неймана для уравнения Лапласа во внешней области, ограниченной замкнутыми и разомкнутыми поверхностями.

Существование и единственность решений двумерных задач Дирихле и Неймана для диссипативного уравнения Гельмгольца в области, ограниченной замкнутыми и разомкнутыми кривыми, доказаны в работах П. А. Крутицкого [77, 78].

В настоящей работе изучаются задачи для уравнения Гельмгольца в плоских областях с двусторонними разрезами. В первых двух главах рассматриваются смешанные задачи в областях, ограниченных замкнутыми кривыми и содержащих разрезы, области могут быть как внутренними, так и внешними. В гл. 1 на разрезах задаётся условие Дирихле, а на замкнутых кривых — условие Неймана, в гл. 2 — наоборот. В гл. 3 и 4 рассматриваются задачи вне разрезов на плоскости. В гл. 3 изучено обобщение задачи Неймана, в гл.4 — смешанная задача, когда на одной стороне разрезов задано условие Дирихле, а на другой — условие третьего рода. Для всех задач получены интегральные представления в виде суммы потенциалов, один из которых является неклассическим угловым потенциалом. Угловой потенциал для уравнения Лапласа впервые был введён С. А. Габовым в [79]. В [80] он был введён и изучен для уравнения Гельмгольца в случае замкнутых и разомкнутых кривых, но к решению краевых задач с разрезами для уравнения Гельмгольца он не применялся. В случае уравнения Гельмгольца с постоянным коэффициентом угловой потенциал подробно изучен в [67] и применён к решению задач Дирихле и Неймана вне разрезов на плоскости в [67, 68]. Угловой потенциал представляет собой проинтегрированный по частям потенциал двойного слоя. Главное достоинство углового потенциала заключается в том, что на кривой он имеет особенность в ядре того же порядка, что и потенциал простого слоя, в то время как потенциал двойного слоя имеет более сильную особенность. При переходе через кривую угловой потенциал имеет скачок, как и потенциал двойного слоя. Использование углового потенциала в настоящей диссертации позволяет решать задачи со сложными граничными условиями и сводить их к сингулярным интегральным уравнениям с дополнительными условиями. Путём регуляризации сингулярных уравнений удаётся получить операторное уравнение Фредгольма второго рода в подходящем банаховом пространстве. Для этого уравнения доказывается однозначная разрешимость, откуда вытекает разрешимость исходной краевой задачи, а также получается интегральное представление для её решения. В случае других краевых задач для уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами этот метод развит в [65]-[75], [77, 78].

В диссертации представлены результаты исследования краевых задач в плоских областях с разрезами для уравнения Гельмгольца. Скалярные двумерные задачи возникают при исследовании физических явлений, в которых протяжённость препятствия вдоль одного направления не сказывается на исследуемых характеристиках поля, поэтому её можно считать бесконечной. Сделаем краткий обзор физических задач, изучение которых приводит к исследованию математических задач, рассмотренных в диссертации.

Уравнение колебаний ии = а2(ихх + иУу) сводится к уравнению Гельмгольца, если искать решение в виде установившихся колебаний и(х, у, t) = й(х, у) ехр(-іші).

Уравнение колебаний на плоскости описывает малые колебания мембраны, колебания поверхности воды в бассейне, плоские деформации упругого тела, плоское распространение звука в газе и жидкости [81, 82]. В последнем случае уравнению колебаний удовлетворяют плотность р, давление р, потенциал смещений Ф, связанный с вектором смещений частиц газа или жидкости с помощью соотношения u = grad I , и потенциал скоростей U, через который скорость выражается как v = grad U. Если в среде происходит затухание звука, то показатель к2 в уравнении Гельмгольца комплексный. Если поверхность 7 представляет собой твёрдую непроницаемую стенку, то нормальная составляющая скорости равна нулю, что приводит к условиям О, =0, =0, = 0. Если 7 — абсолютно мягкий экран, у оп\у an 1-у то р\7 = ро, р7 = Р0) U\7=0, где ро и Ро — равновесные значения плотности и давления. В случае более общего акустического препятствия ставится условие третьего рода (§ " + А7) = 0? гДе А определяется акустическим импедансом препятствия [83]. Условия такого же вида выполняются для р и р [82]. При изучении задачи дифракции плоской волны на поверхности 7 приведённые выше однородные граничные условия для полного поля можно записать в виде неоднородных граничных условий для искомого рассеянного поля. Условия Дирихле, Неймана и третьего рода рассматриваются в гл. 1, 2 и 4 диссертации. В случае, когда рассматриваются колебания мембраны, уравнение колебаний выполняется для поперечного смещения точек мембраны. При этом условие Дирихле соответствует заданному режиму движения конца мембраны, условие Неймана — заданной силе, приложенной к концу мембраны, условие третьего рода — упругому закреплению конца мембраны [81].

Как показано в [84], процесс стационарного распространения гармонических температурных волн, описываемых временным множителем ехр(—iut) и не зависящих от координаты z, в однородной изотропной среде без источников и стоков тепла, описывается уравнением Аи(х, у) + к2и(х,у) = 0, где и(х, у) = U(x, у) — ипал(х, у), U(x, у) — комплексная амплитуда температуры полного поля, ипал(х,у) — падающая волна, к2 = іш/a2, а2 — коэффициент температуропроводности. Пусть в среде помещена тонкая термопроницаемая цилиндрическая прослойка 7 толщины 5 с малым коэффициентом теплопроводности е. Образующая прослойки параллельна оси Oz. Контакт между средой и прослойкой считаем идеальным. Тогда прослойку можно заменить бесконечно тонким экраном, на котором должны выполняться два условия сопряжения [84, 85]

(1) Kl(f/+-a-) = K2g)", м (V+ - и ) = п2 (J)+ ,

где верхними индексами + и — обозначены предельные значения функций на 7 с разных сторон, а нормаль п направлена от стороны, соответствующей знаку —, к стороне, соответствующей знаку +, к\ = е/5 — коэффициент теплопроницаемости прослойки, / — коэффициент теплопроводности тела.

Условия сопряжения (1) можно трактовать как условия неидеального контакта. Контактирующие тела на поверхности контакта имеют различную температуру, скачок которой пропорционален тепловому потоку.

Для неизвестной функции и(х,у) получим неоднородные условия (1)

(2) Ц-J -Л1(м+-„ ) = - ,

в правой части которых стоит известная функция. Если вычесть условия (2) одно из другого, получим ( ) — ( ) = 0. Задача с граничными условиями, возникающими в данной модели, рассматривается в гл. 3 диссертации.

Если некоторая замкнутая или разомкнутая поверхность 7 поддерживается при определённом распределении температуры, то на ней задаётся условие Дирихле, если на 7 задано распределение плотности теплового потока (в частности, она может быть теплоизолирована) — условие Неймана [81]. Такие условия рассматриваются в гл. 1 и 2 диссертации.

При диффузии некоторых неустойчивых газов (например, радона) происходит реакция распада молекул диффундирующего газа. Также мы можем наблюдать поглощение газа средой. Скорость подобных процессов (поглощения, распада) обычно считают пропорциональной концентрации газа. При написании уравнения диффузии это эквивалентно наличию отрицательных источников газа. В случае стационарного процесса диффузии мы приходим к уравнению [81]

Аи - к2и = 0, к = Re к 0.

Если имеется перегородка, непроницаемая для рассматриваемых частиц, то на ней ставится условие Неймана = 0. Если на поверхности 7 поддерживается заданная концентрация, то на ней ставится условие Дирихле. Условия Дирихле и Неймана рассматриваются в диссертации в гл. 1 и 2. Если имеется тонкая пористая перегородка, оказывающая прохождению частиц некоторое сопротивление, то на ней ставятся условия D ( ) = D (и+ — и ), где D — коэффициент диффузии, D — проницаемость перегородки [ср. (1)] [86]. Индексами + и — обозначены предельные значения функций на 7 с разных сторон. Теперь предположим, что имеются объёмные источники или поглотители частиц, плотность которых f(x,y) не зависит от концентрации и. Тогда концентрация и удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмголь-ца Аи — к2и = / и однородным граничным условиям. Будем искать решение задачи в виде суммы объёмного потенциала и неизвестной функции v. Тогда v удовлетворяет соответствующему однородному уравнению Гельмгольца и неоднородным граничным условиям. Для случая пористых перегородок такая задача рассмотрена в гл. 3.

При решении задачи дифракции в неограниченной области для обеспечения единственности рассматриваемой задачи необходимо ввести некоторые дополнительные ограничения, определяющие поведение полей на бесконечности. Если однородное пространство заполнено поглощающей средой (Imк 0 в уравнении Гельмгольца Аи + к2и = 0), то в двумерном случае при г — • со будем ставить условия и = о (г-1/2), Vu = о (г-1/2), где г — расстояние от начала координат до точки наблюдения. Данное условие означает, что вся излучаемая энергия поглощается в среде, а не уходит на бесконечность.

Если среда является изотропной и непоглощающей (к — действительное число в уравнении Гельмгольца Аи-\-к2и = 0), то для однозначности решения необходимо потребовать выполнение условия излучения Зоммерфельда (1912 г.) [81]: Q — iku = о (г-1/2). Из него с учётом уравнения Гельмгольца следует, что и = О (г-1/2) [83]. Условие Зоммерфельда означает, что вся излучаемая энергия должна уходить в бесконечность (среда без потерь).

Вместо приведённых условий на бесконечности могут ставиться другие, например, условие Рейхарда [16], парциальные условия излучения, принцип предельного поглощения, принцип предельной амплитуды [81, 87].

Пусть Г — сечение незамкнутой цилиндрической поверхности 7 плоскостью, ортогональной образующей 7- Из-за наличия у незамкнутой цилиндрической поверхности 7 краёв (им соответствуют концы Г), для обеспечения единственности решения надо поставить дополнительные условия. Например, условие ограниченности и на концах Г [53] и условие Мейкснера (1948 г.): Vw = о(р-1), где р — 0 — расстояние до конца Г [39]. Условия на концах необходимы для того, чтобы энергия излучалась только заданными источниками и не было дополнительного "излучения" от концов [53]. В [53] показано, что в задачах Дирихле и Неймана V-u р 112.

Обратимся к систематическому изложению результатов, полученных в диссертации. Были решены четыре задачи математической физики. В постановке и методе решения есть общие моменты. Остановимся на них.

Будем рассматривать уравнение Гельмгольца Аи + к2и = 0, где к ф 0, 0 argfc 7Г. Если Im& = 0, то уравнение Гельмгольца будем называть волновым, а если Im/г 0, то диссипативным (среда с поглощением).

В первых двух главах диссертации решаются краевые задачи для уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами. В декартовых координатах на плоскости х = ( 1, 2) Є R2 рассмотрим многосвязную область, ограниченную простыми разомкнутыми кривыми Т\,..., Г класса С2,х, А Є (0,1],

и простыми замкнутыми кривыми Г2,..., Гу2 класса С2,0 так, что кривые не имеют общих точек, в том числе и концов. Будем рассматривать как случай внешней, так и случай внутренней области, когда кривая Г2 охватывает все остальные. Положим JVi N2 г1 = и гі, г2 = и г;, г = г1 и г2.

п=1 п=1

Связную область, ограниченную Г2 и содержащую Г1, будем называть Т , так что дТ = Г2; Г1 С V. Пусть каждая кривая Г параметризована и в качестве параметра выступает дуговая абсцисса (длина дуги) s: Ткп = {я: х = x(s) = (zi(s),Z2(s)), s € [oJ,6J]}, n = l,...,Nk, к = 1,2,

так, что а\ Ъ\ ... .alNl blNl а\ b\ ... а%2 b%2 и область V остаётся справа при возрастании параметра s на Г2. Вектор касательной к Г в точке x(s) обозначим тх = fcosa(s),sino;(s)j, где cosai(s) = x[(s), sina(s) = x 2{s). Вектор нормали, совпадающий с вектором касательной при повороте на угол 7г/2 против часовой стрелки, обозначим nx = fsina(s), — cosa(s)J. Так что nx — внутренняя нормаль к Р на Г2.

Совокупности отрезков оси Os, отвечающих Г1, Г2 и Г, будем также обозначать Г1, Г2 и Г соответственно.

Будем говорить, что функция T(s), определённая на Г1, принадлежит банахову пространству С% (Г1), о; Є (0,1], q [0,1), если

Ms) = Н ) П \s - ai\q \s - bl\q Є C (Г1) . Норма в пространстве С% (Г1) определяется формулой

ll- WII (ri) = ЬМІІ70 (Гі) Если (Г1), В2 (Г2) — банаховы пространства функций, заданных на 1 и Г2, то для функций, заданных на Г, введём банахово пространство #і (Г1) П #2 (Г2) с нормой • Sl(ri)nB2(r2) = II • Ikcr1) + II • lk(r2) Предположим, что плоскость R2 разрезана вдоль Г1. Через (Г1) обозначим ту сторону Г1, которая остаётся слева при возрастании параметра s, а через (Г1) — противоположную сторону. Через X обозначим множество точек плоскости, состоящее из концов Г1:

N

х= и( К)и (ьі)).

n=l

В первой главе рассматривается задача Дирихле-Неймана в плоских областях с разрезами для диссипативного уравнения Гельмгольца.

Будем говорить, что функция и(х), определённая в Т \ Г1, принадлежит классу гладкости Ki, если

1) и Є С0 {V \ Г1) П С2 (РУГ1), то есть, в частности, и(х) непрерывна в V \ Г1, непрерывно продолжима на разрезы Г1 слева и справа во всех внутренних точках, а также непрерывно продолжима на концы разрезов Г1;

2) Vu Є С0 {р\Т1 \ Г2 \ X), где X — множество концов Г1;

3) на концах разрезов Г1 функция Vw может иметь интегрируемые особенности, то есть при х - x(d) X для некоторых констант С О, б — 1 справедлива оценка

(3) \Vu\ C\x-x(d)\e,

где d = а\ либо d = 6 , п = 1,..., iVi;

4) существует равномерный по всем x(s) Є Г2 предел (пж, V w ()) при стремлении х Є Х \ Г1 к х Є Г2 по нормали п .

Задача \3\. Найти функцию и(х) из класса Ki, удовлетворяющую в Х \ГХ уравнению Гельмгольца

Аи + &2и = 0, к = const, Im к 0

и граничным условиям

du(x(s)j

= («)•

(Г )" v dna

(4) »( («)) +=F», u( (e)) = -(«),

Г2

Если V — внешняя область, добавим условие на бесконечности

и = о ОГ1/2), Vti(a?) = о (\х\-1 2) .

Под ди/дпх на Г2 мы понимаем предел, указанный в п. 4) определения класса гладкости Ki.

С помощью метода энергетических тождеств доказывается теорема единственности.

Решение задачи строится в предположении, что

(5) F+(s),F-(s)eCl (T1), А Є (0,1], F(s) Є С0 (Г2);

F+ (ai) = F (aj), F+ (6 = F (6 , n = 1,..., Nu

где

С° (Г2) = П О (1 , Са (It) = {?(,): ( ) Є С° [al 6 , (а2) = Г (6} .

П=1

Далее под /г ... cte будем понимать

2, / • • • s п=1а Пусть 7ц (z) — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, которая является сингулярным решением уравнения Гельмгольца.

Решения краевых задач в диссертации строятся с помощью теории потенциала. Решение задачи Ui разыскивается в виде

(6) и[ь ,ц](х) = wi[v](x) -f w[v](x),

где

w[fj](x) = vi[n](x) + w2[fj](x).

Здесь

(7) vM{x) = j I fi(a)n{ (k\x - 2/(o-)) da,

Г1

(8) W2[II](X) = - J nWHtf (k\x - y(a)\) da

r2

— потенциалы простого слоя для уравнения Гельмгольца и

(9) wi[v](x) = l-f v(a)V{x, a) da

г1

— угловой потенциал для уравнения Гельмгольца [67, 79]. Плотность fi(s) разыскивается в пространстве С% (Г1) ПС°(Г2), о; Є (0,1], q Є [0,1), а плотность v(s) — в пространстве ( (Г1).

Ядро углового потенциала V{x, а) определяется формулой

V(x,a) = f—HP(k\x-y(0\)dt, хє[аі,Ьу, n = l,...,M,

ЛІ У

где у = у() = (уі(0,У2()), \х - у{)\ = \j(ХІ - /і()) + (х2 - у2()) •

Ниже будем полагать, что плотность углового потенциала удовлетворяет дополнительным условиям [67, 68]

(10) Jv(a)da = 0, п = 1,..., Nu

ГІ

которые гарантируют принадлежность углового потенциала классу Ki. Интегрируя гиі[і/](ж) по частям и используя (10), выразим угловой потенциал через потенциал двойного слоя

где

(11) р(а) = j v() d, (тє[аі,ЬІ], n = 1,..., iVb

Показано, что функция (6) удовлетворяет всем условиям задачи Ui, за исключением граничных условий.

Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (6) в (4), используем предельные формулы для углового потенциала из [67] и получаем интегральные уравнения для плотностей /i(s), v(s)

(12) ±e Ul/(a)v(x(s),a)da + U a)n \k\x(s)-y(a)\)da +

и г1

+ - J »(а)пР (k\x(s) - у (a) ) da = F s), s Є Г1,

Г г1 ІИ К+Ї/ 9

(13) г-/ (а)--У(х(в),ст) da + у (а)—МР(к\х(в) - у(а)\) da - IT +1/ ) (% ) -y{a)l)da = F{s) s є г2 Уравнение (12) получено при х — x(s) Є (Г1) и содержит два интегральных уравнения. Верхний знак соответствует интегральному уравнению на (Г1) , а нижний — на (Г1) . В добавление к уравнениям (12) мы имеем условия (10). Вычитая уравнения (12) одно из другого и используя (11), получаем

р(з) = (F+(s) - F-(s)) Є С"-Л (Г1),

(14) v(s) = (F +(s)-F -(s))eC {T4, F Hs) = ( ).

Заметим, что v(s) определена окончательно и удовлетворяет всем необходимым условиям, в частности (10).

Введём функции fi(s) на Г1 и /г(«) на Г2

(15) /iW = F+{S) tF is)-yH°)v(x(s),o)da, s Є Г1,

Г1

f2(s) = F{s)-l-jv{a)v(x{s),a)do, s Є Г2,

г1

где u(s) задаётся выражением (14). Согласно [67]: /i(s) принадлежит С1,Ро (Г1), где ро = А, если 0 Л 1, и ро = 1 — бо для любого малого єо, если Л = 1. Очевидно, что /2(5) принадлежит С0 (Г2).

Складывая интегральные уравнения (12) и учитывая (13), получим интегральные уравнения для /i(s) на Г1 и Г2

(16) w[fi](x(s)) = - J»(a)HP (k\x(s) - у(а)\) da = f s), s Є Г1,

г

(17) - + \1 ) П {к\х(в)-у(а)\)аа = Нз), в Є Г2,

где /i(s) и /2(5) определены в (15). Таким образом, если /i(s) — решение уравнений (16), (17) из пространства С% (Г1) П С0 (Г2), w Є (0,1], qE [О,1), то потенциал (6) удовлетворяет всем требованиям задачи.

Ядро в интеграле в (17) непрерывно [67], а (16) — уравнение с логарифмическим ядром.

Дифференцируя уравнение (16) согласно [88], можно показать, что оно эквивалентно сингулярному интегральному уравнению Коши на Г1 с дополнительными условиями.

Далее мы производим регуляризацию сингулярного интегрального уравнения Коши и с учётом уравнения (17) и упомянутых выше дополнительных условий получаем векторное интегральное уравнение второго рода, доказываем, что оно фредгольмово, показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, поэтому неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г1 Є С2,х, Г2 Є С2,0 и выполнены условия (5). Тогда решение задачи Ui существует, единственно и даётся формулой (6), где v(s) определяется в (14), а /J,(S) определяется при решении уравнения Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что решение задачи удовлетворяет условию (3) с б = —1/2.

Во второй главе изучается краевая задача для диссипативного уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами, при этом на разрезах задано условие Неймана, а на замкнутых кривых — условие Дирихле.

В гл. 2 замкнутые кривые Г2 принадлежат классу С2 А.

Будем говорить, что функция и{х), определённая в Т \ Г1, принадлежит классу гладкости Кг, если

1) и Є С0 (V \ Г1) Г) С2 (Т \ Г1), то есть, в частности, и(х) непрерывна в V \ Г1, непрерывно продолжима на разрезы Г1 слева и справа во всех внутренних точках, а также непрерывно продолжима на концы разрезов Г1;

2) VweC°(P\TT\X);

3) при х —$ x(d) Є X для некоторых констант С 0, е — 1 справедлива оценка

(18) \Vu\ C\x-x(d)\e,

где d = а\ либо d = b\, п = 1,..., N\.

Задача U2. Найти функцию и(х) из класса К2, удовлетворяющую в Х \Г1 в классическом смысле уравнению Гельмгольца

(19) Аи + к2и = О, к = const, Im к и граничным условиям

(20) 9И(Ж)

_ F+/ ди(Х)

fitil тЛ

дп.

n+

= F+(s),

х( )Є(Гі)"

( )є(гі) Если D — внешняя область, добавим условия на бесконечности

и = о (И"1/2), V«(JC) = о (\x\ V2).

С помощью метода энергетических тождеств доказывается теорема единственности.

Чтобы доказать разрешимость задачи ІІ2, наложим требования гладкости на функции из граничных условий (20):

(21) F+l FHG tr1), F(s) Є СХ А (Г2), Л Є (0,1],

где с1 (г2) = ис Чг», с1,А(гп) = {?( - Не) Є С1- [ &«].

™ (a2) = J ") (б2), m = 0,l}.

Решение задачи U2 можно получить с помощью теории потенциала для уравнения (19). Ищем решение задачи U2 в виде

(22) u[v,n](x) = vi[v]{x) + wi[/j](x) + W2[/J](X),

д

где

4/2 5ПУ

(23) u M(s) = У )--К$\к\х - y(v)\) da

— потенциал двойного слоя для уравнения Гельмгольца. Потенциалы v\ и wi даются формулами (7), (9). Плотность fi(s) ищем в пространстве

су (г1) П С1 4 (Г2) , и Є (О,1], q Є [0,1),

плотность v{s) — в пространстве С0,х (Т1 . Помимо этого, плотность /i(s) должна удовлетворять условиям (10), то есть v(s) = /i(s) в (10).

Показано, что функция (22) удовлетворяет всем условиям задачи U2, кроме граничных. Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (22) в (20), используем предельные формулы для углового потенциала из [67] и получаем интегральные уравнения для плотностей fi(s), v(s)

U{8)

(24)

1 ВШ(ро\Х{8),у\ Т)\ і г д __/ , , \ ,

2тгг{ \x(s)-y{a)\ 4Г{ дпх \ /

\l °) $\k\x(s)-y{ )\)da-І(Ф),УМ) 5

+ Ы°) х $\к\х(з) - у(а)\) da = F±(s), в Є Г1, ЄГ2,

(25) Ujy(a)n \k\x(s)-y(a)\)da + Ufi(a)v(x(s),a)dcT +

4Г1 4pl

+ І М ІФ) - УМІ) AT = F(s),

+

где

(26)

V0(x,a) = J Q -h(k\x - /()) d, а Є [ ,#] , n = 1,... ,NU

fcW=«f)W-b().

Через fo{x, у) обозначен угол между направлением нормали пх в точке х Є Г1 и вектором с началом в ж и концом в у. Угол о(# 2/) считается положительным, если отсчитывается от вектора пх против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается от пх по часовой стрелке.

Кроме интегральных уравнений, записанных выше, у нас есть дополнительные условия (10). Вычитая интегральные уравнения (24) одно из другого, получим (27) i/(s) = (F+{s) - F (s)) є С° А (Г1).

Заметим, что v(s) определена окончательно и удовлетворяет всем необходимым условиям. Введём функции fi(s) на Г1 и /2(в) на Г2 (28) h(s) =

= F+(S) +2 F {S) - Ц " W (Цф) - у Wl) da, аЄГ\

f2(s) = F(s)-l-fv(a)Htt\k\x(s)-y(a)\)da, seT2,

г1

где v(s) задаётся выражением (27). Согласно [68]: /i(s) принадлежит С0,х (Г1). Очевидно, что f2(s) принадлежит С1,х (Г2).

Складывая интегральные уравнения (24) и учитывая (25), получим интегральные уравнения для fi(s) на Г1 и Г2

1 Г / sinу?0(а?(в),2/(о-)) і г , , д уг/ , . \ ,

(29)

- 2 (а) Ф)-УИ + 4 / Й И ) +

+ Ї №а) Ъ (к{х w " vWI) = /l(s) s є г1 (30) Urt )v(x(8),a)da + 4& +

г1

+ 1/ ) - ( 1 ) - УМІ) AT = /2(s), s Є Г2,

где /i(s) и /2(5) определены в (28).

Первый член в (29) — сингулярный интеграл Коши [88].

Далее мы производим регуляризацию уравнения (29) и с учётом уравнения (30) и условий (10) получаем интегральное уравнение второго рода, доказываем, что оно фредгольмово, показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, тогда неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фред-гольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г1, Г2 Є С2,х и выполнены условия (21). Тогда решение задачи U2 существует, единственно и даётся формулой (22), где плотность u(s) определяется в (27), а плотность fi(s) определяется при решении интегрального уравнения Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо.

Градиент решения задачи U2 может быть неограниченным в окрестности концов Г1 так, что неравенство (18) выполняется с е = —1/2.

В гл. 3 и 4 рассматриваются краевые задачи вне разрезов на плоскости. В декартовых координатах на плоскости х = (#1,0) Є R2 рассмотрим совокупность простых разомкнутых кривых Г і,..., Гдг класса С2,А, Л Є (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов. Эту совокупность кривых будем называть контуром Г. Пусть контур Г параметризован и в качестве параметра выступает длина дуги s: Гп = їх: х = x(s) = lxi(s),#2(5)),

s Є [ап, bn] L п = 1,..., N. Параметризацию выберем так, чтобы для различных п отрезки [ап, Ьп] на оси Os не имели общих точек, в том числе и концов. Введём векторы касательной и нормали, как в первых двух главах.

Совокупность отрезков оси Os, отвечающих контуру Г, будем также обозначать Г.

Будем говорить, что функция F(s), определённая на Г, принадлежит банахову пространству С (Г), а; Є (0,1], q Є [0,1), если

7Ь(«) = T(s) ПІ - an\q\s - bn\ Є С° Ш(Г).

п=1

Норма в пространстве С (Г) определяется формулой

ІІ ООІІСДО = Ь(в)с»."(Г).

Предположим, что плоскость R2 разрезана вдоль контура Г. Через Г+ обозначим ту сторону контура Г, которая остаётся слева при возрастании параметра 5, а через Г — противоположную сторону. Через X обозначим множество точек плоскости, состоящее из концов контура Г:

N

Х= \j(x{an)Ux(bnj),

n=lv у

Будем говорить, что функция и(х), определённая в R2 \ Г, принадлежит классу гладкости Кз, если

1) и Є С0 (R2 \ Г] П С2 (і?2 \Г), то есть, в частности, и(х) непрерывна в R2 \ Г, непрерывно продолжима на разрезы Г слева и справа во всех внутренних точках, а также непрерывно продолжима на концы разрезов Г;

2) VueC°(W\T\xy,

3) при х — x(d) Є X для некоторых констант С 0, е — 1 справедлива оценка (31) \Vu\ C\x-x(d)\e,

где d = ап либо d = bn, п = 1,..., N.

Далее под /г ... ds будем понимать

N Ь«

5Z / • • • ds.

n=la„

Пусть

(32) VH(x) = -(и(а)П {к\х - у(а)\) da,

г

(33) Tfr](x) = -j {a)U{x,a)da,

4г

U(x,a) = f —U{Q](k\x - 2/(0) d, а Є [an,6n], n = 1,... ,iV.

Предполагается, что fi(s) и (s) принадлежат С (Г), а; Є (0,1], q Є [0,1).

Ниже будем полагать, что плотность углового потенциала удовлетворяет дополнительным условиям [67, 68]

(34) J fi(a) da = 0, п = 1,..., N,

г„

которые гарантируют принадлежность углового потенциала классу Кз В третьей главе изучается обобщение задачи Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. В качестве граничных условий на разрезах задаются скачок нормальной производной искомой функции и линейная комбинация скачка искомой функции и её нормальной производной на одной стороне разрезов.

Задача U3. Найти функцию и(х) из класса Кз, удовлетворяющую вй2\Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца

Аи + к2и = О, к = const 0, 0 arg к 7Г,

граничным условиям

+ (3(s) (и(х)\ф)€Г+ - u(x)\x(s)er-) = /1(5),

z(s)er+

(35) р on

ди

x(s)er+ дтл

= /2W,

х(з)еТ (36) ди

дп

и условиям на бесконечности. Если arg к = 0, то есть к = Лек 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий излучения Зоммерфельда

и(х) = О (-7= , - iku(x) = о Если 0 argfc 7г, то есть 1тк О, то на бесконечности потребуем выполнение условий

и(х) = о (W1/2) , V« = о (\x\-V2) .

Считаем, что /i(s), /2(5), (3(s) — известные функции, причём (3{s) Є С°(Г) удовлетворяет одному из дополнительных условий:

1) Если к = Re к, то Im/?(s) 0 для любого s Є Г.

2) Если Пек = 0 и Im/г 0, то /?(s) = Re/?(s) 0 для любого s Є Г.

3) Если Re /г 0, 1т к 0, то (Refc) • (Im/?(s)) 0 для любого s Є Г.

С помощью метода энергетических тождеств и леммы Релиха доказана теорема единственности.

Теорема существования решения доказывается в предположении, что

(37) 0М, /іМ, /2М Є С° А(Г), Л Є (0,1]. Ищем решение задачи U3 в виде

(38) u{v}(x)=T[Li](x) + V[f2](x).

Потенциалы Т mV даются формулами (32), (33). Функция /2(5) задана в граничных условиях (36). Плотность fi(s) ищем в пространстве С%(Г), ш Є (0,1], q Є [0,1). Помимо этого плотность fi{s) должна удовлетворять условиям (34). Показано, что функция (38) удовлетворяет всем условиям задачи Ц"з, кроме граничного условия (35). Чтобы удовлетворить граничному условию (35), мы подставляем (38) в (35), используем предельные формулы для углового потенциала из [67] и получаем интегральное уравнение для плотности fi(s)

1 г , втіро(х(8),у(а)) і , dUo(x{s),a)

(39) - — / ціа) , f\ 7-хгІ- da + -/ /л(а) - da +

V } 2тг/ m ; \x(s)-y{a)\ 4/m ; 3nx

+ P(s)p[fi](s) = f(s), 5ЄГ,

где

s

(40) p[/j](s) = J ji(a) da, se[an,bn], n = 1,...,N,

an cr r\

(41) U0{x,a) = f—h(k\x-y{)tyd, ae[an,bn], n = 1,...,N,

an У

функция h(z) определена в (26), угол (fo(x,y) определён, как в гл.2. Функция /(s) задана выражением

г+

Согласно [68] функция f(s) принадлежит С° Л(Г).

Первый интеграл в (39) — сингулярный интеграл Коши [88].

Производя регуляризацию сингулярного интегрального уравнения (39) с учётом условий (34), приходим к интегральному уравнению второго рода и доказываем, что это уравнение фредгольмово. Показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, следовательно неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г Є С2,х и выполнены условия (37). Тогда решение задачи U3 существует, единственно и даётся формулой (38), где плотность //(s) определяется в результате решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо.

Градиент решения задачи U3 может быть неограниченным в окрестности концов контура Г так, что неравенство (31) выполнятся с е = —1/2.

В четвёртой главе изучается краевая задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. При этом на одной стороне каждого разреза задаётся условие Дирихле, а на другой — условие третьего рода.

Задача U4. Найти функцию и (х) из класса Кз, удовлетворяющую в Л2\Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца

Ait -f к2и = О, к = const ф 0, 0 arg к 7г,

граничным условиям

(42) Ф)\хшг+=Ґ( ) ди(х)

(43)

- P(s)u{x)

дп,

= /м

x(s)er и условиям на бесконечности. Если aigk = 0, то есть к = Re к 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий излучения Зоммерфельда

ди(х) -и і \ ( 1 — iku(x) = о д\х\

Если 0 arg к тт, то есть Im к 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий

и(х) = о (\x\-V2), Vti = o(a;-1/2).

Считаем, что /+(s), /(s), (3(s) — известные функции, причём (3{s) Є С0(Г) удовлетворяет одному из дополнительных условий

1) Если к = Re к, то Im/?(s) 0 для любого s Є Г.

2) Если Refc = 0 и Imk О, то /3(s) = Re(3(s) 0 для любого s Є Г.

3) Если Re к ф 0, Im& 0, то (Re к) • (Im/9(s)) 0 для любого s Є Г. Замечание. С учётом (42) условие (43) можно заменить эквивалентным

условием

(44)

ди(х)

дпа

x(s)ET + /?(s) и(х)\х{з)€Г+- и{х)\ф)ег- =/ (s),

где

(45) r(s) = f(s)+(3(s)f+(s).

С помощью метода энергетических тождеств и леммы Релиха доказана теорема единственности.

Чтобы доказать разрешимость задачи U4, наложим дополнительные требования гладкости на функции из граничных условий (42), (43):

(46)

f+(s) Є С (Г), f(s),P(s) Є С° А(Г), Л Є (0,1].

Из (45) следует, что f (s) Є С° А(Г).

Вместо граничного условия (42) запишем эквивалентное

ди(х)

(47)

дтх

= (/ ) М. (гУм єс г),

х(з)еГ+ aS

(48) u(x{anj) = /+Ы, п = 1,..., N.

В условии (47) учтено, что при выбранной параметризации д/дтх = d/ds в любой точке x(s) Є Г.

Ищем решение задачи U4 в виде

(49) u[v,A(x) = V[v](x)+T[ti](z).

Потенциалы V и Т даются формулами (32), (33). Плотности /i(s), v{s) ищем в пространстве С%(Г), ш Є (0,1], q Є [0,1). Помимо этого, плотность //(s) должна удовлетворять условиям (34).

Показано, что функция (49) удовлетворяет всем условиям задачи U4, кроме граничных. Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (49) в (44), (47), используем предельные формулы для углового потенциала из [67] и получаем интегральные уравнения для плотностей fi(s), v(s)

(50) І/ И

Smip0(x(s),y(a))

\x(s) -2/(0-)1

da +ljfp(a)—h(k\x{s) - y(a)\) da +

+

ц(з) 1 r , cos ip0(x{s), у (aj) І Q , ,

г = (/ )+( ), s Є Г,

z/(s) 1 /• , cos o(a;(s),2/W)

(51) - --1 + — / via)—r-r\ . ., J da +

v } 9, 9.7Г J y \г..я} —iirrW

2 1 \x(s)-y(a)\

і f N 9 .Лі / л міЬ 1 /" / sin o( (s),2/W)

+ -/ г/(сг)т;—til к\x[s) — v(c) da — —— / W( J)—г—г- . ., da -f T4/ V nx Vі U ywV 2TT/PW ф)-у( т)

+ / ) ( ), ) + /?(S)PH(S) = /-(«), 5 є г,

где p[/x](s) определяется в (40) и использованы формулы (35), (41), угол сро (х,у) определён выше.

Первый член в (50) и четвёртый член в (51) — сингулярные интегралы Коши [88].

Подставляя функцию (49) в условия (48), получим дополнительные уравнения для /i(s), v(s)

(52) V[v](x(an)) +Т[/і](я(ап)) = /+(ап), n = 1,..., АГ.

Тем самым мы получили систему интегральных уравнений (34), (50)-(52) относительно функций fi(s), v{s).

Далее мы производим замену неизвестных функций /x(s), v(s), после которой характеристическая часть каждого из двух сингулярных уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Регуляризируя полученную систему с учётом условий (34), (52), приходим к векторному интегральному уравнению второго рода и доказываем, что это уравнение фредгольмово, показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, значит неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г Є С2,х и выполнены условия (46). Тогда решение задачи U4 существует, единственно и даётся формулой (49), где плотности fi(s), v(s) определяются в результате решения векторного уравнения Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо.

Градиент решения задачи U4 может быть неограниченным в окрестности концов контура Г так, что неравенство (31) выполнятся с є = —3/4.

На этом завершим изложение краткого содержания диссертации. Диссертация построена таким образом, что каждую главу можно читать независимо от других глав. Нумерация формул в каждой главе не зависит от нумерации формул в других главах.

Интегральные уравнения на границе

Ниже будем считать, что (За) F+(s),F-(s)eC (T1), F(s)eC(T2), Л Є (0,1], (36) F+(a1n) = F-(a1n), F+(bi) = F" ), n = 1,..., . Заметим, что показатель Гёльдера Л в условии гладкости для дуг Г1 и показатель Гёльдера Л в (За) для функций F+(s), F (s) считаются одинаковыми. Если эти показатели различны, то в качестве Л можно взять наименьший.

Если (Г1), Б2 (Г2) — банаховы пространства функций, заданных на 1 и Г2, то для функций, заданных на Г, введём банахово пространство ІЗіО"1) П#2(Г2) с нормой яі(гі)пв2(г2) = ІІ ІІвді) + И\в2(П Под /pj... da мы понимаем п=1 ", an Рассмотрим угловой потенциал из [67] для уравнения (2а) на Г1 Щ К 53 / da. Ъ Г V (4) гУі[г/](ж) = - / v(a)V(x,a)da. Ядро V(#,cr) определено на каждой кривой Г (п = 1, ...,Ni) по формуле п где 7ц (z) — функция Ханкеля первого рода [90] ( ) = V2exp(»,-W4)Jexp(_i)rl/2 Л + « )" / У = у(0 = МО, Jfc(O), I - 2/(01 = У( і-Уі(0)2 + ( 2-у2(0)2.

Далее предполагаем, что и(а) принадлежит С А(Г1) и удовлетворяет следующим дополнительным условиям:

Как показано в [67], для таких и(а) угловой потенциал гиі[ /](#) принадлежит классу К. В частности, условие (1) выполнено для любого є Є (—1,0). Кроме того, интегрируя и;і[і/](ж) по частям и используя (5), выразим угловой потенциал через потенциал двойного слоя (6) wMx) = -І /PM -Wi4 ( \х - у(а)\) da Ц дпу с плотностью (7) р{а) = J () de, о- Є [а ,ЬЦ п = 1,..,Nx. Следовательно, гиі[і/](ж) удовлетворяет и уравнению (2а) вне Г1, и условию на бесконечности (2с).

Построим решение задачи U . Это решение может быть получено с помощью теории потенциалов для уравнения Гельмгольца (2а). Ищем решение задачи в следующем виде: (8) где гиі [г/] (ж) (9) u[iy,fi]{x) = wi[v](x) + w[fj](x) , угловой потенциал из (4), (6), кроме того, w[fj](x) = vi[ii](x) + w2[fi\(x) , vi[fAix) = 7 / W oX) (& \x - У HI) da, T1 w2{/Aix) = T/MW O!) № \x - У HI) . Г2 Как уже было сказано, будем искать плотность И, удовлетворяющую условиям (5) и принадлежащую С А (Г1). Будем искать fi(s) в банаховом пространстве С(Г1) П С0(Г2), а; Є (0,1], q Є [0,1) с нормой Н(7"(гі)пС70(г2) — ІНІс г1) + ІМІС7(г2) Будем говорить, что /z(s) Є С Г1), если

Можно проверить непосредственно с помощью [67], что для таких fi(s) функция г?і[//](я;) удовлетворяет уравнению (2а) вне Г1 и принадлежит классу К. В частности, неравенство (1) выполняется с е = —д, если q Є (0,1). Потенциал W2[fi](x) удовлетворяет уравнению (2а) вне Г2 и принадлежит классу К [67, 89]. В случае внешней области V функция (8) удовлетворяет условию на бесконечности (2с). Поэтому функция (8) удовлетворяет всем условиям задачи, кроме граничных условий (2Ь).

Чтобы удовлетворить граничным условиям, подставим (8) в (2Ь) и получим систему интегральных уравнений для плотностей /i(s), v(s) (10а) ±«РМ + 7 / v{)V 0Ф)Н + г1 где p(s) определено через v(s) в (7). Чтобы вывести формулы для предельных значений углового потенциала, мы использовали его выражение в виде потенциала двойного слоя (6). Уравнение (10а) получено при х —V x(s) Є (Г1)1 1 и объединяет два интегральных уравнения. Верхний знак отвечает интегральному уравнению на (Г1) , нижний — на

Интегральные уравнения на границе

Через 9?о( ,2/) обозначен угол между вектором од и направлением нормали пх. Угол ро(х, у) считается положительным, если он отложен от пх против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Кроме того, ifo(x,y) непрерывен при х, у Є Г, если х фу.

Уравнение (9а) получается при х — x(s) Є (Г1) и объединяет два интегральных уравнения. Верхний знак отвечает интегральному уравнению на (Г1) , а нижний — на (Г1) . Кроме интегральных уравнений, записанных выше, у нас есть дополнительные условия (5). Вычитая интегральные уравнения (9а) одно из другого, получим

Заметим, что v(s) найдено полностью и удовлетворяет всем необходимым условиям. Следовательно, потенциал «і [ /](#) также найден полностью. Введём функции /i(s) и /г(я) по формулам

Складывая интегральные уравнения (9а) и учитывая (9Ь), получим интегральные уравнения для /i(s) на Г1 и на Г Из леммы 4 в разделе 2.6 вытекает (см. также [96, гл.1, 1], [97, с. 223, 229]), что сумма интегралов в (12Ь) принадлежит С1 /4 (Г2) по s для любого fi(s) Є С Г1) П С0 (Г2), и Є (0,1], q Є [0,1). Поскольку в (12b) /2(s) Є CX A (Г2), любое решение уравнения (12Ь) из С% (Г1) П С0 (Г2) автоматически принадлежит С (Г1) П С1,А/4(Г2). Поэтому далее будем искать решение fi(s) уравнений (12) в С% (Г1) П С0 (Г2), ш Є (0,1], g Є [0,1).

Таким образом, если /i(s) — решение уравнений (5), (12) в пространстве С%(Т1) П С0 (Г2), ш Є (0,1], q Є [0,1), то ф) Є С% (Г1) П С1 (Т2), и потенциал (7) удовлетворяет всем условиям задачи U.

Следовательно, справедлива Теорема 2. Пусть Г Є С2,х и выполняются условия (3). Если система уравнений (12), (5) имеет решение /J,(S) из банахова пространства С (Г1) П С (Г2), и Є (0,1], q Є [0,1), то решение задачи U даётся формулой (7), где v(s) определено в (10).

Далее будем искать fi(s) в банаховом пространстве С% (Г1) П С0 (Г2). Если s Є Г2, то (12Ь) — интегральное уравнение второго рода. Если s Є Г1, то (12а) — сингулярное интегральное уравнение [88, 91]. Первое слагаемое в (12а) является сингулярным интегралом Копій.

Целью нашего дальнейшего исследования будет доказательство разрешимости системы (5), (12) в банаховом пространстве С (Г1) П С0 (Г2). Кроме того, мы сведём систему (5), (12) к уравнению Фредгольма второго рода, которое можно легко решить численно классическими методами.

Замечание. Очевидно, что /2 (а2) = f2 (6 и А2 (а2, о) — А2 (б2, а) для любого сг Є Г (п = 1,..., N2). Следовательно, если /x(s) — решение уравне ния (13) в С0 U [а Ь2] Ь то принимая во внимание тождество (13), /i(s) автоматически удовлетворяет условиям согласования ц (а2) = ц (б2) для п = 1,...,N2 и поэтому принадлежит С(Г2). Это наблюдение справедливо и для уравнения (12Ь) и может оказаться полезным при нахождении численных решений, поскольку позволяет отбросить условия согласования fi (a2) = \i (б2) (п = 1,..., N2), которые выполняются автоматически. Из [67, лемма 3] следует, что

Используя свойства сингулярных интегралов из [88, 91], можно показать, что $o(s)? AQ(S, а) — гёльдеровые функции при s Є Г1, а Є Г. Тем самым, Фі(я), Ai(s,a) тоже гёльдеровы при 5 Є Г1, а Є Г. Следовательно, любое решение уравнения (18), интегрируемое на Г1 и непрерывное на Г2, принадлежит Су2 (Г1) с некоторым ш Є (0,1]. Поэтому далее будем искать /x(s) на Г в пространстве Q/2 (Г ПС0 (Г2) с w Є (0,1]. Нетрудно проверить, что всякое решение уравнения (18) из этого пространства удовлетворяет условиям (5) и уравнению (14). Действительно, если функция ц(з) обращает уравнение (18) в тождество, то, умножая это тождество на (s — )-1, где t Є Г1, и интегрируя по s на Г1, получим тождество (14). Проинтегрировав тождество (18) по s на Гп (п = 1,..., iVi), убедимся, что выполняются условия (5).

Сведение задачи к сингулярному уравнению

Построим решение задачи U с помощью теории потенциалов для уравнения Гельмгольца (2). Будем искать решение задачи в виде суммы углового потенциала и потенциала простого слоя (11) иШх)=Т[(і}(х) + УШ(х), где T[fj](x) — угловой потенциал, заданный формулами (7), (9), а УШ(х) = l-ff2(v)4$\k\x-y(a)\)dv — потенциал простого слоя. Функция /2(5) задана в граничном условии (ЗЬ). Как уже было сказано, мы ищем /x(s) в банаховом пространстве С (Г), о; Є (0,1], q Є [0,1). Кроме того, /x(s) должна удовлетворять условиям (8).

Для таких JI(S) функция (11) принадлежит классу К (см. [67]) и удовлетворяет всем условиям задачи U, кроме граничного условия (За). В частности, функция (11) удовлетворяет условиям на бесконечности (4). Можно проверить непосредственно, используя свойства потенциалов [67, 68], что функция (11) удовлетворяет граничному условию (ЗЬ).

Чтобы удовлетворить граничному условию (За), подставим (11) в (За), используем формулы для предельных значений углового потенциала из [67] и придём к интегральному уравнению для плотности /i(s) По\ 1 Г ( ч8Іп о(Ф) (а)) і г dU0(x(s),a) (12) -2 / \ф)-у( )\ + 4/ дпх d(7+ +р(з)р[ф) = /(e), з Є Г, где p[/j]{s) определено в (10), Uo(x,a) = jdmX-ymdt, ae[an,bn], п = 1,2,... ,N, M ) = W? ( )--]nf 7Г /С Через (/?о{х,у) обозначен угол между вектором ху и направлением нормали пх. Угол ро(х,у) считается положительным, если он отложен от пх против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Кроме того, угол (fo(x,у) непрерывен при х, у Є Г, если х фу.

Первое слагаемое в (12) является сингулярным интегралом Копій [88]. Функция f(s) задана выражением где dV[f2](x)\+ dV[f2](x) x(s)eT+ дпх І дпа /2W ,г г (MJ\k\x(s)-y(a)\) h{s) 1 ff2((j)coscpo(x(s),y(a)) л_ , і f dh(k\x(s) - y(a)\) J 2 2тг \x(s) -y(cr)\ 4Jr dnx — нормальная производная потенциала простого слоя на Г+. По лемме 4 из [68]: f(s) Є С А(Г). Изучим оператор p[p](s) из (10). Поскольку функция fi(s) Є Сд(Г), её можно представить в виде /i(s) = fiit:(s)Q 1(s), где /І (5) Є С0,а;(Г), а N (14) Qq{s)= П \s-an\q\bn-s\qsign (s-an), q Є [0,1), s Є Г. n=\

Рассмотрим оператор s (15) pq[fj, ](s) = p[n](s) = j fi (a)Q-l(a)d(T, s[an,bn], n = 1,..., N. Лемма 1. (а) Оператор pq [д ] (s) при q Є [0,1) является ограниченным оператором, действующим из С0(Г) в С0,1 Я(Г). (б) Оператор p[p](s) — ограниченный оператор, действующий из С (Г) с о; Є (0,1] и q Є [0,1) в СОД- Г). Доказательство. Докажем п. (а). Пусть п = l,...,iV. Для любых 5i, S2 Є [an,bn], таких, что (для определённости) si S2, имеем (16) S2 \Pq Ы М - Pq Ы (Sl) Ц Цсо(Г) / \Qql W 7 = 1Ы1с(Г) К () С ( l) , «і a где (,{s) = І \Q l{(j)\d j, s Є [ап,Ьп], n = 1,...,N. Покажем, что an (s) Є С0 1-9[an,bn], n = 1,... ,N. В самом деле, для любых s\ и S2, таких, что ап Si S2 (ап + Ьп) /2, получим \СЫ-СЫ\ / ( ,g da C(q) / { r-any\Qq{ r)\ i-q С )\ .1-ї л \S2-Sl\ Ч, 1-q где ) = 11-- 113 (-/11100 , )/2] и была использована оценка (Й2 — an)1-g — ( і — On)1-5] $2 — si1-9 из [88, 5]. Тем самым, (s) Є C0,1-g[an, (an + 6n)/2]. Аналогично можно показать, что C(s) Є (7 - ( + 6 /2,6 . Учитывая, что ф) Є С А) С С(ап,Ьп), и применяя свойство 1 гёльдеровых функций из [88, 5], получим: (s) Є (7 1_9[an, 6П], где n = 1,..., N. Следовательно, 1СЫ - C(«i) 11Ссм-9[а„,ьп] \s2 - «і il-g для любых si,S2 Є [an,bn], n = 1,...,N. Учитывая эту оценку в (16), получим, что pq [// ] (s) Є С 1_«(Г) и ИР ЫИС - Г) 1Ы1 7(Г) ІІСІІс - г). Отсюда вытекает п. (а) леммы.

Докажем п. (б). Пусть p(s) Є (7 (Г), где и G (0,1] и g Є [ОД)? тогда p {s) = Ks)Qq(s) Є С "{Т) С (7(Г). В силу (15), p[p](s) = pq [// ] (в), поэтому /?[/z](s) Є С 1_д(Г) согласно п. (а) леммы. Из последнего неравенства следует оценка НРИНС0 1-" ) = \\Pq Ь ]\\с -я(г) - \\Р \\с"{Г) ІКІІс -всг) = ІНІсдоІІСІІ - г), в которой учтено определение нормы в пространстве Cq(T). Отсюда вытекает п. (б) леммы. Лемма полностью доказана.

Запишем сингулярное интегральное уравнение (12) в виде (17) -ffi(cr)- -+U((7)Y(s,cT)d(T-2f3(s)pM(s) = -2f(s), 7Г і а — s J sGT, где = (1_ ( шщ(ф),у(а)) 1_\ _ гуи0(ф),а)\ к } \тг\ \x{s)-y{a)\ (j-s) 2 дпх ) к h po = Л, если 0 Л 1, и ро = 1 — бо Для любого єо Є (0,1), если Л = 1 (см. лемму 4 в [68]).

Таким образом, если /i(s) — решение уравнений (8), (17) в пространстве Cq(T), ш Є (0,1], q Є [0,1), то потенциал (11) удовлетворяет всем условиям задачи U. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть Г Є G2 A; /3(s), /i(s), /2(s) Є 7 Л(Г); Л Є (0,1]. Если система уравнений (8), (17) имеет решение /i(s) в банаховом пространстве Cq(Y) (ш Є (0,1], q Є [0,1)), то функция (11) является решением задачи U.

Уравнение (17) является сингулярным интегральным уравнением Копій [88]. Целью нашего дальнейшего исследования будет доказательство разрешимости системы (8), (17) в банаховом пространстве С (Г). Кроме того, мы сведём систему (8), (17) к уравнению Фредгольма второго рода, которое можно легко решить численно.

Регуляризация сингулярного интегрального уравнения. Теорема существования

Обращая сингулярный оператор Коши в (17), то есть выполняя регуляризацию сингулярного интегрального уравнения в соответствии с [88, 99], получим интегральное уравнение (18) М + гт I /ММ , ) + ВО1РЫ)(З) + Е1 GnsA = L, s Є Г, Ql/2\S) \f n=0 J У1/2И где Go, ., GN-I — произвольные константы; Qi/2(s) — функция, определённая в (14); (19) м.,.) 1уь;)а ъ ВоШ]{в)=і fQinmrnm . Ms)=і/ ftflwzw л,. 7Г J О — S 7Г О — S Заметим, что если функция /i(s) Є С (Г) удовлетворяет уравнению (18) для некоторых констант Go,..., GAT-Ь ТО она удовлетворяет уравнению (17). (Это легко показать, подействовав на уравнение (18) сингулярным интегральным оператором с ядром ( т — s)-1, в результате чего получается уравнение (17).) Исследуем свойства функций, определённых в (19). Очевидно, Qi/2{s) Є С0,1/2(Г). Если fi(s) Є Cq(T), то из п. (б) леммы 1 следует, что /?[/i](s) Є С 1-9(Г). Используя свойства сингулярных интегралов [88, 18], получим, что ?o[p[/i]](s), Фо(з) — гёльдеровые функции на Г, a Ao(s,a) гёль-дерова на Г по обеим переменным. Более того, S0[p[//]](s) Є G Al(r), где Лі = min{l/2,1-q, А}; Ф0(з) Є С А(Г), где Л0 = min{l/2, Л}; a A0(s, а) принадлежит классу С А(Г) по s равномерно для а Є Г. Очевидно, что любое решение [L{S) уравнения (18) из пространства С (Г) с ш Є (0,1] и q Є [0,1) принадлежит Сх/ (Г), то есть ш = А і и q = 1/2. Но тогда из п. (б) леммы 1 вытекает, что p[fj](s) Є С0 1/2(Г) и поэтому, учитывая свойства сингулярных интегралов [88, 18], получим: Bo[/ [/x]](s) Є С А(Г). Следовательно, если fi(s) Є Сі/2(Г") — решение уравнения (18), то /J,(S) автоматически принадлежит Сг%(Г). Таким образом, далее будем искать p(s) в пространстве СА?2(Г). Выберем константы Go,..., G -i таким образом, чтобы удовлетворить условиям (8). Подставляя fi(s) из (18) в (8), получим систему линейных уравнений для определения Go,..., GN-I (20)

Сведение задачи к интегральным уравнениям

Первый интеграл в полученном выражении можно рассматривать как потенциал двойного слоя с плотностью v(s) = u(y(s)j, заданной на CRQ, а второй интеграл — как потенциал простого слоя с плотностью /i(s) = -jrr—u(y(s) J, заданной на (. Переходя к пределу \х\ = г - со и используя асимптотики потенциалов (1), (2), получим выражение (4), что и требовалость доказать.

В диссертации представлены результаты исследования четырёх краевых задач. Рассмотрены краевые задачи для уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами произвольной формы с различными граничными условиями. Перечислим кратко основные новые результаты.

1) Изучена задача Дирихле-Неймана для диссипативного уравнения Гельмгольца в плоской области, ограниченной замкнутыми кривыми и содержащей разрезы. На разрезах задано условие Дирихле, на замкнутых кривых — условие Неймана. Доказано, что классическое решение задачи существует и единственно. Задача сведена к векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Доказана однозначная разрешимость этого уравнения. Получено интегральное представление для решения задачи.

2) Изучена задача Дирихле-Неймана для диссипативного уравнения Гельмгольца в плоской области, ограниченной замкнутыми кривыми и содержащей разрезы. На разрезах задано условие Неймана, на замкнутых кривых — условие Дирихле. Доказано, что классическое решение задачи существует и единственно. Теорема существования решения доказана с помощью теории потенциала. Задача сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Получено интегральное представление для решения задачи.

3) Изучено обобщение задачи Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. Доказано, что классическое решение задачи существует и единственно. Задача сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Получено интегральное представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

4) Изучена краевая задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, когда на одной стороне каждого разреза задано условие Дирихле, а на другой — условие третьего рода. Доказано, что классическое решение задачи существует и единственно. С помощью теории потенциала задача сведена к векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое является однозначно разрешимым. Получено интегральное представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

Результаты диссертации докладывались на всероссийской школе-семинаре "Физика и применение микроволн" (Звенигород, 2005), на международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Херсон, 2005), а также на международных конференциях молодых учёных мехмата (2005) и физфака МГУ (2003, 2005). Кроме того, результаты диссертации были представлены на всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Абрау-Дюрсо, 2004). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [103]—[114].