Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ПОСТРОЕНИЕ РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕС-КОГО УРАВНЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА.
I.I. Построение разрывных решений для бигармонического уравнения 20
1.2. Построение функции Грина для клиновидной
области 28
ГЛАВА II. ШГАРМОНИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ИЗГИБ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННЫХ И ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИНОК.
2.1. Точное решение задач изгиба клиновидных пластин упруго опертых по контуру
2.2. Точное решение задач изгиба клиновидных пластин упруго защемленных по контуру 65
2.3. Построение точного решения задач изгиба под крепленных клиновидных пластинок 76
ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ ШГАРМОНИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ, ОПИСЫВАЮЩИХ ИЗГИБ ПЛАСТИН С ДЕФЕКТАМИ.
3.1. Постановка краевых задач и вывод интегральных уравнений 102
3.2.,Исследование полученных интегральных уравнений
на разрешимость в энергетических пространствах.. НИ
3.3. Сведение разбираемых задач к бесконечным системам. Построение приближенных решений и оценка погрешности
ЛИТЕРАТУРА
- Построение разрывных решений для бигармонического уравнения
- Точное решение задач изгиба клиновидных пластин упруго опертых по контуру
- Постановка краевых задач и вывод интегральных уравнений
Введение к работе
Актуальность темы. Пластинки находят многочисленные применения в строительстве, а также авиационной, караблестроительной и других отраслях промышленности. Значительный вклад в развитие методов решения задач изгиба пластинок внесен русскими и Советскими учеными: И.Г. Бубновым [ii] , В.Г. Галеркиным [-/5] , СП. Тимошенко [50] и др. Проектирование и создание надежных в эксплуатации и достаточно экономичных конструкций приводит к необходимости рассматривать все более сложные краевые задачи изгиба пластинок, которые приводятся к интегрированию бигармонического уравнения.
Известно, что общим недостатком приближенных решений задач изгиба полигональных пластинок является слабая сходимость их вблизи угловых точек. Поэтому решая такие задачи, например, методом о конечного элемента следует выделять те элементы, которые содержат угловые точки, и задавать в них решения с осимптотикой, получаемой из точного решения для бесконечного клина. Аналогично следует поступать при решении таких задач методом граничных интегральных уравнений и методом потенциалов. Это позволит добиться лучшей сходимости приближенных методов расчета полигональных пластинок.
В настоящее время фундаментом науки о прочности является механика разрушения, которая базируется на выявлении характера особенности напряжений в окрестности концов дефектов типа трещин и тонких включений. Таким образом исследование краевых задач для бигармонического уравнения в клиновидной области при наличии дефектов и усложненных граничных условий является актуальной проблемой, представляющей большой теоретический и практический интерес.
Целью работы является: I) построение и исследование точных решений краевых задач для бигармонического уравнения, описывающих изгиб упруго закрепленных по контуру, а также подкрепленных упругими стержнями клиновидных пластинок; 2) построение и обоснование приближенных решений задач об изгибе пластин содержащих дефекты типа трещин и тонких включений.
Методика исследования. Краевые задачи для бигармонического уравнения, описывающие изгиб упруго по контуру закрепленных, а также подкрепленных упругим стержнем клиновидных пластинок методом интегральных преобразований сводится к задаче Карлемана для полосы, допускающей точное решение. Задачи об изгибе пластин содержащих дефекты типа трещин и тонких включений сводятся к интегральным уравнениям, приближенное решение которых строится методом ортогональных многочленов.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Получены точные решения бигармонических краевых задач, описывающих изгиб упруго опертых или упруго защемленных клиновидных пластинок. Изучено поведение их в вершине клина и на бесконечности.
Получены точные решения бигармонических краевых задач, описывающих изгиб клиновидных пластинок подкрепленных полубесконечным упругим стержнем. Изучено поведение их в вершине клина и на бесконечности.
Получено асимптотическое представление изгибающих моментов и обобщенных поперечных сил вблизи точки пересечения тонких дефектов типа трещин и тонких включений.
Исследованы на разрешимость в энергетических пространствах интегральные уравнения, описывающие задачи изгиба пластинок с дефектами. - Получены приближенные решения задач изгиба пластинок с дефектами и оценена скорость сходимости их к точному.
Обзор литературы. Задача изгиба бесконечной клиновидной пластинки с защемленными краями была впервые решена И.Е. Сахаровым ["4^? J . для случая произвольной нагрузки и неусложненных краевых условий (классических), под которыми будем понимать краевые условия, описывающие шарнирное опирание, защемление, свободный край и такое закрепление краев пластинки, при котором они защемлены против поворотов, но не сопротивляются прогибам, было получено Я.С. Уфляндом [5-f] , путем непосредственного преобразования Меллина к неоднородному бигармоническому уравнению и граничным условиям задачи. Однако во многих случаях практики не обеспечиваются условия жесткого опирання и защемления и поэтому приходится рассматривать пластинки упруго защемленные или упруго опертые по контуру. Особенность этих задач заключается в том, что после преобразования Меллина они сводятся к краевой задаче Карлемана для полосы
Ф(р0-п) * И(р,) Ф(/0 - Gift.), Я е& ш
Здесь И(р) и (з\(р) - известные функции, SB - прямая па раллельная мнимой оси, а Ф'(р) неизвестная функция, аналитичес кая в полосе С < ReD
В 1931 году в докладе [58] , прочитанном Цюрихскому международному математическому конгрессу, Т. Карлеман поставил задачу об отыскании аналитической функции в области, ограниченной замкнутой кривой Г , по краевому условию
Ф*[ы(*)] = G№ ФЬ) (2) где Ы () ~ изменяющий ориентацию гомеоморфизм / на себя
Т. Карлеман предложил изучать задачу (2) при условиях ы[ы.и)~]s і . G(t)&[d(i)] = і Полное решение задачи (2) для ограниченной односвязной области получил в 1947 году с помощью метода интегральных уравнений Д.А. Квеселава [ 19J . Задача (2) в более общей постановке рассматривалась в работах Г.С. Литвинчука [25\ , В.Г. Кравченко [20,2^ и др.
Известны два метода решения задачи (I) для полосы: метод сведения к задаче Римана и метод канонических решений. Первый метод был положен Ю.И. Черским [53,5^/j и основан на идее сведения задачи Карлемана для полосы к задаче Римана на разомкнутом контуре. Сведение было осуществлено путем введения "склеивающей" функции, отображающей полосу на плоскость с разрезом. Согласно второму методу, предложенному Р.Д. Банцури [ 3], решение задачи (I) ищется в виде
Ф(р) = <%(р>Х(р) (3) где J((p) и ^(р) решения двух канонических задач: задачи факторизации
К(р.)=/(р.)/Ьп) (4) и задачи о скачке
Ф,(р.«» * Ф, (p.) = QJPJ, Є,
Решение канонических задач Р.Д. Банцури получил в виде >_ ,?_ /(p) = expljfi / L tf($) cty%(s-p)ds] (6) в случае U(p) и Gtp) удовлетворяющих условию Гельдера, вклю чая бесконечную точку, на прямой Rep= С » Н(р) Ф-0 и К(С-Іоо)^Н(С+Іоо) , віт G,(P) = 0 .Он же в [51 обоб- щил решение для случая растущей на бесконечности плотности Qt(p).
Метод решения краевых задач математической физики, основанный на сведении к краевой задаче Карлемана для полосы применялся в работах Койтера ( Uoi te 2 W.T. ) [59] , Р.Д. Банцури J3^/,5], Г.Я. Попова и Л.Я. Тихоненко [38,39] , Б.М. Нуллера [2В,29] .
Последнее время особую актуальность приобрели краевые задачи для бигармонического уравнения , описывающие изгиб пластинок с дефектами типа трещин и тонких включений. Понятие дефекта математически выражается в том, что при переходе через отрезок, например и-0 , \Х\< і , некоторые из величин: прогиб, угол поворота, изгибающий момент, либо обобщенная поперечная сила имеют разрывы первого рода, причем в ряде случаев величина скачка неизвестна. Подобным задачам посвящено много публикаций, подробный обзор которых дан в обзорной статье [38] и монографиях [id] и [3Q . Остановимся на некоторых из них. В 1961 году Уильяме с помощью метода собственных функций, дал распределение напряжений вблизи прямолинейной трещины в изгибаемой пластинке [62] . Однако результаты Уильямса оказались неполными в том смысле, что они содержали одну неопределенную постоянную, которая позже была оце- нена в [56] . В работе A.M. Линькова и В.А. Меркулова [2li] рассматривалась бесконечная пластинка с конечным числом трещин. Задача решалась методами теории аналитических функций. В работах Э.В. Белубекяна [8] , О.М. Сапонджяна [48"] , Б.К. Михайлова [26] рассматривалась прямоугольная пластинка с трещиной. Интегральное преобразование применялось вдоль трещины, в результате чего задача сводилась к парным рядовым уравнениям. В работе [ЯІ] Л.Т. Бережницкого, М.В. Делявского, Л.П. Мазурака, В.В. Панасюка методом теории аналитических функций решена задача изгиба круглой пластины с центрально размещенной трещиной. В работах Г.Я. Попова и О.В. Онищука [34,33,56] обобщенным методом интегральных преобразований задачи изгиба прямоугольной пластинки с дефектами типа трещин или тонких включений были сведены к интегральным уравнениям относительно неизвестных скачков. Эти уравнения путем применения метода ортогональных многочленов приводились к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, которые решались методом редукции. Особую сложность составила задача о контакте пластинки с жестким включением, сводящаяся к интеграль- ному уравнению первого рода с непрерывным ядром -і Здесь *b(3L,t) - бесконечнодифференцируемая функция в квадрате -У <~эс,Ь-й і ,а jC(i) - неизвестные контактные напряжения между пластинкой и включением.
В [34,33,36] было показано, что интегральное уравнение (7) не имеет интегрируемых решений. Здесь же было предложено искать решение в пространстве функций имеющих неинтегрируемые особенности вида (Ч-СХ2) z с применением аппарата регуляризации расходящихся интегралов. В [33] была дана механическая интерпри-тация регуляризованного интеграла. В работах [30,3б] этот же аппарат был применен для построения приближенного решения в случае упругого включения. Дополнительная сложность такой задачи заключается в том, что в интегральном уравнении (7) ядро D(cc,t) не является бесконечнодифференцируемым. Наличие неинтегрируемых особенностей вблизи жесткого включения было отмечено также в [52J Однако остались невыясненными вопрос о классе единственности, разрешимости и устойчивости решения уравнения (7), а также вопрос об оценке скорости сходимости приближенных решений к точному.
Интегральные уравнения с сингулярным ядром исследовались в пространствах типа Ьр многими авторами, например,В.М. Александровым [ і,2]
Интегральные уравнения в классах обобщенных функций рассматривались в работах B.C. Рогожина [#6] , Р.Д. Банцури, Г.А. Джанашия [G] , Ю.И. Черского [55] , В.В. Пальцева [ЗЧ,2>5] , М. Ортона С М. 07ton ) [60,61] и др.
Отметим, также, что обычно для замыкания постановки смешанных задач теории упругости оговаривают поведение искомого решения в особых точках (точках смены граничных условий, в угловых точках "и на бесконечности). И.И. Ворович [ Ш] предложил вместо этого более естественное условие конечности потенциальной энергии деформации. Эта идея реализуется в настоящей работе для случая задач изгиба пластинок с дефектами.
Аннотация глав диссертации. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней построены функции Грина для клиновидных областей и разрывные решения для бигармонического уравнения, под которыми понимаются решения имеющие заданные скачки искомой функции и ее производных (угол поворота, изгибающий момент и обоб- - Уч- тенная поперечная сила). Такие решения записываются с помощью так называемой формулы Сомилианы. Их обычно [12, -/3] выводят из формулы Грина. В I.I дан новый вывод этой формулы с помощью обобщенного метода интегральных преобразований. В 1.2 построены функции Грина бигармонических краевых задач с классическими краевыми условиями в клиновидной области.
Вторая глава посвящена построению точных решений бигармонических краевых задач, описывающих изгиб упруго закрепленных по контуру, а также подкрепленных упругим стержнем клиновидных пластинок. В 2.1 описан класс краевых задач, к которым приводится изгиб клиновидных пластин, имеющих упруго опертую грань и допускающих точное решение. Типичной из этих зддач является следующая DA210(2,9) = ЦС?,9), 0<2
9^-dL , МвІО=0, иі^кЦглУ^О (g)
При этом A - оператор Лапласа, С),(7,0) - заданная функция,
К » D - заданные постоянные, MQ и V - дифференциальные операторы
Искомая функция 1/)(7.,9) должна удовлетворять условиям -H'\wi%d) ч-гиег.-ы)] + фгб) vd&lcW = О n- (T г ґ і (7 ґ G помощью интегрального преобразования Меллина задача (8-Ю) сводится к краевой задаче Карлемана для полосы (I), допускающей точное решение. Выявлена асимптотика решения краевой задачи (8-Ю) в вершине клина и на бесконечности. Доказано, что асимптотика решения задачи вблизи вершины клина не изменится, если второе краевое условие в (10) заменить на условие
9 = ± oit V9u=o
С точки зрения механики это означает, что характер асимптотики напряжений вблизи вершины клина не изменится если условие грань пластинки упруго сопротивляется прогибам, заменить условием грань пластинки не сопротивляется прогибам. К этому же классу относятся краевые задачи для уравнения (8), у которых при 9 - d одно из краевых условий является условием упругого опирання = oL , US + НІҐісї =0 а остальные краевые условия - классические.
В 2.2 описан класс задач, к которым приводится изгиб клиновидных пластинок, имеющих упругозащемленную грань и допускающих точное решение методом сведения к краевой задаче Карлемана для полосы. При этом грань 9 = Ы. называется упруго защемленной, если на ней одно из краевых условий имеет вид --/2- где И - константа.
Исследована асимптотика таких задач в вершине клина и на бесконечности. Доказано, что асимптотика решения задачи вблизи вершины клина не изменится если краевое условие (II) заменить условием
9= ос, Mow=0 С точки зрения механики это означает, что характер асимптотики напряжений вблизи вершины клина не изменится если условие грань пластинки упруго сопротивляется поворотам заменить условием грань пластинки не сопротивляется поворотам.
В 2.3 описан класс бигармонических краевых задач, к которым приводится изгиб клиновидных пластинок подкрепленных упругим стержнем, допускающих точные решения путем сведения их к краевой задаче Карлемана для полосы. При этом считается, что ось стержня лежит в срединной плоскости пластинки. Типичной среди этих задач является следующая. Ищется функция IaJLxm) , удовлетворяющая уравнению и краевым условиям 0 = -р,ы к/^Мгсг^О 'е-» (13) а также условиям сопряжения пластинки и стржня, имеющим, в случае стержня работающего только на изгиб, вид е=о. П ^Ч +V*~o ъъч (14) uf-if>*=M*-0 (15)
Здесь Ю0 - заданная постоянная, QfyB) - заданная функция, а
4>*m = <%шо)> , vj*= 8 случае стержня работающего только на кручение условия со пряжения преобретают вид в-о, D„fJa/>wbM*=0 Ша) ^*= = X = (15 а) Рассмотрены также другие условия сопряжения стержня и пластинки (15, 15 а), а также другие краевые условия (13) пластинки. Рассмотрен также случай, когда стержень подкрепляет грань пластинки. Построены точные решения этих задач и исследована асимптотика полученных решений в вершине клина и на бесконечности. Доказано, что асимптотика решения вблизи вершины клина не изменится, если краевые условия (14) и (14 а) заменить краевыми условиями 9 = 0, uf = 0 ; 0 = 0, 1= = о соответственно. С точки зрения механики это означает, что асимптотика напряжений вблизи вершины клиновидной пластинки не изменится, если упругий стержень заменить на абсолютно жесткое включение. Используя полученные точные решения задач изгиба подкреп-лннных пластинок изучен характер поведения изгибающего момента и обобщенной поперечной силы вблизи точек пересечения линейных дефектов. В частности получены трансцендентные уравнения, описы- вающие характер поведения внутренних усилий в изгибаемой пластинке вблизи: I) конца стержня; 2) конца отслоившейся балки; 3) точки пересечения двух балок; 4) точки соприкосновения концов двух балок; 5) точки соприкосновения концов балки и трещины; 6) конца балки упирающегося в трещину; 7) точки соприкосновения конца стержня и пластического шарнира. В случаях I) и 2) результаты в совпали с результатами работы [32] и [33]. В третьей главе исследованы краевые задачи для бигармоничее-кого уравнения, описывающие изгиб пластинки с дефектами типа трещин и тонких включений. В 3.1 поставлены задачи изгиба пластин с дефектами: о жестком тонком включении при действии на него силы (задача о контакте пластинки с включением) или моментом (задача о поворачивающемся включении), задача о тонком упругом включении (балки) при действии на включение равномерно распределенной нагрузки (задача о контакте пластинки с упругим включением), задача о трещине, берега которой загружены моментами одного знака (задача об изломе пластинки), задача о трещине берега которой загружены поперечными усилиями одного знака (задача о раскрывающейся трещине). Постановка этих задач отличается от постановки их в[#,33,35] тем, что пластинка имеет произвольное очертание, симметричное относительно дефекта, и тем, что вблизи концов дефекта не оговаривается характер поведения искомых прогибов и напряжений, а следуя Н.И. Воровичу [іч] требуется конечность потенциальной энергии изгиба пластинки. С помощью формулы эти задачи сводятся к интегральным уравнениям вида -/3"- SX = I [\U)+№xhlt)clt = Л (a) _{ L J/ (15) где //(ЭС,l) полиномиальное ядро, для которого справедливо билинейное разложение где 5. рс) - ортогональные на отрезке с весом многочле ны. Ядро )(0C,t) бесконечно дифференцируемая функция в квад рате - Это пространство будем называть энергетическим. В 3.2 исследуются полученные интегральные уравнения на разрешимость во введенных энергетических пространствах. Для этого вводится пространство ? как пополнение пространства основных функций с носителем (--/,0 по норме \\р\ -(l\p)dx\^t)f](x,t)dtj Доказывается, что система функций о =0(003^00( -_полна в 3F и, следовательно, ^ изоморфно Доказывается, что однородное интегральное уравнение имеет в пространстве 3- единственное решение. Строится И : пространство на которое оператор П отображает пространство cF Доказывается, что оператор П , отображающий З7 на Н имеет ограниченный обратный. Далее предполагается, что 1)(^Х,ч таково, что интегральный оператор отображает пространство ? в fj и является вполне непрерывным. Вводится в пространстве основных функций с носителем (-4, у еще одна норма (16). Доказывается, что в пространстве основных функций с носителем (-4, у нормы (16) и (17) эквивалентны. Откуда следует единственность решения уравнения (15) в 3 Из вышеуказанного вытекает Теорема. Интегральный оператор $ отображает пространство 3- на пространство /V и имеет ограниченный обратный. Из доказанной теоремы следует, что интегральное уравнение (15) при выполнении требований относительно D(X,t) и для правых частей из Н имеет единственное и притом устойчивое решение в J В 3.3 доказывается, что при сделанных выше ограничениях на D(0C,t) интегральное уравнение (15) в Э7 равносильно бесконечной системе линейных алгебраических уравнений вида Далее доказывается, что во всех поставленных задачах ядро CDtect) таково, что оператор D отображает пространство J в Н , вполне непрерывный и Оо С < К,К1=0 Полученные бесконечные системы можно решать методом редукции. При этом приближенное решение Х = (ХЛ стремиться в с2 к точному решению /-{/Л _-^ причем быстроту сходимости можно оценить II JC-tpУН Для каждой из задач доказано, что приближенное решение интегрального уравнения (15) ы X їх) = 5)cx)2L/K\w к=о CI9) Сходится в J- к точному решению, причем скорость сходимости можно оценить II/W-JTfe)II Доказано, что приближенное решение 7л5(ОТ,2у) каждой из поставленных задач сходится в пространстве М/(Q) к точному решению, причем скорость сходимости можно оценить -/«?- (21) При этом в формулах (18), (19), (20),(21) число m - любое наперед заданное во всех задачах, кроме задачи о контакте пластинки с упругим включением, где YYL - ЛІ2. Дпробация работы и публикации. Материалы диссертации докладывались на П и Ш Республиканских симпозиумах по дифференциальным и интегральным уравнениям (Одесса, 1978 и 1982 гг.), на Республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений" (Донецк, 1983 г.), на семинаре кафедры теории упругости МГУ в ноябре 1982 г. (научный руководитель профессор Б.Е. Победря), на семинаре кафедры интегральных уравнений РГУ (научный руководитель профессор С.Г. Самко), на семинаре кафедры теории упругости РГУ (научный руководитель чл.-кор. АН СССР Ворович И.И.), на семинаре по математической физике ОГУ (научный руководитель профессор Г.Я. Попов). По теме диссертации опубликовано шесть научных работ \37,4/-У5 Автор благодарит Г.Я. Попова за руководство в работе и постановку задач. Рассмотрим задачу изгиба пластинки, занимающей область 2 , удовлетворяющей на границе Г области 2 однородным краевым условиям и имеющей бесконечно малый дефект в точке N($,Q) . Пластинка изгибается под действием нагрузки ОСъу). Под бесконечно-малым дефектом понимается такая точка в пластинке, при переходе через которую, например в направлении параллельном оси ОХ , терпят заданные скачки функция прогиба, угол поворота, изгибающий момент и обобщенная поперечная сила. Введем дифференциальные операторы. В этом и последующих параграфах получим точное решение некоторых краевых задач математической физики к которым сводятся задачи изгиба пластинок. Краевые задачи для клиновидных областей естественно исследовать в полярных координатах ( 1 , в ), считая, что клин ограничен либо лучами в = ± об , 0 2 оо , либо лучами 0=0, в -о(. , 0 7 оо . Процедура решения этих задач основана на следующем свойстве интегрального преобразования Меллина справедливом при некоторых ограничениях на функцию \Jf С 2 , Q ) Это свойство позволяет уравнение в частных производных для функции Ц) ( 7. , в ) свести к обыкновенному уравнению относительно функции ( 2 » О ), общее решение которого строится, как правило, без особых усилий, При этом в состав решения обязательно входят произвольные функции параметра р , которые следует определить из краевых условий. Если здесь нам сопутствует успех, то решение исходной задачи получим в виде обратного преобразования Меллина от функции (р , & ). Следует отметить, что успех здесь сопутствует не всегда. Все зависит от вида краевых условий. Следуя [40/ введем понятие дефектного числа. При этом дифференциальные операторы LP Мп и уп связывают угол поворота, изгибающий момент и обобщенную поперечную силу с прогибом пластинки и определены в (I.I.I), К1 - нормаль к контуру Г Будем предполагать, что область 2 симметрична относительно прямой Ц -0 и что она содержит сегмент. Пусть на отрезке имеется абсолютно жесткое тонкое включение, которое под действием силы Ф и момента М перемещается в вертикальной плоскости. Предполагая, что граничные условия (1.2) являются неособенными, требуется выяснить зависимость между осадкой О , углом поворота LP включения, момента М и силой Поставленная задача эквивалентна отысканию решения неоднородного бигармонического уравненияПостроение разрывных решений для бигармонического уравнения
Точное решение задач изгиба клиновидных пластин упруго опертых по контуру
Постановка краевых задач и вывод интегральных уравнений
Похожие диссертации на Краевые задачи для бигармонического уравнения в клиновидной области при наличии дефектов и усложненных граничных условий
