Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Краевые задачи с нелокальными условиями для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа 23
1.1. Нелокальная задача с интегральным условием первого рода
1.2 Нелокальная задача с интегральными условиями второго рода 37
1.3 Нелокальная задача с интегральными условиями первого рода 55
1.4 Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа 59
Глава 2. Задачи с нелокальными по пространственным переменным условиями для гиперболического и псевдоги перболического уравнения 65
2.1 Задача с нелокальным интегральным условием второго рода для гиперболического уравнения 65
2.2 Нелокальная задача для псевдогииерболического уравнения в цилиндре 79
2.3 Нелокальная задача для исевдогиперболического уравнения в параллелепипеде 97
Список литературы
- Нелокальная задача с интегральными условиями второго рода
- Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа
- Нелокальная задача для псевдогииерболического уравнения в цилиндре
- Нелокальная задача для исевдогиперболического уравнения в параллелепипеде
Введение к работе
Актуальность темы. Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, бурно развивающимся в последнее время, является теория нелокальных задач. Внимание к таким задачам обусловлено не только теоретическим интересом, но и практической необходимостью. К нелокальным задачам нередко приводит математическое моделирование ряда физических процессов, представляющих интерес для современного естествознания. К ним относятся процессы, происходящие в турбуленткой плазме, процессы теплопроводности, влагопереноса в капиллярно-пористых средах, волновые процессы в неоднородной среде.
Исследования показали, что присутствие нелокальных условий вызывает ряд специфических трудностей, которые не позволяют использовать для обоснования разрешимости нелокальных задач стандартные методы. Поэтому вопрос разработки методов исследования нелокальных задач является весьма актуальным.
Большой интерес среди нелокальных задач представляют задачи с интегральными условиями. Такие условия могут возникать в ситуациях, когда граница области протекания реального процесса недоступна для непосредственных измерений, но можно получить некоторую дополнительную информацию об изучаемом явлении во внутренних точках области. Часто такая информация поступает в виде некоторых средних значений искомого решения. При математическом моделировании такую информацию удобно представить в виде интеграла.
Среди первых работ, посвященных исследованию задач с нелокальными интегральными условиями для уравнений с частными производными, отметим статьи Дж.Кэннона (J.R. Cannon)1
1 Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy//Quart. Appl. Math.-1963. -V.21.-e.2. -P. 155-160.
и Л.И. Камынина2, опубликованные в 1963 и 1964 годах соответственно. В этих работах изучен вопрос о разрешимости уравнения теплопроводности с нелокальными по пространственной переменной интегральными условиями.
В большинстве первых работ рассмотрены задачи для уравнений параболического и эллиптического типов. Нелокальные задачи для гиперболических уравнений стали объектом исследованием несколько позже, но в настоящее время активно изучаются. Систематическое исследование задач с нелокальными условиями для гиперболических уравнений началось в конце 20 века. Отметим здесь среди первых работ в этом направлении статьи Л.С. Пулькиной3, A. Bouziani4, Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили5.
В последнее время возник интерес к постановке и исследованию нелокальных задач для уравнений смешанного типа и вырождающихся уравнений. Отправной точкой исследования таких задач является статья Ф. Франкля6. Важный вклад в изучение нелокальных задач для уравнений смешанного типа внесли работы В.И. Жегалова, А.М Нахушева, Г.Д. Каратопраклиева, С.Н. Глазатова, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова.
Отметим, что в большинстве работ, посвященных нелокальным задачам с интегральными условиями, изучены задачи с нелокальными по пространственным переменным условиями для уравнений второго порядка.
Представленная диссертация содержит результаты исследований задач с нелокальными по временной переменной условиями для гиперболических уравнений второго порядка, уравнений
2Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими условия-ми//Журнал вычислительной математики и математической физики.-1964.-Т.4.-№6.-С. 1006-1024.
3Пулькина Л.С. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения//Дифференциальные уравнения.-2000.-Т.36.-2.-С.279-280.
4Bouziani A. Strong solution to an hyperbolic evolution problem with nonlocal boundary conditions//Maghreb Math. Rev.-2000-V.9.-l-2.-p.71-84
5Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний сре-ды//Матем. моделирование.-2000.-Т.12.-1.-С.94-103.
еФранкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике.-М.:Наука. 1973.-324с.
смешанного типа, а также пространственно нелокальных задач для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка.
Целью настоящей работы является разработка методов исследования разрешимости краевых задач с нелокальными по времени интегральными условиями для уравнений гиперболического и смешанного типов, а также задач с нелокальными по пространственным переменным условиями для псевдогиперболического уравнения в цилиндрических областях.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств С.Л. Соболева.
Научная новизна. В диссертации предложены методы исследования разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями, с помощью которых получены следующие новые результаты:
-
Доказана однозначная разрешимость задач с интегральными условиями по временной переменной первого и второго рода для гиперболических уравнений.
-
Доказано существование единственного обобщенного решения задач с интегральными условиями по временной переменной для вырождающегося уравнения и уравнения смешанного типа.
-
Доказана однозначная разрешимость задач с интегральным нелокальным условием по пространственным переменным для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка.
Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач, для применения в исследовании прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.
Апробация работы. Основные результаты доложены на:
научном семинаре "Неклассические задачи математической физики" под руководством доктора физико-математических наук, профессора Пулькиной Л.С. в Самарском государственном университете в 2010-2013 гг;
Всероссийской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (кСамДиф-2009н>) (г. Самара, 2009);
второй Всероссийской научно-практической конференции "Интегративный характер современного математического образования" (г. Самара, 2009);
Всероссийской научной конференции с международным участием "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Стер-литамак, 2011);
восьмой Всероссийской научной конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", посвящцнной 75-летию Ю. П. Самарина (г. Самара, 2011);
международной научной конференции, посвящцнной 120-му юбилею Ст. Б анаха (г. Львов, 2012);
Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (г. Воронеж, 2013);
четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (г. Москва, 2013);
международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Белгород, 2013);
XI Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (г. Казань, 2013).
Публикации. По теме дисертации опубликовано 12 работ, которые отражают ее основные результаты. Список публикаций приведен в конце автореферата. Три работы: [5], [10], [11] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из вве-
Нелокальная задача с интегральными условиями второго рода
Отметим, что большинство работ, посвященных нелокальным задачам, содержат результаты исследования задач с нелокальными по пространственным переменным интегральными условиями. В предлагаемой диссертации первая глава посвящена изучению нелокальных по времени задач. Результаты исследований в этом направлении отражены в работах А. А. Керефова [28], J. Chabrowski [91, 92], В.В. Шелухина [87], А.И. Кожанова [39], Д. Г. Гордезиани , Г. А. Авалишвили [14, 15], Б.Е. Кангужина [26], Г.А. Лукиной [50, 51], Н.Р. Пинигиной [65], A.M. Кузь, Б.И. Пташник [48] и других авторов. Заметим, что основное внимание авторов упомянутых работ посвящено исследованию задач для параболических и псевдопараболических уравнений. В представленной диссертации изучены нелокальные по времени задачи для гиперболических уравнений.
Также в данной работе представлен качественный анализ нелокальных задач для вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа в прямоугольной области.
Возникшая в начале двадцатого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям. Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа положено в работах Ф. Трикоми [85], где впервые поставлены и исследованы задачи для модельных уравнений смешанного типа. Ф. Франкль [86] обнаружил приложение задачи Трикоми в теории сопел Лаваля и в других разделах тран сзвуковой газовой динамики. Классические задачи для этих уравнений систематизированы в монографиях [84, 78].
Одним из современных направлений исследования задач для уравнений смешанного типа и вырождающихся уравнений являются нелокальные задачи, отправной точкой которых является статья Ф. Франкля ([86], стр. 449 - 458). Важный вклад в изучение таких задач внесли работы В.И. Жегалова [19, 20], Л.С. Пулькиной [75, 76], С.Н. Глазатова [13], Е.И. Моисеева [56], К.Б. Сабитова [78, 79, 80] и других авторов.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию разрешимости нелокальных по пространственным переменным задач для гиперболического и псевдогиперболического уравнения.
Краевые задачи для уравнений Соболевского типа высокого порядка изучаются в настоящее время многими авторами. Отметим монографию [46] и статьи [11, 12, 47, 64, 42], в которых основное внимание уделено псевдогиперболическим уравнениям с классическими начально-краевыми условиями.
Псевдогиперболические уравнения возникают в теории нестационарных внутренних волн в стратифицированных и во вращающихся жидкостях, при описании процесса движения электронов в системе «сверхпроводник — диэлектрик с туннельной проводимостью — сверхпроводник», в теории упругости (задача о продольном колебании упруго-вязкого неоднородного стержня).
Некоторые нелокальные краевые задачи для псевдогиперболических уравнений изучены в работах [2, 7, 53, 54]. Отметим, что в большинстве работ, посвященных нелокальным задачам с интегральными условиями, изучены задачи с нелокальными по пространственным переменным условиями для уравнений второго порядка. Однако исследования нелокальных задач выявили их тесную связь с обратными задачами, условия переопределения в которых заданы в виде интеграла по неременной времени, в связи с чем возрос интерес и к прямым задачам с нелокальными по времени условиями. Обратные задачи с условием переопределения в интегральном виде рассмотрены в работах [24, 25, 8, 9, 3, 45].
Исследования задач с нелокальными условиями выявили их связь с задачами для нагруженных уравнений, которые наиболее точно описывают многие теплофизические и диффузионные явления: процессы фильтрации, механику вязкоупругости, а также возникают при изучении нелинейных уравнений, задач управления, обратных задач для уравнений теплопроводности и массопереноса, численного решения краевых задач. Отметим только, что особый вклад п исследование нагруженных уравнений внес A.M. Нахушев. В монографиях A.M. Нахушева [59, 60] приведен полный обзор работ, посвященный нагруженным уравнениям, установлена их тесная связь с нелокальными задачами для уравнений с частными производными, предложен способ решения краевых задач для дифференциальных уравнений, который состоит в замене уравнения специальным образом подобранным нагруженным дифференциальным уравнением такого же типа и порядка.
Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа
Под решением задачи 1.2(a) понимается функция и(.т, () Є Є W iQr), удовлетворяющая условию и(х,0) = {х) и тождеству ТІ І ТІ I I {—utvt + uxvx + cuv)dxdt = I v(x, Q) {x)dx + J I fvdxdt 0 0 0 0 0 для любой функции v(x,t) Є W iQr)- Опираясь на известные результаты о разрешимости этой задачи в пространстве о і W-nQiOn W% (0, Z), покажем, что при выполнении условий теоремы 1.2 применение к решению задачи 1.2(a) нелокального условия (1.7) приводит к операторному уравнению относительно функции 1р(х). На следующем шаге покажем, что операторное уравнение однозначно разрешимо. На завершающем этапе доказательства покажем, что разрешимость операторного уравнения влечет за собой разрешимость задачи 1.2. Вспомогательная задача есть не что иное как первая начально-краевая задача для уравнения (1.1) и является частным случаем для п — 1, a(x,t) = 1 задачи, разрешимость которой доказана в [49, с. 209-215].
Таким образом, существует единственное обобщенное решение задачи 1.2(a), которое имеет кроме того производные utt и uxt из ЫЯт), \\щ{х,0) - ф(х)\\ь2(о,і) - 0 при t -» 0. И справедлива оценка: \M\WUQT) c(T)(\\ p\\wim + u\\L2m + WfWuor))- (ыз) Применим теперь интегральное условие (1.7) к решению вспомогательной задачи. Получим операторное уравнение: т «х) + 7/ (,,.)« - „). (1.14) о Покажем, что при выполнении условий теоремы 1.2 оператор т j K{x,t)udt сжимающий. Для этого нам потребуется уточнить по-о стояпную С(Т) в оценке (1.13). Как это будет видно из дальнейших рассуждений, достаточно рассмотреть частный случай, т.е. когда f(x,t) = 0, р(х) = 0. Интересующее нас неравенство (1.13) получено замыканием по норме W QT) неравенства, выведенного для приближенных решений задачи. Не повторяя здесь известные выкладки, обратимся сразу к равенству для Галсркинских приближений, опуская индекс "т", / (uu — ихх +c(x,t)u)utdxdt = / I f(x,t)utdxdt, oo oo из которого и выведено неравенство, приводящее к (1.13). В этом равенстве и(х, t) є C2{QT) f] Cl{QT). Интегрируя в левой части изучаемого равенства, получим: і і ТІ [и2(х,т) + u2(x,r)]dx — І и2(х, 0)dx — 2 / / c(x,t)uutdxdt. о о оо Оценив правую часть с помощью неравенства Коши, приходим к неравенству: і і т і [u2(x,r)+ul(x,T)}dx ip2(x)dx + c0 (u2 + v2)dxdl. (1.15) 0 0 0 0 Так как в силу условия и{х, 0) = 0 имеет место представление т и{х,т) = / uri{x,rj)dr]: о то справедливо неравенство I т і / u2(x,r)dx т I I ut(x,t)dxdt, о оо прибавив которое к (1.15), получим I I т і [u2(x,r)+u2(x,T)+ul(x:r)}dx t(j2(x)dx+C2 (u2+u2)dxdt, о ооо где С2 = со + Т. В частности і I т і / [и2(х, т) + и2(х, r)]dx / ip2(x)dx + с2 / / (и2 + u2)dxdt. 0 0 0 0 В силу леммы Гронуолла отсюда получаем, заметив, чтосг С\, і j[u2(x, т) + и2(х, r)]dx eCllV;i2{0,z)- (1.16) о Интегрируя (1.16) по т от 0 до Т, будем иметь Т I \x,t) + u2t(x,t)]dxdt (е т - l)M!2(0,o w о и и в частности H\l(QT) -(ес т - ЩМ 1т- (1.17) т Вернемся к оператору А( ) = J K(x,t)udt. о Покажем, что он переводит каждую функцию ф(х) / 2(0,0 в функцию, принадлежащую тому же пространству. Действительно, если ф(х) Є L2(0,l), то существует решение задачи 1.2(a) и(х, t) Є Є W.}(QT). Тогда і т т / 1И ІІ2(0,г) = / ( / K(x,t)udt)2dx к% u2dxdt const. 0 0 0 0 Рассмотрим теперь Т р{Аф1,Аф2) = \\Афг - Аф2\\ь2т = \\ I K(x,t)(m - и2)сЙІ2(0д о где щ(х, t),U2(x,t) — решения вспомогательной задачи, соответствующей условиям иі(ж,0) = р(х),ии(х,0) = фі(х), и2{х, 0) = tp(x), u2t{x, 0) = ф2(х), щ(0Л) =Ui(l,t) =0,і = 1,2. Обозначим u(x,t) = щ(х,і) — u2(x,t), ф(х) = Ф\{х) — ф2(х). Тогда и(х, t) — решение вспомогательной задачи для однородного уравнения (1.1) с условиями и(х,0) = 0,щ(х,0) = ф(х),и(0,і) =u(l,t) = 0. И сразу же заметим, что оценка (1.17) получена для решения именно этой задачи. Продолжим оценку нормы оператора т т IT I К(щ - «2) 11 (0,0 = I Kudt\\Lm) = ( f{J Kudtfdxf 0 0 Ы\Чьмт) А«\/ (еСіГ - 1)\Шь ы) Так как всилу условия теоремы 1.2 кол/ -{еСіТ — 1) 1, то оператор А(ф) сжимающий. Стало быть, существует единственное решение уравнения (1.14). Взяв это решение в качестве начального условия щ(х, 0) = ф(х) вспомогательной задачи, мы получим функцию, которая и является обобщенным решением задачи 1.2.
Действительно, пусть и(х, t) — решение вспомогательной задачи 1.2.(а), где функция ф(х) в начальном условии есть решение операторного уравнения (1.14). Тот факт, что u(x,t) —- решение задачи 1.2.(а), означает, что для любой функции v(x,t) Є W%(QT) выполняется тождество ТІ І ТІ І !{-щщ+uxVx+cuv)dxdt=/и(ж m{x)dx+IJfvdxdL 0 0 0 0 0 т Так как ф{х) = д(х) — у J К(х, t)udt, то, подставив ее в это тожде о ство, получим ті IT / / (—щщ + uxvx + с(ж, t)uv)dxdt + 7 / v(x,0) / K(x,t)udtdx = 00 00 I T I = / v(x, 0)g(x)dx + f(x t)vdxdt, о oo то есть u(x,t) удовлетворяет тождеству (1.8). Будучи решением задачи 1.2.(а), функция u(x,t) удовлетворяет и условиям (1.2), (1.3). Таким образом, теорема 1.2 полностью доказана. Теперь мы можем доказать разрешимость задачи 1.1. Теорема 1.2.1. Если выполнены условия теоремы 1.2 и кроме о 1 того р{х) Є Wf(0, l)D W2 (0, Oi ct(x, t) Є C(QT), то для п.в. (x, t) Є Є QT существует решение задачи 1.1.
Доказательство. Пусть u(x,t) — решение задачи 1.2(a). Покажем, что при выполнении условий теоремы 1.2.1 это решение принадлежит пространству W22(QT)- МЫ опять можем воспользоваться известным для более общего уравнения результатом, утверждающим, что при сформулированных условиях решение первой начально-краевой задачи имеет производныеuu,uxt Є - (Qr) ([49], с.216). Покажем, что существует и ихх Є 1/г(Ог)- Тождество, определяющее обобщенное решение задачи 1.2(a) запишем так:
Нелокальная задача для псевдогииерболического уравнения в цилиндре
Таким образом, мы пришли к динамическим нелокальным условиям. Условия (III) могут иметь более простой вид, если учесть свойства функций Ki(x,t). Например, если Kix(l,t) = Kjx(0,t) = 0, то Aij(t) = Bij(t) = 0. Если Kixx(x,t) = 0, то в условии отсутствует интеграл, содержащий utt(x,t). Приведенные рассуждения и проделанные преобразования послужили обоснованием постановки задачи, которая рассмотрена в этом параграфе. В области Qx = S1X (О, Т), где Г2 С В? — ограниченная область с гладкой границей д$1, рассмотрим уравнение Определение 2.2. Обобщенным решением задачи 2.2 будем называть функцию u(x,y,t) Є W(QT), удовлетворяющую условию и(х, у,0) = ср(х.у) и тождеству (2.22) для любой функции v(x,y,t)eW(QT).
Теорема 2.2. Если f(x,y,t) Є L2(QT), р(х,у),ф(х,у) Є W(fl), c(x, у, t) Є C(QT), K(, rj, x, y, t) непрерывна в области определения и интегрируема с квадратом по QT для почти всех (ж, у) Є Q, то существует единственное обобщенное решение задачи 2.2.
Применив к последнему неравенству лемму Гронуолла, получаем, что / [и2 + w\ + w rdxdy 0, ft откуда следует, что и(х, у, т) = 0, w\{x, у, т) = 0, W2(x, у, т) — 0. Повторяя рассуждения для г є Щ Ц] убеждаемся, что и(х, у, т) = 0 на этом промежутке. И так в конечное число шагов докажем обращение и(х,у,т) в нуль для всех г Є [О,?1].
Рассмотрим полную в W%(Q,l) систему линейно независимых функций {wk(x,y)}kxLl, wk(x,y) Є C2(Q). Будем искать приближенное решение задачи 2.2 в виде
Это означает, что система (2.29) разрешима относительно старших производных, следовательно, задача Коши (2.30) — (2.31) имеет единственное решение c\(t), ...,cm(t) для Vm є N. Таким образом, последовательность ит{х, у, t) приближенных решений построена. Покажем теперь, что эта последовательность ограничена в пространстве W(QT). Умножим (2.29) на dAt) , просуммируем и проинтегрируем по t:
Так как константа в правой части (2.35) ис зависит от т, то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу и (ж, у, і) є W iQr) Покажем, что u(x,y,t) есть обобщенное решение задачи 2.2.
Условие (2.20) будут выполнены в силу слабой сходимости в W(QT) {ит(х, у, )} к и(х, у, t), которая означает, что ит(х, у, 0) — -Ыр(х,у).
Покажем, что предел выделенной подпоследовательности удовлетворяет тождеству (2.22). Умножим (2.29) на функцию hj(t) Є Є C1(QT), такую, что hj(T) = 0, просуммируем по і (от 1 до тп) и проинтегрируем по і от 0 до Т.
Обозначим совокупность таких функций г)(х, у, t) через 0т. В (2.36) перейдем к пределу при фиксированной функции rj(x,y,t) Є вт. Это приведет к тождеству (2.22) для предельной функциии(х, у, t). Так как совокупность всех функций rj(x,y,t) плотна в W(QT), ТО полученное тождество выполнено для любой v(x,y,t) Є W{QT) Следовательно, и(х, у, t) — обобщенное решение задачи 2.2.
В области Пг найти решение уравнения (2.19), удовлетворяющее начальным условиям (2.20) и нелокальным условиям v і Uxttih У, t) + aux(l, y,t) + J J К(1, у, , ц, )«(, г/, t)ddr) = 0, о о V і Uxtt(0, У, t) + аих(0, у, t) + f J К(0, у, , V, t)u(t, V, t)ddr) = 0, о о Р і uytt(x, р, i) + buy(x, p,t) + J J К(х,р, , 77, t)u(, rj, t)ddrj = 0, о о Р і иуи(х, О, t) + buy(x, 0, t) + / / К(х, 0, , 77, i)u(, 77, t) d?7 = 0. (2.37) о о Так как граница DQ, не гладкая, то мы не можем сослаться на полученные в параграфе 2.2 результаты. Это связано с тем, что неравенство из [49, стр. 77] /flM) /(V») + «)/A, an п п которое использовано в 2.2, выведено в предположении гладкости границы дії. Однако, как будет показано ниже, задача с нелокальными условиями для псевдогиперболического уравнения в параллелепипеде однозначно разрешима. Введем понятие обобщенного решения задачи 2.3, пользуясь той же процедурой, что и в параграфе 2.2. Определение 2.3. Обобщенным решением задачи 2.3 будем на 98
Нелокальная задача для исевдогиперболического уравнения в параллелепипеде
Заметим, что неравенство -й - 1 выполняется в силу усло вия теоремы 1.1. Остается только убедиться в том, что множество функций, для которых это неравенство выполняется, не пусто. Для этого приведём пример. т Пусть с(х, t) = If A, K(t) = 2 f(T - т) sin dr. Тогда c0 = 1/4, t К = t — Т. Непосредственными вычислениями получим &о — ті" Положим Г = 1. Тогда сх = 3/2, е3/2 « 4.48. Н&±) « 1. Теорема 1.2. Если выполняются условия теоремы 1.1, а так-о і же (р(х) ЄІУ2 (0J0 ТО обобщенное решение задачи 1.2 u(x,t) Є
Доказательство. Доказательство проведем по следующей схеме. Сначала рассмотрим вспомогательную задачу: Задача 1.2(a). Найти решение уравнения (1-1) в области QT, удовлетворяющей условиям: и(х, 0) = ір(х),щ(х, 0) = гу(ж), u(0, t) = u(l, t) = 0. Под решением задачи 1.2(a) понимается функция и(.т, () Є Є W iQr), удовлетворяющая условию и(х,0) = {х) и тождеству ТІ І ТІ I I {—utvt + uxvx + cuv)dxdt = I v(x, Q) {x)dx + J I fvdxdt 0 0 0 0 0 для любой функции v(x,t) Є W iQr)- Опираясь на известные результаты о разрешимости этой задачи в пространстве о і W-nQiOn W% (0, Z), покажем, что при выполнении условий теоремы 1.2 применение к решению задачи 1.2(a) нелокального условия (1.7) приводит к операторному уравнению относительно функции 1р(х). На следующем шаге покажем, что операторное уравнение однозначно разрешимо. На завершающем этапе доказательства покажем, что разрешимость операторного уравнения влечет за собой разрешимость задачи 1.2. Вспомогательная задача есть не что иное как первая начально-краевая задача для уравнения (1.1) и является частным случаем для п — 1, a(x,t) = 1 задачи, разрешимость которой доказана в [49, с. 209-215].
Таким образом, существует единственное обобщенное решение задачи 1.2(a), которое имеет кроме того производные utt и uxt из ЫЯт), \\щ{х,0) - ф(х)\\ь2(о,і) - 0 при t -» 0. И справедлива оценка: \M\WUQT) c(T)(\\ p\\wim + u\\L2m + WfWuor))- (ыз) Применим теперь интегральное условие (1.7) к решению вспомогательной задачи. Получим операторное уравнение: т «х) + 7/ (,,.)« - „). (1.14) о Покажем, что при выполнении условий теоремы 1.2 оператор т j K{x,t)udt сжимающий. Для этого нам потребуется уточнить по-о стояпную С(Т) в оценке (1.13). Как это будет видно из дальнейших рассуждений, достаточно рассмотреть частный случай, т.е. когда f(x,t) = 0, р(х) = 0. Интересующее нас неравенство (1.13) получено замыканием по норме W QT) неравенства, выведенного для приближенных решений задачи. Не повторяя здесь известные выкладки, обратимся сразу к равенству для Галсркинских приближений, опуская индекс "т", К(щ - «2) 11 (0,0 = I Kudt\\Lm) = ( f{J Kudtfdxf 0 0 Ы\Чьмт) А«\/ (еСіГ - 1)\Шь ы) Так как всилу условия теоремы 1.2 кол/ -{еСіТ — 1) 1, то оператор А(ф) сжимающий. Стало быть, существует единственное решение уравнения (1.14). Взяв это решение в качестве начального условия щ(х, 0) = ф(х) вспомогательной задачи, мы получим функцию, которая и является обобщенным решением задачи 1.2.
Действительно, пусть и(х, t) — решение вспомогательной задачи 1.2.(а), где функция ф(х) в начальном условии есть решение операторного уравнения (1.14). Тот факт, что u(x,t) —- решение задачи 1.2.(а), означает, что для любой функции v(x,t) Є W%(QT) выполняется тождество то есть u(x,t) удовлетворяет тождеству (1.8). Будучи решением задачи 1.2.(а), функция u(x,t) удовлетворяет и условиям (1.2), (1.3). Таким образом, теорема 1.2 полностью доказана. Теперь мы можем доказать разрешимость задачи 1.1. того р{х) Є Wf(0, l)D W2 (0, Oi ct(x, t) Є C(QT), то для п.в. (x, t) Є Є QT существует решение задачи 1.1.
Доказательство. Пусть u(x,t) — решение задачи 1.2(a). Покажем, что при выполнении условий теоремы 1.2.1 это решение принадлежит пространству W22(QT)- МЫ опять можем воспользоваться известным для более общего уравнения результатом, утверждающим, что при сформулированных условиях решение первой начально-краевой задачи имеет производныеuu,uxt Є - (Qr) ([49], с.216). Покажем, что существует и ихх Є 1/г(Ог)- Тождество, определяющее обобщенное решение задачи 1.2(a) запишем так:
Похожие диссертации на Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического, псевдопараболического и смешанного типа
