Введение к работе
Актуальность темы. Основные понятия современной теории дифференциальных уравнений сформировались при решении классических задач математической физики. Исследование простейших задач гидродинамики, теплопроводности, акустики, электродинамики привело к возникновению, например, таких понятий, как задача Коши, краевая задача, обобщенное решение.
Но современные задачи естествознания приводят к необходимости дальнейшего исследования даже тех разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных, которые приобрели внешне математически законченный вид. Возникают качественно новые задачи, отличающиеся своей постановкой от классических. Исследование этих задач определяет дальнейшие успехи теории дифферендиальных уравнений в частных производных.
За последние два десятилетия появился ряд работ, посвященных исследованию новых задач. Среди них большой интерес вызвали задачи, названные нелокальными.
Первые результаты по постановкам и исследованию нелокальных задач, по-видимому, были получены А.М.Нахушевым!) и В.И.Жегаловьш 3>. Они рассмотрели некоторый класс нелокальных задач - задачи со смещением. Примерно в го же время появилась важная
і)
Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. - 1969. Т. 5. № 1. С. 44-53.
Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Ученые записки Казанского университета. -1962. Т. 122. № 3. С. 3-16.
работа А.В.Вицадзе и А.А.Самарского3>, где впервые была исследована задача "со смещением внутрь области".
В работе А.М.Нахушева4) была дала классификация задач со смещением, а также - определение локальной и нелокальной задач и условий смещения.
Исследования в современных проблемах физики привели к постановке ряда новых задач для уравнений в частных производных, которые отличаются от классических задач тем, что вместо краевых условии задаются условия во внутренних точках области. Среди них особый интерес вызывают задачи с интегральными условиями. На важность исследования этих задач обратил внимание А.А.Самарский. В его работеБ) были приведены примеры математических постановок нелокальных задач с интегральными условиями, возникающих при изучении физики плазмы.
Дальнейшее развитие исследование нелокальных задач с интегральными условиями получило в работах Л.С.Пулькиной, А.А.Прося-ного, З.А.Нахушевой, В.С.Жесткова и других авторов.
з)
Бицадэе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач J J Докл. АН СССР. -1969. Т. 18Б. № 4. С. 739-740.
Н&хушев A.M. О некоторых краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференциальные уравнения. - 198Б. Т. 21. № 1. С. 92-101.
6)
Самарский А.А. О некоторых проблеи&х современной теории дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения. - 1980. Т. 16. № 11. С. 1925-1935.
В связи с нестандартным видом краевых условии дли таких задач нетривиальными становятся вопросы существования и единственности решения. Настоящая работа посвящена исследованию двух нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа.
Цель работы. Целью работы является доказательство теорем существования и единственности классического решения двух нелокальных задач с интегральными условиями. Первая задача ставится для общего гиперболического уравнения. Вторая задача ставится для модельного вырождающегося гиперболического уравнения.
Методы исследования. Для доказательства основных теорем об однозначной разрешимости поставленных задач используется сочетание двух классических подходов; метода априорных оценок и метода сведения к интегральному уравнению. Для каждой из рассматриваемых задач при некогорых предположениях прежде всего находятся априорные оценки решения, с помощью которых доказывается теорема о единственности решения. Далее каждая из задач сводится к системе интегральных уравнений, показывается их эквивалентность, а также фредгольмо-вость. Таким образом из доказанной единственности решения следует существование решения.
Методы использования априорных оденок и альтернативы Фред-гольма являются классическими для доказательства однозначной разрешимости краевых задач для уравнений в частных производных. Но для исследования задач с нелокальными условиями эти методы, по-видимому, применяются впервые. Преимущество этого подхода по сравнению с подходом, использующим принцип сжатия, заключается в том, что он позволяет получить результаты более общего характера.
Отметим, что в диссертационной работе использовались также методы решении дифференциальных ж интегральных уравнений, аппарат
специальных функций, а также методы функционального анализа, которые применялись для доказательства компактности некоторых интегральных операторов.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты.
Для общего гиперболического уравнения с гладкими коэффициентами при некоторых предположениях доказана однозначная разрешимость нелокальной задали с интегральными условиями в прямоугольной области.
Для одного вырождающегося гиперболического уравнения при дополнительных условиях доказана однозначная разрешимость нелокальной задачи с интегральными условиями в некоторой области, ограниченной характеристиками уравнения.
Практическая и теоретическая значимость. Все результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач с интегральными условиями как для уравнений гиперболического типа в других областях, так и для уравнений смешанного, параболического и эллиптического типов.
Отметим, что с физической точки зрения важность рассмотрения нелокальных задач с интегральными условиями объясняется тем, что на практике, как правило, измеряются некоторые усредненные (интегральные) характеристики величин.
На защиту выносятся;
1. Постановка, доказательство существования к единственности решения нелокальной задачи с хнтеграпьнымЕ условиями для общего гиперболического уравнения с гладкими коэффициентами в некоторой прямоугольной области.
2. Постановка, доказательство существования и единственности решения нелокальной задачи с интегральными условиями для модельного вырождающегося гиперболического уравнения в некоторой области, ограниченной характеристиками уравнения.
Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались:
на Ш-V научно-методических конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в 1993-1995 годах, г.Самара;
на Международной студеяческо-асяираятской конференции но фундаментальным наукам "Воробьевы горы-94" в 1994 году, г.Москва;
на XVII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (семинар имени Петровского кафедры дифференциальных уравнений МГУ) в 1995 году, г.Москва;
на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" в 1995 году, г.Воронеж;
на Ш Международной конференции женщин-математиков в 1995 году, г.Воронеж;
на Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" в 1995 году, г.Самара;
на Ш Международном конгрессе до индустриальной и прикладной математике в 1995 году, Германия, г.Гамбург;
на совместном семинаре кафедр "Дифференциальные уравнения и автоматическое управление" и "Математическая физика" Самарского государственного университета в 1995 году, г.Самара;
на областном семинаре "Дифференциальные уравнения" при Самарском государственном иедагогитеском университете (рук. доктор физ.-мат. наук, профессор Волкодавов В.Ф.) в 1995 году, г.Самара;
~ на совместном семинаре кафедр "Дифференциальные уравнения-", "Математическая физика" и "Теория функций" Саратовского государственного университета (рук. доктор физ.-мат. наук, дрофессор Хромов А.П.) в 1995 году, г.Саратов.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 лечат-ных работ.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 92 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и библиографического списка из 90 наименований.
