Содержание к диссертации
Введение
1 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне системы разрезов, расположенных на окружности 20
1.1 Постановка задачи 20
1.2 Модификация задачи 22
1.3 Решение задачи 28
1.4 Явный вид решения в частных случаях 38
1.5 Модификация системы алгебраических уравнений 43
1.6 О вычислении некоторых интегралов 46
2 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы 49
2.1 Постановка задачи 49
2.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений 51
2.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы 55
2.4 Существование решения 61
2.5 Случай одного разреза 63
2.6 Поведение градиента решения на концах разреза 65
2.7 Доказательство леммы 7 70
2.8 Исчезновение особенности Vu 71
3 Обобщённая задача о скачке для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости 75
3.1 Постановка задачи 75
3.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений 77
3.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы 83
3.4 Существование решения 91
3.5 Решение сингулярных уравнений 93
3.6 Вычисление интегралов 96
3.7 Случай одного разреза 98
3.8 Поведение градиента решения на концах контура 100
3.9 Доказательство леммы 8 104
3.10 Исчезновение особенности Vw 106
4 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия с косой производной на разных сторонах разрезов 110
4.1 Постановка задачи 110
4.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений 112
4.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы 117
4.4 Существование решения 125
4.5 Решение сингулярных уравнений 127
4.6 Вычисление интегралов 130
4.7 Случай одного разреза 132
4.8 Поведение градиента решения на концах контура 134
4.9 Доказательство леммы 8 140
4.10 Исчезновение особенности Vw 141
Заключение 145
- Модификация задачи
- О вычислении некоторых интегралов
- Поведение градиента решения на концах разреза
- Существование решения
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию некоторых смешанных краевых задач для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости.
Краевые задачи вне разрезов на плоскости представляют большой интерес для приложений. Разрезы моделируют трещины в твердых телах, электроды в полупроводниках, крылья, экраны и пластины в жидкостях и газах, и т.д. Особый интерес представляют краевые задачи в канонических областях, которые допускают явное решение.
Дадим краткий обзор работ, посвященных нашей теме.
Можно указать два основных типа краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости с разрезами.
Краевые задачи для уравнения Лапласа с разрезами вдоль прямой или вдоль окружности. Ввиду простоты области, решение таких задач часто удаётся получить в явном виде.
Краевые задачи для уравнения Лапласа с разрезами произвольной формы. В этом случае, как правило, решение ограничивается сведением к разрешимой системе интегральных уравнений.
Рассмотрим оба типа задач подробнее.
1) Задачи для уравнения Лапласа с разрезами вдоль прямой или вдоль окружности могут быть решены в явном виде методами теории аналитических функций комплексного переменного. Задача сводится к задаче Римана-Гильберта для аналитических функций, а затем - к векторной задаче сопряжения [11, 38]. Эта задача допускает в определенных случаях решение в замкнутой форме. Случаи явного решения задачи Римана-Гильберта и соответствующей векторной задачи сопряжения вне разрезов вдоль прямой и окружности рассматривались в [27, 28, 32, 33]. Частные случаи этих задач решены в [34, 35, 36, 37]. Следует отметить, однако, что в многосвязных областях (в случае нескольких разрезов) задача для гармонических функций не эквивалентна соответствующей задаче Римана-Гильберта для аналитических функций [39]. Поэтому даже если явное решение краевой задачи для аналитических функций известно, то нахождение явного решения задачи для гармонических функций требует дальнейших трудоемких исследований.
Методом сведения к задаче Римана-Гильберта были построены явные решения следующих краевых задач для уравнения Лапласа в канонических областях.
Задача Дирихле с разрезами вдоль прямой решена в монографиях [11, 12]. В [11] указан также способ решения задачи Дирихле с разрезами вдоль
окружности. В [42] построено явное решение задачи Неймана для уравнения Лапласа вне одного прямолинейного разреза. Задача с косой производной для гармонических функций, включающая задачу Неймана, изучена в [30] вне разреза вдоль окружности и в [31] вне разрезов вдоль прямой. Задача со смешанным граничным условием для уравнения Лапласа вне прямолинейных разрезов, когда на одной стороне задано условие Дирихле, а на другой - условие с косой производной, включающее условие Неймана, решена в [6]. Обобщение этой задачи на случай разрезов, расположенных на параллельных прямых, приводится в [52]. Задача с косой производной вне периодических разрезов, расположенных вдоль прямой, рассмотрена в [40]. В [41, 53] изучается задача с косой производной вне периодической системы разрезов, расположенных на параллельных прямых.
Укажем некоторые работы, в которых использовались другие методы, приводившие к явному решению.
В [43] с помощью преобразования Фурье построено явное решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа вне одного прямолинейного разреза. Еще одно обобщение задачи Дирихле- Неймана вне прямолинейных разрезов на плоскости рассмотрено в [10], где методом граничных интегральных уравнений построено явное решение этой задачи для одного эволюционного уравнения, включающего уравнение Лапласа.
2) Краевые задачи для уравнения Лапласа с разрезами произвольной формы.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы рассматривалась в [11]. Автор сводит эту задачу к задаче для аналитических функций, которая в свою очередь сводится к системе интегральных и алгебраических уравнений. Решение этой системы позволяет получить решение исходной задачи Дирихле.
Классический подход к краевым задачам для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы на плоскости предполагает решение с помощью потенциалов простого и двойного слоя. Например, таким методом изучались задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа вне разреза произвольной формы в [16, 17]. При этом задача Дирихле сводится к интегральному уравнению I рода с логарифмическим ядром, а задача Неймана - к гиперсингулярному интегральному уравнению I рода. В [16] предложены численные методы решения полученных интегральных уравнений. Эти методы прилагаются к конкретным задачам математического моделирования в [18].
В случае задания условий Дирихле и Неймана на разных сторонах разреза, классический подход, основанный на использовании потенциалов простого
и двойного слоя, приводит к системе из двух интегральных уравнений, одно из которых гиперсингулярное, а другое - уравнение с логарифмическим ядром. Тем самым, старший порядок особенности в уравнениях оказывается различным, что значительно усложняет анализ системы.
В [7, 50, 51] был введен неклассический угловой потенциал, который представляет собой потенциал двойного слоя, проинтегрированный по частям. С помощью углового потенциала в [7] решена задача о скачке косой производной гармонической функции вне одного разреза. Главное достоинство углового потенциала, который используется в данном методе вместо потенциала двойного слоя, заключается в том, что он имеет тот же порядок особенности на кривой, что и логарифмический потенциал. Это позволяет свести краевую задачу с двумя различными условиями на сторонах разреза к системе сингулярных интегральных уравнений Коши.
Метод углового потенциала использовался и развивался в [23, 44, 45, 5] при решении различных краевых задач для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. В [23] рассматривалась смешанная задача для уравнения Лапласа, возникающая в физике полупроводников, при этом на одной части разрезов задавалось условие Дирихле, а на другой — условие с косой производной. В [44, 45] изучалась другая смешанная задача, в которой условие с косой производной задавалось с обеих сторон каждого разреза. В [5] рассматривалась задача о скачке для уравнения Лапласа. В этой задаче на каждом разрезе задавались скачки искомой функции и её нормальной производной.
Во всех этих работах с помощью потенциала простого слоя и неклассического углового потенциала задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями. Посредством регуляризации и дальнейших преобразований система сингулярных уравнений с дополнительными условиями приводится к уравнению Фредгольма II рода в банаховом пространстве, которое оказывается однозначно разрешимым. Таким образом доказывается существование и единственность решения исходной задачи и указывается конструктивный метод построения решения. Регуляризация сингулярных интегральных уравнений изучена в [11]. В случае одного отрезка характеристические сингулярные интегральные уравнения рассмотрены в [47]. Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений, возникающих в подобных задачах, развиты в [16].
Интегральное представление решения дает возможность подробно исследовать особенности градиента решения на концах разрезов. Результаты такого исследования для задач Дирихле и Неймана изложены в [8] и [9], для задачи о скачке - в [5]. Во всех задачах, рассмариваемых в настоящей работе,
также изучаются особенности градиента решения на концах разрезов.
Упомянем еще несколько близких но теме работ. Задача Дирихле и задача Неймана для уравнения Лапласа в областях с кусочно-гладкой границей изучались в [1, 2], где были получены абстрактные теоремы существования в пространствах Соболева и асимптотика решения вблизи угла границы. В [3, 4] рассматривалась задача со смешанным граничным условием Дирихле -Неймана для уравнения Лапласа в области с кусочно-гладкой границей и была получена асимптотика решения в угловых точках границы. Однако случай угловых точек границы с углом 2л-, отвечающий разрезу, был исключен из рассмотрения, так как в этом случае интегральное представление для решения, полученное в [3, 4], перестает быть справедливым. В [60, гл. 4, 1] даны постановки задач для эллиптических уравнений с неклассическими граничными условиями, в частности, с заданием скачка искомой функции и весового скачка её нормальной производной на разрезе. В [19, 20] рассмотрена задача Неймана для уравнения Лапласа с обобщённой функцией в правой части граничного условия.
Сведение краевых задач к однозначно разрешимым интегральным уравнениям, которые легко решить численно, это отдельная проблема. Приведем примеры. В [46] рассмотрена смешанная краевая задача для уравнения Лапласа в плоской многосвязной области, граница которой разбита на дуги. На одной части дуг задано условие Дирихле, на другой - условие Неймана. В [48] изучалась задача Дирихле для уравнения Лапласа в многосвязной области, ограниченной замкнутыми кривыми, при этом на части кривых задавалось условие Дирихле, на части - условие Неймана. В трехмерном случае аналогичная задача изучалась в [49]. Однако во всех этих статьях авторам не удалось свести рассматриваемые смешанные задачи к однозначно разрешимым интегральным уравнениям Фредгольма II рода. Вместо этого авторам пришлось воспользоваться второй частью альтернативы Фредгольма.
В настоящей работе с помощью углового потенциала и потенциала простого слоя все рассматриваемые смешанные задачи вне разрезов произвольной формы на плоскости сводятся к однозначно разрешимым уравнениям Фредгольма II рода, которые наиболее просты и удобны как в анализе, так и при численных расчетах.
Первые две главы данной работы представляют собой применение двух методов (метод сведения к задаче Римана-Гильберта и метод потенциалов) к смешанной задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. В первой главе рассматриваются разрезы, расположенные вдоль окружности, во второй - разрезы произвольной формы. На одной стороне
каждого разреза задано условие Дирихле, на другой - условие Неймана. С физической точки зрения это означает, например, задание потенциала и плотности нормального тока на сторонах электрода или задание температуры и нормального потока тепла и т.д. Задача из первой главы решена в явном виде, а задача из второй главы сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению.
В третьей и четвёртой главах метод потенциалов применяется для решения двух других смешанных задач для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы, каждая из которых обобщает в своём направлении задачу Дирихле-Неймана. В третьей главе изучается обобщенная задача о скачке. На каждом разрезе задан скачок функции и скачок ее нормальной производной. Скачки содержат весовую функцию, отражающую вклад в граничные условия левого и правого предельных значений. Весовую функцию можно выбрать, например, так, что будут задаваться сумма предельных значений функции на берегах разреза и сумма предельных значений ее нормальной производной; в другом случае будут задаваться разности этих величин. Такие граничные условия могут оказаться интересными для приложений.
В четвертой главе рассматривается задача, в которой ставится условие Дирихле на одной стороне каждого разреза и условие с косой производной на другой стороне. С физической точки зрения задачи с косой производной в граничном условии описывают электрический ток с электродов в замаг-ниченных полупроводниках. При этом условие Дирихле отвечает заданию электрического потенциала. Задачи из третьей и четвертой глав сведены к однозначно разрешимым интегральным уравнениям.
Обратимся к систематическому изложению результатов, полученных в диссертации.
Первая глава посвящена смешанной задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа вне разрезов вдоль окружности. Пусть на плоскости введены декартовы координаты (xi,x2) и полярные координаты (г, в). Пусть L - совокупность дуг окружности, не имеющих общих точек, в том числе и концов:
n=l n=l
/ = {г = 1,0е(а,&Й}, n = l,...,JVlf
Ll = {r = 1,0 Є (4X)h n = 1, ' .,-^2. Пусть плоскость разрезана вдоль L.
В п. 1 дается постановка задачи: ищется достаточно гладкая функция и(х), гармоническая на плоскости вне разрезов L, удовлетворяющая граничным
условиям
«1(14+= QiW на^1^,
ди дг ди дг
= Q2{t) на^1)", (ь1)-
= Q2{t) Ha(L2)+, (i2)+
«l(L2)- = Qi{t) на (і/2)",
непрерывная на концах разрезов, а также удовлетворяющая условиям на бесконечности:
«(х) = С1п|х| + 0(1), ^ = ОД_1 + (И~2)> \*\-+<*>
Здесь t = еіе Є L, Qi(t) Є C1,A(), Q2M Є C'A(L) - заданные функции, С - заданная константа. Вблизи концов d разрезов градиент функции и(х) должен удовлетворять неравенству
|V«| < с\х - d\5,
где константа с > О, число 8 > — 1. Методом энергетических неравенств доказывается теорема единственности.
В п. 2 осуществляется сведение исходной задачи к задаче Римана-Гильберта для аналитических функций на комплексной плоскости. Далее методами теории функций комплексного переменного строится явное решение задачи Римана-Гильберта.
С помощью этого решения в п. 3 строится явное решение исходной задачи в виде суммы потенциала простого слоя и углового потенциала:
и(х) = «- /t_Re М*)1п г(х> 0) +Im ti(t)w{x,0)]d9 + со,
где со - вещественная константа, ш{х, в) = arg(z — t) - ядро углового потенциала [28], которое непрерывно меняется по в на L для х ^ L, г(х, в) = \z — t\ = yj(xi — cos 6)2 + (x2 — sin 0)2, z = x\ + ix2. Плотности потенциалов даются выражениями:
Ren(t) = -g(t)Q2(t) - Kx{t) + K2(t)-
[ЛГ/2]
m S (a- со<е(т - n))+/?- sin(0(f -»)))+
R2(t)
1 №)
(-ajsm(*( - n))+/coe(*( - n))) ,
^f(«4««-«))+A-(<-»)))-
^і;н-п«-»))^сс.«-п,)).
sin—-—
1/4
6-Й
6-bl
3/4
0-Й
fi(to)Ri(t0)
4irRi(t)JL зт((во-9)/2) '" 2
1 Г9{to)f2(to)R2(t0) „„N + l
^R2{t)[ sm((90-9)/2) "" 2 p(t) = 1, если t Є L1, #(*) = -1, если t Є L2, t0 = еів Є L,
fi(t) = Qi(«) + Q2(t), f2(t) = g(t)(Q2(t) - Qtf)), Qi(t) =
Здесь
Л1(*) = ^П
n=l
iV2 n=l
Л2« = 2^ n
n=l
rc=l
K2(t)
3/4
*-«І
0-a2
0-aJ
1/4
^-4
1/4
3/4
3/4
sign(0-ai)x
sign(0 - al),
1/4
sign(0 - aj),
N+l
sign(0-a^)x
{в0-Є)(Іво, (во - 9) d90,
Константы a, / определяются из системы линейных алгебраических уравнений, относительно которой доказано, что она однозначно разрешима. Тем самым, доказывается теорема существования и строится явное решение задачи.
В п. 4 рассмотрены три частных случая исходной задачи. Для этих случаев решается алгебраическая система и строится полностью явное решение смешанной задачи. Случай первый: N\ = 1, N2 = О, С = 0. Случай второй: Ni = 0,N2 = 1,С = 0. Случай третий: iVi = 1,N2 = 0, Qi(t) = Q2(t) = О,
t Є L, С ф 0. В качестве примера приведём плотности потенциалов в решении для последнего случая:
Re^W = ~С fe 8Ш(2 - ^1 + 4} + Ш CS(2 ~ ^ 4}J ' Im/xW = С (-^ sin(| - ^ + ~) + ^ cos(J - „2 + )) ,
где у>1 = (о + 36)/8, 2 = (За + 6)/8.
В п. 5 предлагается другой вариант системы линейных алгебраических уравнений относительно констант а, / и обсуждаются его преимущества.
В п. 6 приводится расчет некоторых интегралов.
Вторая глава посвящена смешанной задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа вне разрезов Г произвольной формы. Пусть Г - совокупность простых разомкнутых кривых класса С2,л, Л Є (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов:
Г = U Г„, Г„ = {х: x = x(s) = (x1{s)1x2[s))1 se [an,6„]}, n = 1,2,..., N,
параметр s — длина дуги. Введём вектор касательной тх и вектор нормали пх к кривой Г в точке x(s) по формулам
тх — (cosa(s),sino:(s)), пх = (sina(s), — cosa(s)),
где cosa(s) = xi(s), sina(s) = x'2(s). Пусть плоскость разрезана вдоль Г. Будем говорить, что функция и{х) принадлежит классу G, если:
и{х) Є C(R2 \ Г) и и(х) непрерывна на концах разрезов Г,
Vu(x) Є С(~ЩТ\Х), где X = U^=1(x(an)Ua:(6n)) - множество концов контура Г,
3) вблизи концов x(d) разрезов градиент функции и(х) удовлетворяет
неравенству
|Vu| < const\x - x(d)\6,
где константа const > 0, число 5 > — 1, d = ап либо d = Ьп.
Функция принадлежит C(R2 \Г), если она непрерывно продолжима на разрезы Г слева и справа, но её значения на разрезах Г слева и справа могут быть различны, то есть функция может иметь скачок на Г.
В п. 1 дается постановка смешанной задачи Дирихле-Неймана вне разрезов Г: требуется найти функцию и(х) из класса G, гармоническую на плоскости вне Г и удовлетворяющую граничным условиям
и{х)\х(*)ег+ = f+(s),
и условиям на бесконечности
= rw,
x{s)eT-
ди А . Л/, ,_2>
«(я;) = A In |*| + 0(1), — = — + 0(\х\'г), \х\ -> сю.
Здесь /+(s) Є С1,А(Г), /~(s) Є С0,А(Г) - заданные функции, А - заданная константа. Если разрезы Г расположены вдоль окружности, то задача переходит в задачу из главы 1. Теорема единственности, доказанная методом энергетических тождеств, завершает п. 1.
В и. 2 ищется решение краевой задачи в виде суммы потенциала простого слоя, неклассического углового потенциала и константы:
и{х) = У\ц](х) + T[v](x) + (32N. (1)
Здесь
V\p](x) = -±f»{s)\ii\x-y(s)\ds, T[v](x) = ~ J' V(s)1>(x,y{s))ds.
Ядро ф(х,у) углового потенциала определяется с точностью до 2пт (т целое) формулами
соа Нх, у) = |L^w, sin ф{х, у) = g^g
и непрерывно меняется по у на Г для любого фиксированного х R2 \ Г. Для однозначности углового потенциала T[i/](:c) требуется выполнение следующих условий:
J v{s) ds = 0, п - 1,..., N. (2)
г„ Плотности /z(s), v(s) в потенциалах разыскиваются в определённых классах гладкости. При подстановке функции (1) в граничные условия и дифференцировании условия Дирихле по s на Г, задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений относительно плотностей потенциалов:
u(s) + І / J&L da + f /іВДв, a)da + f u{a)Y1{s, a) da = 2/'+(s), s Є Г,
7ГГ О S г г
. (3)
-fi(s) J-^1-da- J v(a)Y2{s,a)da +Jfj,(a)Y1{s,a) da = 2/~(s), s Є Г.
Здесь Yi(s,a), Y2(s, a) - известные функции, гёльдеровые на Г по обеим переменным с показателем Л; f'+{s) = df/ds. Кроме того, должны быть выполнены дополнительные условия:
/
/x(s) ds = -2тгД (4)
V[fi](x(an)) + T[v](x(an)) + (32N = f+(an), n = 1,..., N. (5)
Доказано, что если существует решение {/x(s),z/(s)3/32iv} полученной системы уравнений (2) - (5), такое что функции ^(s),i/(s) удовлетворяют определённым условиям гладкости, то решение задачи существует и даётся формулой (1). Далее производится замена переменных (неизвестных функций fi(s), ^(s)), после которой характеристическая часть каждого из двух сингулярных уравнений содержит только одну неизвестную функцию.
В п. 3 производится регуляризация полученной системы сингулярных интегральных уравнений и её сведение (с учётом условий (2), (4), (5)) к векторному уравнению Фредгольма II рода.
В п. 4 доказывается однозначная разрешимость последнего уравнения в подходящем банаховом пространстве. Тем самым, доказывается теорема существования решения исходной задачи.
В п. 5 выводится решение задачи в случае одного разреза, имеющее более простой вид, чем для нескольких разрезов. Это решение будет использовано в дальнейшем.
В п. 6 исследуется поведение градиента решения на концах x(d) разреза на основании интегрального представления решения. В окрестности точки x(d) для производных решения справедливы формулы:
I \х — rc(
~~ \X- x{d)\WK 1} COS^3/4 + \x ~ *(d)|V4 Sm^/4 + ^i1)-
дх\
Здесь d = a либо d = b; j(a) = 2, j(b) = 1,
\V + \a(a), ^ = ^ + ^(6)-^,
aa 1 3 , . 7Г nh 1 3 /1N 37Г
Пі* = l* + 50(e) + 2. *i/4 = 4^ + -4*{Ь) - т,
у> - угол в локальной полярной системе координат с центром в точке x(d), a(s) — угол между направлением оси Ох\ и вектором касательной к кривой Г в
точке x(s) 6 Г; через 0(1) обозначены функции, непрерывные в окрестности точки x(d), разрезанной вдоль контура Г.
П. 7 содержит доказательство одного вспомогательного утверждения.
В п. 8 рассматривается вопрос об исчезновении особенностей градиента решения в случае определенного выбора функций в граничных условиях. Пусть разрез прямолинейный: Г = {х : х = x(s) = (scosO,ssmO),s [а,Ь]}. Если функции /+(s), f~{s) из граничных условий представимы в виде
2[Л W + Г (з)] = Q2(s)9i{s) Є С'А(Г),
2[/+(s) - r(s)} = Qi(s)g2(s) Є С'А(Г), Л Є (0,1],
где функции <7i(s), <72(s) удовлетворяют соотношениям
6 ь
/^Ш-аК = л/8тгД /#(0(Ь-0# = ->/87гА, і = 1,2,
а а
то градиент решения непрерывен на концах разреза. Приведены несколько примеров функций gi{s),g2{s), удовлетворяющих указанным соотношениям. Третья глава посвящена обобщённой задаче о скачке для уравнения Лапласа вне разрезов Г на плоскости. В качестве граничных условий на разрезах задается скачок предельного значения искомой гармонической функции и(х) и скачок ее нормальной производной:
(и+(х) - g(s)u~{x)) іх(в)єг = /i(s),
H34)-)L=*>-
Скачки содержат весовую функцию g{s), которая отражает вклад в граничные условия предельных значений на левом и правом берегах разрезов. При решении задачи функция g(s) предполагается постоянной на каждом отдельном разрезе Гп. Требования гладкости на функцию и(х) и условия на бесконечности такие же, как в задаче из главы 2. Задача главы 3 обобщает, с одной стороны, задачу главы 2, а с другой - задачу [5], в которой весовая функция равнялась единице. Методом энергетических тождеств доказывается теорема единственности решения краевой задачи. Структура пп. 1-4 аналогична структуре соответственных пунктов главы 2. Предполагая, что /i(s) Є С1,А(Г), /2 Є С'А(Г), Л Є (0,1], и разыскивая решение задачи в виде (1), сводим ее к системе сингулярных интегральных уравнений и дополнительных интегральных условий относительно плотностей fi(s),v(s) и
константы. Эта система существенно отличается от той, которая возникает в главе 2. Проводя для этой системы регуляризацию, которая оказывается более сложной, чем в главе 2, получаем интегральное уравнение Фредгольма II рода. Далее доказывается однозначная разрешимость этого уравнения в банаховом пространстве и таким образом доказывается разрешимость исходной краевой задачи. Формула (1) даёт интегральное представление решения задачи. В частном случае д = О построенное решение переходит в решение задачи Дирихле-Неймана, полученное в главе 2. В п. 5 даётся доказательство леммы, на основании которой была произведена регуляризация. Для этого производится переход в комплексную плоскость и решается задача сопряжения для интеграла типа Коши от неизвестной функции. В п. 6 с помощью интегралов типа Коши и теоремы о вычетах доказывается несколько равенств, которые позволяют упростить запись фредгольмовой системы для плотностей потенциалов. В п. 7 решается задача для одного разреза. В этом случае удаётся свести задачу к уравнению Фредгольма II рода для вектор-функции из пространства С(Г) х С(Г). В п. 8 полученное интегральное представление решения используется для исследования особенностей. Получены явные асимптотические формулы, описывающие поведение особенности градиента решения на концах разрезов. Оказывается, что порядок старшей особенности равен тах{7,1 — т}> гДе 7 = (arg(2<7 4- г(д2 — 1)))/(2тг), д - вес граничного условия. В частном случае д = О формулы переходят в формулы главы 2. П. 9 содержит доказательство леммы, использованной в п. 8. В п. 10 исследуется вопрос об условиях исчезновения особенностей градиента решения, эти условия выписываются в виде интегральных требований на функции из граничных условий.
В четвёртой главе рассматривается смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов Г на плоскости с заданием условия Дирихле на одной стороне каждого разреза и условия с косой производной - на другой стороне:
w(s)U(*)er+ = f+(s),
j3 - заданная константа. Условия на бесконечности и требования гладкости на функции и(х), f+(s), f~(s) такие же, как в главах 2 и 3. Эта задача обобщает задачу из главы 2, поскольку условие с косой производной обобщает условие Неймана. С помощью энергетических тождеств доказывается теорема единственности решения краевой задачи. Структура главы 4 полностью аналогична структуре главы 3, но сингулярные уравнения, возникающие в
этой главе, оказываются более сложными. Решение задачи разыскивается в виде (1), в результате чего задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями, которая после регуляризации приводится к уравнению Фредгольма II рода. Доказав однозначную разрешимость этого уравнения в банаховом пространстве, получаем теорему существования решения исходной краевой задачи. Интегральное представление решения дает формула (1). В частном случае /3 = 0 решение задачи переходит в решение задачи из главы 2. Получены явные асимптотические формулы, описывающие поведение градиента решения на концах разрезов. Оказывается, что старшая особенность градиента решения имеет порядок тах{1 — 77,1/2 + г/}, где т] = (arcctg/3)/(27r), 0 - константа из условия с косой производной. В частном случае (5 = 0 асимптотические формулы переходят в формулы из главы 2. В случае одного прямолинейного разреза получены условия исчезновения особенности градиента решения на концах разреза.
На этом завершим изложение краткого содержания диссертации.
Остановимся подробнее на физических моделях, приводящих к задачам, которые рассмотрены в диссертации.
1) Стационарное распределение тепла [54, 42].
Рассмотрим однородную изотропную среду, занимающую пространство переменных (xi,X2,xz), в которой нет источников тепла, кроме тонких нагретых тел. Пусть выполнены следующие условия: а) в каждом сечении плоскостью #з = х% = const тела являются достаточно тонкими, так что их можно моделировать разрезами ГьГг,.. , Г„; б) форма сечения тела плоскостью хъ = хз = const не зависит от х%.
Пусть разрезы Г параметризованы длиной дуги s и введены вектор касательной тх и вектор нормали пх к Г в точке x(s) (см. изложение главы
2)-
Пусть на одной стороне каждого тела задано распределение температуры:
u\r+=f+(s),
а на другой стороне задан тепловой поток
_fc_Ir_ = rw.
Подчеркнём, что функции /+, /~ не зависят от х^ Кроме того, пусть известен полный поток тепла I (на единицу длины #з), уходящий на бесконечность:
/ ~k-ds = '>
где Cr - цилиндр с осью вдоль хз достаточно большого радиуса г — \]х\ + xl, содержащий внутри себя все тела. Предполагая г столь большим, что ди/дг зависит только от г, получим —2кг к (ди/дг) = /, то есть
и(х) = АЫ\х\ + 0(1), |х|->оо, (6)
где А = -І/2-кк.
В итоге для температуры и(х) стационарного теплового поля получаем двумерную задачу в плоскости х = (х\,Х2) для уравнения Лапласа вне разрезов Г с заданием условия Дирихле на одной стороне каждого разреза и условия Неймана - на другой, а также условия (б) на бесконечности. Такие задачи рассмотрены в главах 1, 2. Отметим, что условие
ди А „,, ,_2
ад = R + 0(W >' W" (7)
является математическим следствием условия (6) для функции и(х), гармонической вне круга [59, гл. V, 24, п. 10]. Поэтому условие (7) можно включить в формулировку задачи, не ограничивая общности.
Рассмотренная здесь задача моделирует, например, работу печей с тонкими стенками в форме цилиндрических поверхностей. С одной стороны такая стенка теплоизолирована, а с другой - поддерживается при постоянной температуре нагревательным элементом. Полученные в главах 1 и 2 результаты могут использоваться для моделирования работы технологических печей со сложной конфигурацией стенок, которые применяются в различных каталитических процессах в химических лабораториях.
2) Ток с электродов в замагниченной полупроводниковой плёнке.
Рассмотрим плоскую полупроводниковую пластину, толщиной которой можно пренебречь, занимающую плоскость переменных х = (х\,Х2). Полупроводниковая плёнка находится в постоянном магнитном поле с магнитной индукцией В, направленной перпендикулярно плоскости переменных (х\,Х2). Уравнения, описывающие динамику электронной плазмы в замагниченном полупроводнике, имеют вид [55, 56, 57, 58]
div J = 0, J = ЛЕ, Е = —grad и.
Здесь J = (Ji, J2) - плотность тока, Е = (Е\, Е2) - напряжённость электрического поля, и - потенциал электрического поля, Л - тензор проводимости, который в случае зарядов с изотропной массой (электронов) имеет вид
Л =
где а - проводимость полупроводника в отсутствие магнитного поля, (3 = \iB, а - подвижность носителей. Ниже будем считать, что а и (3 - вещественные константы, причём а ф 0.
Предположим, что в плёнке имеются разрезы Гі,Г2,... , Г/v, вдоль которых помещены электроды. С электродов в полупроводник стекает постоянный электрический ток. Введём вектор касательной тх и вектор нормали пх к Г в точке x(s) (см. изложение главы 2). Рассмотрим вектор напряжённости электрического поля и вектор плотности тока на сторонах разрезов в ортогональной системе координат с ортами пх и тх: Е = (Еп,Ет), J = («Лг>^г); тогда
(SMfi)- (SMJ)-
rp _ ( sin а — cos а \ \ cos a sin a J
является ортогональной матрицей: Т-1 = Тт. Связь между компонентами векторов J и Е в локальной системе координат даётся формулой
где ТКТ~1 имеет смысл тензора проводимости в локальной системе координат. Нетрудно проверить, что ТАТ~г = Л, то есть матрица Л инвариантна относительно ортогональных преобразований. Учитывая формулы
Т-. / „ ч ди _ , „ . ди
Еп = -(n, Vu) = --^, Ет = -(г, Vu) = -^,
нормальную и тангенциальную компоненты плотности тока J на кривой запишем в виде
Пусть на одной стороне каждого разреза известно распределение потенциала, а на другой - распределение плотности нормального тока. Пусть известен также полный ток, уходящий с электродов на бесконечость. Требуется найти распределение потенциала во всей полупроводниковой пластине. С математической точки зрения требуется найти функцию и(х), гармоническую на плоскости вне разрезов, удовлетворяющую условию Дирихле и условию с косой производной на разных сторонах каждого разреза, а также условиям (6),
(7) (см. вывод в п. 1)). Эта задача рассмотрена в главе 4. Если магнитное поле выключено (В = 0,(3 = 0), получаем смешанную задачу Дирихле—Неймана, рассмотренную в главах 1, 2. Если /З Ф 0, то обсуждаемая здесь модель описывает эффект Холла в полупроводниковых пластинах [55, 56]. В настоящее время принцип действия многих физических приборов основан на эффекте Холла. К таким приборам, в частности, относятся измерители магнитных нолей.
Нумерация формул, теорем и лемм в каждой главе независима от нумерации в других главах.
Модификация задачи
В этом параграфе сведем задачу М. к задаче Римана-Гильберта и решим последнюю. В п. 3, используя решение задачи Римана-Гильберта, построим решение задачи М.. Введём класс гладкости hL. Будем говорить, что функция w(z) принадлежит классу h%, если она 1) кусочно-голоморфна с линией скачков L, 2) ограничена на бесконечности, 3) непрерывно продолжима на L слева и справа во всех точках, за исключением, быть может, концов контура L, где может иметь интегрируемые особенности, т.е. \w(z)\ c\z — d\5, где с 0, S —1 - некоторые константы, d = ехр (га) либо d = ехр (гбд), п = 1,..., Nk, к = 1,2. Дифференцируя условия (2), (5) по 9 и вводя новую функцию Qi(t) = dQi(t)/d9 Є C X(L), получим, что (2) эквивалентно следующим условиям: Пусть и(ж) - решение задачи М.. Введём функцию где v(x) - (многозначная) гармоническая функция, сопряжённая к и{х) в смысле соотношений Коши - Римана. Тогда - однозначная функция, принадлежащая классу h% (она ограничена на бесконечности, так как Ф( г) = z z(;z) = zVu = O(l) при z - со) и удовлетворяющая следующим граничным условиям: которые вытекают из условий (3), (4), (8), (10). (Условия (9), (11) будут использованы ниже.) Итак, для функции Ф(г) можно сформулировать следующую задачу Римана-Гильберта: Задача И. Найти функцию Ф(г) Є hL, удовлетворяющую граничным условиям (14), (15) и такую, что Ф(0) = 0. Задачу Римана-Гильберта, в свою очередь, сведём к задаче сопряжения [27, 28]. Заметим, что если функция Y{z) принадлежит классу h , то функция Y (z) = Y(l/z) также принадлежит h и на единичной окружности выполняется соотношение Пусть Ф(г) - решение задачи 71. Вводя функции и учитывая соотношение (16), получим, что функции ф\(z), 2(2) дают решение двумерной задачи сопряжения: найти функции 1(2), 2(2:) из класса bPL 110 граничным условиям: Здесь и далее следует брать верхнее выражение в фигурных скобках, если аргумент функции принадлежит L1, и нижнее выражение, если аргумент функции принадлежит L2. Как показано в [27], решение задачи 71 выражается через решение задачи сопряжения (17) но формуле Ф(г) = { fii{z) + (j 2 {z))/2.
Будем решать задачу сопряжения методом, предложенным в [27]. Положим фх(г) = exp (- -)/ i(z), h(z) = exp (i-)v2(z), тогда граничные условия на L для функций ti(), fi2(t) имеют вид Произведя ещё одну замену v\(z) = fii(z) + /J 2{Z), 2(2) = — A iW + А г( ) получим две одномерные задачи сопряжения для функций vi{z),v2(z) Є hL с граничными условиями на L где введены новые функции: Из последней формулы легко видеть, что В качестве канонических решений однородных задач (18) согласно работе [И] выберем v\(z) = Имеют место соотношения Заметим, что при t = егв Є L выполняются сооношения (берем нижнее число в круглых скобках, если в а или 0 &„, и верхнее, если в Є [а , Ьк], к = 1,2): Считаем, что прямые значения qk(t) совпадают с q(t), к = 1,2. Из (21) видно, что Согласно [11] решения неоднородных задач (18) имеют вид: где функции Fk(t) введены в (19), (20), a Pk(z) = Е B zn (к = 1,2) - произ- вольные полиномы порядка N. Учитывая указанные выше свойства функций qk(z)7 вычислим vkif(z): Произведя обратные преобразования от vk(z) к j k(z), найдём функцию Ф( ): Очевидно, что новые коэффициенты D\ = (1/2)( + -Bj _nJ, 1 = (1/2)(- + B _nJ обладают свойством Потребовав Ф(0) = 0, видим, что коэффициент Dj не является свободным: Для более компактной записи введём новые обозначения Тогда exp (-i)Ffc(t) = 2h(t)fk{t), к = 1,2. Итак, Функция Ф(г) по построению удовлетворяет граничным условиям (14), (15), а также ограничена на бесконечности в силу того, что qk{z) = 0(zN) при z - со, к = 1,2. Лемма 1. Функция Ф(г) из (27) с комплексными константами D\ (п = l,...,iV), D (n = 0, ...,iV) связанными соотношениями (24), и с DQ из (25) является решением задачи 1Z. Располагая решением задачи 1Z, будем строить решение задачи М следующим способом. Получим новое представление функции Ф(г) через интеграл типа Коши. Пользуясь тем, что функция Ф(г)/г аналитична вне L (поскольку Ф(г) аналитична вне L и Ф(0) = 0) и обращается в ноль на бесконечности (так как Ф(г) ограничена на бесконечности), представим её интегралом типа Из формул Сохоцкого следует, что n(t) = Ф+(Ь) - Ф ( ). Интегрируя соотношение (28) по z и пользуясь формулами (12), (13), получим: где с - комплексная константа. Отсюда где t = ew, со - вещественная константа, ш(х,0) = arg( — t) - ядро углового потенциала [28], r(x,9) = \z — t\ = /(жі — cosfl)2 + (x2 — sin#)2. Функция а;(ж, 0) определена с точностью до 27гт (т целое) формулами Если х Є R2 \ L, то иод и (х, 0) будем понимать любую фиксированную ветвь этой функции, которая непрерывно изменяется по в на L. При таком определении и (х, 9) функция и(х) неоднозначна. Для однозначности функции и(х) следует потребовать выполнения следующих условий [27]: Для того чтобы получить функцию fj,(t) в явном виде, найдём предельные значения Ф(г) на L, пользуясь формулами Сохоцкого-Племеля: Они оказались вещественными. Наряду с ними будем использовать величины Ki(to) = #}( ) + Используя вышесказанное, а также то, что l/gf (t) = —ig(t)/qi{t), 1/feW = i9(t)/Q2{t), получим находим Теперь, имея в виду предыдущие выкладки, найдем n(t): Эта формула допускает дальнейшее упрощение. Рассмотрим пару слагаемых из Vі( ): где используются новые обозначения a = ReD , / = ImZ , А: = 1,2, п = 0,..., [iV/2]. Квадратными скобками обозначаем целую часть числа. Ана- логично Учитывая эти формулы, а также упрощая коэффициенты при К\, К2: Итак, вещественная и мнимая части функции fi{t) имеют вид: Re/i(t0) = -9{to)Q2{to) - Ktfo) + K2{t0) Согласно связи (25) коэффициенты ос\,0к выражаются через a2),/? : (35) Коэффициенты а ,/? , п = 1,...,[у], a2,/?2, n = 0,..., [у] пока не определены. Если N нечётно, то [у] = f и свободных коэффициентов 2N. Если N четно, то [у] = у, но коэффициенты ajy/2 /?N/2 стоят при величинах, тождественно равных нулю, и не интересуют нас. Поэтому свободных коэффициентов всегда 2N.
Также не определена пока аддитивная константа При произвольном выборе свободных коэффициентов функция и{х) из (29) является многозначной гармонической функцией и удовлетворяет граничным условиям (3), (4), (8), (10). Определим свободные коэффициенты из остальных требований, налагаемых на функцию и(х) из (29). 1) Чтобы и(х) удовлетворяла условию на бесконечности (6), положим: 2) Как отмечено выше, для однозначности и(х) следует потребовать, чтобы [27]: 3) Теперь пришла пора применить условия (9), (11), которые удобно запи сать в виде Условие (36) с учётом вида Re/x(t) (33) даёт: Условия (37) с учётом вида Im (і(і) (34) дают: Уравнения (39), (40), (41) образуют систему (2N + 1) уравнений относительно (2iV + 1) неизвестных (a},..., axN[2, /3j, ..., PlN/2_v ag,..., a .j, a(iV-i)/2» i o »P(N-i)/2i о» если нечетное). Для системы введены следующие обозначения (всюду п = 1,..., [у]): - в уравнении (40)(т = 1,..., АГ , fc = 1,2): Под arg(exp {ia ) — exp (гв)) понимается фиксированная ветвь этой функции, которая изменяется непрерывно по в вдоль L. Функции /1(2),/2( ) введены в (26), функции jRi(t),iuM - в (22), (23), g(t) = \ _1 I, а функции Ki(t)yK2(t) введены в (30), (31). Кроме того, Лемма 2. Система (2N + 1) линейных алгебраических уравнений (39) - (41) относительно (2N + 1) неизвестных (а\,..., о; /2, /3 ,... ,Рш/2)-ь /3(лг-і)/2 ао а(лг-і)/2 $) j/?fiv—1)/2 (Ь ec w N - нечетное) однозначно разрешима. Доказательство проведём от противного. Предположим, что однородная система (39) - (41) имеет нетривиальное решение о,/3 ,со. Подставив эти величины в формулы (33), (34), (29), получим, что решение однородной задачи М. имеет вид Вспомнив формулы для скачка нормальной производной логарифмического потенциала и касательной производной углового потенциала [29], получим С другой стороны, однородная задача М. в силу теоремы единственности имеет только тривиальное решение Учитывая формулу (32), имеем: где D„ = a + /, fc = l,2,n = 0,..., [у]. Это возможно только в том случае, если все коэффициенты о,/3, к = 1,2, равны нулю. Тогда из (42), (43) следует, что со = 0. Итак, мы получили, что однородная система (39) -(41) имеет только тривиальное решение. Значит, по альтернативе Фредгольма неоднородная система (39) - (41) имеет единственное решение при любой правой части. Возьмем в качестве константы CQ И коэффициентов а,/3 (а\,..., c L,2 ное) решение системы (39) - (41), которая однозначно разрешима согласно лемме 2. Коэффициенты ,/ найдем по формулам (35). Подставим все эти константы в (29), (33), (34). Теперь функция и(х) в (29) окончательно определена. Нетрудно проверить, что и(х) принадлежит ії и удовлетворяет всем остальным условиям задачи ЛЛ. Теорема 2. Решение задачи ЛЛ существует и даётся формулами (29), (33), (34), в которых коэффициенты а,/3 , CQ являются решением системы (39) - (4 ), гарантированным леммой 2, a CXQ,PQ выражаются по формуле (35).
О вычислении некоторых интегралов
В этом пункте посчитаны некоторые интегралы, встречающиеся в и. 5(1). Полагаем Ni = 1, N2 = О, L = L\ = {г = 1, Є Є (a, b)}, t = еів, t0 = еіво. (I) Рассмотрим интеграл где функции Kj(to) введены в (46). Преобразуем выражение Интеграл ij (t) нетрудно взять методами теории функций комплексного переменного. Введём вспомогательные функции &j{z), заданные интегралом типа Коши: Заметим, что по формуле Сохоцкого - Племеля предельные значения функций lj на L даются формулами: Поэтому искомый интеграл Ij(t) выражается через вспомогательную функцию Qj(t) по формуле Получим явное выражение для функций Qj(z). Для этого охватим разрез L замкнутой кривой Л, будем стягивать её к L, проведём окружность 1д большого радиуса R с центром в начале координат и, пользуясь теоремой о вычетах в области, ограниченной контурами Л и 1ц, получим: где правая часть представляет собой вычет подынтегральной функции в точке z (других особенностей нет, так как qj{z) аналитична вне L). Поскольку а интеграл по IR В (59) стремится к нулю при Я — со, то Подставляя это выражение в (58), получим (II) Рассмотрим интеграл Сведем интеграл к следующему интегралу на комплексной плоскости: где Л — замкнутая кривая, охватывающая L и стянутая к L. Функция l/qk(z) аналитическая всюду в области между Л и 1ц и непрерывно продолжима на границу этой области. По теореме о вычетах J"fc = \/27г exp(z fc), fc = 1,2. (Ill) Рассмотрим интеграл Поскольку Zjt является комплексно сопряженным К ,Jk, то Zjfc = \/27гехр(—гу?0 Ar = 1, 2. Заметим, что справедливо равенство связывающее 2 с интегралом на комплексной плоскости. Из двух последних формул Это равенство также было использовано в п.5. Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы В [23] исследована задача для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы на плоскости, когда на одной совокупности разрезов задается условие Дирихле, а на другой - условие с косой производной, обобщающее условие Неймана. В настоящей главе изучается смешанная задача для уравнения Лапласа вне системы криволинейных разрезов на плоскости, когда на одной стороне каждого разреза задается условие Дирихле, а на другой -условие Неймана. Задача из главы 2 обобщает задачу главы 1, в которой разрезы были расположены вдоль окружности.
В настоящей главе будут доказаны теоремы существования и единственности решения для рассматриваемой краевой задачи, будет получено интегральное представление для решения, краевая задача будет сведена к однозначно разрешимому векторному уравнению Фредгольма II рода, будут изучены особенности градиента решения краевой задачи на концах разрезов. На плоскости а: = (яь г) Є R2 рассмотрим совокупность простых разомкнутых кривых Гі,...,Г# класса С2 л, Л Є (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов. Эту совокупность кривых будем называть контуром Г. Пусть контур Г параметризован и в качестве параметра выступает длина дуги s : Тп = {х : х — x{s) = (zi(s), x2(s)), s Є [an, bn]}, n = 1,2,..., N. Параметризацию выберем так, чтобы для различных п отрезки [ап, Ьп] не имели общих точек, в том числе и концов. Совокупность отрезков оси Os, отвечающих контуру Г, будем также обозначать Г. Вектор касательной на контуре Г в точке x(s) обозначим тх = (cos a(s), sin c (s)), а вектор нормали nx = (sina(s), — cosa(s)), т.е. cosa(s) = x s), sin a:(s) = x 2{s). Пусть плоскость разрезана вдоль контура Г. Через Г+ обозначим ту сторону контура Г, которая остается слева при возрастании параметра s, а через Г - другую. Будем говорить, что функция и(х) принадлежит классу G, если: 1) w(x).G C(R2 \ Г) и и(х) непрерывна на концах разрезов Г, 2) Vu(x) С(Я2\Г\Х), где X = U =1(a;(on)Ua;(6n)) - множество концов контура Г, 3) при х — x{d) X справедливо неравенство где константа const 0, число 5 — 1 и d = а„ либо d = Ьп (п = 1,..., N). Под C(R2 \ Г) понимается класс функций, которые имеют предельные значения на разрезах Г слева и справа, но эти значения могут быть различны во внутренних точках контура Г, т.е. функции могут иметь скачок на контуре Сформулируем смешанную задачу для уравнения Лапласа вне системы разрезов на плоскости. Задача М . Найти функцию и(х) из класса G, удовлетворяющую в #2\Г уравнению Лапласа и условиям на бесконечности граничным условиям Считаем, что f+(s),f (s) - известные функции, А - заданная константа. В случае А = 0 получим классическое условие ограниченности на бесконечности. Эта задача допускает явное решение, если разрезы расположены вдоль прямой [6,10] или вдоль окружности (см. главу 1, а также [61], [62]). Поясним, что в [6, 10] построено явное решение более общих задач, частным случаем которых является задача Дирихле-Неймана для гармонических функций вне прямолинейных разрезов на плоскости. Индексами + и — будем обозначать предельные значения функций на Г+ и на Г соответствен. Докажем теорему единственности. Теорема 1. Задача ЛЛ имеет не более одного решения. Доказательство. Предположим, что задача Л4 имеет два решения щ(х) и U2{x) из класса G. Тогда функция щ(х) = щ(х) — U2{x) принадлежит классу G и удовлетворяет задаче М. с однородными граничными условиями (3), (4) и с условиями на бесконечности Обозначим через 1Г окружность большого радиуса г с центром в начале координат. Охватим замкнутой кривой каждый из разрезов Гп, п = 1,..., N. Для области, ограниченной этими замкнутыми кривыми и окружностью 1Г, запишем энергетическое тождество для уравнения (2). Стянем замкнутые кривые к разрезам Г, устремим г — со и воспользуемся свойствами гладкости функции щ(х) и условиями (6). Тогда энергетическое тождество примет вид: где Сг -- круг радиуса г с центром в начале координат. Интегралы в последней формуле обращаются в ноль в силу однородных граничных условий.
Поэтому jjVnolІ,2(іг2\г) 0- Отсюда щ(х) = const в Я2\Г. Учитывая условие г ог+ = О, заключаем, что щ{х) = 0. Теорема доказана. 2.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений Для доказательства теоремы существования наложим дополнительные требования гладкости на функции из граничных условий (3), (4): Отметим, что коэффициент Гёльдера Л при определении гладкости контура Г и функций f+{s), f {s) предполагается одним и тем же. Если эти коэффициенты различны, то в качестве Л следует выбрать наименьший. Заменим условие (3) эквивалентными граничными условиями Решение задачи будем искать в виде где /?2jv - вещественная константа (смысл обозначения / для константы будет прояснен позже), есть потенциал простого слоя для уравнения Лапласа (2), а есть угловой потенциал для уравнения Лапласа (2), изучавшийся в [7, 8]. Неизвестные функции /x(s), (s), заданные на Г, будем разыскивать в пространстве С(Г), и Є Будем говорить, что функция F{s), определенная на Г, принадлежит банахову пространству Норма в пространстве С (Г) задается соотношением Ядро углового потенциала определяется с точностью до 2пт (т целое) формулами Очевидно, ф(х,у) - угол между вектором ух и направлением оси Ох\. С другой стороны, ф(х,у) - многозначная гармоническая функция, сопряженная с In \х — у\ относительно соотношений Коши-Римана. Пусть х - произвольная фиксированная точка плоскости, лежащая вне контура Г, и у = y(s) Є Г, тогда под ip(x,y(s)) будем понимать произвольную фиксированную ветвь этой функции, непрерывно изменяющуюся ПО S вдоль Г. При таком определении ip(x,y(s)) угловой потенциал - многозначная функция. Для его однозначности необходимо потребовать выполнения следующих условий [7, 8]: При выполнении условий (11) гармонический угловой потенциал можно записать в виде гармонического потенциала двойного слоя то функция w[/i, ](ar) из (10) удовлетворит условиям на бесконечности (5). Если плотности /x(s), i/(s) принадлежат С%(Г), ш Є (0,1], q Є [0,1) и удовлетворяют условиям (11), (12), то функция u[/i, і/](х) из (10) принадлежит классу G и удовлетворяет всем условиям задачи М., за исключением граничных условий [29, 7, 8]. В частности, неравенство (1) будет выполнено с показателем 8 = —д, если q Є (0,1). Удовлетворим граничным условиям (4), (8). Подставляя функцию (10) в (4), (8) и учитывая предельные формулы для касательной и нормальной производных логарифмического и углового потенциалов [8, теорема 5], получим систему из двух сингулярных интегральных уравнений для v(s),(j,(s): Вторые интегралы в (13), (14) понимаются в смысле главного значения.
Поведение градиента решения на концах разреза
Через и будем обозначать решение задачи М. с одним разрезом, рассмотренной в параграфе 5. Используя введенные выше обозначения, исследуем поведение Vu вблизи концов контура Г = {х : х = x(s) = {xi(s),x2(s)), s [a, b]}. Пусть x(d) - один из таких концов. Введем в окрестности x(d) полярную систему координат Напомним, что a(s) --- угол между направлением оси Ох\ и вектором касательной тх в точке x{s) Є Г. Будем считать, что р Є (a(d),a(d) + 2ir), если d = а, и у? (c (d) — тг, a(d) + 7г), если d = Ь. (Полагаем по непрерывности а(а) = а{а 4- 0), а(Ь) = а(Ь — 0).) Таким образом, угол ip меняется непрерывно в окрестности точки x(d), разрезанной вдоль контура Г. Выделим в явном виде степенные особенности в функциях v(s),n(s): (46) где j(d) = 2, если d = a; j(d) = 1, если d = 6; функции являются гёльдеровыми на Г в окрестности а, а функции являются гёльдеровыми на Г в окрестности Ъ. Функции pu(s), p2 (s) — компоненты решения уравнения (44). Пользуясь результатами из [11] о поведении интегралов типа Коши на концах контура Г, приходим к следующей теореме. Теорема 5. Пусть х — x{d) Є X, где d = а или d = Ь; тогда в окрестности точки x(d) для производных решения задачи Л4. справедливы формулы: через 0(1) обозначены функции, непрерывные в окрестности точки x{d), разрезанной вдоль контураТ. (Здесь и далее подразумевается, что функции 0(1) непрерывны и в самой точке x(d).) Функции Pj(s) (у = 1/4,3/4 и d = а,Ь) введены в (47), (48). Доказательство. Наряду с декартовыми координатами х = (жь г) введем комплексную координату х = х\ + гх . Используем представление производных углового и логарифмического потенциалов через интеграл типа Коши на комплексной плоскости [8]: Из (35) и (49) вытекает, что для изучения поведения компонент Vtt достаточно изучить поведение интегралов типа Коши [Pzu{s)/\s \3 ](х), 0,[piu(s)/\s — d]1/4] ) на комплексной плоскости вблизи концов контура Г. Исследуем функцию Преобразуем плотность интеграла П[1/в — d7](tf) с у Є (0,1): Пользуясь техникой, развитой в [8, лемма 1], нетрудно показать, что функция g(s) = (y{s) — x(d))/\s — d\ принадлежит классу С1 (Г) и не обращается в ноль ни при каком s Г. Заметим, что функция (д)1 гёльдерова с показателем 1 на любой гладкой дуге, не содержащей точки g = 0. Согласно теореме о гёльдеровости сложной функции можно утверждать, что функция в квадратных скобках в (51) гёльдерова по s на Г в окрестности d с показателем 1. Очевидно, e ia(s) = (у[(s) - iy 2{s)) Є С1 (Г).
Поэтому функция ф(в) гёльдерова по s на Г вблизи конца d с показателем 1, т.е. для любых si,S2, лежащих на Г в окрестности точки d, имеем Покажем, что функция 4 (y(s)) = ф(э) гёльдерова по у на контуре Г в окрестности x(d). В силу [8, лемма 1] функция \s2 — Si\/\y(s2) — 2/($і) принадлежит Сг(Г х Г) С С(Г х Г) по обеим переменным si,S2 и поэтому равномерно ограничена по s\, s2 Є Г константой с : \y(s2) - y{si)\ Отсюда: s2 — si c \y{s2) — y(s\)\. Используя эту оценку в (52), находим где У2 = y(s2), У\ — y{s\) — произвольные точки, лежащие на контуре Г в окрестности конца x(d), и со — некоторая константа. Тем самым, функция ф{у) гёльдерова на контуре Г по у вблизи конца x(d) с показателем 1. Преобразуем интеграл 2[l/s — d7](5;) следующим образом: где функция ф(у) введена в (51). Второе слагаемое в последней формуле в силу оценки (54) и результатов [11, 22] представляет функцию O(l), непрерывную в окрестности x(d), разрезанной вдоль контура Г. К первому слагаемому применим результаты [11]. Поведение интеграла типа Коши где 7 Є (0,1), изучалось в [11, 23]. Для х достаточно близких к x(d), но не расположенных на контуре Г, справедливо представление [11, 23]: где (5 — z(d))7 обозначает ветвь, голоморфную вблизи x{d) на разрезанной вдоль контура Г плоскости и принимающую значение (x{s) —5(d))7 на левой стороне разреза; под 0(1) понимается обозначение, введенное в теореме 5. Если s Є Г и s -» d, то arg((s) — 5(d)) — a(d) + тг(2 — j(d)) и (s) — 5(d)/s — d\ - 1. Учитывая эти соотношения, вычислим предел функции ф(у) из (51) при у —» 5(d) и у Є Г. Используя (55), получим Теперь изучим поведение функции [ 3/4(5)]( ) Для этого обратимся к исследованию функции 3/4 )- Заметим, что функции удовлетворяют уравнениям (39) и (40). Используя эти уравнения и результаты [11, 22], можно убедиться в том, что справедлива Лемма 7. Если .Fi(s), i s) из (39), (40) — гёлъдеровы функции на Г, то Фз/4(s) также является гёлъдеровой функцией переменной s на Г вблизи d. Доказательство леммы будет дано в следующем параграфе. Из леммы 7 и оценки (53) вытекает, что функция 3/4( (5)) = з/4(5) рассматриваемая как функция комплексной переменной у, гёльдерова на контуре Г вблизи x(d). Кроме того, Фз/4( М) = О- Тогда согласно [11, 22], функция [ 3/4(5)]0 0 непрерывно продолжима на конец x(d). Используя обозначение 0(1), введенное в теореме 5, имеем [ 3/4(S)l = OW- Возвращаясь к исходному интегралу (50) и пользуясь (56), получим для 5 —» x{d) Подставляя функции p,(s),v(s) из (46) в (57), (58), найдем Теперь, используя (35) и (49), приходим к утверждению теоремы. Полученные формулы показывают, что частные производные решения задачи М. обычно имеют на концах разрезов степенные особенности с показателем 3/4. 2.7 Доказательство леммы 7 Докажем лемму 7, которая была использована в теореме 5. Напомним, что Цц( ) = (РІ/М - Pi,Ad))l\s-d\V\ a pi/A{s) = Pm(s)\s - d\ /2. Как было отмечено выше, функции Pj(d){s) удовлетворяют уравнениям (39), (40). Поэтому для Рзи{$) справедливы тождества: (59) где Qj(d)is) = Qj{d){s)/\s — d\z 4 и Fj(d)(s) Є С0,А(Г). Заметим, что функции Qj(d)(s) и 1/Qj (d)(s) являются гёльдеровыми на Г в окрестности точки d с показателем 1. Поэтому для s, лежащих на Г в окрестности точки d, справедливо равенство где через 0(\s — d\) обозначена функция, гёльдеровая на Г в окрестности конца d с показателем 1. Преобразуем выражение (59) следующим образом: к общему знаменателю подынтегральные выражения: где константа d — — d3/4/( — d)3/4. Тогда функция Фз/4(в) имеет вид: Используя результаты [11, 22, п. 4] и учитывая гёльдеровость функций -Fi(s), F2{s) на Г, можно утверждать, что функция Ф $/4(5) является гёльдеровой на Г вблизи d.
Чтобы найти ф/4( 0 = Ит Ф я), учтем [11, 22, п. 2, п. 4], что для функции /() гёльдеровой на Г в окрестности конца d, справедлива формула (0 7 1): Таким образом, 2.8 Исчезновение особенности Vit Как следует из формул теоремы 5, чтобы Vtt(x) не имел особенности порядка 7 в точке x{d) (7 = 1/4 либо у = 3/4; d — а или d = Ь), необходимо и достаточно, чтобы py(d) = 0. Особенностей не будет на обоих концах разреза Г, если выполнены условия которые составляют четыре интегральных требования на функции /i(s), /2(5). Лемма 8. ij Если Py d) = pu {d) = 0, где d = а шш d = b, то градиент решения задачи А4 непрерывен на конце x(d) разреза Г. 2) Если pf/iid) = P\u(d) — 0 для d = а и d — Ь, то градиент решения задачи М. непрерывен на обоих концах разреза Г. Представляется интересным изучить следующий вопрос: при каких функциях /+(s), f {s) из (3), (4) особенности градиента решения задачи М. отсутствуют на концах разреза Г? Аналитическое исследование этого вопроса для разреза произвольной формы затруднительно. Мы будем исследовать один частный случай. Пусть Г представляет собой прямолинейный отрезок, расположенный под углом в к оси Ох\\ Г = {х : х — (scos#,ssin0), s Є [а,6]}. Тогда Yi(s,a) = 2(5, о) = 0 для s, а Є Г, и уравнения (36) - (38) имеют решения Функции /i(s), /2(5) связаны с функциями f+(s), f (s) из граничных условий (3), (4) соотношениями Д(5) = 2[/ +(s) + /-(e)], f2(s) = 2[/+(s) - /-(e)]. Находя функции p (s) по формулам (47), (48), имеем: Покажем, что требования (61) можно удовлетворить все одновременно, так что Vu(x) будет непрерывен в точках а:(а) и х(Ь). Будем искать /i(s), /2(e) в виде Тогда условия (61) для функций /i(s), /2(5) превратятся в следующие условия для функций Заметим (см. (62)), что для выполнения условия /i(s),/2(s) Є С0,А(Г) с некоторым (не заданным заранее) Л Є (0,1] достаточно, чтобы 01 (s) 02(e) Сї/4(г) с некоторым Ыо Є (0,1]. Лемма 9. Пусть Г = {х : х = (s cos 0, s sin 0), s Є [а,Ь]}, функции /1(5),/2(5) определены в (62), a ?i(s), ?2(s) удовлетворяют условиям (63). Тогда градиент решения задачи ЛЛ непрерывен на концах разреза Г. Приведем несколько способов построения функций #i(s), ?2(s).
Существование решения
Докажем теперь разрешимость уравнения (39). Теорема 3. 1) Уравнение (39) имеет единственное решение р в пространстве С(Г1)х С0(ГХ) х Е2 1+\ при любой правой части Ф еС Т1) х С0 1) х E2Nl+i. 2) Если правая часть Ф принадлежит пространству ( (Г1) х С Г1) х E2Nl+l, и = min{A,7о}, mo это решение р принадлежит тому же пространству. Доказательство. 1) По лемме 6 уравнение (39) фредгольмово в пространстве С Г1) х С Г1) х E2N1+\. Согласно альтернативе Фредгольма, для доказательства п. 1) достаточно показать, что однородное уравнение (39) имеет только тривиальное решение в этом пространстве. Последнее утверждение будем доказывать от противного. Предположим, что однородное уравнение (39) имеет нетривиальное решение Р = (AW. AW. / . -,/)3, Є С Г1) х С(Т1) х E2Nl+1. Это означает, что функции р? (s), р2 W Є С Г1) и константы /? ., 02NL-I удовлетворяют однородным уравнениям (35), (36), которые являются частью (39). На основании леммы 4 можно утверждать, что р Є С0"(Г1) х С Г1) х 2iv1+i-Однородное уравнение (39) возникает, если /i(s) = 0, /2(5) = 0 и константа А = О, т.е. однородной задаче J соответствует однородное уравнение (39). По лемме 7(2) функция является решением однородной задачи J. С другой стороны, из теоремы 1 следует, что однородная задача J имеет только тривиальное решение Принимая во внимание предельные формулы для потенциалов [7, 8] Поэтому в силу (43): p? (s) = 0, р (5) = 0, s Є Г1. Учитывая (43) и (42), имеем 02Ni = 0- Из однородных тождеств (35), (36), которые являются составной частью векторного уравнения (39), вытекает Согласно основной теореме алгебры о числе корней полинома, эти тождества возможны только в случае, если / = 0, т — 0,1,..., 2N\ — 1. Итак, р == 0, что противоречит нашему предположению. Утверждение 1) доказано. 2) Пусть р = (pi (s), p2 (s), /3)т Є С Г1) х С Г1) х 2JV1+I - решение неоднородного уравнения (39) для Ф Є С0,ь,(Г1)х С Г1) х Е +ь Из пункта 1) следует, что такое решение существует. Функции pu(s), P2 (s) удовлетворяют уравнениям (35), (36), которые являются частью (39).
Следовательно, по лемме 4: р Є С и(Т1) X С0 (Г1) х E2Nl+\- Теорема доказана. Таким образом, теорема 3 гарантирует однозначную разрешимость уравнения (39) в пространстве С {Т1) х С Г1) х +1, когда правая часть уравнения (39) принадлежит тому же пространству. По лемме 3, вектор Ф действительно принадлежит этому пространству, если выполнены условия (7), (8). По лемме 7(2) решение задачи существует и дается формулой (12), в которой JU(S), v(s) на Г1 и / выражаются через элементы решения уравнения (39). При этом оказывается, что p,(s),i/(s) Є ( (Г1), где и? ,q даны в (34). На основании теоремы 1, теоремы 3 и леммы 7(2) сформулируем итоговую теорему. Теорема 4. Пусть Г Є С2,А и выполнены условия (7) - (9). Тогда решение задачи J существует, единственно и дается формулой (12), где плотности JU(S), v(s) при 5 Є Г2 берутся из (17), а при s Є Г1 берутся из (41), функции Pu{s),p2 {s) Є ( "(Г1) {UJ = min{A,7o}) и константа / определяются в результате решения уравнения Фредгольма II рода (39), которое однозначно разрешимо по теореме 3. Из свойств потенциалов [8] вытекает, что градиент решения задачи J как правило является неограниченным в окрестности концов контура Г. Более того [8, теорема 5], неравенство (1) выполняется на концах разрезов Г2 с любым 5 Є (—1,0), а на концах разрезов Г1 с 8 = — q, где q - константа из (34). Докажем лемму 2. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение где g(s) =дпф\, s Є Г„, п = 1,2,..., Nv Пусть функция p2(s) удовлетворяет уравнению (44). Рассмотрим интеграл типа Копій Согласно формулам Сохоцкого Таким образом, если функция p2(s) удовлетворяет уравнению (44), то предельные значения на (Г1) функции 7 должны удовлетворять соотношению Приведя последнее уравнение к стандартному виду, дадим строгую формулировку получившейся задачи сопряжения. Задача S. Найти функцию #2(z), кусочно-голоморфную с линией скачков Г1, удовлетворяющую условию на бесконечности #2(оо) = 0 и граничному условию (Условие Л2(оо) = 0 следует из вида функции (45).) В понятие кусочно-голоморфной функции у нас включается следующее условие: функция может иметь интегрируемые особенности на концах контура Г1. Мы решим задачу S, а затем с помощью формулы (46) найдем функцию P2{s). Эта функция будет давать решение сингулярного интегрального уравнения (44). Определим на Г1 функцию (s) с помощью равенств, приведенных в условии леммы 2. Используя формулу Эйлера, получим: Итак, Q(s) = e2ni s\ s Є Г1. Отметим, что Q{s) = Qny -y{s) = 7„ при s Є Каноническое решение однородной задачи сопряжения S имеет вид [11] В дальнейшем нам понадобятся выражения для предельных значений Q2(z) на (Г1) и (Г1)-. называемая прямым значением функции Q2(z) на оси Os, в частности, на Г1. Вернемся к задаче сопряжения S для функции R2(z). Согласно [11], решение неоднородной задачи сопряжения S, удовлетворяющее условию R2(oo) = О, имеет вид где / v1}... ,$2iVi-i — произвольные комплексные константы. Теперь найдем по формуле (46) решение уравнения (44): где Р 1У..., P2N1-1 — произвольные вещественные константы. В последнем равенстве использованы соотношения (48) и определение функции (s). Итак, лемма 2 для случая j = 2 доказана. Сингулярное интегральное уравнение для функции pi(s) (случай j = 1 в формуле (30)) рассматривается аналогично. Для функции получим задачу сопряжения [11] с граничным условием Черта сверху обозначает комплексное сопряжение. Положим arg(s) = 27Г - arg(/(s), тогда 0 arg(s) 27Г. Решение однородной задачи сопряжения имеет вид R\(z) = 1/Qi(z), где Предельные значения функции Qi(z) на (Г1)± даются соотношениями где Qiis) = П \s - anl1-7ns — 6n7"sign(s - an) — прямое значение Qi(z) на оси Os, в частности, на Г1. Построив решение неоднородной задачи сопряжения, найдем В этом параграфе будут рассмотрены интегралы Для расчета интегралов /Р)Ш используем теорию вычетов.
Охватим разрезы Гп, п = 1, ...,N\, гладкими замкнутыми кривыми и будем стягивать эти кривые к разрезам Г„. Назовем полученный контур Л. Проведем также окружность Сг большого радиуса г с центром в начале координат. Рассмотрим для примера интеграл І2,т- Переходя с помощью формул (48) от прямого значения Q2(s) к предельным значениям Qf(s) на Г1 функции Q2{z), получим: Функция zm/Q2(z) аналитична в области между Л и Сг и непрерывна на границе этой области. Согласно теореме о вычетах для любого достаточно большого г. Устремляя г —у со, имеем Можно также найти значение интегралов Jp,m{s) при s Є Г1. Для этого достаточно заметить, что функции (sin.7T7(s))sm/Qp(s) являются решениями однородных уравнений (30р), р = 1,2. Поэтому справедливы равенства Возьмем Ф2(з) из (33) и проведем непосредственную проверку, меняя порядок интегрирования в двойном интеграле и используя (492): Выражение в последних скобках обращается в ноль в силу определения 7 (s)-Остальные равенства из (50) доказываются аналогично. Пусть N = Ni = 1, N2 = 0, т.е. Г состоит из одного разреза: Г = Г1 = {х : х = (xi(s),x2(s)), s Є [a,b]}, a g(s) = д = const при 5 Є Г. В этом случае удается упростить уравнение (39). Будем искать решение задачи в виде Функции Pi(s),p2(s) Є С 7(Г1) и константу с определим из следующей системы уравнений: которая получается из системы (25) - (29) при N = 1. Функции JFI(,S), F2(s) даются выражениями в (25), (26). Решая уравнение (52i) относительно /?i(s), а (52г) - относительно p2(s) согласно лемме 2 и считая функции -Fi(s), - 2(5) известными, найдем: Qi(s), Q2(s) Є С0,70(Г), константа 7 определена в лемме 2,70 = niin{7,1 — 7}-Подставляя функции pi(s),p2(s) из (55), (56) в уравнения (53) и пользуясь формулами для интегралов из п. 6, определим константы /?i,&: Раскрывая выражения Fi(s),F2(s), получим для pi(s),p2(s) систему регуля-ризованных уравнений: (59) Далее проведем для уравнений (57), (58) те же преобразования, что и раньше для уравнений (31), (32), введем функции Pj (s) = Qj(s)pj(s), j = 1,2, и операторы Kpj, р = 1,2, j = 1,2 (см. (37)). В итоге уравнения (57), (58) сведутся к векторному уравнению относительно неизвестного вектор-столбца р = (pi (s),p2 (s))r, принадлежащего банахову пространству С(Г) х С(Г) с нормой рс0(г)хс(Г) = рі с(Г) + ІІР2 с(Г): оператор, отображающий пространство С0(Г) х С0(Г) в себя, операторы KPj (р = 1,2, j = 1,2) определены в (37). Очевидно, уравнение (60) является фредгольмовым в пространстве С0(Г) х С0(Г) и имеет единственное решение в этом пространстве.
