Содержание к диссертации
Введение
1. Краевые задачи для модельных нелокальных дифференциальных уравнений 26
1.1. Понятие ипволютивіюго отклонения и некоторые его свойства 26
1.2. О корректности задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией 31
1.3. Задача Коши для возмущенного телеграфного уравнения 38
1.4. Нелокальные характеристические задачи G\ и G% для возмущенного телеграфного уравнения 44
2. Краевые и начально-краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений второго порядка 53
2.1. Задача Коши 53
2.2. Квазихарактеристическая задача Гурса 62
2.3. Квазихарактеристические задачи Дарбу 66
2.4. Квазихарактеристические задачи Коши-Гурса 72
2.5. Задачи Дирихле 78
3. Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений с оператором Лаврентьева-Бицадзе 91
3.1. Краевая задача для нелокального уравнения, порожденного оператором типа Лаврентьева-Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями вырождения типа 91
3.2. Аналог задачи Трикоми для нелокального уравнения, порожденного оператором типа Лаврентьева-Бицадзе с двумя параллельными линиями вырождения типа 99
3.3. Аналог задачи Трикоми для нелокального уравнения, порожденного оператором Лаврентьева-Бицадзе 108
Список литературы 118
- О корректности задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией
- Нелокальные характеристические задачи G\ и G% для возмущенного телеграфного уравнения
- Квазихарактеристические задачи Коши-Гурса
- Краевая задача для нелокального уравнения, порожденного оператором типа Лаврентьева-Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями вырождения типа
Введение к работе
Актуальность темы. Понятие нелокального оператора и и связанное с ним понятие нелокального дифференциального уравнения появилось в математике сравнительно недавно. В соответствии с определением, приведенным A.M. Нахушевым в его монографии1, к числу нелокальных дифференциальных уравнений относятся: нагруженные уравнения, уравнения, содержащие дробные производные искомой функции, уравнения с отклоняющимися аргументами, иными словами, такие уравнения, в которых неизвестная функция и ее производные входят, вообще говоря, при различных значениях аргументов.
В 50-60 годы XX века в связи с возросшим интересом к задачам теории управления стала интенсивно развиваться теория обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим или опережающим аргументом. В этот период вышли хорошо известные монографии отечественных авторов Н.М. Красовского, А.Д. Мышкиса, СБ. Норкина, Л.Э. Эльсгольца, и иностранных ученых Р. Беллмана и К. Кука, Э. Пинни, А. Халаная.
Среди дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами особое место занимаю уравнения, в которых отклонение аргументов носит знакопеременный характер. К числу таких отклонений относится так называемое отклонение инволютивного типа. Отображение ск(), которое является изменяющим ориентацию гомеоморфизмом простой непересекающейся замкнутой или разомкнутой кривой в комплексной плоскости, принято называть карлемановским сдвигом или инволютивным отклонением, если a (t) = a(a(t)) = t. Свойства этого гомеоморфизма приведены и изучены в монографиях 3. Нитецкого, Г.С. Литвинчука, Н.К. Карапетянца и С.Г. Самко. В дальнейшем эти свойства использовались многими авторами при исследовании разнообразных уравнений, содержащих тот или иной инволютивный оператор — сингулярных интегральных уравнений, функциональных уравнений, в краевых задачах теории аналитических функций, в уравнениях типа свертки и так далее.
Хорошо известно, что дифференциальные уравнения, содержащие инво-лютивное отклонение в искомой функции или ее производной, являются некоторыми модельными уравнениями со знакопеременным отклонением аргумента. В целом, такие уравнения можно отнести к классу функционально-дифференциальных уравнений.
Впервые обыкновенные дифференциальные уравнения с инволютивным отклонением упоминаются в работе Ч. Баббеджа еще в 1816 году.
В последнее время достигла заметных результатов теория нелокальных, по терминологии А.А. Дезина, задач. Решение многих практически важных задач, связанных с динамикой почвенной влаги, описанием процесса диф-
1 Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. — М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
фузии частиц в турбулентной плазме, моделированием процесса излучения лазера и диффузии в трехкомпонентных системах, приводит к нелокальным краевым условиям. Как отмечено, например, в монографии A.M. Нахушева, упомянутой выше, исследования последних лет убедительно показывают, что в математической биологии весьма часто возникают как нелокальные краевые, так и смешанные начально-краевые задачи. Такие задачи возникают, в частности, при моделировании процесса размножения микробных популяций в биологическом реакторе.
Исследование нелокальных краевых задач было начато в работах В.И. Же-галова2, А.В. Бицадзе, А.А. Самарского3, и A.M. Нахушева4.
В период с 70-х по 90-е годы в указанном направлении появилась серия работ М.Х. Абрегова, А.А.Андреева, Х.Г. Бжихатлова, А.В. Бицадзе, В.Ф. Вол-кодавова, Х.Ш. Джураева, В.И. Жегалова, Н.И.Ионкина, С.К. Кумыковой, Е.И. Моисеева, A.M. Нахушева, А.И. Прилепко, О.А. Репина, А.А. Самарского, М.М. Смирнова, А.П. Солдатова, В.А. Стеклова, Я.Д. Тамаркина, Ф.И. Фран-кля, A.M. Krall, М. Picone и других.
Среди первых работ по исследованию краевых задач для уравнений в частных производных второго порядка с отклонениями в старших производных следует отметить работы И.М. Гуля и А.Б. Нерсесяна, в которых было обращено внимание на эффект влияния отклонения аргумента на корректность постановок классических задач.
Следует также отметить работы, посвященные исследованию как классических, так и нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных с отклоненим аргументов в младших и старших производных А.А.Андреева, Э.Ш. Баллы и И.И.Маркуша, В.А. Домбровского и В.И. Фодчука, А.Н. Зарубина, А.В. Линькова, Т.Ш. Кальменова и М.А. Сады-бекова, В.Р. Носова, Е.И. Огородникова, В.В. Подгорнова, Б.И. Пташника, З.Б. Сеидова, А.Ю. Сеницкого, А.Л. Скубачевского, Б.П. Ткача.
Заметим, что к подобным нелокальным уравнениям сводятся некоторые задачи интегральной геометрии, обратные задачи кинематической сейсми-ки и геофизики, задачи колебания, вызванные двумя синхронными источниками, задачи теории упругости, теории магнитогидродинамических течений, теории распространения упругих электромагнитных волн, описываемых уравнением Максвелла с памятью, теории пластичности и ползучести, когда нельзя пренебречь наличием запаздывания деформаций в теле относительно приложенных напряжений и другие.
Прикладное значение теории нелокальных дифференциальных уравнений обусловлено тем обстоятельством, что, как отмечают многие авторы, теория
2 Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Уч. записки КГУ, 1962. Т.122. Кн.З. С. 3-16.
3Бицадзе А.В., Самарский, А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. JNM. С. 739-740.
іНахушевА.М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187. №4. С. 736-739.
обыкновенных дифференциальные уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих инволютивные отклонения аргументов искомых функций и их производных, изучена явно недостаточно и остается весьма далекой от своего завершения.
Цель работы. Целью диссертационной работы является постановка и изучение методов решения как классических так и неклассических начальных и начально-краевых задач для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка на плоскости с инволютивными отображениями аргументов, обоснование корректности этих задач, доказательство соответствующих теорем существования и единственности решений, что и определяет структуру работы и содержание ее отдельных глав.
Методы исследования. Основные результаты диссертации получены путем редукции поставленных классических краевых задач или их аналогов для изучаемых нелокальных дифференциальных уравнений к классическим или известным неклассическим краевым задачам для определенным образом получаемых систем двух локальных дифференциальных уравнений, применением методов Римана, Римана-Адамара, Фурье, теории сингулярных интегральных уравнений, краевых задач Римана и специальных функций.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:
приведен пример обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами, содержащего искомую функцию, вычисленную в инволютивной точке, для которого показано неравноправие левосторонней и правосторонней задач Коши в смысле единственности решения, а также показано влияние инволюции на свойства решений:
для телеграфного уравнения, возмущенного значением искомой функции в инволютивных точках специального вида, найдено решение в явном виде и обоснована корректность классической задачи Коши, показано влияние инволюции на асимптотику решения задачи Коши; найдены решения в явном виде и обоснована корректность двух нелокальных характеристических задач:
для одного нелокального уравнения, порожденного дифференциальным оператором второго порядка, возмущенным оператором того же семейства относительно искомой функции, вычисленной в инволютивных точках, обоснована корректность задачи Коши, квазихарактеристических задач Гур-са, Коши-Гурса и Дарбу с заданием нелокальных условий на части квазихарактеристик, решения найдены в явном виде:
для одного уравнения с нелокальным дифференциальным оператором второго порядка, возмущенного оператором того же семейства относительно искомой функции, вычисленной в инволютивных точках, методом Фурье обоснована корректность и найдено решение в явном виде задачи Дирихле в прямоугольной области:
5) для уравнений, порожденных операторами типа Лаврентьева-Бицадзе с одной, двумя перпендикулярными и двумя параллельными линиями вырождения типа и возмущенных значениями второй производной искомой функции вычисленной в инволютивных точках, рассмотрены аналоги задачи Три-коми в неограниченных симметричных областях, обоснована их корректность и найдены решения в явном виде.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней продолжены исследования в области классических и нелокальных краевых задач для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с инволютивными отображениями аргументов.
Результаты работы могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории классических и нелокальных краевых и начально-краевых задач для нелокальных уравнений с инволютивными отображениями аргументов.
Практическая значимость заключается в возможности применить полученные результаты к исследованию конкретных дифференциальных уравнений, являющихся моделями физических и природных процессов.
Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на
международной конференции «Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой», посвященной 70-летию Самарской государственной экономической академии (июнь 2001 г.) в СамГЭА, г. Самара:
научной конференции «Проблемы современной математики», посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета (22-24 октября 2001 г.) в КГПУ, г. Казань:
второй международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (3-7 декабря 2001 г.) в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик;
международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (18-25 мая 2003 г.) в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик-п. Эльбрус;
международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (22-26 мая 2004 г.) в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик-п. Эльбрус;
ежегодном Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2003-2005гг.) в Сочинском госуниверситете ТиКД, г.Сочи;
ежегодных межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (2002-2003 гг.) в СамГТУ, г. Самара.
ежегодной международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (2004-2005 гг.) в СамГТУ, г. Самара;
ежегодных всероссийских научных конференциях «Математическое моде-
лирование и краевые задачи» (2004-2005гг.) в СамГТУ, г.Самара.
на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (27 июня-2 июля 2005г.) в СамГУ, г.Самара:
научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 2003 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Филатов О.П.):
научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2002-2005 гг. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Радченко В.П.):
научном семинаре кафедры математического анализа Белгородского государственного университета в ноябре 2005 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Солдатов А.П.):
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 12-ти публикациях. Работы [1, 3, 4, 5, 8, 9] написаны в соавторстве с научным руководителем. Из совместных работ в диссертации представлены результаты, полученные автором самостоятельно.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 137 страницах, и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 190 наименований.
О корректности задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией
Эти уравнения также не поддаются известной классификации, но при є = 0 они имеют вид классических уравнений математической физики. Рассматривались задачи, которые при є — 0 являются соответственно задачами Коши, Дирихле, Гурса, Коши-Гурса, Неймана и были выяснены условия их корректности.
В работах А.А. Андреева и А.В. Линькова [13,14], А.А, Андреева и И.П. Шин-дина [18, 19] методом Фурье доказано, что первая краевая задача для уравнения с отклоняющимся аргументом, порожденного уравнением теплопроводности, может оказаться некорректно поставленной, в то время, как корректной будет задача, с заданием начального условия на части границы.
Подобный эффект наблюдался для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени С.А. Терсеновым [137] и Н.В. Кисловым [69, 70]).
Отметим, наконец, работы, посвященные исследованию краевых задач для уравнений Эй л ера-Пуассона-Дарбу [17] и Бицадзе-Лыкова [15, 16] с ип-волютивными отклонениями аргументов в младших производных.
Заметим, что к подобным нелокальным уравнениям сводятся некоторые задачи интегральной геометрии [122], обратные задачи кинематической сей-смики [6] и геофизики [4, 20], задачи колебания, вызванные двумя синхронными источниками [62, 111], теории упругости [105], теории мапштогидродина-мических течений [71], теории распространения упругих электромагнитных волн, описываемых уравнением Максвелла с памятью [78], теории пластичности и ползучести, когда нельзя пренебречь наличием запаздывания деформаций в теле относительно приложенных напряжений [1, 52, 79, 116, 121, 169]. Прикладное значение теории нелокальных дифференциальных уравнений обусловлено тем обстоятельством, что, как отмечают многие авторы, теория обыкновенных дифференциальные уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих инволютивные отклонения аргументов искомых функций и их производных, изучена явно недостаточно и остается весьма далекой от своего завершения.
Цель работы. Целью диссертационной работы является постановка и изучение методов решения как классических так и неклассичсских начальных и начально-краевых задач для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка на плоскости с инволготивными отображениями аргументов, обоснование корректности этих задач, доказательство соответствующих теорем существования и единственности решений, что и определяет структуру работы и содержание ее отдельных глав.
Методы исследования. Основные результаты диссертации получены путем редукции поставленных классических краевых задач или их аналогов для изучаемых нелокальных дифференциальных уравнений к классическим или известным неклассическим краевым задачам для определенным образом получаемых систем двух локальных дифференциальных уравнений, применением методов Римаиа, Римана-Адамара, Фурье, теории сингулярных интегральных уравнений, краевых задач Римаиа и специальных функций.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты: 1) приведен пример обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами, содержащего искомую функцию, вычисленную в инволютивиой точке, для которого показано неравноправие левосторонней и правосторонней задач Коши в смысле единственности решения, а также показано влияние инволюции на свойства решений; 2) найдено решение в явном виде и обоснована корректность классической задачи Коши для телеграфного уравнения, возмущенного значением искомой функции в инволютивпых точках специального вида; показано влияние инволюции па асимптотику решения задачи Коши; найдены решения в явном виде и обоснована корректность двух нелокальных характеристических задач; 3) найдены решения в явном виде и обоснована корректность задачи Коши, квазихарактсристических задач Гурса, Коши-Гурса и Дарбу с заданием нелокальных условий на части квазихарактеристик для одного нелокального уравнения, порожденного дифференциальным оператором второго порядка, возмущенным оператором того же семейства относительно искомой функции, вычисленной в инволютивпых точках; 4) методом Фурье обоснована корректность и найдены решения в явном виде двух задач Дирихле в прямоугольной области для одного уравнения с нелокальным дифференциальным оператором второго порядка, возмущенного оператором того же семейства относительно искомой функций, вычисленной в инволютивных точках; 5) рассмотрены аналоги задачи Трикоми в неограниченных симметричных областях для уравнений, порожденных операторами типа Лаврентьева-Бицадзе с одной, двумя перпендикулярными и двумя параллельными линиями вырождения типа и возмущенных значениями второй производной искомой функции вычисленной в инволютивных точках; обоснована корректность задач и найдены решения в явном виде. Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней продолжены исследования в области классических и нелокальных краевых задач для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с ипволготивными отображениями аргументов.
Нелокальные характеристические задачи G\ и G% для возмущенного телеграфного уравнения
Заметим, что уравнения, рассмотренные И.М.Гулем и А.Б. Нерсесяном, вообще говоря не поддаются классификации, так как принадлежность уравнения к тому или иному типу есть его локальное свойство [30].
А.Н. Зарубиным [53]-[58] его учениками [59, 60, 123] исследовались краевые задачи для уравнений в частных производных смешанного типа и уравнений с дробной производной с запаздывающим аргументом. Так, например, в статье [53] им были рассмотрены краевые задачи для уравнения, обобщающего уравнение Лаврентьев а- Б и цадзе а в работе [55] для уравнения с помощью интегрального преобразования Лапласа по временной координате удалось редуцировать задачу обтекания двух несоприкасающихся плоскопараллельных пластин с тождественными теплофизическими свойствами к решению эллиптико-параболического уравнения с запаздывающим аргументом.
Отметим также работы Э.Ш. Баллы и И.И. Маркуша [22], В.А. Домбровс-кого и В.И.Фодчука [46], Т.Ш.Кальмснова и М.А.Садыбекова [6Q], В.Р.Носова [104], В.В. Подгорпова [110], Б.И. Пташника [114, 115], З.Б. Ссидова [127], А.Л. Скубачевского [129]-[131], Б.П. Ткача [140, 141].
В работах А.А. Андреева [9]-[12] рассматривались дифференциальные уравнения, содержащие параметр є и ипволютивпые отображения одного или нескольких аргументов; где М — есть дифференциальный оператор либо гиперболического, либо эллиптического, либо параболического типа, а(х,у),/3(х7у) — ииволготивныс отображения, удовлетворяющие свойствам: Эти уравнения также не поддаются известной классификации, но при є = 0 они имеют вид классических уравнений математической физики. Рассматривались задачи, которые при є — 0 являются соответственно задачами Коши, Дирихле, Гурса, Коши-Гурса, Неймана и были выяснены условия их корректности.
В работах А.А. Андреева и А.В. Линькова [13,14], А.А, Андреева и И.П. Шин-дина [18, 19] методом Фурье доказано, что первая краевая задача для уравнения с отклоняющимся аргументом, порожденного уравнением теплопроводности, может оказаться некорректно поставленной, в то время, как корректной будет задача, с заданием начального условия на части границы.
Подобный эффект наблюдался для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени С.А. Терсеновым [137] и Н.В. Кисловым [69, 70]).
Отметим, наконец, работы, посвященные исследованию краевых задач для уравнений Эй л ера-Пуассона-Дарбу [17] и Бицадзе-Лыкова [15, 16] с ип-волютивными отклонениями аргументов в младших производных.
Заметим, что к подобным нелокальным уравнениям сводятся некоторые задачи интегральной геометрии [122], обратные задачи кинематической сей-смики [6] и геофизики [4, 20], задачи колебания, вызванные двумя синхронными источниками [62, 111], теории упругости [105], теории мапштогидродина-мических течений [71], теории распространения упругих электромагнитных волн, описываемых уравнением Максвелла с памятью [78], теории пластичности и ползучести, когда нельзя пренебречь наличием запаздывания деформаций в теле относительно приложенных напряжений [1, 52, 79, 116, 121, 169].
Прикладное значение теории нелокальных дифференциальных уравнений обусловлено тем обстоятельством, что, как отмечают многие авторы, теория обыкновенных дифференциальные уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих инволютивные отклонения аргументов искомых функций и их производных, изучена явно недостаточно и остается весьма далекой от своего завершения.
Цель работы. Целью диссертационной работы является постановка и изучение методов решения как классических так и неклассичсских начальных и начально-краевых задач для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка на плоскости с инволготивными отображениями аргументов, обоснование корректности этих задач, доказательство соответствующих теорем существования и единственности решений, что и определяет структуру работы и содержание ее отдельных глав.
Методы исследования. Основные результаты диссертации получены путем редукции поставленных классических краевых задач или их аналогов для изучаемых нелокальных дифференциальных уравнений к классическим или известным неклассическим краевым задачам для определенным образом получаемых систем двух локальных дифференциальных уравнений, применением методов Римаиа, Римана-Адамара, Фурье, теории сингулярных интегральных уравнений, краевых задач Римаиа и специальных функций.
Квазихарактеристические задачи Коши-Гурса
Если однородные левосторонняя и правосто-ронняя задачи Коши не равноправны в смысле единственности решения — правосторонняя задача иліеет единственное тривиальное решение, а левосторонняя задача имеет бесконечное миооїсество нетривиальных решений. В свою очередь, неоднородная левосторонняя задача Коши является некорректной в смысле существования решения, а правосторонняя - корректной. 7Г 2) Если А — — — + 2тг&, к Є Z, mo ситуация прямо противоположная. 7Ґ 3) Если А ф — + 7Г&, fc Є Z, mo однородные левосторонняя и правосто Li ронпяя задачи Коши равноправны в смысле единственности (имеют единственное тривиальное решение). Неоднородные задачи Коши корректны и имеют колеблющиеся решения. 7Г Доказательство. Пусть sin Л — 1, то есть А = — + 2тгк, к Є її. Тогда из системы уравнений (1.16) мы можем выразить константы С\ и С2. Получим откуда С\ = 0, а С2 — любое действительное число. Общее решение уравнения (1.4) запишется в следующем виде: x(t) = C2F(t)smG{t). (1.19) Подставляя в (1.19) начальные значения (1.17) и (1.18), получим ж(0) = C2F{0) sinG(O) = С2 0 = х0, х{1) = C2F(l)sinG(l) = С2 = xi. Таким образом левосторонняя задача Коши является некорректной — при XQ ф 0 в смысле существования решения, а при XQ — 0 — в смысле единственности. Правосторонняя задача Коши, в свою очередь, является корректной и имеет решение вида (1.19) при С2 = Х\. Если же рассмотреть однородные задачи, то они не равноправны в смысле единственности. Так, правосторонняя задача Коши имеет единственное тривиальное решение, а левосторонняя задача имеет бесконечное множество нетривиальных решений. Пусть sin Л = —1, то есть А — —— + 2тгк: к є 2І. Тогда из системы уравнений (1.16) выразим константы С\ и Сч : откуда С2 = 0, а Сі — любое действительное число. Обі цеє решение уравнения (1.4) запишется в следующем виде: Подставляя в (1.19) начальные значения (1.17) и (1.18), получим Таким образом, в этом случае ситуация противоположная в отличие от первого, то есть правосторонняя задача Коши является некорректной — при х\ ф 0 в смысле существования решения, а при х\ — 0 — в смысле единственности. Левосторонняя задача Коши, в свою очередь, является корректной и имеет решение вида (1.20) при Ci — XQ. Если же рассмотреть однородные задачи, то они не равноправны в смысле единственности. Так, левосторонняя задача Коши имеет единственное тривиальное решение, а правосторонняя задача имеет бесконечное множество нетривиальных решений. Пусть теперь cos А ф 0, то есть А ф — + 7Г&, к Є Ъ. Тогда из (1.16) константы Сі и С выражаются следующим образом: С2 = С, Сі — -, 1 + sin А где С — любое действительное число. Таким образом, общее решение уравнения (1.4) запишется в следующем виде: Таким образом, левосторонняя и правосторонняя задачи Копій корректны, их решения имеют колеблющиеся решения. Однородные задачи Коши, в свою очередь, имеют единственное триви альное решение возмущенное значениями искомой функции и(х,у), вычисленной в точках Р(а(х,у),Р(х,у)) — Р(у,х), р и q — действительные постоянные. Обозначим множество гомеоморфизмов инволютивного типа х- Если отображение х задано в виде зависимостей: х — а(х,у), у — j3(x,y), то будем писать: УР(х, у) Є П отображение х Р{х, у) — Р (сх-, Р), Р (аі Р) Є О. Уравнение (1.22) получено из классического телеграфного уравнения добавлением слагаемого с инволютивным сдвигом Р(х,у)— (у,х), которое обладает свойством: отклонения по первому аргументу а(х, у) = х + (у — х) и по второму аргументу Р(х, у) — у — (у — х) имеют разные знаки (опережение при у х и запаздывание при у х). Очевидно, область, в которой ищется решение, должна обладать симметрией относительно прямой у — х, так как эта прямая является неподвижным многообразием при отображении х- Например, это может быть область В = {{х,у):хЄЖ,уЄЖ}.
Краевая задача для нелокального уравнения, порожденного оператором типа Лаврентьева-Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями вырождения типа
Доказательство. Формулу (2.20), являющуюся аналогом формулы Далам-бера, мы получили, предполагая существование решения поставленной задачи. Эта формула доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи Коши для уравнения (2.1), то оно представлялось бы формулой (2.20) и совпадало бы с первым решением.
Нетрудно проверить, что решение (2.20) удовлетворяет уравнению (2.1) и начальным условиям (2.5)-(2.0) (в предположении условий, наложенных на функции т{х) и v{x).) Таким образом, примененный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставленной задачи. D Рассмотрим области Щ и Я, которые определены следующим образом: константы а и 6 определены в 2.1, и они зависят от коэффициентов p,q и параметра є уравнения (2.1). Если = 0, то а — 6, квазихарактеристики «схлопываются», и, соответственно, область Я" совпадает с Я. В случае, когда є ф 0, то положение рассматриваемых областей относительно друг друга зависит уже от коэффициентов р и q. Когда \р\ \q\ Щ С Щ, в противном случае ситуация противоположная. Другими словами, область, в которой ищется решение рассматриваемых ниже задач для уравнения (2.1), существенно зависит от коэффициентов са мого уравнения. Для определенности здесь и далее будем предполагать, что W Ы Для уравнения (2.1) в области Н% рассмотрим следующую задачу: Задача G. В области Н С Щ найти функцию и(х,у) Є С2 (//) удовлетворяющую в Щ уравнению (2.1) и условиям = г і 7" " аффиксы точек пересечения квазихарактеристик уравнения (2.1). Решение задачи G можно получить, используя «общее решение» (2.7) уравнения (2.1). Найдем значения и [О"(ж)], и [62(2;)]: при x Є [0, с]. Подставляя полученные значения в условие (2.21), получаем: 2— " 1 + + Л( с(а + Х)) = W Заменой переменной — с{а-\- \)х на х получаем соотношение для определения Л: При х — с(а + 1) из определения Д следует Л(-с(а+1)) = і (С). Окончательно получаем соотношение для нахождения /і в виде: Аналогично, вычислим значение и(х,у) в точках 0 (х) и Щ(х) (ЬхЛ-с х-\-Ьс\ .. .. .,_ , . (2.25) Таким образом, подставляя (2.24) и (2.25) в (2.7), выпишем решение задачи G : Используя получешюе представление решения задачи G в виде (2.26), по стандартной методике (см. например [30, 75, 107, 139]) доказывается корректность постановки задачи G по Адамару. Таким образом справедлива теорема: Теорема 2.2. Если ір(х),ф(х) Є С2(—с,с), то задача G для уравнения (2.1) корректна и ее решение представимо в виде (2.26). 2.3. Квазихарактеристические задачи Дарбу Рис. 2.4. Задание краевых условий для квазихарактеристической задачи Дар-бу DXL Для уравнения (2.1) в области Dac рассмотрим следующую задачу: Задача DX\. В области Dbc С -D" найти функцию и(х,у) Є С2 (Dty . удовлетворяющую в Dac уравнению (2.1) и условиям (2.5) при х Є [—с, с], (2.21), (2.22) при х Є [-с, -] и р(-с) = ф{-с) = т(-с). Из начального условия (2.5) следует Используя краевое условие (2.22), определяем функцию /2( ) при х Є [—с, 0] : Ы-х(Ъ + 1)) = ф(х) + /2(-с(Е + 1)). (2.29) Подставим определенные в (2.28) и (2.29) при х Є [—с, 0] функции /і(ж) и /г(х) в начальное условие (2.27)
