Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Экстремальные свойства решений задачи Моравец 21
1.1. Постановка задачи 21
1.2. Экстремальные свойства решений в области гиперболичности 22
1.3. Экстремальные свойства решений в смешанной области . 26
1.4. Единственность решения задачи Моравец для уравнения Чаплыгина 32
1.5. Единственность решения обобщенной задачи Моравец для уравнения Чаплыгина 37
Глава 2. Существование решения задачи Моравец для обобщенного уравнения Трикоми 50
2.1. Постановка задачи Моравец для обобщенного уравнения Трикоми 50
2.2. Краевые задачи в эллиптической и гиперболической областях 52
2.3. Существование решения задачи Моравец в случае ортогонального подхода эллиптической границы к линии вырождения 56
2.4. Существование решения задачи Моравец в случае произвольного подхода эллиптической границы к линии вырождения 69
Глава 3. Построение рещения задачи типа Моравец для уравнения смешанного типа методом спектрального анализа 78
3.1. Задача на собственные значения 78
3.2. Построение решения задачи типа Моравец 83
Литература
- Экстремальные свойства решений в смешанной области
- Единственность решения обобщенной задачи Моравец для уравнения Чаплыгина
- Краевые задачи в эллиптической и гиперболической областях
- Построение решения задачи типа Моравец
Введение к работе
В 20 - х годах прошлого века первыми исследованиями в теории уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа явились работы Ф. Трикоми. Изучаемая им задача стала классической и теперь известна в литературе как «задача Трикоми».
Обнаруженные в конце 40-х годов 20-го столетия многочисленные приложения уравнений смешанного типа в газовой динамике, в безмоментной теории оболочек, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, аэродинамике дали новый толчок исследованиям в этой области. Пионерские работы в области трансзвуковых течений были проделаны Ф.И. Франклем и К. Гудерлеем. Фундаментальными работами стали также труды М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко. В этих работах наряду с классическими в теории уравнений смешанного типа были поставлены и решены новые задачи.
В дальнейшем краевые задачи для уравнений смешанного типа изучались в работах многих отечественных и зарубежных ученых. Обзор основных результатов можно найти в монографиях А.В. Бицадзе [5] , Л. Берса [4], К. Гудерлея [9], Т.Д Джураева [И), Е.И. Моисеева [17], М.М. Смирнова [31], М.С. Салахитдинова [28].
Исследуя обтекание клина сверхзвуковым потоком газа, Ф.И. Франкль [35] показал, что если перед клином образуется зона дозвуковых скоростей, то возникает новая краевая проблема (задача F),b которой на плоскости
годографа на части границы в гиперболической области известны значения решения и(х, у) уравнения Чаплыгина и на некоторой части эллиптической границы Г имеет место линейное соотношение
Р(х, у)их + Q(x, у)иу - О,
где Р и Q - наперед заданные коэффициенты. К этим однородным граничным условиям для обеспечения единственности решения присоединяется дополнительно требование: z(x2,0) = d, где d - заданная константа. В работе [36] доказана теорема единственности при некотором ограничении, а именно #о < 54(где во ~ угол между стороной клина и направлением набегающего потока.)
Двумерное стационарное течение невязкого газа со сверхзвуковой подобластью, прилегающей к аэродинамическому профилю в околозвуковом приближении может быть описано потенциалом скорости <р(х,у), который удовлетворяет уравнению Кармана-Фальковича [4]
(7 + 1)(1 ~(Рх)<Рхх + <Руу = 0, (0-1)
где 7 > 1 - постоянная адиабаты, х, у - декартовы координаты. Возмущение и(х,у) потенциала (р(х,у) удовлетворяет уравнению эллиптико -гиперболического типа
(7 + 1)[(1 - их)их + иЦ% + иуу = 0, (0.2)
которое следует из уравнения (0.1). Задача Франкля [37] для уравнения (0.2) на плоскости (х,у) состоит в нахождении гладкого решения этого уравнения при заданном возмущении скорости их на бесконечности, условии симметрии и условии Неймана на части профиля. Единственность решения задачи Франкля была доказана Моравец [45] с использованием плос-
кости годографа. Позднее Кук доказала [39] аналогичную теорему непосредственно на плоскости (х, у).
Чтобы избежать формирования ударных волн около заданного профиля, вместо условия Неймана можно использовать краевое условие с наклонной производной, которое с физической точки зрения означает обтекание проницаемой (пористой или перфорированной) поверхности. Вместе с тем в практике аэродинамического проектирования широко используются алгоритмы с применением смешанного условия Неймана - Дирихле. Согласно ему, вдоль некоторого участка профиля задается непрерывное распределение модуля скорости, в то время как координаты этого участка должны быть найдены в процессе численного решения задачи [42], [47].
В работе C.S. Morawetz [46] была доказана единственность решения за
дачи типа Франкля для уравнения Чаплыгина .
К(у)ихх + иуу = 0, (0.3)
где уК(у) > 0 при у > 0, К(0) = 0, К'(у) > 0, К(у) - достаточно гладкая функция, доказывается методом вспомогательных функций на плоскости годографа, суть которого заключается в следующем: каждому решению уравнения ставится в соответствии функция
Ф(я, У) = / (Киї - ul)dV - 2uxuydx, (0.4)
(0,0)
и при условиях 7г/2 >а>0в точке А = (-1,0), 2ж > а > 37г/2 в точке В = (1,0), 0 < а < 27г на Г, где а - угол между положительным направлением оси Ох и направлением касательной к границе эллиптической области Г, и некоторых ограничениях на рост градиента решения в окрестности точек А, Е и В с использованием метода «abc» доказывается, что $(х,у) = 0 в области D, откуда вытекает единственность решения зада-
чи Моравец. Геометрическое условие, наложенное на кривую Г, является существенным; Моравец [46] построила пример, в котором вышеуказанные условия в точках А и В нарушаются, а задача с нулевыми данными обладает нетривиальным решением.
Позднее М.М. Смирнов [30] доказал существование и единственность решения задачи Неймана-Трикоми для обобщенного уравнения Трикоми
Lu = sgny- I у \т uxx + uyy = 0, т = const > 0, (0.5)
в предположении, что кривая Г оканчивается двумя сколь угодно малой длины дужками нормальной кривой.
В работе Б.В. Мелентьева [16] доказывается теорема единственности для уравнения yuxx + uyy = 0 с краевыми условиями: значения решения на одной характеристике и на части контура в эллиптической полуплоскости нулевые; на остальной части контура в эллиптической полуплоскости выполняется равенство aux + buy + cu = 0; здесь а,Ь,с- заданные функции, при условии acos(nx) + bcos(ny)c < 0. Теорема существования решения задачи Франкля им была получена, когда кривая Г имеет специальный вид.
К.Б. Сабитов [24] для задачи Трикоми с помощью альтернирующего метода типа Шварца, основанного на принципе экстремума для уравнений смешанного типа, доказал существование обобщенного решения без ограничения на подход кривой Г к линии изменения типа. В другой совместной работе К.Б. Сабитова и Н.Ю. Капустина [25] доказана единственность решения задачи Франкля для уравнения Чаплыгина. Там же установлена структура строения линий уровня в эллиптической области.
Для уравнения
ихх + sgny иуу 4- А(х, у)их + В(х, у)иу + С{х, у)и = 0
Л.Е. Вострова [6] доказала единственность и существование решения краевой задачи, в которой на Г задана |^, а на отрезке характеристике х — у — О - значение искомой функции.
Ю.М. Крикунов [12] рассмотрел задачу с производными в краевом условии на Г для этого же уравнения.
А.Г.Кузьмин [13] доказал единственность решения задачи Моравец для уравнения
[к(х,у)их]х + иуу = 0.
Спектральные задачи с условием Неймана на части эллиптической границы области D изучены в работах [26] и [27] для уравнений смешанного типа :
Uxx + sgny иуу + \и = О,
ихх + УЩу + о% + Au = 0, 0 < а < 1.
В этих работах были найдены собственные значения и построена система соответствующих собственных функций спектральной задачи Трикоми -Неймана и показаны их применения при построение краевых задач в виде суммы ряда по собственным функциям.
Как видно из анализа, первые исследования в теории уравнений смешанного типа проводились для модельных уравнений Лаврентьева-Бицадзе, Трикоми и обобщенного уравнения Трикоми. Изучение этих задач имело важное прикладное значение. В последствии, различные обобщения стали носить чисто теоретический характер. Такие обобщения шли в следующих направлениях: во-первых, усложнение уравнений за счет добавления новых слагаемых, повышения порядка вырождения, образования нелинейности, во-вторых, увеличение количества рассматриваемых уравнений (изучение систем), в-третьих, изменение геометрии области, в-четвертых, за-
' 8
мена классических краевых условий новыми, в частности, нелокальными, в-пятых, изучение спектральных задач и т.д. Однако, до сих пор, несмотря на большое количество работ в этой области, остаются нерешенными в полной мере классические задачи. И особенно ценным в таких условиях является результат, где получены известные факты, но при существенно более слабых ограничениях на коэффициенты, геометрию области, граничные функции.
Практически во всех указанных работах авторы не избавляются от ограничений геометрического характера на область, в которой исследуется задача: ортогональность подхода эллиптической границы области к оси Ох; малость длины линии вырождения, ограничение на форму эллиптической границы. При доказательстве теорем единственности и существования решения задачи типа Неймана накладываются жесткие ограничения относительно коэффициентов уравнения.
Г.."
Объектом диссертационной работы является уравнение
Lu = К(у)ихх + иуу + Аих + Виу + Си = F(x, у), (0.6)
где уК(у) > 0 при у ф 0, в области D, ограниченной простой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках Л(0,0) и В(1,0), I > 0, и характеристиками 71 и 72 уравнения (0.6) при у < 0:
У У
ъ : = х + J y/-K(t)dt = 0, 72 ' Ц = х - J y/-K(t)dt = /,
о о
где К(у) Є С[ус, 0] П С2[ус, 0), ус - ордината точки С пересечения характеристик 71 и 72;
Пусть р+ .= DC] {у > 0}, р- = DП {у < 0}. Для уравнения. (0.6) в области D поставим задачу типа Неймана. Задача Моравец. Найти функцию и{х,у), удовлетворяющую услови-
ям:
и(х,у) Є C(D) П C\D U Г) П C\D. U >+); (0.7)
Lu(ar, F(x, у), (x, у) Є D+ U LL; (0.8)
5s[u]
= Kux-j--uy = ip(s), 0<5
P (IS
= Kux-— uy = V-Kux -uy = ф(х), 0 < x < -, (0.10)
где (p и -0 - заданные достаточно гладкие функции. Целью данной работы является:
исследование экстремальных свойств решений задачи Моравец в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области D в классе регулярных решений уравнения (0.6);
доказательство единственности решения задачи Моравец для уравнения (0.6), в частности для уравнения Чаплыгина, без каких - либо геометрических ограничений на кривую Г;
доказательство единственности регулярного решения обобщенной задачи Моравец для уравнения (0.3) при более слабых ограничениях геометрического характера на кривую Г;
доказательство существования и единственности регулярного решения задачи Моравец для уравнения (0.5) при ортогональном подходе эллиптической границы Г области к линии вырождения;
доказательство существование обобщенного решения задачи Моравец для уравнения (0.5) при произвольном подходе эллиптической части границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания,
6) исследование спектральной задачи, соответствующей задачи Моравец, и построение решения задачи Моравец в виде суммы ряда по собственным функциям.
В главе 1 установлены экстремальные свойства решения уравнения (0.6) при некоторых ограничениях на коэффициенты и на основании этих свойств получена теорема единственности решения задачи Моравец, в частности, для уравнения Чаплыгина. Методом "аЬс"получены другие достаточные условия единственности решения задачи Моравец для уравнения (0.3). Комбинируя метод вспомогательных функций и метод "аЬс"доказана теорема единственности решения обобщенной задачи Моравец для уравнения Чаплыгина без каких-либо ограничений геометрического характера на эллиптическую границу области.
В 1.1 и 1.2 приведена постановка задачи Моравец и для уравнения (0.6) в области гиперболичности исследованы экстремальные свойства решения. Перейдем в характеристические координаты (, т]). Тогда уравнение (0.6) примет вид
LQu = Щг, + а(, г))щ + Ь(, rfju^ + с(, rfju = /(, rj), (0.11)
_ (A + Bs/^K - К'/2у/=К) __
а~ Ш ' с~Ш '
(А-ВУ^К + К'/2у/^К) _
Ш ' f~4K '
а область D- отображается в область А , ограниченной отрезками
ЛоВ0(7] = Й,ДА(»/ = 0 и 4АК = )' Пусть а = а@> Р = exPfbd& функции a(,tj), .(,77), b(,r]), с(,г7) непрерывны в А, кроме, быть может, отрезка AqBq и при (, rj) Є A U BqCq удовлетворяют одному из сле-
дующих условий:
в(0,17)>0,
h = а$ + ab - с > О, (М
}^{t,r1)c{t,rj)dt>0, 0<<77^ о
а(,т7) - /P(t,rj)\h{t,rj)\dt > О, О < < п < I о
Определение 0.1. Регулярным в А решением уравнения (0.11) назовем функцию и(^,т]), удовлетворяющую условиям: 1) u(,t?) Є С(К) П С1 (A), г^ Є (7(A), L0w = 0 в А;
2) производная щ непрерывна в А , кроме, быть может, отрезка AqBq.
Теорема 0.1. Пусть: 1) коэффициенты уравнения (0.11) обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условию [В\); 2) /(, г]) < 0(> 0) б А; 3) «(,//) - регулярное в А решение уравнения (0.11), удовлетворяющее условию ип — 0 на характеристике AqCq. Тогда если тахад(, 77) > 0 ( min«(, 77) < О I, то зтот максимум (минимум) дости-
А V А /
гается на отрезке AqBq.
Теорема 0.2. Пусть: 1) коэффициенты уравнения (0.11) обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условию (Вг); 2) /(,77) = О в А; 3) и(,77) - регулярное в А решение уравнения (0.11), удовлетворяющее условию и„ = 0 на характеристике AqCq. Тогда если max I u(,rj) \>
д
О, то этот максимум достигается на отрезке AqBo.
В 1.3 в эллиптической области доказаны утверждения о знаке производной решения по нормали в точке и вблизи точки изолированного максимума решения уравнения (0.6) на линии вырождения.
В этом же параграфе установлены экстремальные свойства решений
уравнения (0.6) в классе регулярных решений в смешанной области.
Определение 0.2. Регулярным в области D решением уравнения (0.6) назовем функцию, удовлетворяющую условиям (0.7) и (0.8), и дополнительно потребуем, что производная щ была непрерывной в замкнутой области D-, кроме, быть может отрезка ЛВ.
Теорема 0.3. Пусть: 1) коэффициенты уравнения (0.6) в области D+ ограничены и С(х,у) < 0; 2) коэффициенты уравнения (0.6) в области D- в характеристических координатах (,7/) удовлетворяют условиям теоремы 0.1; 3) F(x,y) > 0(< 0) на D+ U D_; 4) и(х,у) - регулярное в D решение уравнения (0.6), удовлетворяющее условию (0.10), где функция Ф{Х)У) = 0 на характеристике 71; 5) maxu(x,y) > 0 (ща.и(х,у) < 0 J.
D \ D )
Тогда твхи(х,у) ( шпи(х,у)) достигается на кривой Г.
D \ D )
Из принципа максимума следует единственность решения Моравец без каких-либо ограничений геометрического характера на Г. В 1.4 на примере уравнения Чаплыгина
Lu = К(у)ихх + иуу = 0 (0.12)
показано применение теории, изложенной выше.
Теорема 0.4. Если ЪК>2 > АКК" или ЪК'2 < 4КК" и 2-)5 > 0, то теорема 0.3 справедлива в случае уравнения (0.12).
Из этой теоремы, в частности, следует единственность решения задачи (0.7)-(0.10).
Здесь же приводится доказательство теоремы единственности решения задачи Моравец для уравнения (0.12) методом "abc"[40].
Определение 0.3. Под регулярным в D решением уравнения (0.12) будем понимать функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.7), (0.8)
и к интегралам
/ / uLudxdy, / / uxLudxdy, / I uyLudxdy
D D D
можно применить формулу Грина. Пусть
Теорема0.5. Пусть 1) К(у) Є С2[ус,0), К(0) = 0, К'{у) >0приу<0 и F(ti) > 0; 2) и(х,у) - регулярное в D решение уравнения Чаплыгина, удовлетворяющее условию 5[и(х,у)] = 0 на Г и 7ь Тогда и{х,у) = const в D.
Отметим, что условия данной теоремы выполнены всюду для обобщенного уравнения Трикоми: sgny- \ у \т ихх + иуу = 0, m = const > 0. Отметим также, что аналог данной теоремы для задачи Трикоми был доказан в работе [44].
В 1.5 приводится постановка обобщенной задачи Моравец для уравнения Чаплыгина. Данная задача отличается от задачи (0.7) - (0.10) тем, что в гиперболической области граничное условие задается на кусочно - гладкой кривой, выходящей из начала координат и удовлетворяющей условию
у
dx + yJ—K{y)dy > 0. Пусть t(у) = f y/K(t)dt, a zq - предельное значение
о
функции z = arccos^/i/z2 + t2(y)) в точке А вдоль кривой Г, изменяющееся ОТ 0 ДО 7Г.
Определение 0.4. Регулярным решением в области D уравнения (0.12) будем называть функцию и(х,у), если она удовлетворяет условиям (0.6) и (0.7) и, кроме того, в точках В и С частные производные их ииу могут иметь особенность порядка меньше 1/2, а в окрестности точки А выполняется соотношение
К(у)иІ + и2у = 0(у/К{ІУ), (0.13)
r = y/x2 + t2(y), ^-l<(3<^, V>0-1. (0.14)
7Г 7Г
Теорема 0.6. Пусть u(x,y) - регулярное решение однородной обобщенной задачи Моравец с нулевыми граничными условиями. Если кривая Г в некоторой окрестности точки А удовлетворяет условию dx/ds >
—Су/К(у), где С - некоторая положительная постоянная, то и(х, у) = const.
Здесь же построен пример ненулевого решения обобщенной задачи Моравец с однородными граничными условиями в случае, когда условие
dx/ds > —Су/Щу) не выполняется.
Экстремальные свойства решений в смешанной области
Доказательство. Пусть maxu(x,y) = u(Q) 0 и Q - точка изолиро D ванного максимума функции и(х, у).Возьмем число г Є (0, u(Q)) настолько близкое к числу u(Q), чтобы кривая Го, составленная из линии уровня и(х, у) = г целиком лежала в малой окрестности fi точки В и при всех (х,у), принадлежащих области G, ограниченной кривыми ВВ\, Го и отрезком ВоВ, и(х,у) г . Здесь Во и В\ есть точки пересечения кривой Го соответственно с отрезком АВ и кривой Г. В силу доказанной теоремы 2.5 точка Q Є Г. Не теряя общности рассуждений можно положить, что и(А) = 0. Следовательно, Q Є Г U В. Пусть Q Є Г. В этом случае в силу граничного принципа Зарембы - Жиро 5s[u](Q) 0, что противоречит условию 5а[и] 0 на Г. Если Q = В, то рассуждая аналогично доказательству теоремы 1.5 получим противоречие. Следовательно, всюду в D функция и(х,у) 0.
Следствие 1.2. Если выполнены условия теоремы 1.3, то для любой точки (х,у) Є D+ справедлива оценка тти(х,у) и(х,у) т&хи(х,у). г г
Теорема 1.4. Пусть: 1) коэффициенты уравнения (1.1) в области D+ ограничены и С(х,у) 0; 2) коэффициенты уравнения (1.1) б области D- в характеристических координатах (, 7/) удовлетворяют условиям теоремы 1.2; 3) F(x,y) = 0 в D; 4) и(х,у) - регулярное в D решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию (1.5), где функция ф(х,у) = 0. Тогда если max и(х,у) \ 0, то этот максимум достигается на кривой
Доказательство. Поскольку Kuxdy — uydx = 0 на характеристике 7ь то и„ = 0 вдоль этой кривой. Пусть max u(z,y) = u(Q). В силу D линейности и однородности уравнения (1.1) можно полагать, что u(Q) 0. Рассуждая аналогично доказательству теоремы 1.3, получим, что Q Є ZL иГ. Допустим, что Q Є D-. Тогда по теореме 1.2 точка Q АВ. Пусть Q Є АВ , т.е. Q = ( 0,0), 0 хо I . В этой точке из гиперболической части D- : %(жо,0 - 0) 0 , что на основании леммы 1.1 противоречит неравенству (1.10). Значит, точка Q Є Г.
Теорема 1.5. Пусть 1) выполнены условия леммы 1.2; 2) условия 2) теоремы 1.3; 3) it(a:,2/) - peiuemt однородной задачи (1.2) - (1.5) ш класса регулярных в D решений уравнения (1.1) 4) и(0,0) = 0. Тогда ( ,2/) = 0 eD
Доказательство. Допустим , что существует точка (яі,уі) Є D такая, что и(х\,уі) ф 0, тогда и(х,у) ф 0 в Z)+. Пусть для определенности «(жьі/і) 0. Тогда тахи(ж,г/) = u(Q) 0, Q Є D. В силу доказанной теоремы 1.3 точка Q Є Г U В. Пусть Q Є Г. В этом случае на основании граничного принципа экстремума для эллиптических уравнений в точке Q имеем неравенство 5s[u(Q)] = К х — Щ% 0, которое противоречит равенству 5s[u] = 0 на Г . Пусть Q = В . Тогда в силу леммы 1.2 существует точка Qi Є Q П (Г U АВ) ( где Q некоторая достаточно малая окрестность точки В) такая, что если Q\ Є Г, тогда на основании леммы 1.2 имеем 5s[u(Qi)] = Ких- - Uyjjz 0 , которое противоречит Ss[u] = 0 на Г. Пусть Q\ = (,0). Из точки Qi проведем характеристику уравнения (1.1) до пересечения с характеристикой АС в точке Со ; обозначим через Н область ограниченную характеристиками ACQ, CQE, отрезком EQ\ параллельным оси х = 0 и отрезком AQi, совпадающим с осью у = 0.
Единственность решения обобщенной задачи Моравец для уравнения Чаплыгина
Рассмотрим уравнение Lu = К(у)ихх + иуу = 0, (1.23) где уК(у) 0 при у ф 0, в области D, ограниченной кривой Г из класса Ляпунова, лежащей в полуплоскости у 0 с концами в точках Л(0,0) и
В(1,0), а при у 0 - кусочно-гладкой кривой AC : dx + y/-K{y)dy 0 и характеристикой С В : dx - J—K(y)dy = 0 уравнения (1.23), исходящими из точки С; х = x(s), у = y(s) - параметрические уравнения границы сШ, s - длина дуги границы dD, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки границы против часовой стрелки.
Определение 1.3. Регулярным решением в области D уравнения (1.23) будем называть функцию и(х,у), если она удовлетворяет условиям (1.24) и (1.25) и, кроме того, в точках В и С частные производные их и Uy могут иметь особенность порядка меньше 1/2, а в окрестности точки А выполняется соотношение К(у)и2х + и2у = 0(у/ЩгП, (1.28) где r = y/x2 + t2(y), -l /? , j/ /3-l. (1.29)
Пусть a = a(s) (О s I) - угол между положительным направлением оси Ох и направлением касательной к кривой Г, проведенной в сторону возрастания дуги s при обходе кривой. Будем считать, что для заданной кривой Г существует такая положительная постоянная С, что в окрестности точки А на кривой Г выполняется следующее условие -CVW). (1.30) Тогда справедлива следующая основная Теорема 1.10. Пусть и{х,у) - регулярное решение обобщенной задачи Моравец с нулевыми граничными условиями. Если кривая Г удовлетворяет условию (1.30), то и(х,у) = const.
Пусть и(х,у) есть регулярное в D решение уравнения (1.23). На множестве D+ U D_ рассмотрим криволинейный интеграл 4f(x, у)= (Ки2х - u2y)dy - 2uxuydx, (1.31) (0,0) который в силу (1.23) не зависит от пути интегрирования на этом множестве, и поэтому определяет функцию Ф(ж,у). Поскольку и(х, у) является регулярным в D решением уравнения (1.23), то функция Ф(я, у) непрерывна на замкнутой области D и имеет непрерывные частные производные всюду в D, за исключением, быть может, точек А, В, к С. Предварительно сформулируем и докажем следующие леммы, которые нам потребуются при доказательстве основной теоремы.
Лемма 1.3. Если Kuxdy — uydx = 0 на кривой АС, то для любой точки X = (х,0), принадлежащей отрезку АВ, справедливо неравенство Ф(А) Ф(Х) или их = иу = 0 на отрезке АХ.
Доказательство. На основании (1.31) вычислим ЩХ)= / {Ku2x-u2y)dy-2uxuydx, (1.32) 71U72 где 72 - характеристика уравнения (1.23) проведенная из точки X до пересечения с кривой AC, a 7i - часть кривой АС, отсекаемая характеристикой 72- Учитывая условие 8s[u] \АС= 0» интеграл вдоль кривой 71 можно переписать в виде / -Ku41+K&Y]dy 71 а интеграл вдоль характеристики 72 представим как / -(y/ Kux + uy)2dy. Поскольку оба интеграла неположительны, тогда либо Ф(А) ФрО, либо и = const в области ограниченной кривыми 7ь 72 и осью абсцисс.
Лемма 1.4. Если Kuxdy — uydx = 0 на кривой АС, то функция (х,у) в замкнутой области D принимает свое наибольшее значение на кривой Г.
Доказательство. Несложно показать, что функция Ч?(х,у) в области D+ удовлетворяет эллиптическому уравнению Таким образом, функция Ф(ж,у) свое наибольшее значение принимает на кривой Г U А. Лемма 1.5. Пусть и(х,у) -регулярное решение однородной задачи Мо-равец и в точке А выполняется условие (1.30). Тогда функция Ф(#,у) в точке А не может достигать изолированного наибольшего значения.
Доказательство. Предположим, что функция Ф(ж,у) имеет в точке А изолированный максимум. Тогда в окрестности точки А, такой, что О у 5, существует кусочно-непрерывная кривая Гд, на которой Ф = const и ydx - K xdy 0.Обозначим точки пересечения кривой Г ? с кривой Г и осью у = 0 через А\ и Ai соответственно. Область, ограниченную кривыми АА\, Г$, и А2А будем обозначать через D$, а область, ограниченную кривыми Г, Г (х2 + t2(y) = 52, 0 Si 5) и осью Ох, за Dsv Пусть Dssi = D\ Dsv
Краевые задачи в эллиптической и гиперболической областях
Так как при ni(s) ф О функция Ф(ж,у) монотонна, то свои минимальное и максимальное значения она может принимать только в точках, где ni(s) 0. Рассмотрим точки на кривой Г в которых rii(s) = 0, «2(5) = — 1 и при переходе через эти точки ni(s) меняет свой знак с отрицательного значения на положительное. Обозначим эти точки как Qi, где і = 1,п, и s(Qi) s(Qi+i). Поскольку Фп№) = Ф яіМ + yn2(s) = -Киї 0, то в точках Qi не может достигаться минимум функции по области, так как это противоречит неравенству Фп(Фг) 0 из граничного принципа экстремума Заремба-Жиро. Рассмотрим точку Qi. Пусть D+s область ограниченная кривой Г и дугой окружности с центром в точке Qi и малым радиусом 5. Обозначим точки пересечения окружности с кривой Г через М и L. Минимальное значение в области D+s функции Ф(я, у) достигается на дуге рассматриваемой окружности в некоторой точке S, так как в точке Qi минимум достигаться не может. Поскольку Ф(5) (Qi), a ty(Qi) Ф(М) и Ф(ф) Ф(), то Ф(5) Ф(М) и Ф(5) Ф(). Следовательно, в силу произвольности проведенной окружности, имеем, что из ТОЧКИ Qi выходит как минимум 2 линии уровня Ф(ж,у) = const = $(Qi). Структура этих линий сложна, но следуя работам [34], [19] можно считать, что они являются кусочно-непрерывными. Обозначим их как Г , где j = 1,п, г = 1, к, k-число линий уровня, исходящих из точки Q\. В виду того, что функции ni(s) и ri2(s) непрерывны, между двумя любыми ближайшими точками Qi и Qi+i найдется только одна точка в которой ni(s) = 0, ri2(s) = 1 и при переходе через эту точку ni(s) меняет свой знак с положительного значения на отрицательное. Обозначим эти точки как Д, где і = 1, п - 1. Поскольку n(Pi) = xni(s) + yU2{s) = -Киї 0, то с учетом леммы 1.3, функция Ф(ж, у) может принимать свое наибольшее значение в области D+ только в какой-то из точек Д. Покажем, что найдется подобласть области D+ такая, в которой Я!(х,у) = const.
Первоначально рассмотрим случай когда п = 2. Возможны 4 случая поведения произвольной линии уровня Гц, исходящей из точки Qi :
1) Кривая Гц имеет форму петли.Тогда функция Ф(#, у) в области ограниченной кривой Гц в силу леммы 1.5 будет постоянной.
2) Кривая Гц оканчивается на кривой Г в точке N так, что точка Рі не принадлежит части кривой Г, заключенной между точками N и Q\. Тогда рассмотрим область, ограниченную кривой Гц и кривой Г. В силу леммы 1.5 и равенства (1.35) максимум не может достигаться ни в одной точке рассматриваемой подобласти. Значит функция $(х,у) является постоянной в данной подобласти.
3) Кривая Гц оканчивается на оси у = 0. Тогда рассмотрим область, ограниченную кривой Гц, осью у = 0 и частью кривой Г, заключенной между точками А и Q\. В силу лемм 1.3 - 1.5 и равенства (1.35) максимум не может достигаться ни в одной точке рассматриваемой подобласти. Значит функция Ф(аг, у) является постоянной в данной подобласти.
4) Кривая Гц оканчивается на кривой Г в точке N так, что точка Р\ принадлежит части кривой Г, заключенной между точками N и Q\. Тогда рассмотрим область ограниченную частью кривой Г, заключенной между точками А и Qi, кривой Гц, частью кривой Г, заключенной между точками N и В я осью у — 0. В силу лемм 1.3 - 1.5 и равенства (1.35) максимум не может достигаться ни в одной точке рассматриваемой подобласти.Значит функция $(х,у) является постоянной в данной подобласти.
В таком случае следует Ф(я,у) = const в D+, но стало быть, и в области D. А это означает в силу (1.31), что и(х,у) = const в D.
Пусть теперь п произвольно. Рассмотрим точку Qi и линию уровня Гц, выходящую из этой точки. Если кривая Гц имеет форму петли, или оканчивается на кривой Г в некоторой точке N так, что точка Р\ не принадлежит части кривой Г, заключенной между точками N и Qi, или кривая Гц оканчивается на оси у = О, то доказательство того, что $(х,у) = const в D+ проводится аналогично случаям 1) - 3) при п = 2 соответственно. Если же кривая Гц оканчивается на кривой Г в точке N\ и s(Pi) s(Ni), тогда рассмотрим два следующих случая.
a) Пусть точка Qiv где г г гс, такая, что выполняется условие s{Qi2) s(N{) и между точками ( и Ni нет ни одной точки Pj. В этом случае вместо области D+ дальше будем рассматривать область ограниченную кривыми Гц и Г.
b) Пусть теперь точка Qi2, где іч п, такая, что выполняется условие s(Qi2) s(Ni) и между точками ( и N\ нет ни одной точки Pj. Рассмотрим линию уровня Гг-2і, исходящую из точки Qi2. Если эта линия уровня оканчивается в точке N2, такой, что (Л ) s(Qi) или N2 Є {у = 0}, тогда рассмотрим подобласть, ограниченную кривыми Г, Гц, Гг 2і, и, если ДГ2 6 {у = 0}, то и осью у = 0. В силу лемм 1.3 - 1.5 и равенства (1.35) максимум не может достигаться ни в одной точке рассматриваемой подобласти. Значит функция (х,у) является постоянной в данной подобласти.
Построение решения задачи типа Моравец
Применим изложенные выше результаты для построения решения следующей задачи для уравнения (3.1) при Л = 0.
Задача типа Моравец. Найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (3.2) - (3.5) и Sxlu]\r = ymux -uy = f{ip), 0 ( тг, (3.21) где f((p) - заданная достаточно гладкая функция. Предварительно для уравнения (3.1) построим в области D_ решение задачи Коши.
Задача Коши. Найти в области D- решение и(х,у) уравнения (3.1), удовлетворяющего условиям: и(х, 0) = т(х), 0 х 1, щ(х, 0) = v(x), 0 х 1. (3.22) Имеет место следующая
Теорема 3.2. [4, с.Щ.Если функции ф) Є С[0,1] Л С2(0,1) и х Р(1 -х) и(х) Є L(0,1), mo существует единственное решение задачи Коши (3.1), (3.22) в области D- и оно в характеристических координатах определяется формулой
На основании равенства (3.24) между функциями т{х) и v(x), привнесенного из гиперболической части области D, задачу типа Моравец можно свести к следующей нелокальной задаче для уравнения (3.1) В силу теоремы 3.6 [29], еслир 1/(/?) \ то Qi{z) Є C llp{-1,1]. Отсюда в силу результатов работы [18] следует равномерная сходимость ряда (3.36).
Условия (3.35) будут выполнены, если f(tp) Є С О, ], функция /((/?) в малой окрестности точек ф = 0 и у? = 7г дважды непрерывно дифференци-руема, /(0) = / (0) = Дтг) = / (тг) = 0.
При этом биортогональная система \К(в)\ равномерно ограничена по п; следовательно, коэффициенты /п равномерно ограничены по п, поэтому ряд (3.31) при г 1 сходится равномерно. Также равномерно при г сходятся ряды, полученные путем дифференцирования ряда (3.31) по переменным г и (р любое число раз. Поэтому ряд (3.31) является решением задачи типа Моравец в области D+.
Теорема 3.3. Если f( p) Є С%п], /(0) = /(0) = /(тг) = /(тг) = 0 и б малой окрестности точек if = 0 и р = 7Г дважды непрерывно дифференцируема, то существует единственное решение задачи (3.2) - (3.5), (3.21) и оно определяется формулами (3.31) и (3.42), при этом коэффициенты /п определяются по формулам (3.37).
В 20 - х годах прошлого века первыми исследованиями в теории уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа явились работы Ф. Трикоми. Изучаемая им задача стала классической и теперь известна в литературе как «задача Трикоми».
Обнаруженные в конце 40-х годов 20-го столетия многочисленные приложения уравнений смешанного типа в газовой динамике, в безмоментной теории оболочек, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, аэродинамике дали новый толчок исследованиям в этой области. Пионерские работы в области трансзвуковых течений были проделаны Ф.И. Франклем и К. Гудерлеем. Фундаментальными работами стали также труды М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко. В этих работах наряду с классическими в теории уравнений смешанного типа были поставлены и решены новые задачи.
В дальнейшем краевые задачи для уравнений смешанного типа изучались в работах многих отечественных и зарубежных ученых. Обзор основных результатов можно найти в монографиях А.В. Бицадзе [5] , Л. Берса [4], К. Гудерлея [9], Т.Д Джураева [И), Е.И. Моисеева [17], М.М. Смирнова [31], М.С. Салахитдинова [28].
Исследуя обтекание клина сверхзвуковым потоком газа, Ф.И. Франкль [35] показал, что если перед клином образуется зона дозвуковых скоростей, то возникает новая краевая проблема (задача F),B которой на плоскости годографа на части границы в гиперболической области известны значения решения и(х, у) уравнения Чаплыгина и на некоторой части эллиптической границы Г имеет место линейное соотношение где Р и Q - наперед заданные коэффициенты. К этим однородным граничным условиям для обеспечения единственности решения присоединяется дополнительно требование: z(x2,0) = d, где d - заданная константа. В работе [36] доказана теорема единственности при некотором ограничении, а именно #о 54(где во угол между стороной клина и направлением набегающего потока.)
Двумерное стационарное течение невязкого газа со сверхзвуковой подобластью, прилегающей к аэродинамическому профилю в околозвуковом приближении может быть описано потенциалом скорости р(х,у), который удовлетворяет уравнению Кармана-Фальковича [4] где 7 1 - постоянная адиабаты, х, у - декартовы координаты. Возмущение и(х,у) потенциала (р(х,у) удовлетворяет уравнению эллиптико -гиперболического типа которое следует из уравнения (0.1). Задача Франкля [37] для уравнения (0.2) на плоскости (х,у) состоит в нахождении гладкого решения этого уравнения при заданном возмущении скорости их на бесконечности, условии симметрии и условии Неймана на части профиля.
