Введение к работе
Актуальность темы. Важным разделом современной теории дифференциальных уравнений является теория дифференциальных уравнений с существенно переменными коэффициентами. Одним из объектов исследования этой теории являются вырождающиеся уравнения. Теория вырождающихся эллиптических уравнений в настоящее время интенсивно развивается. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений относятся к неклассическим задачам математической физики. Одна из главных трудностей, возникающих в этой теории, связана с влиянием младших членов уравнения на постановку краевых задач и их разрешимость.
Основы этой теории были заложены в фундаментальных работах М.В. Келдыша, Ф. Трикоми и А.В. Бицадзе. Дальнейшее развитие эта теория получила для уравнений второго порядка в работах О.А. Олейник, С.Г. Михлина, М.И. Вишика, Дж. Кона, Л. Ниренберга, В.А, Рукавишникова, А.Г. Ереклинцева, С.Н. Антонцева, СИ. Шмарева. Исследование вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка в случае степенного характера вырождения было начато в работах М.И. Вишика и В.В. Грушина. Затем ряд фундаментальных результатов для некоторых вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка был получен СЗ. Левендорским, СА. Исхоковым. В работах В.П. Глушко была установлена коэрцитивная разрешимость краевых задач для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений в специальных весовых пространствах С. Л. Соболева, норма в которых определяется с помощью специального интегрального преобразования Fa, введенного В.П. Глушко. В работах А.Д. Баева были введены и исследованы весовые псевдодифференциальные операторы, построенные по преобразованию Fa, что позволило доказать коэрцитивную разрешимость и установить
коэрцитивные априорные оценки решений общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка.
Настоящая диссертационная работа посвящена доказательству коэрцитивных априорных оценок и теорем разрешимости граничных задач для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих новый
класс весовых псевдодифференциальных операторов и производную —.
Частным случаем таких уравнений является новый класс вырождающихся
эллиптических уравнений высокого порядка.
Диссертационная работа представляет собой дальнейшее развитие того направления, которое было начато в работах В.П. Глушко и А.Д. Баева.
Исследование краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений является актуальным не только с теоретической, но и с практической точки зрения, так как такие задачи используются при моделировании многих стационарных процессов с вырождением.
Цель работы и задачи исследования. Основной целью диссертационной работы является решение следующих задач:
доказательство теоремы об ограниченности весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из нового класса Ss, 8 є [0;1) в весовых пространствах С.Л. Соболева;
доказательство теоремы о композиции весовых псев до дифференциальных операторов с символом из класса Ss;
исследование свойств коммутатора весовых псев до дифференциальных операторов с символом из класса Ss и
д1 операторов —- (/ = 1,2,...).
исследование предельных при t —> +0 и t —> +о свойств весовых псев до дифференциальных операторов с символом из класса Ss;
доказательство аналога неравенства Гординга для весовых псев до дифференциальных операторов с символом из класса Ss',
доказательство коэрцитивных априорных оценок решений краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор с символом из
класса Ьаб и производную —;
7) доказательство теорем существования решений и построение
регуляризаторов граничных задач для вырождающихся
псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой
псев до дифференциальный оператор с символом из класса Ss и
д производную —. dt
Методы исследования. Результаты диссертации получены новыми или
усовершенствованными известными методами теории
псевдодифференциальных операторов, теории вырождающихся эллиптических
уравнений, теории интегральных уравнений. В диссертационной работе
систематически используются специальное интегральное преобразование Fa и
весовые псевдодифференциальные операторы, метод продолжения по параметру.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты.
1. Построен новый класс Ss, S є[0;\) весовых псев до дифференциальных
операторов с переменным символом.
2. Доказана теорема об ограниченности весовых
псев до дифференциальных операторов с символом из класса Ss в весовых
пространствах С. Л. Соболева.
3. Доказана теорема о композиции весовых псев до дифференциальных
операторов с символом из класса Ss.
4. Установлены формулы представления и оценки коммутаторов весовых
псев до дифференциальных операторов с символом из класса Ss и
операторов —j (/ = 1,2,...).
Доказаны теоремы о предельных при ґ—»+0 и ґ—»+оо значениях весовых псев до дифференциальных операторов с символом из класса Ss.
Установлена связь между весовым псев до дифференциальным оператором с символом из класса Ss и некоторым классом интегральных операторов. Построен и исследован сопряженный оператор для весового псев до дифференциального оператора с символом из класса Ss.
7. Доказан аналог неравенства Гординга для весовых
псев до дифференциальных операторов из класса Ss.
8. Доказаны коэрцитивные априорные оценки в весовых пространствах
С. Л. Соболева решений краевых задач для вырождающихся
псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой
псев до дифференциальный оператор с символом из класса Ss и
д производную —. dt
9. Доказаны теоремы существования решений и построены
регуляризаторы краевых задач для вырождающихся
псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой
псев до дифференциальный оператор с символом из класса Ss и
д производную —. dt
Теоретическая и практическая значимость результатов.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, являются весомым вкладом в развитие теории вырождающихся эллиптических уравнений. Эти результаты могут быть использованы для исследования более общих классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Результаты диссертации могут быть использованы при решении ряда конкретных задач математической физики и исследовании математических моделей процессов с вырождением. Такие краевые задачи используются при исследовании стационарных процессов конвекции - диффузии в неоднородных анизотропных средах, характерных тем, что при приближении к границе коэффициент диффузии стремится к нулю. К таким уравнениям приводит моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в неоднородной анизотропной пористой среде, процессов фильтрации двухфазных жидкостей, процессов вытеснения нефти из пористой среды.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на 3-й международной научной конференции «Современные
проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2009 г.), на международных конференциях «Понтрягинские чтения» (г. Воронеж, 2009 - 2010 гг.), на международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (г. Воронеж, 2009 г.), на международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна» (г. Воронеж, 2010 г.).
Основные публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [18], список которых приведен в автореферате. В совместных работах [1] - [6] и [11] - [13] соавтору принадлежит постановка задач. Работы [6], [11], [12], [13] соответствуют списку ВАК РФ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы. Объем диссертации составляет 113 страниц. Список используемой литературы включает 67 наименований.
Похожие диссертации на Краевые задачи в полупространстве для одного класса псевдодифференциальных уравнений с вырождением
