Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача с данными на параллельных характеристиках для уравнения гиперболического типа 15
1.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения 15
1.2 Задача Аг с сопряжением пределов производных по нормали 18
1.3 Задача Аг с сопряжением дробной производной с производной по нормали 20
1.4 Задача А2 с сопряжением производной по нормали и дробной производной 30
1.5 Задача Аг с сопряжением пределов производной дробного порядка 39
Глава 2. Задача Гурса в неограниченной области с весовыми граничными данными 55
2.1 Специальные классы решений для уравнения S 55
2.2 Формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра I рода с бесконечным верхним пределом 64
2.3 Задача Гурса в неограниченной области с весовыми граничными данными 70
Глава 3. Нелокальные краевые задачи для уравнения гиперболического типа с сингулярным коэффициентом 74
3.1 Первая нелокальная задача типа Дарбу в неограниченной области 74
3.2 Вторая нелокальная задача типа Дарбу 88
Литература 91
- Задача Аг с сопряжением пределов производных по нормали
- Задача А2 с сопряжением производной по нормали и дробной производной
- Формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра I рода с бесконечным верхним пределом
- Первая нелокальная задача типа Дарбу в неограниченной области
Введение к работе
Теория краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа занимает важное место в системе знаний о дифференциальных уравнениях с частными производными. Этот класс уравнений имеет широкое применение в газовой и гидродинамике, теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, теории упругости, пластичности и многих других областях науки и техники. Важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений с частными производными в XX веке сыграли работы Ф. Трикоми [76, 77], Ф.И. Франкля [81], С.Л. Соболева [73], И.Г. Петровского [53], М.А. Лаврентьева [43], А.В. Бицадзе [6, 7], Л. Берса [5], К.И. Бабенко [2, 3] и других.
Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач как по краевым условиям, так и но условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. Последние годы интерес многих математиков вызывают задачи, названные нелокальными. Эти задачи в разные годы изучали А.В. Бицадзе [8], А.А. Самарский [9, 68], М.М. Смирнов [71, 72], В.Н. Врагов [22], A.M. Нахушев [50, 51], В.И. Жегалов [27, 28], А.П. Солдатов [74], А.И. Кожанов [35, 36], К.Б. Сабитов [63, 66], О.А. Репин [60, 61], Л.С. Пулькина [57 - 59], их ученики и последователи.
Одну из задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа, вошедшую в математическую литературу под названием Д2, поставил В.Ф. Волкодавов [1]. Задача Аг состоит в отыскании решения уравнения гиперболического типа, когда решение задается на параллельных характеристиках, а условия сопряжения по функции и производной по нормали задаются на линии вырождения. Решение задачи Аг для различных уравнений и видов областей было получено в работах В.Ф. Волкодавова, Н.Я. Николаева [15], А.Д. Бочкарева [10], Л.А. Лазаренко [45],
А.И. Мельниковой [14], Г.Н. Зайнуллиной [29], Ю.А. Илюшиной [31], Е.В. Ерофеевой [26], Е.А. Энбом [82] и другими.
Содержание настоящей диссертации связано с краевыми задачами для уравнения гиперболического типа, впервые изученного СП. Пулькиным [56]:
О [Uj = Uxx Uyy -\ их = (J, к которому он пришел при изучении задачи Трикоми для пространственного уравнения. В работе [56] СП. Пулькиным построена функция Рішана для уравнения S(u) = 0 и найдено решение задачи Коши с данными и(х,х) = т{х), х Є [0, /г], {их — иу)\у-х = v(x), х Є (0, h). Методом симметрии относительно линии у = х СП. Пулькиным построены функции Римана-Адамара, на основе которых получены формулы решения задач Дарбу и Коши-Гурса.
Будем записывать уравнение S(u) = 0 в характеристических координатах х и у. Пусть D - область, ограниченная прямыми х = 0, у = х, у = h. В этой области уравнение S(u) = 0 примет вид иху-\ —{ux + uy)=0, 4 = -^- (S) х -\- у Z
В диссертационной работе Л.А. .Назаренко [45] решены в различных областях задачи А і и А2. Так, например, на множестве Н = Н\ U Нч , где Н\ = {(х,у) о, < х < у < Ь}, Н.2 = {{х, у) : а < у < х < 6}, ею решена задача А і для уравнения (S) при q > 1. В областях Н\ и Hi были найдены решения задач Дарбу методом Римана-Адамара, а склеивание проводилось по производной по нормали. В этом случае, как и в других случаях в так называемых трапециевидных областях, Л.А. Лазаренко отступала от точки (0,0).
М.В. Коржавиной как в неограниченной области, так и в ограниченной, решались задачи без отступления от точки (0,0), но задачи Коши-Гурса [38]. Аналогичная картина была и в диссертации Л.А. Игпаткииой [30], когда некоторая пространственная задача была сведена к задаче Аг в квадрате D = {(ж, у) : 0 < х, у < 1} при g > 1 для уравнения (5). Но Л.А. Игнаткина не отступала от точки (0,0), потому что как и в работе [38] она решала в треугольных областях D П {у > х) и D П {у < х} задачи Коши-Гурса, а решения склеивались по функции на линии у = х. Итак, возникла проблема: почему при решении задачи Дарбу во вспомогательных областях исследователи отходили от точки (0,0)?
Впервые на важность обращения в нуль решения и(х, у) в точке (0,0) и в нуль на бесконечности обратила внимание М.В. Коржавина [38]: "Уравнение
Р S(u) = 0 из-за присутствия сингулярного коэффициента — обладает той х особенностью, что и его решения, особенно в гиперболической части области, и решение интегральных уравнений, к которым сводятся краевые задачи, содержат, как правило, множитель —, с чем и связаны налагаемые обычно ограничения на граничные условия в начале координат."
Используя общее решение уравнения (S) для случая q = 1, в квадрате D = {(ж, у) : 0 < х, у < 1} найдем решения задач Дарбу в каждой из треугольных областей D П {х < у} и D П {х > у] с данными и(0,у) = (р(у), у Є [0,1], и(х,х) = т(ж), ге Є [0,1]; іі(ж,0) = /(я), х Є [0,1], и(х,х) = т(х), х Є [0,1] и сопряжем их по производной по нормали при у = X .
После этого приходим к дифференциальному уравнению относительно неизвестной функции т{х): т'(х) + іФ = G[x), G(x)^m±m+v.(x)+nx)y
Решение этого уравнения имеет вид т(х) = --- f t G(t) dt. X X I ~
Теперь видно, что даже если С = 0, а ip(x), fix) Є С^О, 1], то т{х) обращается в бесконечность в точке х = 0. То есть найдена причина, по которой при q > 1 приходится отступать от точки (0,0) для того, чтобы уйти от обращения решения в бесконечность. Этого можно избежать, если
1 Г1 считать С, (f(x), fix) таковыми, что С = 0, а — / t G(t) dt обращается Х J X в нуль при х —> 0. Тогда особенность функции т[х) при х = 0 исчезнет, т(0) будет равняться нулю.
Последние работы В.Ф. Волкодавова были посвящены краевым задачам для уравнений смешанного типа, отличающихся от ранее рассматриваемых тем, что впервые линия изменения типа уравнения является его характеристикой. В постановках этих задач условие сопряжения содержит производную по нормали в области эллиптичности и производную дробного порядка в области гиперболичности. Первые результаты таких исследований были опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова и О.Ю. Наумова [15].
Затем Ю.А. Плотниковой [54] рассматривался ряд краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в том числе и задача Л2, где впервые использовались условия сопряжения с дробной производной па характеристической линии.
В работах Б.А. Энбом [82] изучался вопрос об отыскании решения задачи А2 для гиперболического уравнения третьего порядка в пространственной области.
Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы. Настоящая работа состоит из трех глав. В первой главе рассматривается уравнение (XL(u)=Uxy\ ; Uy = 0, (1) х + у а Є R, а ф 0 на множестве G = G~ U G+, G~ = {{х,у) : 0 < х < у < h} , G+ = {(re, у): 0 < у < х < К] . Для этого уравнения доказывается существование и единственность решения задачи в следующей постановке.
Задача А2 . Найти функцию и(х, у) со свойствами: и(х,у) Є C(G)n C\G), иху Є C(G); (2) (w) = 0 на множестве G; (3) u(x,y) подчиняется краевым условиям: u(0,y) = cp(y),ye[0,h], (4) м(Л,у) = ^(ї/),УЄ[0, /і]; (5)
4) и{х,у) подчиняется условию сопряжения v-(y) = b(y)v+(y),ve(0,h), (6) при этом функции V-(у), v+(y) определяются либо у-{у)= lim (их-иу), (7) х—у -»-0 v+(y)= \im (их-иу), (8) х-у->+0 і/_(у) = lim ^- / (a; - *)~Al *n «(*, у) Л, (9) u+(y) = lim |- f \t - x)~x> f> u(t, y) dt, (10) x-y->+0 OX Jx где 0 < A,- < 1, Г{ > 0, і = 1,2, cp(y), ф(у), b(y) — заданные достаточно гладкие функции.
Комбинируя различные задания функций v-(y) и и+ (у) в условии сопряжения (6), получаем ряд краевых задач. Так в 1.2 находится решение задачи Аг для уравнения (1), когда функции V-(у) и v+{v) определяются формулами (7) и (8). Используя решения и-(х,у) и и+(х,у) вспомогательных задачах Дарбу в областях G~ и G+ с данными (4) и и(х,х) = т{х),х Є [0, h], (11) (5) и (11) соответственно, найдены выражения для функций v~(y) и v+(y). Принимая во внимание условие сопряжения (6), получаем уравнение относительно неизвестной функции т'(у), которое имеет единственное решение. В этом случае доказана следующая теорема существования и единственности решения задачи Д2.
Теорема 1. Если Ь{у) ф 1 при любом у Є [0, h] и Ь{у) Є С[0,/г] при а < 1, а при а > 1 функция Ь(у) представимо, в виде b(y) — bo(y)ya, где Ьо(у) Є С[0, /г], &о(0) Ф О, функции ср(у), ф(у) принадлсоїсат классу С1 [0, /г], <>(0) = т(0), ф(1г) = r(h), то существует единственное решение задачи Аг для уравнения (1) с условиями (2) - (8).
Отметим, что если Ь(у) = 1 задача (2) - (8) разрешима только в том случае, когда выполняется условие зависимости между функциями (р'(у) и
Ф'(у) v'(v) = -Ф'(у) (^) при произвольной функции т(х) из класса С [0, h] П С1 (0, h).
В 1.3, 1.4 решается задача А2 для уравнения (1) в случае, когда ведется склеивание производных по нормали с одной стороны и производных дробного порядка с другой стороны.
Исходя из решений и-(х,у) и и+(х,у) задач Дарбу в областях G~ и G+ с данными (4), (11) и (5), (11) соответственно, получены выражения для функций v-(y) и ^+(^/)- Используя их, установлены принципы локального экстремума. Доказательство единственности решения задачи Аг для уравнения (1) проведено на основании принципов локального экстремума. Вопрос существования решения эквивалентно сводится к вопросу разрешимости уравнения Вольтерра II рода относительно функции т'(х) с интегрируемым ядром. В каждом случае сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи А2. Приведем, например, теорему для случая, когда V-(у) определяется формулой (9), a v+(y) — формулой (8).
Теорема 2. Если р(х) принадлеоісит классу С1 [0, h], ф(х) прииадлеоісит классу С2[0, h], ф'(0) = О, Ь(у) = 1, 0 < г\ < 1, а < 1, то существует единственное решение задачи А2 для уравнения (1) с условиями (2) - (6), (8), (9).
Доказательство этой теоремы проводится методом последовательных приближений.
В 1.5 рассмотрена задача Аг для уравнения (1) в случае сопряжения пределов производных дробного порядка (G), (9), (10). Единственность решения доказывается на основании принципов локального экстремума. При этом возникают два интересных случая. Если г\ = гъ = 0, Лі = \<і, то существование решения задачи Аг редуцируется к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения, а когда r\ = гч = 0, Лі > Л2 — к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода с полярным ядром и непрерывной правой частью. Для каждого из указанных случаев доказаны теоремы существования и единственности решения задачи А2. Например, для последнего случая справедлива следующая
Теорема 3. Если Г{ = 0, г = 1,2, Лі > Лг, функции <р'(х), ф'(х) прииадлеоісат классу С[0, h], то существует единственное решение задачи Дг с условиями (2) - (6), (9), (Ю).
В главе 2 рассматривается уравнение S(u) = иху Н —(их + иу) = 0, (12) х -\- у
0 < 2д < 1, на неограниченном множестве G = G+ U G~, G+ = {(х,у) : 0 < х < у < +оо} , G~ = {(re, у) : 0 < у < х < +оо}.
2.1 посвящен введению специальных классов решений Vq для уравнения (12) в каждой из областей G~ и G+ множества G подобно тому, как это делается в [2, 70, 17]. Эти классы вводятся на основе решений задач Коши с данными и(х,х) = т+(х), х Є [0,+со), (их — иу)\у=х = и+ (х), х Є (0, +со) в области G+ и и(х,х) = т_(ж), х Є [0,+со) и (их —1^)^=^ = ^_(х), а; Є (0,+со) в области G~, которые получены СП. Пулькиным [5G] для уравнения (12), где функция т(х) представляется интегралом т(х) = l+CT(s)F (І, ,; 1; S—^j de через новую функцию Т{х).
В 2.2 получены формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра I рода с бесконечным верхним пределом и гипергеометрическими функциями в ядрах
Г+со /1 s2-x2\ / T(s)F (-, q, 1; s2 J ds = r(x), x Є [a, +00), J+N(s)siF (q, 1 - g; 1; ^) = 2~^W, ж Є [a, +00). Формулы обращения этих уравнений имеют вид -^1,^2^ '+оо /і о2 ^2'
Т(х) = -r'(z) + g J t'(s) (s2)-"' F ( І, 1 + ,; 2; ^- ds, iV(x) = -(2x)-«V'W + 2-"-2g(l - ) x x J i,'(s)s-^F (1 + , i±i; 2; ^) ds.
Приводятся теоремы о единственности и существовании решений данных интегральных уравнений.
Опираясь на результаты параграфов 2.1 и 2.2, в 2.3 доказано существование и единственность решения задачи Гурса в следующей постановке.
Задача Гурса. Найти функцию и(х, у) со свойствами: 1) и(х,у) Є C(G) П 0(G), иху Є C(G);
5(10 = 0, (x,y)eG; u(x,y) удовлетворяет краевым условиям lim yqu(x,y) = ф(х), x Є [а, +оо), lim xqu(x,y) = ір(у), у Є [а, +оо);
Х-+ + 00
4) и(х,у) удовлетворяет условию сопряжения lim (ux — Uy) = /3(x) lim (ux — uy), x Є (а, +oo),
2/-x->+0 -i/-»+0 где y(a;), ^(^)) P(x) ~ заданные достаточно гладкие функции.
Решение данной задачи находится в явном виде в специальном классе решений Vq, используя решения задач Коши в областях G~ и G+ и формулу обращения интегрального уравнения Вольтерра I рода (13). Доказана
Теорема 4- Если функции р(х), Ф(х) принадлежат классу С[а, +со) П С1 [а, +оо), а их производные ф'(х), ф'{х) Є С(а, +оо) П L[a, +оо), /3(х) Є С[а, +oo)nL[a, +оо), то существует единственное решение задачи Гурса.
В главе 3 обосновано существование и единственность решения нелокальных задач для уравнения (12) на неограниченном множестве G. Пусть М\(ж, h), M2(h,x) — аффиксы произвольной точки М(х,х).
Задача Hi. Найти функцию и(х, у), обладающую свойствами: и(х,у) Є С(С+)П Є C(G~) П Cl{G), uxy Є C(G); S{u) = 0, (x,y)EG; u(x,y) удовлетворяет краевым условиям u(x,x) = т(х), x [a, +oo), lim /г%(Мі) + а(ж) lim hqu(M2) = w(x), же[а,+оо); (14) /i->+oo h—>+oo
4) и(х, у) удовлетворяет условию сопряжения lim {их — иу) = (3(х) lim (их — иу), х Є (а, +со), у—х->+0 х—2/-^+0 где г(а;), ш(х), а(ж), /3(х) — заданные достаточно гладкие функции.
Задача H1^), иху Є C(G);
5(«) = 0, (i,ji)eG; и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (14) и lim (их — иу) = lim (их — иу) = ^(ж), ж Є (а, +оо), у-х->+0 ж-у-Я-0 где а(ж), а;(ж), v{x) — заданные достаточно гладкие функции.
Решения поставленных задач находятся в классе Vq с помощью формулы обращения интегрального уравнения Вольтерра I рода (13). Приведем теорему существования и единственности решения задачи Hi.
Теорема 5. Если функции а{х), а'(х) прииадлєоісат классу С[а,+оо) П С^а,+со), функции и(х), и'{х) и v(x) принадлеоісат классу С[а, +оо) и имеют представления и{х) = О I — ) , ш'(х) = О I — } , и(х) = О ( — ) при х —» оо, pi, р2 > 1 — q, є > 1 + q, то существует \xJ единственное решение задачи Нъ .
На защиту выносятся следующие основные результаты.
Доказательство принципа локального экстремума для уравнения (1).
Теоремы существования и единственности решения краевых задач для уравнения (1) с условиями сопряжения, содержащими производные дробного порядка, в ограниченной области.
Формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра I рода с бесконечным верхним пределом и гипергеометрическими функциями в ядрах.
Теорема существования и единственности решения задачи Гурса для уравнения (2) в неограниченной области.
Теоремы существования и единственности решения нелокальных задач Н\ и Ні для уравнения (2) в неограниченной области.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [83] - [92]. Работы [84], [88], [90] выполнены в соавторстве с научным руководителем В.Ф. Волкодавовым, которому принадлежат постановки задач.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на областном семинаре по дифференциальным уравнениям в Самарском государственном педагогическом университете в 1996 - 2004 г.г. (научный руководитель д.ф. - м.н., профессор В.Ф. Волкодавов), на научно-технических конференциях сотрудников СамГАСУ по итогам НИР (г. Самара, 1997, 2004, 2005 г.), на межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самарском государственном техническом университете (г. Самара, 1995, 2005 г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Самара, 2G-31 мая 2002 г.), на научном семинаре кафедры математической физики Самарского государственного университета в 2005 г. (научные руководители д.ф. -м.н., профессор О.П. Филатов, д.ф. - м.н., профессор Л.С. Пулькина), - на научном семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии в 2005 г. (научные руководители д.ф. - м.н., профессор К.Б. Сабитов и д.ф. -м.н., профессор И.А. Калиев).
В заключении выражаю глубокую благодарность и признательность научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук Виктору Филипповичу Волкодавову за предложенную тематику исследований, а также научному консультанту профессору, доктору физико-математических наук Камилю Басировичу Сабитову за ценные замечания, помощь и поддержку в завершении данной диссертации.
Задача Аг с сопряжением пределов производных по нормали
В последнем равенстве положив у = XQ И заметив, что г (t) = [r(t) — т(хо)] , имеем Теперь равенство (1.29) проинтегрируем по частям. При этом воспользуемся формулой "сокращенного" дифференцирования (1.2G). Тогда получим Из последнего равенства следует утверждение леммы. Лемма 1.3.2. Пусть функция и(х,у) из класса C(G+) является в области G+ решением уравнения (1.1) и u(h,y) = 0. Если функция и(х,х) — т(х) достигает наибольшее полооїсительное (наименьшее отрицательное) значение в точке XQ Є (0,/І), то V+(XQ) = 0. Доказательство. Так как по условию леммы u(h,y) = ф(у) = 0, то соотношение (1.17) становится равенством Поскольку функция т(х) достигает экстремума в точке XQ Є (0, h), то по необходимому условию T (XQ) = 0. Это доказывает утверждение леммы. Теорема 1.3.1. Пусть Ь(у) = 1, 0 п 1. Если существует решение задачи Аг с условиями (1.2) - (1.6), (1.8), (1.9), то оно единственно. Доказательство. Пусть существуют два решения и\{х,у), U2(x,y) задачи (1.2) - (1.6), (1.8), (1.9)для уравнения (1.1), где Ъ{у) = 1. Рассмотрим функцию v(x,y) = ui(x,y) — щ(х,у), которая является решением уравнения (1.1) на множестве G = G U G+, при этом v(x,y) Є C(G), v(0,y) = v(h,y) = 0. В условии сопряжения (1.6) функция v (y) определяется формулой (1.28), в которой ip(y) = 0, а функция v+(y) определяется формулой (1.17), в которой ф(у) = 0. Как непрерывная функция v(x,x) = т(х) па отрезке [0,h] принимает свои наибольшее и наименьшее значения.
Пусть v(x, х) принимает свое наибольшее положительное (наименьшее отрицательное) значение (в противном случае рассматриваем функцию — v(x,x)). Поскольку т(0) = т(Н) = 0, то наибольшее положительное (наименьшее отрицательное) значение функция т(х) достигает во внутренней точке XQ интервала (0,Ь). Тогда по лемме 1.3.1 функция P-(XQ) 0 {V-.(XQ) 0), а с другой стороны и+(хо) = 0 по лемме 1.3.2, что невозможно ввиду условия сопряжения (1.6). Следовательно, функция т(х) = 0 на [0,h]. В силу единственности решения задачи Дарбу для уравнения (1.1) в области G следует, что v{x,y) = 0 в G . Аналогично, из единственности решения задачи Дарбу в области G+ следует v(x,y) = 0 в G + . Но тогда и\{х, у) = (х, у). Это доказывает утверждение теоремы. Перейдем к доказательству существования решения задачи Л2 с сопряжением пределов на линии х — у дробной производной и производной по нормали. Из условия сопряжения (1.6) и равенств (1.28), (1.17) получаем следующее интегральное уравнение Вольтерра II рода относительно 25 функции r (y): При каждом a 1 первое слагаемое в этом равенстве — непрерывная функция для у Є [0, к], как произведение двух непрерывных функций при р{у) Є С1 [0, к], а функция z1+ri(l - z)-Al Ді(1 - Ai + n, 1 + n, 1; a; 2 + rb 1 - Ai + n; -1, 0) интегрируема на отрезке [0,1] [79]. Второе слагаемое также непрерывно при каждом а 0. Если же 0 а 1, то потребуем ф(у) Є С2[0, к], ф (0) = 0. И тогда по теореме Лагранжа о копечиостных приращениях [80] ф (у) = ф"(0у) у. Тогда второе слагаемое в (1.33) становится выражением которое является непрерывной функцией на отрезке [0, к]. Таким образом, доказана Лемма 1.3.3.
Если функция ір(у) принадлеоісит классу Сх[0, k], а функция ф{у) принадлежит классу С2[0, /г.], ф (0) = 0, то функция Q(y), определяемая формулой (1.33), непрерывна на отрезке [0, к] для каоїсдого а 1. Уравнение (1.30) запишем с параметром 5 и будем искать решение полученного уравнения в виде а затем положим S = 1. Применяя этот метод последовательных приближений [42], мы придем к следующим равенствам сходится абсолютно и равномерно на отрезке [0,Ь] по теореме Вейерштрасса [80]. Итак, решение уравнения (1.30), если выполняются условия леммы 1.3.3, определяется формулой где Q(y) определяется формулой (1.31), a Qn{y) определяется формулой (1.35), при этом т (у) Є С[0, h]. Таким образом, нами доказана Теорема 1.3.2. Если выполняются условия леммы 1.3.3, то при каоїсдом а 1 существует единственное решение задачи Л2 для уравнения (1.1) с условиями (1.2) - (1.6), (1.8), (1-9), b(y) = 1, и оно определяется формулами (1.14) в области G , (1-15) в области G+, где функция т(у) задается формулой В этом параграфе по-прежнему рассматривается уравнение (1.1) на множестве G = G U G+. Теперь изучим задачу А2 с условиями (1.2) -(1.7), (1.9). Пользуясь формулами (1.7) и (1.14), находим Лемма 1.4-1- Пусть функция и(х:у) из класса C(G ) является решением уравнения (1.1) в области G и и(0,у) = 0. Если функция и(х,х) = т(х) достигает наибольшее полооїсительиое (наименьшее отрицательное) значение в точке хо Є (0,/і); то V {XQ) = 0. Доказательство этого утверждения проводится аналогично доказательству леммы 1.3.2. Вычислим v+(x), принимая во внимание формулы (1.10) и (1.15). Для этого находим
Задача А2 с сопряжением производной по нормали и дробной производной
Содержание настоящей диссертации связано с краевыми задачами для уравнения гиперболического типа, впервые изученного СП. Пулькиным [56]: к которому он пришел при изучении задачи Трикоми для пространственного уравнения. В работе [56] СП. Пулькиным построена функция Рішана для уравнения S(u) = 0 и найдено решение задачи Коши с данными и(х,х) = т{х), х Є [0, /г], {их — иу)\у-х = v(x), х Є (0, h). Методом симметрии относительно линии у = х СП. Пулькиным построены функции Римана-Адамара, на основе которых получены формулы решения задач Дарбу и Коши-Гурса. Будем записывать уравнение S(u) = 0 в характеристических координатах х и у. Пусть D - область, ограниченная прямыми х = 0, у = х, у = h. В этой области уравнение S(u) = 0 примет вид В диссертационной работе Л.А. .Назаренко [45] решены в различных областях задачи А і и А2.
Так, например, на множестве Н = Н\ U Нч , где Н\ = {(х,у) о, х у Ь}, Н.2 = {{х, у) : а у х 6}, ею решена задача А і для уравнения (S) при q 1. В областях Н\ и Hi были найдены решения задач Дарбу методом Римана-Адамара, а склеивание проводилось по производной по нормали. В этом случае, как и в других случаях в так называемых трапециевидных областях, Л.А. Лазаренко отступала от точки (0,0). М.В. Коржавиной как в неограниченной области, так и в ограниченной, решались задачи без отступления от точки (0,0), но задачи Коши-Гурса [38]. Аналогичная картина была и в диссертации Л.А. Игпаткииой [30], когда некоторая пространственная задача была сведена к задаче Аг в квадрате D = {(ж, у) : 0 х, у 1} при g 1 для уравнения (5). Но Л.А. Игнаткина не отступала от точки (0,0), потому что как и в работе [38] она решала в треугольных областях D П {у х) и D П {у х} задачи Коши-Гурса, а решения склеивались по функции на линии у = х. Итак, возникла проблема: почему при решении задачи Дарбу во вспомогательных областях исследователи отходили от точки (0,0)? Впервые на важность обращения в нуль решения и(х, у) в точке (0,0) и в нуль на бесконечности обратила внимание М.В. Коржавина [38]: "Уравнение Р S(u) = 0 из-за присутствия сингулярного коэффициента — обладает той х особенностью, что и его решения, особенно в гиперболической части области, и решение интегральных уравнений, к которым сводятся краевые задачи, содержат, как правило, множитель —, с чем и связаны налагаемые обычно ограничения на граничные условия в начале координат." Используя общее решение уравнения (S) для случая q = 1, в квадрате D = {(ж, у) : 0 х, у 1} найдем решения задач Дарбу в каждой из треугольных областей D П {х у} и D П {х у] с данными и(0,у) = (р(у), у Є [0,1], и(х,х) = т(ж), ге Є [0,1]; ІІ(Ж,0) = /(я), х Є [0,1], и(х,х) = т(х), х Є [0,1] и сопряжем их по производной по нормали при у = X .
После этого приходим к дифференциальному уравнению относительно неизвестной функции т{х): Теперь видно, что даже если С = 0, а ip(x), fix) Є С О, 1], то т{х) обращается в бесконечность в точке х = 0. То есть найдена причина, по которой при q 1 приходится отступать от точки (0,0) для того, чтобы уйти от обращения решения в бесконечность. Этого можно избежать, если 1 Г1 считать С, (f(x), fix) таковыми, что С = 0, а — / t G(t) dt обращается в нуль при х — 0. Тогда особенность функции т[х) при х = 0 исчезнет, т(0) будет равняться нулю. Последние работы В.Ф. Волкодавова были посвящены краевым задачам для уравнений смешанного типа, отличающихся от ранее рассматриваемых тем, что впервые линия изменения типа уравнения является его характеристикой. В постановках этих задач условие сопряжения содержит производную по нормали в области эллиптичности и производную дробного порядка в области гиперболичности. Первые результаты таких исследований были опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова и О.Ю. Наумова [15]. Затем Ю.А. Плотниковой [54] рассматривался ряд краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в том числе и задача Л2, где впервые использовались условия сопряжения с дробной производной па характеристической линии. В работах Б.А. Энбом [82] изучался вопрос об отыскании решения задачи А2 для гиперболического уравнения третьего порядка в пространственной области.
Формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра I рода с бесконечным верхним пределом
Комбинируя различные задания функций v-(y) и и+ (у) в условии сопряжения (6), получаем ряд краевых задач. Так в 1.2 находится решение задачи Аг для уравнения (1), когда функции V-(у) и v+{v) определяются формулами (7) и (8). Используя решения и-(х,у) и и+(х,у) вспомогательных задачах Дарбу в областях G и G+ с данными (4) и (5) и (11) соответственно, найдены выражения для функций v (y) и v+(y). Принимая во внимание условие сопряжения (6), получаем уравнение относительно неизвестной функции т (у), которое имеет единственное решение. В этом случае доказана следующая теорема существования и единственности решения задачи Д2. Теорема 1. Если Ь{у) ф 1 при любом у Є [0, h] и Ь{у) Є С[0,/г] при а 1, а при а 1 функция Ь(у) представимо, в виде b(y) — bo(y)ya, где Ьо(у) Є С[0, /г], &о(0) Ф О, функции ср(у), ф(у) принадлсоїсат классу С1 [0, /г], (0) = т(0), ф(1г) = r(h), то существует единственное решение задачи Аг для уравнения (1) с условиями (2) - (8). Отметим, что если Ь(у) = 1 задача (2) - (8) разрешима только в том случае, когда выполняется условие зависимости между функциями (р (у) и при произвольной функции т(х) из класса С [0, h] П С1 (0, h). В 1.3, 1.4 решается задача А2 для уравнения (1) в случае, когда ведется склеивание производных по нормали с одной стороны и производных дробного порядка с другой стороны. Исходя из решений и-(х,у) и и+(х,у) задач Дарбу в областях G и G+ с данными (4), (11) и (5), (11) соответственно, получены выражения для функций v-(y) и +( /)- Используя их, установлены принципы локального экстремума.
Доказательство единственности решения задачи Аг для уравнения (1) проведено на основании принципов локального экстремума. Вопрос существования решения эквивалентно сводится к вопросу разрешимости уравнения Вольтерра II рода относительно функции т (х) с интегрируемым ядром. В каждом случае сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи А2. Приведем, например, теорему для случая, когда V-(у) определяется формулой (9), a v+(y) — формулой (8). Теорема 2. Если р(х) принадлеоісит классу С1 [0, h], ф(х) прииадлеоісит классу С2[0, h], ф (0) = О, Ь(у) = 1, 0 г\ 1, а 1, то существует единственное решение задачи А2 для уравнения (1) с условиями (2) - (6), (8), (9). Доказательство этой теоремы проводится методом последовательных приближений. В 1.5 рассмотрена задача Аг для уравнения (1) в случае сопряжения пределов производных дробного порядка (G), (9), (10). Единственность решения доказывается на основании принципов локального экстремума. При этом возникают два интересных случая. Если г\ = гъ = 0, Лі = \ і, то существование решения задачи Аг редуцируется к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения, а когда r\ = гч = 0, Лі Л2 — к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода с полярным ядром и непрерывной правой частью. Для каждого из указанных случаев доказаны теоремы существования и единственности решения задачи А2. Например, для последнего случая справедлива следующая
Первая нелокальная задача типа Дарбу в неограниченной области
Приводятся теоремы о единственности и существовании решений данных интегральных уравнений. Опираясь на результаты параграфов 2.1 и 2.2, в 2.3 доказано существование и единственность решения задачи Гурса в следующей постановке. Задача Гурса. Найти функцию и(х, у) со свойствами: 1) и(х,у) Є C(G) П 0(G), иху Є C(G); где y(a;), ( )) P(x) заданные достаточно гладкие функции. Решение данной задачи находится в явном виде в специальном классе решений Vq, используя решения задач Коши в областях G и G+ и формулу обращения интегрального уравнения Вольтерра I рода (13). Доказана Теорема 4- Если функции р(х), Ф(х) принадлежат классу С[а, +со) П С1 [а, +оо), а их производные ф (х), ф {х) Є С(а, +оо) П L[a, +оо), /3(х) Є С[а, +oo)nL[a, +оо), то существует единственное решение задачи Гурса. В главе 3 обосновано существование и единственность решения нелокальных задач для уравнения (12) на неограниченном множестве G. Пусть М\(ж, h), M2(h,x) — аффиксы произвольной точки М(х,х). Задача Hi. Найти функцию и(х, у), обладающую свойствами: где г(а;), ш(х), а(ж), /3(х) — заданные достаточно гладкие функции. Задача H i . Найти функцию и(х,у), обладающую свойствами: 3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (14) и где а(ж), а;(ж), v{x) — заданные достаточно гладкие функции. Решения поставленных задач находятся в классе Vq с помощью формулы обращения интегрального уравнения Вольтерра I рода (13). Приведем теорему существования и единственности решения задачи Hi. Теорема 5. Если функции а{х), а (х) прииадлєоісат классу С[а,+оо) П С а,+со), функции и(х), и {х) и v(x) принадлеоісат классу С[а, +оо) и имеют представления и{х) = О I — ) , ш (х) = О I единственное решение задачи Нъ . На защиту выносятся следующие основные результаты. 1.
Доказательство принципа локального экстремума для уравнения (1). 2. Теоремы существования и единственности решения краевых задач для уравнения (1) с условиями сопряжения, содержащими производные дробного порядка, в ограниченной области. 3. Формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра I рода с бесконечным верхним пределом и гипергеометрическими функциями в ядрах. 4. Теорема существования и единственности решения задачи Гурса для уравнения (2) в неограниченной области. 5. Теоремы существования и единственности решения нелокальных задач Н\ и Ні для уравнения (2) в неограниченной области. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [83] - [92]. Работы [84], [88], [90] выполнены в соавторстве с научным руководителем В.Ф. Волкодавовым, которому принадлежат постановки задач. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: - на областном семинаре по дифференциальным уравнениям в Самарском государственном педагогическом университете в 1996 - 2004 г.г. (научный руководитель д.ф. - м.н., профессор В.Ф. Волкодавов), - на научно-технических конференциях сотрудников СамГАСУ по итогам НИР (г. Самара, 1997, 2004, 2005 г.), - на межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самарском государственном техническом университете (г. Самара, 1995, 2005 г.), - на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Самара, 2G-31 мая 2002 г.), - на научном семинаре кафедры математической физики Самарского государственного университета в 2005 г. (научные руководители д.ф. -м.н., профессор О.П. Филатов, д.ф. - м.н., профессор Л.С. Пулькина),
Похожие диссертации на Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического типа с вырождением в одной точке
