Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вычисление спектральных характеристик для краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точкой поворота на левом конце полуоси и с точкой поворота на бесконечности 10
1.1. Дифференциальные уравнения второго порядка с точками поворота. Асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения при фиксированном значении параметра. Характер спектра краевой задачи 10
1.2. Равномерные асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения. Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты краевой задачи 29
1.3. Равномерные асимптотические разложения (ряды) для решений дифференциального уравнения 47
1.4. Построение рекуррентных формул для нахождения коэффициентов асимптотических рядов для собственных чисел. Вычисление регуляризованных следов 64
Глава 2. Вычисление спектральных характеристик для краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точкой поворота внутри полуоси и с точкой поворота на бесконечности 87
2.1. Асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения при положительных и при отрицательных значениях аргумента. Характер спектра краевой задачи 85
2.2. Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты краевой задачи
2.3. Асимптотические ряды для решений дифференциального уравнения при отрицательном значении аргумента 113
2.4. Нахождение коэффициентов асимптотических рядов для собственных чисел. Вычисление регуляризованных следов 116
Выводы 127
Заключение 128
Список используемой литературы 130
- Равномерные асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения. Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты краевой задачи
- Равномерные асимптотические разложения (ряды) для решений дифференциального уравнения
- Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты краевой задачи
- Нахождение коэффициентов асимптотических рядов для собственных чисел. Вычисление регуляризованных следов
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена нахождению спектральных характеристик краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота на неограниченных интервалах.
Актуальность темы. При исследовании процессов, происходящих в гидродинамике, в теории колебаний, в квантовой механике, при изучении явлений дифракции получаются математические модели, которые описываются дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота Это точки, где процесс резко меняет свой характер. Согласно классической механике, в этой точке движущаяся частица остановилась бы и начала двигаться в обратном направлении. Общеизвестны такие уравнения с точками поворота, как уравнения Бесселя, Матье, Вебера, порождающие специальные функции.
Дифференциальные уравнения с точками поворота изучались различными методами. Метод ВБК (Вентцеля, Бриллюэна, Крамера) изучения асимптотического поведения решений задач с точками поворота состоит в том, что производится замена уравнения в окрестности точки поворота уравнением, решение которого находится с помощью специальных функций. Затем это решение «склеивается» с решением в остальной части промежутка.
Другой метод основан на выходе в комплексную плоскость. Его применяли МА Евграфов и М.В. Федорюк. В частности, М.В. Федорюк находил асимптотику решений и асимптотику спектра в предположении, что коэффициенты уравнения-аналитические функции.
Широко известен метод эталонного уравнения, развитый в работах АА. Дородницына и Р. Лангера. Они исследовали уравнение
f + \x2q(x)+R(x)]y = 0, (1.1)
g(x)=xar(x)l a>~2tr(x)>0.
РОС национальная]
3 ІИвЛИОТЕКА I
Эталонное уравнение выбирается так, чтобы оно имело точку поворота того же типа, что и исходное уравнение и имело бы наиболее простой вид. Таким образом, эталонное уравнение содержит информацию о точке поворота исходного уравнения и имеет известные решения. Р. Лангер строил первые асимптотики решений для конечных интервалов в случае простых и кратных точек поворота. Для случая простой точки поворота на конечном интервале им построены асимптотические ряды для решений. Спектр Р. Лангер не исследовал. Вопросы о спектре и асимптотике спектра для оператора Ly на конечном отрезке рассмотрены в работе А.А. Дородницына. С помощью метода эталонных уравнений А.А. Стакун рассматривал этот оператор на конечном отрезке. На бесконечном полуинтервале он
исследовал случай, когда tJ(}\x) dx = со .
Собственные значения различных операторов и регуляризованные следы изучались в работах И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана, Л.А. Дикого, В.Б. Лидского, В.А Садовничего, Л.Д. Фаддеева, B.C. Буслаева и др.
Исследование дифференциального уравнения (1) связано со сложными аналитическими вычислениями. Эта трудность может быть преодолена с помощью использования вычислительной техники при разработке и использовании соответствующих алгоритмов.
Целью исследования является определение характера
спектра и вычисление спектральных характеристик для краевых
задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго
порядка с точками поворота на полуоси. В соответствии с
поставленной целью в работе решаются следующие задачи:
нахождение асимптотических формул для решений
дифференциального уравнения; определение характера спектра
исследуемых краевых задач; равномерная оценка ядра
резольвенты (функции Грина) краевых задач; построение
алгоритма вычисления коэффициентов асимптотического ряда
для спектра; нахождение алгоритма вычисления
регуляризованных следов (регуляризованных сумм) для рассматриваемых краевых задач. Эти исследования
производятся в двух случаях: когда одна из точек поворота находится на левом конце или внутри полуоси (для точек поворота различного порядка), а другая точка поворота находится на бесконечности.
Научная новизна. Построен алгоритм вычисления коэффициентов асимптотического ряда для решений дифференциального уравнения и дано его теоретическое обоснование; определен характер спектра; найдены асимптотические ряды по степеням ц для спектра краевых задач и построен алгоритм нахождения коэффициентов этих рядов; найдены регуляризованные следы краевых задач и построен алгоритм их вычисления; найдена равномерная оценка ядра резольвенты.
Методы исследования. Поставленные в работе задачи исследовались с помощью методов эталонного уравнения, теории интегральных уравнений с использованием свойств специальных функций, методов теории функций комплексной переменной с использованием свойств целых функций специальных классов.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе формулы и алгоритмы могут быть использованы при вычислении спектральных характеристик краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями с точками поворота, которые возникают в различных задачах науки и техники, в частности, при изучении волновых процессов в атмосфере, в теории приливных волн. Спектр и регуляризованные следы имеют конкретное физическое содержание. Регуляризованные следы имеют и прикладное значение при вычислении первых собственных чисел.
На защиту выносятся:
Нахождение асимптотических представлений для решений дифференциального уравнения на неограниченных интервалах.
Теорема о дискретном характере спектра краевой задачи.
Равномерная оценка ядра резольвенты (функции Грина).
Асимптотические представления для спектра краевой задачи с помощью рядов по степеням п и алгоритм нахождения коэффициентов этих рядов.
5. Формулы вычисления регуляризованных следов (регуляризованных сумм) для собственных чисел краевой задачи и алгоритм их вычисления.
Эти исследования производятся в двух случаях: когда одна из точек поворота находится на левом конце или внутри полуоси, а другая - на бесконечности.
Апробация работы. Основные результаты работы
докладывались на научных конференциях Чувашского
государственного университета им. И.Н. Ульянова
(Чебоксары, 1982, 1987, 1997, 2003, 2004); на заседании Зимней математической школы «Алгебраические структуры теории сингулярных возмущений» в Российском государственном социальном университете при участии МЭИ (Москва, 1993); на IV международной конференции "Математика. Моделирование. Экология" (Волгоград, 1996); на научных семинарах кафедры компьютерных технологий в Чувашском государственном университете им. И.Н. Ульянова (Чебоксары, 2002, 2003, 2004); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (Казань, 2004); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Саратовского государственного университета (Саратов, 2004).
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 18 работ.
Структура и объем работы. Данная работа состоит из введения, двух глав, четырех приложений, заключения и списка литературы из 60 наименований, текст изложен на 150 страницах.
Равномерные асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения. Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты краевой задачи
Всюду дальше в этой главе будем считать, что \Л\ М, где М 0 достаточно большое число. В пунктах 1.2.1 -1.2.5 найдем равномерные асимптотические формулы и неравенства для решений уравнения Ly = Qy удовлетворяющих граничному условию (1.5) или (1.6), которые понадобятся для нахождения асимптотики спектра и оценки ядра резольвенты. Все рассуждения достаточно провести для значений Л, принадлежащих некоторой полуплоскости комплексной плоскости, так как в оператор Ly входит Л . Будем рассматривать полуплоскость и всюду в дальнейшем обозначать S достаточно малое положительное число. Поскольку %{х) является возрастающей гладкой функцией, то для нее существует обратная функция ( Х Введем обозначения xN — д N 0, такое, что при Л%(х) \ N можно использовать асимптотические представления функций і/ [Л( )] Ганкеля при z»1. Тогда 1) Найдем равномерные асимптотические формулы для 0(х,Л). Рассмотрим сначала случай Л(х)\ N. Запишем снова интегральное уравнение (1.32) для Y0(x,X) Преобразуем функции, входящие в (1.51), следующим образом В формулах (1.53) - (1.55) знак в экспоненте берется противоположным знаку 1тЛ. При этом справедливы оценки С помощью формул (1.52)-(1.55) из интегрального уравнения (1.51) получим Отсюда в силу (1.56), (1.11) и леммы Гронуолла-Беллмана имеем Тогда из (1.57) следует, что при Я — оо, 2) Рассмотрим теперь случай Я(х) ЛҐ. Интегральное уравнение (1.51) запишем в следующем виде Преобразуем функции, входящие в уравнение (1.61) Так как У0(х,Л), gQ(x,A), К(х,{,Л) равномерно ограничены по х, Л и выполняется (1.11), то по лемме Гронуолла-Беллмана (1.67) Неравенства (1.58) и (1.67) позволяют уточнить формулы (1.60) и (1.69) для решений К0(х}А) задачи (1.4), (1.5), (1.6) при 6-,=0, 52 = 0. Рассмотрим четыре случая и получим асимптотические представления: 1) при \А(х] N, Q argA 7i-d Лемма 1.7. Если выполняются условия (1.2), (1.3), (1.11), (1.22), то при Я- да, arg/l ;7-# для решений Y0{x,A), Y{x,X) уравнения Ly = 0, удовлетворяющих граничному условию (1.6) при В2 = 0 и В2 Ф 0, и их производных справедливы асимптотические представления (1.70)-(1.73), (1.75)-(1.77), (1.79), (1.80), (1.82) и неравенства(1.59), (1.68), (1.78), (1.81), где S 0 — достаточно малое число. 1,2.5. Равномерные асимптотические формулы для у0(хД), у о{х,Л), у(х,Л), у {х,Л) при Л — оо
Так же как для У0(д:,Д) в п. 1.2.1 можно доказать, что для у0{х,Л) и у(х,Л) справедливы неравенства и асимптотические формулы 1)приЛ(д;) ЛГ Лемма 1.8. Если выполняются условия (1.2), (1.3), (1.11), (1.22), то для решений у0(х,Л), у{х,Л) уравнения Ly 0, удовлетворяющих граничному условию (1.5) при 2=0и&2 0,иих производных справедливы при \Я\— х , \argX\ 7t-S асимптотические представления (1.85), (1.86), (1.91)-(1.94) и неравенства (1.83), (1.84), (1.87), (1.88), S - достаточно малое положительное число 1.2.6. Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты 1.2.6.1. Асимптотика спектра. Равномерная оценка характеристического определителя снизу Выше в п. 1.1 было установлено, что спектр краевой задачи (1.1), (1.5), (1.6) совпадает с нулями характеристического определителя Д(Я)= W[ ,T], где решения у{хгЛ) и Y(X,A) удовлетворяют граничным условиям (1.5) и (1.6) соответственно, причем Д(Я) = W\y; Y] = 7(0, Л) + b2Y (0, Л) есть целая функция. Изучим характеристический определитель. Для простоты рассмотрим сначала случай граничных условий (1.5), (1.6) при b2 = 0, В2 = 0. Из (1.69) получим 2 4 п - целое, п — оо; б) кроме того, из (1.95) следует [35, с. 78] что, вне кружков приЛ М". I argk І к-8 функция У(0,Л) ограничена снизу одного и того же фиксированного достаточно малого радиуса г. Для граничных условий (1.5), (1.6) сЬ2 0иВ2 0 все рассуждения проводятся аналогично. В этих случаях, используя формулы (1.73), (1.77), (1.82), (1.86), получим следующее асимптотическое представление для Д(А) = W\y; Y] при Л - оо У = 1,2, причем pQj Ф 0, s0 = min (l, 2//) числа p0j выражаются через t (0,A), і (0Д) и уДаоД), (3 (ооД). Заметим, что при рассмотрении граничного условия (1.5) с Ь2 0 нужно братьа -1. При - 2 а -1 каждый раз считаем, что в (1.5) Ь2 = 0. Из (1.98) следует, что асимптотическая формула для корней Л(Я) при п — оо имеет вид [34, с. 78-79]
Равномерные асимптотические разложения (ряды) для решений дифференциального уравнения
Для нахождения асимптотических рядов для спектра и для нахождения регуляризованных следов краевой задачи построим асимптотические ряды решений уравнения Ly = 0. Повысим требования гладкости для функци построим две функции где Rx{x,X)y К2(х,Л) равномерно ограничены по х и по Л при достаточно больших по модулю Я. Чтобы избавиться в(1.117) от второго слагаемого, содержащего z .m, сделаем в (1.117) замену равномерно ограничена по х и по Л при достаточно больших по модулю Л. Из(1.119)и(1.1160) следует, что для функций и1т и и2т 1 Г Сравним интегральные уравнения (1Л 23), (1.124) с (1.13), (1.32). Формулы (1.123), (1.124) получаются из (1.13), (1.32), если заменить в них первое слагаемое правой части и0(х,Л) и V0{x,X) на и .(д:Д), а во втором слагаемом под знаком интеграла заменить функцию F(f) на Fm(t,X) и /f(;c,f,/t) на Кт(х,і,Л). Причем функции umJ(х,Л) оцениваются при \л\ м О верхний индекс «+» берется при argX ти-6 нижний индекс «-» берется при — n + d argX 0. Точное выражение OJk U аналогично тому, как это делается в (1.70) - (1.73). Кроме того при \Х\ М, и значит у:(х,А), уг(х,Я) - линейно независимые решения уравнения Ly = 0. Лемма 1.10. Для двух линейно независимых решений Ух{х,Л), у2{х,Я) уравнения Ly = 0 прихє[0;/], Я— х справедливы асимптотические представления (1.125), (1.126) при \argA \ 7v-6y 0 - сколь угодно малое фиксированное число. о(х,Л) - решение эталонного уравнения. Будем считать, что q{x) и R(x) таковы, что все введенные выше интегралы сходятся. Для этого достаточно, например, чтобы выполнялись условия (1.105), (1.106), (1.108) и чтобы ,Л) уравнения Ху = 0, удовлетворяющее граничному условию (1.6) при В2 = О. Для этого введем функцию Лемма 1.11. Для решения Y0(х, А) уравнения Ly = 0, удовлетворяющего граничному условию (1.6) при [/; + оо), я-»оо, argA \ я-5 справедливы асимптотические представления(й R(x) и q(x). Степень гладкости зависит от порядка вычисляемого следа.
Будем считать «с избытком», что Кроме того, предположим, что выполняются условия к,т,п = 0,\,2, При некоторых значениях а эти требования можно ослабить, например, при а = ±1. Асимптотические ряды для решений Ly = 0 на конечном отрезке были получены в работах [9,13,14,41], в которых авторами были найдены формулы типа (1.60), (1.69). Применяя, разработанные в работах [1,9], методы отыскания асимптотических рядов для фундаментальной системы решений уравнения Ьу = 0 на отрезке [0,/], / 0, найдем уточненные формулы типа (1.70) — (1.73). Сначала построим две функции где Rx{x,X)y К2(х,Л) равномерно ограничены по х и по Л при достаточно больших по модулю Я. Чтобы избавиться в(1.117) от второго слагаемого, содержащего z .m, сделаем в (1.117) замену равномерно ограничена по х и по Л при достаточно больших по модулю Л. Из(1.119)и(1.1160) следует, что для функций и1т и и2т 1 Г Ср асимптотических рядов для спектра и для нахождения регуляризованных следов краевой задачи построим асимптотические ряды решений уравнения Ly = 0. Повысим требования гладкости для функци построим две функции где Rx{x,X)y К2(х,Л) равномерно ограничены по х и по Л при достаточно больших по модулю Я. Чтобы избавиться в(1.117) от второго слагаемого, содержащего z .m, сделаем в (1.117) замену равномерно ограничена по х и по Л при достаточно больших по модулю Л. Из(1.119)и(1.1160) следует, что для функций и1т и и2т 1 Г Сравним интегральные уравнения (1Л 23), (1.124) с (1.13), (1.32). Формулы (1.123), (1.124) получаются из (1.13), (1.32), если заменить в них первое слагаемое правой части и0(х,Л) и V0{x,X) на и .(д:Д), а во втором слагаемом под знаком интеграла заменить функцию F(f) на Fm(t,X) и /f(;c,f,/t) на Кт(х,і,Л). Причем функции umJ(х,Л) оцениваются при \л\ м О верхний индекс «+» берется при argX ти-6 нижний индекс «-» берется при — n + d argX 0. Точное выражение OJk U аналогично тому, как это делается в (1.70) - (1.73). Кроме того при \Х\ М, и значит у:(х,А), уг(х,Я) - линейно независимые решения уравнения Ly = 0. Лемма 1.10. Для двух линейно независимых решений Ух{х,Л), у2{х,Я) уравнения Ly = 0 прихє[0;/], Я— х справедливы асимптотические представления (1.125), (1.126) при \argA \ 7v-6y 0 - сколь угодно малое фиксированное число. о(х,Л) - решение эталонного уравнения. Будем считать, что q{x) и R(x) таковы, что все введенные выше интегралы сходятся. Для этого достаточно, например, чтобы выполнялись условия (1.105), (1.106), (1.108) и чтобы ,Л) уравнения Ху = 0, удовлетворяющее граничному условию (1.6) при В2 = О. Для этого введем функцию Лемма 1.11. Для решения Y0(х, А) уравнения Ly = 0, удовлетворяющего граничному условию (1.6) при [/; + оо), я-»оо, argA \ я-5 справедливы авним интегральные уравнения (1Л 23), (1.124) с (1.13), (1.32). Формулы (1.123), (1.124) получаются из (1.13), (1.32), если заменить в них первое слагаемое правой части и0(х,Л) и V0{x,X) на и .(д:Д), а во втором слагаемом под знаком интеграла заменить функцию F(f) на Fm(t,X) и /f(;c,f,/t) на Кт(х,і,Л). Причем функции umJ(х,Л) оцениваются при \л\ м О верхний индекс «+» берется при argX ти-6 нижний индекс «-» берется при — n + d argX 0. Точное выражение OJk U аналогично тому, как это делается в (1.70) - (1.73). Кроме того при \Х\ М, и значит у:(х,А), уг(х,Я) - линейно независимые решения уравнения Ly = 0. Лемма 1.10. Для двух линейно независимых решений Ух{х,Л), у2{х,Я) уравнения Ly = 0 прихє[0;/], Я— х справедливы асимптотические представления (1.125), (1.126) при \argA \ 7v-6y 0 - сколь угодно малое фиксированное число. о(х,Л) - решение эталонного уравнения. Будем считать, что q{x) и R(x) таковы, что все введенные выше интегралы сходятся. Для этого достаточно, например, чтобы выполнялись условия (1.105), (1.106), (1.108) и чтобы ,Л) уравнения Ху = 0, удовлетворяющее граничному условию (1.6) при В2 = О. Для этого введем функцию Лемма 1.11. Для решения Y0(х, А) уравнения Ly = 0, удовлетворяющего граничному условию (1.6) при [/; + оо), я-»оо, argA \ я-5 справедливы асимптотические представления(1.133) и (1.134), S 0- достаточно малое число.
Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты краевой задачи
Для случая, когда одна из точек поворота в рассматриваемых дифференциальных уравнениях находится в левом конце полуоси, а другая на бесконечности, получены следующие основные результаты: Построены асимптотические представления решений дифференциальных уравнений на неограниченных интервалах. Построен алгоритм вычисления коэффициентов асимптотического ряда решений дифференциального уравнения. Доказано, что характеристический определитель краевой .3) и (2.4) соответственно. Спектром краевой задачи называют совокупность точек, в которых резольвента имеет особенности. Так как функции у(х,Л) и Y{x,X), ЯВЛЯЮТСЯ аналитическими по Я в комплексной ПЛОСКОСТИ С при любом фиксированном х, то особенности может дать только определитель Вронского [у;Г]. Определитель [у;Г] называется характеристическим определителем. Поскольку в уравнении (2.1) отсутствует первая производная, то этот определитель не зависит от х. Введем для него обозначение Для решения уравнения Ly = 0 введем обозначения ио{х,Л) - решение, удовлетворяющее условию - решение, удовлетворяющее условию Оба решения существуют и являются целыми функциями по Я. В нашем случае характеристический определитель имеет вид и является целой функцией. Ее нули образуют дискретное множество. Теорема 2.1. Если выполняются условия (1.2), (1.3), (1.11), (1.22), то спектр краевой задачи (2.1), (2.2), (2.4) является дискретным. Для нахождения асимптотических формул для спектра и оценки ядра резольвенты можно получить также, как и в первой главе, равномерные асимптотические формулы для решений /0(х,Я) и YQ{x,X). Для этого нам понадобится асимптотические формулы для двух линейно независимых решений ух(х,Л) и у2{х,Л) уравнения Ly = 0 на полуоси [0; + оо) (п.2.1.3) и для двух линейно независимых решений Ux{x,X) и и2(х,Л) на отрезке [-1; 0 ] (п.2.1.4). Будем считать всюду в дальнейшем, что Л М, М 0 - достаточно большое число. фундаментальной системы решений ух(х,Л), у2(х,Л) уравнения Ly = 0 Построим два линейно независимых решения ух(х,Л) и у2{х,Л) дифференциального уравнения Ly - 0 на полуоси [ 0; + оо ) следующим образом. Пусть, ух(х,Л) и у2{х,Л) «порождены» решениями их(хх,Л) и и2{х2,Л) эталонного уравнения (1.8) и удовлетворяют при 0 argA п-8 (8 0 -достаточно малое число) интегральным уравнениям 2.1.3.1. Равномерные асимптотические формулы для у](х,Л)
О при задачи является целой функцией; получено асимптотическое представление характеристического определителя; показано, что спектр краевой задачи (корни характеристического определителя) есть дискретное множество. Найдено асимптотическое представление и построен алгоритм нахождения коэффициентов в асимптотическом представлении характеристического определителя. А также построен алгоритм нахождения коэффициентов асимптотически логарифмической производной характеристического определителя. Получено асимптотическое представление для спектра и построен алгоритм вычисления коэффициентов асимптотического ряда для спектра; получена равномерная оценка ядра резольвенты (функции Грина) краевой задачи, играющая важную роль в приложениях; вычислены регуляризованные следы произвольного порядка для рассматриваемой краевой задачи и построен алгоритм их нахождения. Из (2.10) следует, что при х 0 функции W.(x,X) есть решения уравнения (2.6). Эта пара решений обладает следующими свойствами при х О, Л М, у(х,Л)и Y(x,X) решения уравнения = О, удовлетворяющие граничному условию (2.3) и (2.4) соответственно. Спектром краевой задачи называют совокупность точек, в которых резольвента имеет особенности. Так как функции у(х,Л) и Y{x,X), ЯВЛЯЮТСЯ аналитическими по Я в комплексной ПЛОСКОСТИ С при любом фиксированном х, то особенности может дать только определитель Вронского [у;Г]. Определитель [у;Г] называется характеристическим определителем. Поскольку в уравнении (2.1) отсутствует первая производная, то этот определитель не зависит от х. Введем для него обозначение Для решения уравнения Ly = 0 введем обозначения ио{х,Л) - решение, удовлетворяющее условию - решение, удовлетворяющее условию Оба решения существуют и являются целыми функциями по Я. В нашем случае характеристический определитель имеет вид и является целой функцией. Ее нули образуют дискретное множество. Теорема 2.1. Если выполняются условия (1.2), (1.3), (1.11), (1.22), то спектр краевой задачи (2.1), (2.2), (2.4) является дискретным. Для нахождения асимптотических формул для спектра и оценки ядра резольвенты можно получить также, как и в первой главе, равномерные асимптотические формулы для решений /0(х,Я) и YQ{x,X). Для этого нам понадобится асимптотические формулы для двух линейно независимых решений ух(х,Л) и у2{х,Л) уравнения Ly = 0 на полуоси [0; + оо) (п.2.1.3) и для двух линейно независимых решений Ux{x,X) и и2(х,Л) на отрезке [-1; 0 ] (п.2.1.4). Будем считать всюду в дальнейшем, что Л М, М 0 - достаточно большое число. фундаментальной системы решений ух(х,Л), у2(х,Л) уравнения Ly = 0 Построим два линейно независимых решения ух(х,Л) и у2{х,Л) дифференциального уравнения Ly - 0 на полуоси [ 0; + оо ) следующим образом. Пусть, ух(х,Л) и у2{х,Л) «порождены» решениями их(хх,Л) и и2{х2,Л) эталонного уравнения (1.8) и удовлетворяют при 0 argA п-8 (8 0 -достаточно малое число) интегральным уравнениям 2.1.3.1. Равномерные асимптотические формулы для у](х,Л) О при JC О Найдем так же, как в первой главе равномерные асимптотические формулы для Уі{х,Х). Рассмотрим сначала случай, когда О S argl п 8. 1)Если \X4{x)\ N (N 0 - достаточно большое число) сделаем в (2.15) замену
Нахождение коэффициентов асимптотических рядов для собственных чисел. Вычисление регуляризованных следов
Для случая, когда одна из точек поворота в рассматриваемых дифференциальных уравнениях находится внутри интервала, а другая на бесконечности, получены следующие основные результаты: Построены асимптотические представления решений дифференциальных уравнений на неограниченных интервалах. Доказано, что характеристический определитель краевой задачи является целой функцией; получена асимптотика характеристического определителя; показано, что спектр краевой задачи (корни характеристического определителя) образуют дискретное множество. Найдены асимптотические представления для собственных чисел и разработан алгоритм вычисления коэффициентов асимптотических рядов для двух цепочек спектра; получена оценка ядра резольвенты краевой задачи, играющая важную роль в приложениях. Вычислены регуляризованные следы краевой задачи произвольного порядка и разработан алгоритм их вычисления. Для случая, когда одна из точек поворота в рассматриваемых дифференциальных уравнениях находится на левом конце полуоси, а другая точка поворота- на бесконечности, получены следующие основные результаты: 1. Найдены асимптотические представления для решений дифференциальных уравнений на неограниченных интервалах. 2. Решен вопрос о характере краевых условий и дана постановка соответствующих краевых задач, 3. По задачи (корни характеристического определителя) образуют дискретное множество. Найдены асимптотические представления для собственных чисел и разработан алгоритм вычисления коэффициентов асимптотических рядов для двух цепочек спектра; получена оценка ядра резольвенты краевой задачи, играющая важную роль в приложениях. Вычислены регуляризованные следы краевой задачи произвольного порядка и разработан алгоритм их вычисления.
Для случая, когда одна из точек поворота в рассматриваемых дифференциальных уравнениях находится на левом конце полуоси, а другая точка поворота- на бесконечности, получены следующие основные результаты: 1. Найдены асимптотические представления для решений дифференциальных уравнений на неограниченных интервалах. 2. Решен вопрос о характере краевых условий и дана постановка соответствующих краевых задач, 3. Показано, что спектр рассматриваемых краевых задач является дискретным. 4. Получена равномерная оценка ядра резольвенты (функции Грина) краевых задач. 5. Найдены асимптотические ряды для решений дифференциальных уравнений. 6. Найдены асимптотические представления для характеристического определителя и для его логарифмической производной. 7. Получены асимптотические ряды для собственных чисел краевой задачи и эффективная методика нахождения их коэффициентов, 8. Вычислены регуляризованные следы различных порядков. В четырех последних пунктах найдены соответствующие алгоритмы. Для случая, когда одна из точек поворота в рассматриваемых дифференциальных уравнениях находится внутри полуоси, а другая точка поворота- на бесконечности, получены следующие основные результаты: 1. Найдены асимптотические представления для решений дифференциальных уравнений на неограниченных интервалах. 2. Показано, что спектр рассматриваемых краевых задач является дискретным. 3. Получена равномерная оценка ядра резольвенты (функции Грина) краевых задач. 4. Найдены асимптотические ряды для решений дифференциальных уравнений. 5. Найдены асимптотические представления для характеристического определителя и для его логарифмической производной. 6. Получены асимптотические ряды для собственных чисел краевой задачи и эффективная методика нахождения их коэффициентов. 7. Вычислены регуляризованные следы различных порядков. В двух последних пунктах найдены соответствующие алгоритмы. Полученные казано, что спектр рассматриваемых краевых задач является дискретным. 4. Получена равномерная оценка ядра резольвенты (функции Грина) краевых задач. 5. Найдены асимптотические ряды для решений дифференциальных уравнений. 6. Найдены асимптотические представления для характеристического определителя и для его логарифмической производной. 7. Получены асимптотические ряды для собственных чисел краевой задачи и эффективная методика нахождения их коэффициентов, 8. Вычислены регуляризованные следы различных порядков. В четырех последних пунктах найдены соответствующие алгоритмы. Для случая, когда одна из точек поворота в рассматриваемых дифференциальных уравнениях находится внутри полуоси, а другая точка поворота- на бесконечности, получены следующие основные результаты: 1. Найдены асимптотические представления для решений дифференциальных уравнений на неограниченных интервалах. 2. Показано, что спектр рассматриваемых краевых задач является дискретным. 3. Получена равномерная оценка ядра резольвенты (функции Грина) краевых задач. 4. Найдены асимптотические ряды для решений дифференциальных уравнений. 5. Найдены асимптотические представления для характеристического определителя и для его логарифмической производной. 6. Получены асимптотические ряды для собственных чисел краевой задачи и эффективная методика нахождения их коэффициентов. 7. Вычислены регуляризованные следы различных порядков. В двух последних пунктах найдены соответствующие алгоритмы. Полученные в работе формулы и алгоритмы могут быть использованы при вычислении спектральных характеристик краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями с точками поворота, которые возникают в различных задачах науки и техники, в частности, при изучении волновых процессов в атмосфере, в теории приливных волн. Спектр и регуляризованные следы имеют конкретное физическое содержание. Регуляризованные следы имеют и прикладное значение при вычислении первых собственных чисел.
