Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего и высокого порядков с действительными характеристиками Салихов Шукрулла Назруллаевич

Содержание к диссертации

Стр.

ВВЕДЕНИЕ,..-..... 3

ГЛАВА I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

ТРЕТЬЕГО И БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯД-. .

КОВ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ. ОБЛАСТИ. ..... 17

1. Задача I......... 17

Задача 2.... 29

2. 3 а д а ч а 3 ........ . 30

3. Задача 4 ........ . 45

ГЛАВА П. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКОВ. . .

В СМЕШАННОЙ ОБЛАСТИ- v- ....... 75

І. 3 а д а ч а I ........ . 75

Задача 2 . . . 84

2. 3 а д а ч а 3 ........ . 90

3. 3 а д а ч а 4 ........ , 95

4. 3 а д а ч а 5 ........ . 101

ЛИТЕРАТУРА

НО

Введение к работе

В зависимости от того имеет ли характеристическое уравнение действительные и комплексно сопряженные, действительные различные или действительные кратные корни, дифференциальное уравнение третьего порядка с двумя независимыми переменными приводится к уравнению составного типа, либо к уравнению с действительными характеристиками, либо к уравнению с кратными характеристиками.

Первый тип уравнений рассматривался многими математиками. Достаточно подробные его исследования приведены, например, в монографиях М.С.Салахитдинова [I] , Т.Д.Джураева [2] . Последующие два типа объединим одним названием - дифференциальные уравнения с действительными характеристиками, которые будут предметом наших исследований.

Если в одной части рассматриваемой области уравнения с кратными характеристиками, а в другой с действительными характеристиками и эти части разделены линией перехода, на которой уравнение или не определено или вырождается, то такое уравнение будем называть уравнением смешанного типа.

Уравнения с действительными характеристиками находят широкое применение при моделировании задач механики и техники, в частности, в задачах магнито-гидродинамики L33, 34] , в задачах тепломассообмена t32, 36] и фильтрации [31] , в задачах динамики арок и колец 1221 , в задачах аэродинамики [21] , и т.д.

В настоящее время имеется большое количество работ _ 4 -отечественных и зарубежных математиков, посвященных исследованию краевых задач для этих уравнений.

Т.Д.Джураевым [2^ , Я.С.Шарифбаевым ]б\ А.С.Рустамовым ^11} , а также итальянским математиком в.ріпі \jq\ были изучены различные краевые задачи для уравнений третьего порядка с оператором теплопроводности в главной части.

Работы R.-Nardini 133,34]; О.М.Тверитина І30І , Takahashi Tadaysi, Iwamiya Tashiyki 1.37} , Bona Jerry L, Daugalis Vassilios A.^38), М.Х.Шханукова 123-25^ , B.A.Ba-даховой І26-28І , i.Caecante І20І, также посвящены изучению уравнений с действительными характеристиками.

Можно назвать еще работу С.Елубаева І35] в которой рассматриваются краевые задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа.

Продолжается исследование краевых задач для смешанных уравнений третьего порядка, содержащих параболо-гиперболиче-ский оператор. Среди других назовем лишь работы,М.С.Салахит- динова, Т.Д.Джураева \3] , М.С.Салахитдинова, А.М.Нагорного [А\ , Т.Д.Джураева, М.Мамажанова І5І , Я.С.ШарифбаеЕа 17},

А.Сапуева \_8І , Б.Байменова 129] , М.Мамажанова t9"\.

И все же, уравнения с действительными характеристиками третьего и более высокого порядка остаются мало изученными.

Настоящая диссертация посвящена постановке и исследованию корректных краевых задач для отдельных классов уравнений третьего и более высокого порядков с действительными характеристиками и смешанных уравнений, составленных из них. Она состоит из введения, двух глав и списка литературы. Приведем полученные основные результаты. - 5 -Первая глава содержит четыре задачи»

Пусть , л - односвязные области плоскости XQU ,где л ^_i

3 а д а ч а I. Найти функцию удовлетворяющую уравнению ^»x\^atw~K'^X,V^U"''^U'*^,U"^ (і) в области -^ и краевым условиям

Исследование этой задачи начато с построения решения задачи I для однородного уравнения (I), затем построено решение однородной задачи I для уравнения

С помощью их, решение исходной задачи I сведено к решению интегро-дифференциального уравнения, которое реализовано методом последовательных приближений.

Единственность решения задачи I доказана с помощью неравенств, полученных при построении решения, _

Задача 2.Найти функцию U (ХМ)<^ (П^) П С (\) удовлетворяющую уравнению в области Я^ . и краевым условиям

Единственное регулярное решение этой задачи построено в явном виде.

Задача 3. Найти функцию удовлетворяющую уравнению U*_x^CUx^U_x$U^ в области ч)± и граничным условиям _«ч ^U|₄-(f ^^ ' OiXil, O^iW- (4)

Решение задачи 3 найдено в виде суммы

Функция W₁ - решение уравнения удовлетворяет неоднородным условиям (2), (4) и однородным условиям (3), а Щ - решение уравнения ^(x,\^W^P(x,^), удовлетворяет однородным условиям (2), (4) и неоднородным условиям (3),

Решение обеих задач эквивалентно сведено к решению системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода с ядрами имеющие интегрируемые особенности.

Задача 4. Найти функцию - если п. - четное, в VU1 _ - если - нечетное) удовлетворяющую уравнению _{0)U П)}^и+1_а

И + 1; _^xx^)^s_fH^a_^ и краевым условиям _и для четных Vt , и _и. ^о^-^ 0,.,-^ ' _#4l для нечетных VI

С помощью специально построенной функции Грина о С^СЦ ', ^ , V]) получено решение задачи 4 Для уравнения которое для четных VI , имеет вид h , Мі V¹"* & О) ⁰ * t

Это дало возможность сведению вопроса существования решения нелинейной задачи 4 к существованию решения интегро-дифференциального уравнения.

Единственность решения задачи 4 доказана методом последовательных приближений.

Вторая глава состоит из пяти задач.

Пусть Пі л - треугольная область, ограниченная прямыми U-0 , Ц— -СХ.» U-X~i , а Ч - промежуток 0<Х<1 прямой Ч-О . Совокупность областей ^ ,П^ , 3 обозначим через П^ .

За дача I. Найти функцию , которая непрерывно дифференцируема в замкнутой области П^ ; является решением из класса R. в области П^_г и регулярным решением в области П^ уравнения при U ^ 0 ',

3) удовлетворяет на отрезке *3 непрерывным условиям склеи вания и_х(,х,-о^и_х^х,^=тЧх>>, ⁽⁶⁾

4) удовлетворяет краевым условиям

Через К обозначен класс функций, представимых посредством Функции Римана ]V?1

Решение уравнения (5) в области П^ , удовлетворяющее условиям (7), имеет вид

Отсюда, при U—?-0 , найдено соотношение х4 'о Второе соотношение между Т (JX^ и "V (X) получено интегрированием уравнения (5) при \J > 0 по переменной X в пределах от 0 до X и последующим предельным пере ходом при U = -V 0 : о С помощью найденных из этих соотношений 't (X) , ^ІХЛ решение задачи І в области ^ выписано явно.

Задача 2. Определить функцию U. C^XiU) » которая I) непрерывно дифференцируема в замкнутой области Т5 ; - II - имеет непрерывную производную VI ц при переходе через промежуток *3 ; ^ является регулярным решением уравнения CM (8) где ~« в области q^ ^а(при"ифО );

4) удовлетворяет граничным условиям

Преобразуя уравнение (8), для определения неизвестных t {X) , ^ (JX.) получены два соотношения (^d,o>4x-t^t ,о>|]<иЫ1 = _{= 3lKao^H,w}

Из них, с помощью граничных условий определены искомые Т (^ , ^ (^ » Н (^ » К СО)

В результате, решение задачи 2 в области ^, сведено к известной задаче, исследованной в \jS\ , а в области Ті оно выписано явно.

Задача 3. Найти регулярное решение уравнения в области Ті (при U ф 0 ), непрерывно дифференцируемое в замкнутой области П^ » Удовлетворяющее граничным условиям ^{"V^^ ^ ,_:w^^4>} условию склеивания (6) и условию

Решение задачи 3 в области Ті выписано в явном виде, 3 а д а ч а 4. Определить функцию 4AX,U)t которая I) непрерывно дифференцируема в замкнутой области Ті ; - ІЗ -

2) является регулярным решением уравнения _{0 =}

0)СС¹ (lL_xx-U.^ , lj >0 в области <Ъ (при ^+0 ); удовлетворяет условиятл склеивания (6); удовлетворяет граничным условиям

Общее решение уравнения (9) в области Я^л шлеет U

С помощью (Ю), при \j—>-0 найдено соотношение _-w^-^ч^-

Второе соотношение получено из уравнения (9) при Ч > 0 » путем интегрирования по переменной X в пределах от О до X и последующим предельным переходом при U * "^0 Посредством граничных условий найдены неизвестные функции Т СХ> , V (х)

В результате, решение задачи 4 в области П^ ^ сведено к решению задачи 4 главы I (случай VI-1 ), а в области П^ ^_ оно выписано явно.

Задача 5. Найти регулярное решение в области Ъ (при \\ "ф 0 ) уравнения ^Ц (II) дважды непрерывно дифференцируемое в заіжнутой области Ъ , удовлетворяющее условиям склеивания (6) и граничным условиям _{О) и.}¹ _{*-^^' "Ьг-}

Для определения значения искомой Функции 1/Цх,и)и ее производной ^-u^oU^Ha отрезке *3 первое соотношение между tL^O » n (х^ перенесенное из области & ч найде- но в виде

Второе соотношение получено из уравнения (II) при U>0 » после некоторых преобразований и яредельного перехода при T\x>-4x>U(^-^cut,oyt4-hcH + a- ^Л>с<А^Т(A^dt = х Q ^ -v п ^).

Из этих равенств, используя условия определены значения <Г Сх> , ^С^) ^в результате этого, решение задачи 5 в области П^ ^ сведено к решению . задачи 3 главы I ^ЦХ,4^=-0) .В области ^сй_г оно выписано в явном виде.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора ^39 - 41*1 и докладывались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными и математические вопросы механики" Института механики и сейсмостойкости сооружений им; М.Т.Уразбаева.АН УзССР (руководитель - член-корреспондент АН УзССР Т.Д.Джураев), на семинаре.отдела дифференциальных уравнений Института математики им, В.И.Романовского АН УзССР (руководитель - академик АН УзССР М.ССалахитди-нов), на Всесоюзном коллоквиуме по теории кубатурных формул и дифференциальным уравнениям с частными производными, г.Бухара 1983 г., на Всесоюзном семинаре по аналитическим методам исследований эллиптических уравнений, г. Уфа,1984 г.

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю, члену-корреспонденту АН УзССР, доктору физико-математических наук, профессору Тухтамураду Джураевичу Джураеву за постановку.задач, многочисленные ценные советы и постоянную поддержку.

Похожие диссертации на Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего и высокого порядков с действительными характеристиками

Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областяхХашимов, Абдукомил Рисбекович

Аналитическая характеристика решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка специального видаБелясова, Вера Герасимовна

Спектральные характеристики краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота Шегай Людмила Николаевна

Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с кратными характеристикамиОмаров, Мурад Шамильевич

Краевые задачи для уравнения третьего порядка, содержащего параболо-гиперболический операторТалипов, Атамет

Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях Энбом Екатерина Александровна

Краевые задачи для некоторых гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерном евклидовом пространствеДорофеев, Андрей Викторович

Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа третьего и четвертого порядковРустамова Людмила Рустамовна

Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа третьего порядкаЗарубин Евгений Александрович

Краевые задачи для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядкаЯковлева, Юлия Олеговна