Введение к работе
Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа в силу своей теоретической и прикладной значимости является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Важным этапом развития теории уравнений смешанного типа, является исследования, проведенные К.И.Бабенко, А.В.Бицадзе, М.А.Лаврентьевым, Ф.И.Франклем, где наряд)' с фундаментальными исследованиями целого ряда существенных вопросов данной теории, была показана практическая важность проблемы уравнений смешанного типа.
В дальнейшем краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типа стали предметом многочисленных исследований как отечественных, так и зарубежных специалистов. Основные результаты этих работ и соответствующая библиография приведена в монографиях Л.Берса, А.В.Бицадзе, К.Г.Гудерлея, Т.Д.Джураева, М.С.Салахитдинова и А.К.Уринова, М.М.Смирнова, А.М.Нахушева, Е.И.Моисеева, а так же в докторских диссертациях Д.Базарова, В.А.Елеева, О.А.Репина, К.Б.Сабитова.
Одним из активно развивающихся направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является теория нелокальных краевых задач для различных уравнений смешанного типа. A.M. Нахушевым в связи с нахождением общих подходов в теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного (эллиптико-гиперболического) типа второго порядка были поставлены и исследованы краевые задачи, получившие в настоящее время название задач со смещением. В этих задачах нелокальные условия связывают значение искомой функции или ее производной внутри области со значениями, принимаемыми на гиперболической части границы рассматриваемой области. Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло- и массообмена в капиллярно-пористых средах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера, процессов размножения клеток.
Исследованиями нелокальных краевых задач занимались. В.И.Жегалов, В.А.Елеев, С.К.Кумыкова, М.С.Салахитдинов, А.К.Уринов, О.А.Репин. Систематическое изучение уравнений третьего и четвертого порядков, содержащих в главной части смешанные операторы эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типов началось в 70-х годах в работах Т.Д.Джураева и его учеников. Достаточно полная библиография по теории краевых задач для уравнений смешанного типа третьего порядіса с кратными характеристиками и уравнений смешанно-составного типа содержится в монографиях Т.Д.Джураева, М.С.Салахитдинова, М.М.Смирнова, в докторской диссертации Д.Базарова.
Цель работы. Основной целью работы является постановка и исследование однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых
зада для уравнений третьего и четвертого порядков, содержащих в главной части смешанные операторы параболо-гиперболического типа.
Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены с использованием методов функции Грина и интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного интегродифференцирования, интегральных преобразований Лапласа, метода интегралов энергии.
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:
Доказана теорема существования и единственности решения аналога задачи Франкля для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка.
Для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором дробного порядка в краевом условии доказана теорема об однозначной разрешимости нелокальной внутренне-краевой задачи.
Доказана теорема существования и единственности решения задачи Бицадзе - Самарского для уравнения смешанного типа четвертого порядка.
Доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа задачи Франкля и Бицадзе - Самарского для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и со спектральными параметрами.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит в основном теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа. Результаты работы могут иметь также прикладной характер при решении различных проблем современного естествознания.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах по современному анализу, информатике и физике (руководитель - заслуженный деятель науки РФ, академик АМАН, профессор А.М.Нахушев), на семинарах по краевым задачам для уравнений смешанного типа и их приложениям в КБГУ (руководитель - академик АМАН, профессор В.А.Елеев), на Международных (Российско-Узбекской, Российско-Казахской, Российско-Азербайджанской, Российско-Абхазской) 2003, 2004, 2008, 2009годах, на региональных научных конференциях молодых аспирантов и студентов, на региональной научно-практической конференции «Вузовское образование и наука», посвященной 10-летию ИнгГУ (г. Назрань, 2005 г.), на региональной конференции (г. Владикавказа 2006 г.), на второй и третьей международных конференциях «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Махачкала, 2005,2007 г.) и т.д.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах. Из них [б] выполнена в соавторстве с В.А. Елеевым, которому
принадлежит постановка задачи и общие указания о' путях ее решения, а Рустамовой Л.Р. - реализация поставленной задачи. Из них [8-9] опубликованы в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация объемом 115 страниц состоит из введения, двух глав, состоящих из 6 параграфов и списка литературы, содержащего 81 наименования.
