Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Локальные краевые задачи для уравнений параболо – гиперболического типа второго порядка 20
1.1. Аналог задачи Трикоми 20
1.2. Краевая задача для уравнения с разрывными коэффициентами 28
1.3. Краевая задача в характеристическом многоугольнике 46
1.4. Первая краевая задача с отходом от характеристик 59
Глава II. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с оператором Геллерстедта 69
2.1. Аналог задачи Трикоми для модельного уравнения 69
2.2. Смешанная задача с производной второго порядка в граничных условиях 79
2.3. Аналог задачи Трикоми для общего уравнения 93
2.4. Нелокальная краевая задача для общего уравнения 98
Глава III. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с оператором Бицадзе-Лыкова 103
3.1. Нелокальная краевая задача для модельного уравнения 103
3.2. Аналог задачи Трикоми 117
3.3. Смешанная задача с производными второго порядка в граничных условиях 128
Заключение 137
Cписок литературы
- Краевая задача в характеристическом многоугольнике
- Первая краевая задача с отходом от характеристик
- Смешанная задача с производной второго порядка в граничных условиях
- Смешанная задача с производными второго порядка в граничных условиях
Краевая задача в характеристическом многоугольнике
Работа выполнена в рамках темы "Нелокальные дифференциальные уравнения смешанного типа и их применение к динамическим системам"от-дела Уравнений смешанного типа НИИ ПМА КБНЦ РАН (№ гос. регистрации 01201361965).
Цель диссертационной работы состоит в исследовании на однозначную разрешимость локальных и нелокальных краевых задач для уравнений па-раболо-гиперболического типа второго и третьего порядков.
Результаты работы получены с использованием следующих методов: метод априорных оценок; принцип экстремума; элементы дробного исчисления; метод функции Грина; метод интегральных уравнений.
Имеющими существенное значение в теории дифференциальных уравнений смешанного типа результатами работы являются:
Теорема существования и единственности решения аналога задачи Три-коми для общего уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка с оператором Геллерстедта в области гиперболичности.
Теоремы единственности решения аналога задачи Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка с разрывными коэффициентами.
Теорема об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка.
Теорема единственности решения краевой задачи для уравнения па-раболо-гиперболического типа второго порядка в характеристическом ше-4 стиугольнике.
Теорема об априорной оценке решения первой краевой задачи для класса уравнений в частных производных смешанного параболо-гипербо-лического типа второго порядка с разрывными коэффициентами.
Теоремы существования и единственности решений локальных и нелокальных краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка, когда относительно коэффициентов гиперболического уравнения выполнены условия Геллерстедта.
Теоремы существования и единственности решения локальных и нелокальных краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором Бицадзе-Лыкова в области гиперболичности.
Полученные в диссертационной работе результаты имеют теоретическую ценность. Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы при математическом моделировании различных процессов тепло и массообмена в капиллярно-пористых средах.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях научно-исследовательского семинара по современному анализу, информатике и физике ФГБНУ ИПМА (руководитель семинара – А.М. Нахушев); на заседаниях семинара по математической физике и вычислительной математике Кабардино-Балкарского государственного университета (руководитель семинара – М.Х. Шхануков–Лафишев); на второй Международной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их прило-жения"(Махачкала, 2005 г.); на Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования"(Владикавказ, 2007 г.); на V, VI, VIII школах молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики"(Нальчик, Эльбрус, Хабез, 2007, 2008, 2010 гг.); на I Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики"(Терскол, 2010 г.); на II Международном Российско–Абхазском симпозиуме "Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики"(Нальчик, 2011 г.); на II Международном Российско–Узбекском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики"(Эльбрус, 2012 г.); на II Международной конференции молодых ученых "Матема тическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики"(Эльбрус-Терскол, 2012 г.); на IV Международ ной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики"(Нальчик – Терскол, 2013 г.). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2] – [22].
Из них работы [8], [9], [10], [12], [14], [18], [22] опубликованы в журналах, включенных в Перечень ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ для опубликования основных научных результатов на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук.
Диссертация состоит из трех глав, объединяющих 11 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 88 наименований и изложена на 151 страницах.
Первая краевая задача с отходом от характеристик
Г іє - это область ограниченная отрезком ДД прямой х = 0, характеристикой ДА , а также характеристикой уравнения (1.3.1), выходящей из точки А (0,уо - є) параллельно ДА , пересекающийся с характеристикой АС\ в точке С\е и отрезком С\С\ характеристики АС\; аналогично, Q:i - это область ограниченная отрезком BBQ прямой х = г , характеристикой В0С2, а также характеристикой уравнения (1.3.1), выходящей из точки В (г, уо - є) параллельно В0С2 , пересекающийся с характеристикой ВС2 в точке С2е и отрезком С2еС2 характеристики ВС2 .
Теорема 1.3.1. Пусть в уравнении (1.3.1) коэффициенты ф), b(z), c(z) таковы, что: 1) в области 2 коэффициент ф) 0; 2) в окрестности отрезка А0В0 (т.е. для у0 - Ц у У0,г] 0) коэффициент ф) 0 . Тогда если относительно компонент a(z), /ф), 7(2) оператора їй выполнено одно из условий Сі, = 1;9, то решение рассматриваемой задачи 1.3.1 будет единственным в требуемом классе.
Действительно, пусть относительно компонент ф), ф), 7(2) оператора їй выполнено условие С\. Тогда из (1.3.10) имеем, что uj1 = 0; и j2 = 0 . В этом случае с учетом условий (1.3.2) в областях г и :і приходим к однородной первой задаче Дарбу, для гиперболического уравнения (1.3.1), решение которой будет единственным, поскольку относительно коэффициентов ф), ф), ф) выполнено условие А.М. Нахушева [48], [49]:
А в области 2 с учетом условий (1.3.2), приходим к первой краевой задаче для уравнения параболического типа. Первая краевая задача для уравнения (1.3.1) в области 2 имеет только тривиальное решение, поскольку относительно коэффициентов ф) и ф) выполнены условия 1) и 2) теоремы 1.3.1 [80, с. 350].
Если относительно компонент a(z) , j3(z), (z) выполнено условие С2, то из (1.3.10) заключаем, что u.h = иВ0с2 = 0. С учетом условий (1.3.2) в области г приходим к первой задаче Дарбу: в области г найти решение и = u(z) уравнения (1.3.1), удовлетворяющее краевым условиям и \ACl = и \АА0 = 0 . Решение первой задачи Дарбу будет единственным, поскольку относительно коэффициентов a(z), (3(z), 7(2) выполнено условие А.М. Нахушева [48], [49]. А в области 3 однородная задача Гурса для гиперболического уравнения (1.3.1) имеет лишь тривиальное решение u(z) = 0. С учетом непрерывности функции u(z) в замкнутой области , в области 2 , как и в предыдущем случае, приходим к первой краевой задаче для параболического уравнения (1.3.1), которая имеет только тривиальное решение u(z) = 0 в 2 , поскольку относительно коэффициентов b(z) и с (z) выполнены условия Трикоми.
Аналогично доказываются и остальные случаи.
Например, если относительно a(z), j3 (z), 7(2) выполнено последнее условие Сд, то из (1.3.10) имеем, что UX\AA0 = их\ВВ0 = 0. Значит, в областях \ и 3 рассматриваем однородные вторые задачи Дарбу для гиперболического уравнения (1.3.1), которые имеют лишь тривиальные решения в силу условий А.М. Нахушева, а в области 2 однородная вторая краевая задача для параболического уравнения (1.3.1) имеет только решение вида и (z) = 0, поскольку по условию теоремы 1.3.1 коэффициенты Ь (z) и ф) этого уравнения обладают свойствами, обеспечивающими данное равенство [80, с. 350].
Теорема 1.3.2. Пусть коэффициенты уравнения (1.3.1) таковы, что существует хотя бы один вектор (a(z),(3(z),rj(z)), компоненты которой удовлетворяют условию A и условиям: an(z) 0 , an(z)a22(z) a\2(z) \Jz Є . Тогда для решения и = u(z) задачи 1.3.1 имеет место энергетическое неравенство HZ)II M/(Z)0, (1.3.11) где M - положительная постоянная, не зависящая ни от переменных (х,у) ни от искомой функции u(z).
Доказательство теоремы 1.3.2 проводится по схеме доказательства теоремы 1.2.4. Из оценки (1.3.11) вытекает единственность регулярного решения задачи (1.3.1) - (1.3.2) и существование слабого решения сопряженной (по Лагранжу) задачи для любой правой части f(z) Є W\ (Q) в соответствующих функциональных пространствах.
Первая краевая задача с отходом от характеристик
На евклидовой плоскости независимых переменных х и у рассмотрим линейное уравнение в частных производных смешанного типа второго порядка Lu = иуу - k{z)uxx + a(z)ux + b(z)uy + c(z)u = f(z), (1.4.1) гдеО ВД; a{z), b{z), c{z), f{z) -заданные функции точки z = (ж,у). В этом параграфе уравнение (1.4.1) рассматривается в случае, когда k(z) = Н(-у), а коэффициенты a(z) и ф) могут иметь разрывы первого рода на прямой у = 0 .
Уравнение (1.4.1) рассматривается в конечной односвязной области П евклидовой плоскости точек z = (ж, у), ограниченной отрезками АА0 , ВВ0 прямых х = 0 , х = г и некоторой монотонно убывающей кусочно — гладкой кривой у = ip (х) с концами в точках А0 = (0,у0) , В0 = (г,у0), лежащей в верхней полуплоскости у 0 , а при у 0 область Q ограни
Смешанная задача с производной второго порядка в граничных условиях
В силу свойств функции 3(ж,) ядро L 0(2f+1)G(s, ) уравнения (2.3.9) есть непрерывная на промежутках 0 t,t 1 функция, имеющая слабую особенность в точке ( = (,ав силу свойств заданных функций, правая часть уравнения (2.3.9) есть функция из класса L2 [0,1] . Поэтому уравнение (2.3.9) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода, однозначная разрешимость которого следует из единственности решения задачи. Решая уравнение (2.3.9) находим функцию v (). Тогда функцию т(0 можно найти из функциональных соотношений (2.3.6) или (2.3.7). После того как функции т () и v () найдены в области П1 приходим к задаче (2.3.3) и и{х,0) = т (х) для уравнения (2.3.1), решение которой выписывается по формуле (2.1.23). В области П2 решение задачи Дарбу для уравнения Геллерстедта выписывается по формуле (1.1.15) с помощью функции Грина - Адамара.
Нелокальная краевая задача для общего уравнения
Рассмотрим уравнение (2.3.1) в той же области П, в котором оно рассматривалось в предыдущем параграфе. В области Q для уравнения (2.3.1) изучается следующая нелокальная задача. Задача 2.4.1. Найти регулярное в области П решение и = и(х,у) уравнения (2.3.1), непрерывное в Сі и удовлетворяющее нелокальному условию: и условию (2.3.3) на характеристике АС, где ір{ (у) ,г = 1,3 - заданные непрерывные на [0,/г] функции, а ф(х) заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция, причем щ (0) = ф (0).
Единственность решения задачи 2.4.1 при условии, что выполнены условия Агмона-Ниренберга-Проттера и 2а0(х}0) а (ж,0), Ух Є АВ следует из принципа экстремума для вырождающихся гиперболических уравнений [81] и из единственности решения нелокальной задачи с условиями (2.4.1) и и(х,0)=т(х) [40].
Перейдем к доказательству существования решения задачи 2.4.1.
Пусть и = и (z) - регулярное решение уравнения (2.3.1) из класса С (П) П С1 (П) . Переходя в уравнении (2.3.1) к пределу при приходим к соотношению вида (2.3.4) с краевыми условиями
Исключая из соотношений (2.4.3) и (2.3.7) искомую функцию т () , относительно z/ () после аналогичных преобразований приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода со слабой особенностью вида (2.3.9), которая, в силу единственности решения задачи 2.3.1 будет однозначно и безусловно разрешимо. Тогда функцию г () можно найти из соответствующих фундаментальных соотношений (2.4.3) или (2.3.9). После того как функции г () и v () найдены в области Пг приходим к задаче (2.3.3) и и (ж, 0) = т(х) для уравнения (2.3.1), исследованной в работе [40]. А в области 2 , также как и в предыдущей задаче, решение задачи Дарбу для уравнения Геллерстедта выписывается по формуле (1.1.15) с помощью функции Грина - Адамара.
Линия у = 0 является линией вырождения типа и порядка уравнения (3.1.1). Уравнение (3.1.1) в данном параграфе рассматривается в конечной односвязной области П , ограниченной при у 0 отрезками АА0 , А0В0 , B0B прямых х = 0, у = h, х = г, соответственно, и двумя характеристиками о1 = АС : у2 = 2х и а2 = С В : у2 = 2 (г - х) уравнения (3.1.1) при у 0, выходящими из точек А (0, 0) и В (г, 0), соответственно и пересекающимися в точке С (г/2, -ф) (Рис. 5).
Далее найдем фундаментальное соотношение между т(х) и v{x), принесенное из области 0,2 на линию у = 0. Для этого, следуя результатам работ [30, с. 47], [31, с. 267], [52, с. 235], [54, с. 96], найдем решение задачи Коши (3.1.6) для уравнения (3.1.2).
В характеристических координатах = х+ у2 , г] = х—\у2 уравнение (3.1.2) переходит в уравнение Эйлера - Дарбу - Пуассона Свойства (3.1.11) коэффициента а уравнения (3.1.2) означают, что выполнены условия теоремы 5.3.4 из [52, с. 219]. Тогда, используя функцию Римана (3.1.12), и, указанную выше теорему 5.3.4, решение задачи Коши (3.1.6) для уравнения (3.1.2) будет выписываться в явном виде по следующей формуле [31, с. 268]: о а из свойства положительности оператора дробного дифференцирования заключаем, что равенство (3.1.20) может иметь место в том и только в том случае, когда т(ж) = 0. Тогда из соотношений (3.1.7) и (3.1.18) следует, что и v{x) = 0. При этом из формулы (3.1.13) вытекает, что и(х,у) = 0 в области 1]2.Ав области Пг решение уравнения (3.1.3), удовлетворяющее однородным условиям (3.1.4) и условию и(х,0) = 0 не может отличаться от тривиального [40]. То есть решение задачи 3.1.1 для уравнения (3.1.1) единственно в рассматриваемой области П .
Перейдем к доказательству существования решения задачи 3.1.1. Исключая из фундаментальных соотношений (3.1.7) и (3.1.18) искомую функцию и(х), относительно т(х) приходим к следующей нелокальной краевой задаче для обыкновенного интегро - дифференциального уравнения третьего порядка
Смешанная задача с производными второго порядка в граничных условиях
В диссертации посвященной исследованию локальных и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного параболо – гиперболического типа второго и третьего порядков получены следующие основные результаты.
Для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка Доказаны теоремы существования и единственности аналога задачи Трикоми для общего уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка с оператором Геллерстедта в области гиперболичности.
Доказана основная лемма 1.2.1 к аналогу задачи Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка. Получен новый подход к доказательству единственности решения задачи 1.2.1 выражаемые в виде теорем 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3.
Доказана теорема 1.2.4 об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка.
Доказана основная лемма 1.3.1 краевой задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка в характеристическом шестиугольнике. Доказана теорема единственности решения задачи 1.3.1.
Доказана теорема 1.4.1 об априорной оценке первой краевой задачи для класса уравнений в частных производных смешанного параболо-гиперболического типа.
Для уравнений параболо-гиперболического третьего порядка: Доказаны существование и единственность решения аналога задачи Трикоми и нелокальной краевой задачи для уравнений параболо-гипер-болического типа третьего порядка с оператором Геллерстедта в области гиперболичности.
Доказаны теоремы существования и единственности решения локальной и нелокальной краевых задач, а также краевой задачи с параметрами в граничных условиях для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором Бицадзе - Лыкова в области гиперболичности.
Автор выражает глубокую благодарность академику АМАН, доктору физико-математических наук, профессору, Адаму Маремовичу Наху-шеву за внимание и поддержку при подготовке научных работ.
Абдиназаров С. Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками// Дифференц. уравнения. 1981. Т.17, №1. С. 3–12.
Балкизов Ж.А. Одна краевая задача для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками// Вестник КБГУ. Серия математические науки. Выпуск 4. 2004. С. 34–39.
Балкизов Ж.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Трикоми в гиперболической части// Материалы второй Международной научной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения". Махачкала. 2005. С. 70–73.
Балкизов Ж.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками// Труды 3-й Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Часть 3. Самара: СамГТУ, 2006. С. 57–62.
Балкизов Ж.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором колебания струны в гиперболической части// Труды 2-го Международного форума 7-й Международной конференции молодых ученых и студентов) "Актуальные проблемы современной науки". Естественные науки. Часть 1-3: Математика. Математическое моделирование. Механика. Самара: Издательство СамГТУ. 2006. С. 24–27.
Балкизов Ж.А. Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Трикоми в гиперболической части// Материалы Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования". Владикавказ. 2007. С. 100 – 105.
Балкизов Ж.А. Локальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором колебания струны в гиперболической части// Материалы V школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус. 2007. С. 19–23.
Балкизов Ж.А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Трикоми в гиперболической части// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико–математические науки. 2008. №2(19). С. 2–9.
Балкизов Ж.А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором колебания струны в гиперболической части// Известия КБНЦ РАН. 2008. №4(24). С. 65–73.
Балкизов Ж.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Геллерстедта в гиперболической части// Известия КБНЦ РАН. 2011. №5(49). С. 7–14.
