Локальные и нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядков Лайпанова Аида Манафовна

Краевая задача для нагруженного гиперболо-параболического уравнения второго порядка с сингулярным коэффициентом

Рассмотрим уравнение в конечной односвязной области Q евклидовой плоскости точек (х ,у ), ограниченной отрезками ЛА0, ВВ0 и А0В0, соответственно, прямых х = 0, х =1 и y = h при _у 0, и действительными характеристиками АС : х- — (-у)2 =0, ВС ; х +-(-у)2 =1 уравнения (1.2.1) при у 0, а 0. Части области Q, для которых у 0 и у 0, обозначим через Q, и Q2. Предполагается, что х}, j =\,т- фиксированные точки из единичного интервала 0 х 1. Для определенности будем считать, что 0 Xj ... хт 1. Задача 1.2. Найти функциюи(х,у), обладающую следующими свойствами: 1) и(х,у) є C(Q) о С1 ((Q \ AS) и АА0 и BBQ) п С2 (Q, и Q2); 2) «(л;, ) - регулярное решение уравнения (1.2.1) в Q, uQ2; і) на линии у = 0 вырождения типа уравнения (1.2.1), выполняется условие (1.2.4) (1.2.5) где (plt(p7)i// -заданные функции, причем ak + J3k Ф 0, k = 1,2. Рассмотрим аналог задачи Коши: найти решение и(х,у) уравнения (1.2.1) приу 0 из класса C(Q2) п С2 (Q2), удовлетворяющее условиям где т(х) и v(x)- заданные функции, причем т(х) непрерывна вместе со своими производными до второго порядка, У(Х)- до первого порядка. Решение задачи (1,2,1), (1.2,6) имеет вид [28] где Ґо\ краевому условию После несложных преобразований, из (1.2.10) окончательно получим функциональное соотношение между т(х) и v(x), принесенное из гиперболической части Q2 на линию у=0 в виде Легко заметить, что Р(х)єС[о,і]пС2(од). Переходя к пределу в уравнении (1.2.1) при у —»0+, получаем функциональное соотношение между т(х) и v(x), принесенное из параболической части Q, на линию у=0, в виде ./=1 Исключая v( ) из (1.2.12) и (1.2.13), с учетом граничных условий (1.2.3) и (1.2.4), получим двухточечную краевую задачу для обыкновенного нагруженного интегро-дифференциального уравнения Теорема 1.2.1. Задача (1.2.14) - (1.2.16) имеет единственное регулярное решение тогда и только тогда, когда Действительно, задача (і .2.14) - (1.2.16) заменой приводится к виду Известно, что функция Грина для задачи (1.2.19)-(1,2,21) имеет вид [18] («[AOCOSAQ - /?, sin Л (/)( 2 000 _;c) o + A s n0 _JC) o) G(x,t,AQ) = Считая, пока правую часть (1.2.19) известной, решение задачи (1.2.19) — (1.2.21) можем записать в виде Считая снова правую часть равенства (1.2.23) известной, обращая его как интегральное уравнение Фредгольма второго рода, после несложных преобразований находим резольвента ядра Цх, %). Если ввести обозначения то равенство (1.2,24) можно записать в виде Из (1.2.25) при л- Xj, j =\,т , имеем систему алгебраических уравнений ОТНОСИТеЛЬНО z\Xj\j=\,m\ m Таким образом, разрешимость задачи (1.2.19)-(1.2.21) эквивалентно редуцирована к разрешимости системы уравнений (1.2.26). Однозначная разрешимость системы уравнений (1.2.26), при выполнении условия (1.2.17), доказывается аналогично как в работе [18]. Подставляя в (1.2.18) и (1.2.22) значения z(x) и z(xj), находим решение т(х) задачи (1.2.14)-(1.2.16).

После определения функции т(х), получаем вспомогательную задачу: найти регулярное в области Q, решение и(х,у) уравнения (1.2.1) при у 0 из класса с(о), удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям (1.2.3), (1.2.4). Используя свойства функции Грина G(x,t,A0) для обыкновенного диффер2.10) окончательно получим функциональное соотношение между т(х) и v(x), принесенное из гиперболической части Q2 на линию у=0 в виде Легко заметить, что Р(х)єС[о,і]пС2(од). Переходя к пределу в уравнении (1.2.1) при у —»0+, получаем функциональное соотношение между т(х) и v(x), принесенное из параболической части Q, на линию у=0, в виде ./=1 Исключая v( ) из (1.2.12) и (1.2.13), с учетом граничных условий (1.2.3) и (1.2.4), получим двухточечную краевую задачу для обыкновенного нагруженного интегро-дифференциального уравнения Теорема 1.2.1. Задача (1.2.14) - (1.2.16) имеет единственное регулярное решение тогда и только тогда, когда Действительно, задача (і .2.14) - (1.2.16) заменой приводится к виду Известно, что функция Грина для задачи (1.2.19)-(1,2,21) имеет вид [18] («[AOCOSAQ - /?, sin Л (/)( 2 000 _;c) o + A s n0 _JC) o) G(x,t,AQ) = Считая, пока правую часть (1.2.19) известной, решение задачи (1.2.19) — (1.2.21) можем записать в виде Считая снова правую часть равенства (1.2.23) известной, обращая его как интегральное уравнение Фредгольма второго рода, после несложных преобразований находим резольвента ядра Цх, %). Если ввести обозначения то равенство (1.2,24) можно записать в виде Из (1.2.25) при л- Xj, j =\,т , имеем систему алгебраических уравнений ОТНОСИТеЛЬНО z\Xj\j=\,m\ m Таким образом, разрешимость задачи (1.2.19)-(1.2.21) эквивалентно редуцирована к разрешимости системы уравнений (1.2.26). Однозначная разрешимость системы уравнений (1.2.26), при выполнении условия енциального уравнения (1.2.19) и уравнения теплопроводности, задача 1.2 эквивалентно редуцируется к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая однозначно разрешима. В области Q2 решение задачи 1.2 можно найти как решение задачи Коши-Гурса (1.2.27), (1.2.5).

Краевая задача для смешанного нагруженного уравнения гиперболо параболического типа второго порядка

Рассмотрим уравнение в области Q евклидовой плоскости точек (х,у), ограниченной отрезками АА0, ВВ0 и А0В0 прямых х = 0, х = 1, у = h соответственно и характеристиками 2-т 2-т выходящимм из точек A = (0,0), 5 = (1,0) и пересекающимися в точке С = (1/2, ,:), где у,. 0, 0 т 1, 0 л:0 1, Обозначим через Q, Пп{р0}, Q2 = Q п {у 0} параболическую и гиперболическую части области Q соответственно, а через /)0;с -оператор дробного интегро-дифференцирования. Задача 1.3. Найти функцию и(х,у), обладающую следующими свойствами: 1) u(x,y)eC(Q)nC](Q.)nlC2(Ql uQ2); и(х,0) представима в виде и(х,0) = D02f xT(t), где функция T(t) непрерывна и интегрируема в интервале 0 х 1 ; 2) и(х,у) -регулярное в области Q, и обобщенное класса R в области Q2 решение уравнения (1.3.1); 3) существует непрерывный и интегрируемый на ]0,l[ предел lim их (х, у), 0 у h, 0 х 1 ; Определение обобщенного решения юіасса R содержится в [25]. Пусть существует Функциональное соотношение между т(х) и v(x), принесенное из гиперболической части Q2 на линию у-0, имеет вид (см. [36]) г(х) = Я,Г(1 - 2p)DlPK-\{x) + F(x), (1.3.4) где Я, = 2л \2-rn) 5"3Г„1_Гг»(Л/д2/!), Пх)Л—,И7p-U-O-Voa. / (2/?) л- /х J Переходя в уравнении (1,3,1) к пределу при у- +0, можно получить функциональное соотношение между т(х) и v(x), принесенное на линию у=0 из параболической части Q, г"(х)-у(х)-Я(0)г(х0) = 0. (1.3.5) Исключая из (1.3.4) и (1.3.5) функцию v(x), после несложных преобразований получим r -yD T = ед + Л(0)г(х0), (1.3.6) где F,(x) = П) х ПїМх), У = Учитывая, что г(0) = 0, общее решение уравнения (1.3.6) имеет вид [45. С. 107, 141]: х т(х) = С.хЕ О 1"2 ;2) + J , (t)(x - t)E _ _ ((х -1)1 ф + Щ)т{х0)х2Е_ _ О "2 ;3), 1-20 0 1-2/9 1-2/3 где зо z Е (z\n) = У функция типа Миттаг-Леффлера [45. С. 108]. Р ы0Г(/л + к/р) Так как г(1) = р2 (0), то для определения константы С, и значения т(х0) получаем систему і СЕ_ (у;2) + Л(0)т(х0 )Е_ (у;3) = р2 (0) - JF, (/)(1 - t)E _ {у(I - О "2" -2)dt, 1-2/? 1-2/3 0 1-2/? С,х0_ (ух ;2) + [А(0)х02 _ ( ;3) - 1]г(х0 ) = 1-2/? 1-2/? = - JF, (0( 0 - 0 _j_ (r( o - 0 2/ї ;2)Л. 0 1—2/9 Очевидно, эта система разрешима, если ее определитель отличен от нуля. Так как у 0и Ep{z\/A) Q при p,ju 0 и положительных значениях аргумента г, то, в частности, при Я(0) 0 определитель системы строго меньше нуля.

После определения т(х) в области Q, приходим к смешанной задаче (1.3.2) и м(х,0) = г(х) для уравнения w„ -uv -Л(у)и(х0,у) = 0 . Решение этой задачи дается формулой [44. С. 272] У I и(х,у)= Z(7])G(x,y; ,r/)u(x0,r])d dTj + uQ(x,y), (1.3.7) о о где у і u0{x,y)= G{x,yfi,-n)(px{r])dT]+ j G(x,j/;,0)r( /- $G4(x,y,l,rj)(p2(rj)dTi о о о a G(x,_y;,77) - функция Грина указанной выше задачи для уравнения теплопроводности. Щ, Переходя к пределу при х- х0 в равенстве (1.3.7), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно функции и(х0,у) Фо У)+[-—Щр»(х0,г/)(іті = и0(х0,у), (1.3.8) о (У - V) где ! H(y,77) = Я(7) yy-rjG(x0,у;,r/)d% . о Из единственности решения смешанной задачи следует, что интегральное уравнение (1.3.8) однозначно разрешимо. Решение исходной задачи в гиперболическую часть Q2 смешанной области Q продолжается как решение второй задачи Дарбу [36]. Глава II. Краевые задачи для смешанных уравнений третьего порядка 2.1. Задача Трикоми для смешанного уравнения третьего порядка со спектральным параметром Рассмотрим уравнение { wrrr —и„ -Я.и, у О, 7 (2.1.1) Uxx-Uxy+ 2U У 0 где Я,, - числовые параметры, в области Q, ограниченной при у О отрезками АА0, АоВо и BQB прямых х -0, у =h и х =1, соответственно, и характеристиками АС: х + у = О, ВС: х - у = 7 уравнения (2.1.1) при у 0. Задача 2.1. Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям\: І)и&}у)С(й)г С1(ПиАА0)пС )(Пі)пСг(П2); 2) и(х,у) -регулярное решение уравнения (2.1.1) в области Q.,y 0; 3) и(х, у) удовлетворяет краевым условиям и(0 У) = Ф\(у) Uy) = (p2(y), ux{Q,y) = р3{у), 0 y h, (2.1.2) и(х,-х) = у/(х), 0 х 1/2, (2.1.3) где (рх{у),(р2{у) (Ръ{у) - заданные непрерывные, у/(х)- непрерывная вместе со второй производной функции, Q, =Qn{j/ 0),Q2 = Qn(y 0), причём у/(0) = р,(0).

Определение. Под регулярным решением задачи 2.1 для уравнения (2.1.1) в области Q будем понимать любую функцию и(х,у)є C(Q)nС1 (Пи АА ГЛС(П,)пС2(Q2),удовлетворяющую краевым условиям (2.1.2),(2.1.3): з 1. Пусть Я,и Я2 таковы, что: /Ц 0, / (-/Ц)2; Яз 1, Я, -Я ч-ЗЯ я"2, Я, 0 Введем новую неизвестную функцию и(х,у) = ехр(-рх)и(х,у), (2.1.4) зз где р = const 0. В результате уравнение (2.1.1) примет вид (2.1.5) п , , Л \,, - », + 3Р « + 3РЧ + (Р3 - я. )и У 0 [ и„ - о)у + 2pvx +(р- +Я2)и, у 0. Имеет место Теорема 2.1.1. Пусть и{х,у)- регулярное решение однородной задачи 2.1. Тогда решение и{х,у) в области Q тождественно равно нулю, если выполняются условия 1) или 2). Доказательство. На концах х=0 и х=1 интервала [0,1] будем дополнительно требовать выполнения условия (2.1.6) lim и(х,0)[и „ (.,0) + ри t (xfl)] = lim и(х,(У)[и „ (л%0) + ри. (хД)] = 0. .»-»0+ Jf-M-0 В области Q2 перейдем к характеристическим координатам % = х + у, г]-х-у. При этом уравнение (2.1.5) при у 0 примет вид [48] (2.1.7) р2 +Я2 у =-0, L0(o) = u4n +-{v4+up) + - 4 а область Q2 отобразится в область Д = {(, щО Е, г\ 1}. Рассмотрим тождество 0 = 4oL0(v) = (2vol} +ро2)4 +(2ои? +ро2)п + (р2 + Л2)о2 - 4 и,;. (2.1.8) Из уравнения (2.1.7) выразим и4 и преобразуем последнее слагаемое в правой части (2.1.8): У (Р2+Л2)2 о2 Р + Я2 + -4и4ип = Ар2 2ип + - 2-и ур ) V J 2р С учетом последнего равенства тождество (2.1.8) перепишем в виде = 4uL0(u) = ( 4 "і 2vv +pv2+ — и2 + (2uo( + ри2) + P J

Краевые задачи для смешанных нагруженных уравнений третьего порядка

Рассмотрим уравнение дх = ит-иу -А,и(дс,0), у 0, дк -(".« - иуу )+ Л2и(х,0), у 0, (2.2.1) в области U, определённой в предыдущем параграфе; к = 0, 1, X/ и Х2 -действительные постоянные; Q, =Q.r\(y 0),Q, = Qn(y 0); J=(0,1), Jj = ( . Пусть к = 0. Задача 2.2.0. Найми функцию и(х,у) со следующими свойствами: 1) u yJeCityn iQuM nC ia nC2 ); 2) и(х у) - решение уравнения (2,2.1) при у 0; 3) и{х, у) удовлетворяет краевым условиям и(0,у) = р,(у), и(1,у) = р3(у), и/0,у) = р3(у), уєі,, (2.2.2) и(х-х) = у/(х), 0 х /2, (2.2.3) где (pt (у) є C(J\), і = 1,3 , у/(х) є С1 0, пС Положим теперь, что к=1. Задача 2.2.1. Найти функцию и(х, у) со следующими свойствами: 1) u(x,y)eC(Q) C\nKjAA0uAC)nCi )(Q])nC3(Q2); 2) и(х,у) - решение уравнения (2.2.1) при у т О; 3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям Ф,У) = Рі(у), и(\,у) = р2(у), их(0,у) = р3{у), y Jx, и АС=у/х(х\ —\Ас= 2(х), 0 х /2, on (2.2.2 ) (2.2.3 ) где п- внутренняя нормаль; РІІУ) є С1 (Ji), i = tf, V,(x) є С3[О,XI 2(х) є С1 [О,К]-Рассмотрим случай к=0. Переходя к пределу в уравнении (2.2.1) при у - +0, получим T" (X)-V(X)-1,T(X) = 0. (2.2.4) Решение задачи 2.2.0. в области fi2 ищется в виде [14] u(x,y) = F(x + y) + 0(x-y)- X]dfjr yr1, (2.2.5) где F(z) и Ф( - дважды непрерывно дифференцируемые функции и подлежат определению. Учитывая условие (2.2.3), из (2.2.5) находим Ф(х) = /( Л) - F(0), 0 х 1, после чего равенство (2.2.5) примет вид и(х,у) = F(x + у) + [ -)- F(0)- jdfj [ у) Из равенства (2.2.6) получаем функциональное соотношение между т(х) и v(x) в виде v(x) - т (х) = - Ш + І v(x) из уравнений (2.2.4), (2.2.7) и учитывая (2.2.6), получим двухточечную смешанную задачу для интегро-дифференциального уравнения с интегральным оператором типа Вольтерра т "(х) - т (х) - 1,т(х) = -у/ (У2) + ф- )т(&ї, (2.2.8) 4 2 т(0) = р,(0), т(1) = р2(0), т (0) = (р3(0). (2.2.9) Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению тт(х)-т (х)-Я]т(х) = 0, (2.2.8 ) имеет вид т3-т-Я,=0. (2.2.10) В зависимости от расположения корней уравнения (2.2.10) найдем решение задачи (2.2.8), (2.2.9). В работе [21] решение задачи (2.2.8), (2.2.9) было найдено для случая, когда все три корня уравнения (2.2.10) вещественны и различны. Пусть корни уравнения (2.2.10) имеют вид т, = ЗХ,, т, -т3 -т = -ЗЛ,/2, причем А, = ехр т(т1 -т +1)- ехр т}Ф0. Решение неоднородного уравнения (2.2.8) будем искать методом вариации постоянных. Записывая общее решение уравнения (2.2.8 ) в виде т(х) - С, exp(mjx) + (C2 + xC3)exp(mx), (2.2.11) для определения функции С ДХиs 1 3 получим следующую систему линейных уравнений С 1(х)ехр(т,х) 4- (С\(х) + хС /х))ехр(тх) 0, т1С ,(х)ехр(т1х) + (тС 2(х) + (1 + тх )С 3( х)) ехр( тх ) = 0, т]С 1(х)ехр(т1х) + (т2С\(х) + (2т + т2 х )С 3( х )) ехр( тх ) = (2.2.12) 4 к с определителем Вронского W,=(m — mj )2 exp[(2m + ml )Х]Ф0.

Решая систему (2.2.12) относительно С.(x),j = l,3, затем, интегрируя полученные равенства, получим C,(x)=\W? -г (/2) + -)т(4№ А 4 і ехр( 2mt )dt Гг. А C,(x)=jw; я, V (t(m-m,)-l)(-W (/2) + -j- \т(1;Щ) 4 А. exp(t(ml +m))dt + Г2, Л, C3(x) = (m-m,)\W; -Y(y2) + -j-\T(t)dt A 4 ,, exp(t(m, + m))dt + Гз где у., j = 1,3— постоянные. Подставляя найденные выражения для С.(х), j - 1,3 в (2.2.11), получим т(х) = у1ехр(т,х) + (у2 + ху3)ехр(тх)+ р(х), (2.2.13) где X р(х) = \ V X (t)(-y/ (/2))[exp(2mt + тхх) + exp(mxt + m(t + xj)((t - x){mx - m) -1)]}л + o + — y$V x (t)[exp(2mt + mxx) + exp(/m, + mt + mx)(((t - x)(mx -rri)-1)] \t( )d ]dt, 4 /2 причем p(0) = //(0) = 0. Считая пока p(x) известной, подставим (2.2.13) в граничные условия (2.2.9). В результате получим систему линейных уравнений относительно у., j - 1,3 Vi+r2=Pi(0). Y\ ехрга, +у2ехрт + уъехрт = ср2(0і) — p(\), (2.2.14) mxyx+my2+y3=(p3(0). Решение системы уравнений (2.2.14) имеет вид yt = Л 1 {ехр т(( рх (0)(1 - т) + ръ (0)) - ( рг (0) - p(l))}, її = Д {(Р2() - Р0)) - ехр w( 3(0) - ія,9 ,(0)) - ехртх(рх(0)}, Гъ = Аї іехР Щ (Pi ()w - Ръ (0)) - ехр т( рх (0)/л, - рз (0)) + К - т)( р2 (0) - р(1))}. (2.2.15) Таким образом, замечаем, что задача (2.2.8), (2.2.9) допускает интегральное представление т(х) = f(x) + )к(х, t)dt JV()d%, (2.2.16) /2 где /( ) = ДГ {[ехр т(р, (0)(1 - тп) + срг (0)) - (р2 (0) - р(1))]} ехр(т, ) + Д 1 {[{ср2 (0) - / (1)) --ехрт(# 3(0) - m, j(0)) - ехрт, ,(0)]}ехр(тх) + х\& \ехртх(фхф)т - (ръ{Щ) X -ехрт( рх(0)тх - р3(0)) + (т1-т)((р2(0)-р(1))]}ыр(тх)+ \{W;x{t){-W\/2))x о х [exp(2mt + тхх) + ехр(/т, + m{t + х)) х ((t - х)(тх -ni)-1)]}dt, K(x,t) = —W 1(t){exp(2mt + m ) + exp(tmt + mt + mx)((t - x)(171, —m)- 1)}. 4 Выполнив перестановку Дирихле порядка интегрирования в равенстве (2.2.16), получим \K(x,t)dt \т(№ = )3(Х,4М№, А (2.2.17) где Ф Щх) = \K(x,t)dt, 0 у2\ \K{x,t)dt,y2 % х Учитывая (2.2.17) в равенстве (2.2.16), приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно г(х), которое в силу свойств функций Щх,4), f(x) допускает единственное решение. После определения т(х) в области Пі приходим к задаче (2.2.1), (2.2.2), и(х,0) = т(х). Решение этой задачи дается формулой [20] У 1 У . 0 о u(x,y) = k,\\G(x,y;%,ri)r(%)d%dri+ \G44(х, у :0, ) ,(Tj)drj (2.2.18) у і і - JG4(x,y;0,i])(ps(7])dT]- \Gu(x,y;l,rj) p2(ri)drj+\G(x,y;%,0)T(%)d%, о о о где G(x,y;,,r\)- функция Грина для задачи (2.2.1), (2.2.2), и(х,0) = т(х), явный вид и основные свойства которой приведены в [13]. Решение задачи 2.2.0. в области П2 определяется как решение задачи Дарбу и(х,0) = т(х), (2.2.3) и имеет вид fY и(х,у)-т(х + у)-у/ Ґх + у + V ZZ1+VVU 4 t J drj 0 , \ 2 , dr\ (2.2.6 ) +

Краевая задача со смещением для нагруженного уравнения смешанного типа третьего порядка с разрывными условиями сопряжения

Рассмотрим уравнение и-иу-л(у)иіхо у) 0 х0 1, у 0, ( ) п (2"ЗЛ) Vtx-Uyyh У 0, . 0 = ,дх в конечной односвязной области Q, описанной в 2.1 этой главы. Пусть в0{х) = — -і—.. 6,{х)=" - + г аффиксы точек, пересечения характеристик уравнения (2.3.1), выходящих из произвольной точки xeJ = АВ, с характеристиками АС и ВС соответственно. Задача 2.3. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами: 1) и(х,у) є C(Qi) П С(0.г); существуют пределы \\vaux, lim и , lim и , lim —/ .t-»0 y-»0+ y-»0- jc-»-y QJJ 2) u{x,y) является регулярным решением уравнения (2.3.1) в О., у 0; 3) и(х,у) удовлетворяет условиям и{0,у) = (рх{у), и(\,у) = (р2(у), их(0,у) = (ръ{у), 0 y h (2.3.2) а(х)—и[в0 (х)] + b{x)—и[в} (х)] - с(х)и(х,-6) - d(x)u (х,-6) = е(х), Ух е J, (2.3.3) dx dx „ ди AC = Vi ) 0 х 1; (2.3.4) 4) на линии изменения типа уравнения выполняются условия сопряжения и(х-6) = а(х)и(х,+0) + у(х\и (х,-0)= /3(x)uv(x,+0)+ д(х)и(х,+0) + р(х), (2.3.5) где п- внутренняя нормаль, (рх,(рг,(р ,\{/,a,b,c,d,e,ct,P,y,5,p -заданные функции; в0(х)= — і—, 0,(х) = + і аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (2.3.1), выходящих из точки xsJ, с характеристиками АС и ВС соответственно. Относительно заданных функций здесь и в дальнейшем предполагается, что Р1(у\ РгЬ 1 Рз(у)еС[0,к], а{х),/3(х\у{х)еСъ{7), ifs(x),a(x),b(x),c(x)s d(x\e(x),S(x),p(x)e Cl(j), причем a(x)j3(x) 0t а2(х)+Ъ2(х)+с2(х)+а2(х)ф{), \/xe(J), a(x)-b(x)+2d(x) Q. Под регулярным будет пониматься решение и{х,у) уравнения (2.3.1), производные которой до порядка, входящего в уравнение, существуют и непрерывны в рассматриваемой области Q при у Ф 0. В дальнейшем искомую функцию и(х,у) представим в виде и{х,у) = Пусть и {х,у\ (x,y)sQl, и2(х,у), (х,у)еП2 ul(x,0)=r (x), uly(x,6)=vl(x), (2.3.6) и2{х,0)=т2{х), u2y{x,6) = v2{x), (2.3.7) Воспользуемся тем, что любое регулярное решение уравнения (2.3.1) при у 0 представимо в виде [13]: u(x,y)=u(x,y)+w(y), где и(х,у)-регулярное решение уравнения Lv = oxx -иуу =0, a w{y) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, которую можно подчинить условию w(0)=w (0) = 0. Решение уравнения (2.3.1) в Q2 с помощью формулы Даламбера представимо в виде: ил ,у)=тЛх+у):ф-у) Ъ№+(у), х-у (2.3.8) где -у м (у) = -уІ2ч/(6)у+ \y/(f)dt, -1/2 у 0. 0 Подставив (2.3.8) в краевые условия (2.3.3), получим функциональное соотношение между т2{х) и v2(x), принесенное из гиперболической части Q2 на линию у=0 в виде Яо(хУ2 ) + д]{х}гг(х) = сі2(хУ2(х) + ді(х) (2.3.9) где д0 (х) = а(х) + Ь(х), qA {%) = -2с(х), q2 (х) = а{х) - Ь(х) 2d(x) 0, ( х\ ., ч /JC-Ґ б(х)м/ I 2, q3 (х) = 2е(х) + a(x)W V 2 Далее, переходя к пределу в уравнении (2.3.1) при у— +0, получим соотношение между т,{х) и v,(x): (2.3.10) (2.3.11) (2.3.12) (2.3.13) т[" (x)-Vl(x)-X(0)ux(x0) = 0. Условия склеивания (2.3.5) на основании (2.3.6), (2.3.7) примут вид т2 (х) = а&У, (х) + у(х), v2 (х) = /?(x)v, {х) + S(x)r] (х) + р(х). В силу того, что q2 0, из (2.3.9) находим v2 М = о ( M W + 1 ( k ( ) + & (х) где 7о М = Ч0 ( У 02 М Яі М = Чх (х)/ Чг (4 Чг М = Чг ( У Чг М Из соотношений (2.3.11), (2.3.12) и (2.3.13) имеем v, (х) = а0 (х)г, (х) + а, (д:)г, (х) + а2 (х), (2.3.14) где Исключая из уравнений (2.3.12) и (2.3.13) функцию v,(x), определим v;(x) по формуле v,( )=&( ; (х)+Д(х)г,М+Д ( ), (2.3.15) где 0о(х) = ао(х)//3(х\ Щх) = [зХ, (рх,(рг,(р ,\{/,a,b,c,d,e,ct,P,y,5,p -заданные функции; в0(х)= — і—, 0,(х) = + і аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (2.3.1), выходящих из точки xsJ, с характеристиками АС и ВС соответственно. Относительно заданных функций здесь и в дальнейшем предполагается, что Р1(у\ РгЬ 1 Рз(у)еС[0,к], а{х),/3(х\у{х)еСъ{7), ifs(x),a(x),b(x),c(x)s d(x\e(x),S(x),p(x)e Cl(j), причем a(x)j3(x) 0t а2(х)+Ъ2(х)+с2(х)+а2(х)ф{), \/xe(J), a(x)-b(x)+2d(x) Q.

Под регулярным будет пониматься решение и{х,у) уравнения (2.3.1), производные которой до порядка, входящего в уравнение, существуют и непрерывны в рассматриваемой области Q при у Ф 0. В дальнейшем искомую функцию и(х,у) представим в виде и{х,у) = Пусть и {х,у\ (x,y)sQl, и2(х,у), (х,у)еП2 ul(x,0)=r (x), uly(x,6)=vl(x), (2.3.6) и2{х,0)=т2{х), u2y{x,6) = v2{x), (2.3.7) Воспользуемся тем, что любое регулярное решение уравнения (2.3.1) при у 0 представимо в виде [13]: u(x,y)=u(x,y)+w(y), где и(х,у)-регулярное решение уравнения Lv = oxx -иуу =0, a w{y) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, которую можно подчинить условию w(0)=w (0) = 0. Решение уравнения (2.3.1) в Q2 с помощью формулы Даламбера представимо в виде: ил ,у)=тЛх+у):ф-у) Ъ№+(у), х-у (2.3.8) где -у м (у) = -уІ2ч/(6)у+ \y/(f)dt, -1/2 у 0. 0 Подставив (2.3.8) в краевые условия (2.3.3), получим функциональное соотношение между т2{х) и v2(x), принесенное из гиперболической части Q2 на линию у=0 в виде Яо(хУ2 ) + д]{х}гг(х) = сі2(хУ2(х) + ді(х) (2.3.9) где д0 (х) = а(х) + Ь(х), qA {%) = -2с(х), q2 (х) = а{х) - Ь(х) 2d(x) 0, ( х\ ., ч /JC-Ґ б(х)м/ I 2, q3 (х) = 2е(х) + a(x)W V 2 Далее, переходя к пределу в уравнении (2.3.1) при у— +0, получим соотношение между т,{х) и v,(x): (2.3.10) (2.3.11) (2.3.12) (2.3.13) т[" (x)-Vl(x)-X(0)ux(x0) = 0. Условия склеивания (2.3.5) на основании (2.3.6), (2.3.7) примут вид т2 (х) = а&У, (х) + у(х), v2 (х) = /?(x)v, {х) + S(x)r] (х) + р(х). В силу того, что q2 0, из (2.3.9) находим v2 М = о ( M W + 1 ( k ( ) + & (х) где 7о М = Ч0 ( У 02 М Яі М = Чх (х)/ Чг (4 Чг М = Чг ( У Чг М Из соотношений (2.3.11), (2.3.12) и (2.3.13) имеем v, (х) = а0 (х)г, (х)-б(х)]}0(х\ Д2( ) = [а2{х)- p{x)]l/3{х). Подставляя v;(x) из (2.3.15) в (2,3.10) и учитывая граничные условия (2,3,2), приходим к задаче для определения т, (х) \ Из (2.3.16) после трехкратного интегрирования от 0 до х, с учетом граничных условий (2.3.17), получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода: где Обращая интегральное уравнение (2.3.18), находим

Похожие диссертации на Локальные и нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядков

Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа третьего и четвертого порядковРустамова Людмила Рустамовна

Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа третьего порядкаЗарубин Евгений Александрович

Краевые задачи для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядкаЯковлева, Юлия Олеговна

Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа второго и третьего порядковБалкизов Жираслан Анатольевич

Краевые задачи для уравнения третьего порядка, содержащего параболо-гиперболический операторТалипов, Атамет

Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областяхХашимов, Абдукомил Рисбекович

Краевые задачи для некоторых гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерном евклидовом пространствеДорофеев, Андрей Викторович

Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях Энбом Екатерина Александровна

Интегральные представления и граничные задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка с сингулярными поверхностямиФозилов, Сулаймон Тохирович

Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего и высокого порядков с действительными характеристиками Салихов Шукрулла Назруллаевич