Введение к работе
Актуальность темы.Известно, что дифференциальные уравне-;ия с сингулярными коэффициентами и системл таких уравнений оставляют один из важных разделов современной теории дифферен-иальных уравнений в частных производных. Очень часто изучение ногих физических процессов, известных, из курса математической изики, приводят нас к рассмотрению таких уравнений.В частное-и, к таким уравнениям приводятся многие задачи теории поля, пругости, гидродинамики, дозвуковой и околозвуковой газовой инамики, электрических цепей и т.д. Некоторые частные случаи равнения в частных производных третьего порядка встречаются вопросах распространения нелинейных bojm в слабодиспергиру-цих средах, при распространении волн в холодной плазме, маг-ітной гидродинамике, задачах нелинейной акустики, гидродина-іческой теориии космической плазмы. Этим и объясняется повы-;нны'й интерес к исследованию вышеуказанных уравнений. Иссле-(ваниями этих уравнений занимались многие крупные ученные ма-іматики как в нашей стране, так и эарубежом.
Фундаментальные результаты исследований в этом направлении жучили в своих работах А.В.Бицадзе, И.Н.Векуа, В.Ф.Волкодавов, Н.Врагов, А.Д.Джураев, Т.Д.Джураев, Ы.В.Келдыш, М.М.Мередои, Г.Михайлов, А.М.Нахушев, Н.Р.Раджабов, Э.Рузметов, и.С.Саха-тдинов, А.С.Сатторов, 11.11.Смирнов, З.Д.Усманов, А.И.Янушаус-с,/?.Р. aUei.ii}JMi/ulein,R.W.Cazo-C,REMcu}-u.Uez другие.
По гиперболическим уравнениям с сингулярными коэффициента-и ЕЬірожмниям того или иного порядка фундаментальные резуль-. ты получэны в работах А.В.Блцадэе, В.&.Волкодаьоъа, М.М.Мере- ' со, іі.Р.Рад-жабоса, А.С.Сатторова, M.L4. Смирнова и друітх arvo-
ров.
Исследованию модельных и немодельных систем дифференциальных уравнений б частных производных первого и второго порядков эллиптического и.гиперболического типов с вырождением или сингулярными коэффициентами посвящены работы А.Д.Ддураева, Н.Раджа-оова, З.Д.Усманова, А.И.Янушаускаса и других.
Имеются работы К.Раджабова и Л.С.Сатторова по многомерным дифференциальным уравнениям в частных производных высших порядков с сингулярными поверхностями.
Теория уравнений третьего порядка составного и.смешанно-составного типа получила сильное развитие в работах А.Д.Джураева, Т.Д.Дкураева, Ы,С.Салахитдинова и их учеников. Что касается уравнен».,; в частных производных третьего порядка с сингулярными поверхностями в случае трех независимых переменных вопрос остается открытым.
Работа посвящена уравнениям третьего порядка с регулярными и сингулярными коэффициентами. Такие уравнения ранее не были исследованы -
Цель работг.состоит в получении интегральных представлений многообразия решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка с одной граничной и внутренней сингулярными поверхностями в случае трех независимых перменных и выяснениии постановок краевых задач.
Методика исследования. В работе в основном используется ме-с тод представления главной части дифференциального оператора третьего порядка в виде произведения трех динейных операторов первого порядка. Кроме того применяются методы интегральных уравнений, разложений дифференциального оператора второго порядка че-..'.-з дифференциальные операторы первого порядка, разработанный - работах Н.Р.Раджабова /25 4.4./,/26/.
Научная новизна. В данной работа используя связь решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка и системой уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными поверхностями получена формула интегрального представления многообразий решений уравнения третьего порядка через три произвольные функции двух независимых переменных, которая в определенном смысле является обобщением' формулы Дадамбера. Изученосвойство решений на сингулярных поверхностях. Выяснены корректные постановки, некоторых краевых задач.
Теоретическая и практическая ценность работы. Исследования содержащиеся в диссертации, носят теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут бить предложены для дальнейшего развития теории многомерных дифференциальны?: уравнений с сингулярными поверхностями и некоторых систем таких уравнений.
Разработанный в диссертации способ мохет быть применен для уравнений с другими сингулярними коэффициентами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации до глады-залисо и обсуждались на научно-исследовательских семинарах "Кс-'.плгксыый анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнении с частными производными" кафедры теории функции и. математического анализа ТГУ ки. В.II.Ленина./Руководитель члон-корр. Ail Таджикистана, профессор Н.Р.Радяаоза/, на семинарах, по дифференциальным уравнениям и система.'! в частных производных, кафедры математического анализа Душанбинского педагогического университета им К.Ш.Даураева /руководитель профессор Э.Руямр-гор/; на республикански':- научно-практических конференциях молодых ученых и специалистов Тнд«иккс?-?.на /г.Лекинзбад, jpneni- 1990г., г.Курган-Тюбе, апрель І99ІІ- /, на реепублигак-
- б -
ской научной конференции."Дифференциальные уравнения и их приложении", г.Куля'-, октябрь 1991г., на ежегодных апрельских профессорско-преподавательских ко;-:/: -ренцичх ДГПУ им.К.ЇЇ.Джураева в 1987, 1980, 1989, Т990, 1991гг., на апрельской конференции препоцаїїателей и сотрущіиков Курган-Тюбинского госуниверситета им. Носира Хисрэза в 1992 году.
Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 103 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 50 наименования.
