Введение к работе
Актуальность темы. Уравнения в частных производных смешанного типа являются объектом интенсивного исследования прежде всего благодаря своим приложениям к смешанным системам с распределенными параметрами, в особенности, к аэродинамике больших скоростей, близких к скорости звука, и к безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака.
Основной краевой задачей для двумерных уравнений смешанного (эллиптико-гиперболического) типа второго порядка с одной линией параболического вырождения является задача, названная Ф.И. Франклем задачей Трикоми. Работа Ф. Трико-ми "О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа" (1923) явилась первым основополагающим исследованием в этой области.
Значительную роль в становлении современной теории уравнений смешанного типа сыграли работы А.В. Бицадзе, Т.Д. Джураева, А.Н. Зарубина, Т.Ш. Кальмено-ва, А.А. Килбаса, А.Г. Кузьмина, О.И. Маричева, A.M. Нахушева, СП. Пулькина, А.С. Радойкова, О.А. Репина, М.С. Салахитдинова, М.М. Смирнова, А.П. Солдато-ва.
Диссертация посвящена сравнительно мало исследованному направлению теории уравнений смешанного типа - краевым задачам для моделей Лаврентьева-Бицадзе уравнения Чаплыгина в области, содержащей интервалы параллельных линий параболического вырождения, и уравнениям смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка.
Существуют различные модели уравнения Чаплыгина плоских параллельных установившихся газовых течений
К{у)ихх + иуу = 0. (1)
Модель Ф.И. Франкля по существу совпадает с уравнением Трикоми
уихх + Uyy = 0; (2)
модель М.А. Лаврентьева хорошо известна как уравнение Лаврентьева-Бицадзе
signj/ ихх + иуу - 0. (3)
Н. Poritsky в качестве модели уравнения (1) предложил уравнение
Р{у)ихх + иуу = 0, уа<у< уп, (4)
где Р(у) = kj = const при уу_і < у < yj, j = 1,2, ...п. Постояные kj положительны в дозвуковой области и отрицательны в сверхзвуковой области.
Модель Поритского (4) получается из уравнения годографа (1) после замены функции К(у) ступенчатой функцией. В случае модели Лаврентьева К{у) аппроксимируется ступенчатой функцией signy.
S. Tomotika и К. Tamada предложили в качестве уравнения годографа уравнение с коэффициентом К(у) = а(1 — е213у), где а и (5-положительные постоянные. Эта модель уравнения Чаплыгина после введения новых независимых переменных 77 = е0у, = \jP/ax принимает вид:
(l-?72)Kcf4-772um + ?7U4 = 0. (5)
Уравнение (5) на плоскости точек = (,77) является уравнением в частных производных второго порядка с двумя параллельными линиями ц — —1, ту = 1 изменения типа. Оно эллиптического типа в полосе — 1 < ц < 1 с параболическим вырождением на прямых г) = ±1 и гиперболического типа вне этой полосы.
Предложенное Т. Karman приближенное уравнение для потенциала и = ip{x,y) можно записать следующим образом:
—^Ы=%,- (6)
Уравнение (6) относится к эллиптическому или гиперболическому типу в зависимости от того, будет ли производная их = dv/дх отрицательна или положительна. В частности, если известно, что
signup = sign(y(j/ - yi)), t/i = const > 0, (7)
то это уравнение будет нелинейным уравнением смешанного типа с двумя параллельными линиями у = 0, у — yi параболического вырождения.
В левой части уравнения (6) заменим один из сомножителей произведения
і \2 м 1 [ dv{x,y)
vx vx = (Vx) его средним значением ui(y) = / — ах. Іогда его при-
о — a J ох
ближенно можно заменить линейным уравнением
(7 + l)u{y)v„ = 2vyy. 2 (8)
В силу(7) signw(y) = -sign(y(y-j/i)). В случае.когда ш{у) = — sign(j/(y - t/i)),
7 + 1 из (8) получим уравнение
Sign(?/(j/ - J/l)) Vxx + Vyy = > (9)
которое гиперболического типа при 0 <у <уі и эллиптического-при у < Опу > у\. Уравнение (8) при ш(у) = —2у{у — yi)/("f + 1) совпадает с уравнением
УІУ - УіЬ'хх + "у» = 0, (10)
а при ы{у) = y(t/i - ?/)/(7 + 1) - с уравнением
2/(2/1 - y)vxx + vvy = 0. (11)
Уравнению для функции тока и = ф(х, у) плоского установившегося адиабатического потока плазмы при отсутствии магнитного поля можно придать следующую форму:
4Ыу(1 - У)Щ» + [!-(! - Р)уМ + (У* - У)и = . У* = V(2/9 + 1)- (12)
В полуплоскости у > 0 уравнение (12) является уравнением смешанного эллип-тико-гиперболического типа с двумя параллельными линиями у — у*, у — 1 параболического вырождения.
Как следует из (4), (5). (9), (10), (11) и (12), в качестве моделей этих уравнений в смешанных областях, содержащих интервалы двух непересекающихся линий изменения типа, могут выступать следующие уравнения:
sign(y2 - у) ихх + иУ!/ = 0; (13)
sign(j/ - у2) ихх + Uyy = 0; (14)
y{y - 1)иц + um = 0; (15)
Уравнения (ІЗ) :і (14) являются аналогом уравнения (3), и их будем называть моделями Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина первого и второго варианта, соответственно.
В теории уравнений смешанного типа уравнением Чаплыгина называют уравнение вида (1) <-. непрерывно дифференцируемым коэффициентом К {у) , удовлетворяющее условиям Л'(0) = 0, К'(у) > 0. Уравнения (15) и (1G) не удовлетворяют последнему условию. К'(у) меняют свои знаки при переходе через линию у = 1/2 .
Первая краевая задача для уравнения (15) была поставлена и исследована A.M. Нахушевым. Среди работ в данном направлении отметим работы А.Б. Базар-бекова, L.M. Sibucr, И.Н. Ланина, А.А. Полосина, В.В. Азовского, В.А. Носова, А.Н. Зарубина, А.А. Андреева, И.Н. Саушкина, J.M. Rassias.
Цель работы. Целью диссертации является постановка и исследование линейных краевых задач для уравнений в частных производных смешанного типа с двумя параллельными линями параболического вырождения и уравнений с: гиперболическим вырождением порядка в смешанной области.
Методы исследования. Качественные характеристики смешанных краевых задач устанавливаются методами, в основе которых лежат: принципы2 экстремума Хопфа, Зарсмба-Жиро, Бицадзс, Агмона-Нирснбсрга-Проттсра; метод априорных оценок (метод abc), методы Ф. Трикоми и А.В. Бицадзс решения задачи Трикоми для уравнений (2), (3) п, в том числе, метод редукции смешанной задачи к краевой задаче Рішана-Гильберта для аналитических функций комплексного переменного в случае уравнений (13), (14).
Научная новизна. В работе впервые установлен принцип экстремума"и дано решение задачи Дирихле и аналогов задач Трикоми и Геллсрстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Поритского в главной части; доказана теорема об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для класса линейных уравнений в частных производных с оператором Чаплыгина в главной части в смешанной области, содержащей внутри себя интервалы линий параболического вырождения; доказаны теоремы единственности и существования решения основных краевых задач для уравнений смешанных параболо-гиперболического и эллиптико-гиперболпческого типов с гиперболическим вырождением порядка.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту. Имеющими существенное значение в области дифференциальных уравнений смешанного типа результатами работы являются: 1) теоремы единственности и существования решения задачи Дирихле, аналогов задачи Трикоми и задачи Гсллерстедта для моделей Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина в смешанных областях, содержащих интервалы параллельных линий параболического вырождения; 2) теорема об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с первым вариантом оператора Лаврентьева-Поритского в главной части; 3) теорема о принципе экстремума для класса линейных уравнений смешанного типа с дифференциальным выражением Лаврентьева-Поритского в главной части; 4) тео-
рема об априорной оценке решения аналога краевой задачи Трикоми для класса линейных уравнений сметанного типа с оператором Чаплыгина в главной части; 5) теорема о единственности и теорема о существовании решения основной краевой задачи для широкого класса уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка; 6) теорема о единственности и теорема о существовании решения основной краевой задачи для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка.
Практическая и теоретическая ценность. Основные результаты научно-квалпфикационпой работы имеют теоретическую ценность. Практическая ценность состоит в том, что результаты работы могут быть использованы в математической биологин, при математическом моделировании задач газовой динамики и процессов, протекающих в режимах с обострением, а также при разработке корректных математических моделей гидравлического удара в трубопроводных системах.
Апробация работы. Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях научно-исследовательского семинара по проблемам современного анализа, информатики и физики НИИ ПМА КБНЦ РАН и прошли апробацию на следующих научных мероприятиях - III Международная конференция "Нелокальные, краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики "(Нальчик, 2006 г.). Международный Российско-Азербайджанский симпозиум "Уравнения смешанного типа п родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус. 2008 г.). Международный Российско-Абхазский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатнки"(Нальчпк-Эльбрз'с, 2009 г.), Седьмая Всероссийская конференция "Математическое моделирование п краевые задачи "(Самара, 2010 г.), Международный Российско-Болгарский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики"(Нальчик-Хабез, 2010 г.), I Всероссийская конференция молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики"(КБР нос. Тсрскол, 2010 г.), II Международный Российско - Казахский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики"(Нальчик, 2011 г.), Международная конференция молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа н информатнкп"(Нальчик, 2011 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в работах [1]-[11]. Из них [4], [8], [10] опубликованы в журналах, включенных в Перечень ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ для опубликования основных научных результатов на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук.
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих 11 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 64 наименования, и изложена на 82 страницах.
Похожие диссертации на Линейные краевые задачи для моделей Лаврентьева-поритского уравнения Чаплыгина и уравнений смешанного типа с вырождением порядка
