Введение к работе
Актуальность темы. Теория вырождающихся уравнений гипербо -лического, эллиптического, а также смешанного типов является одним из зажнейщих разделов современной теории дифференциальных' уравнений с частнши производными. С другой стороны, решение уравнений смешанного типа имеют важные приложения к различным задачам механики, физики и техники.Здесь следует отметить работы А.С.Чашшгина, Н.Е.Жуковского, Ф.И.Франкля, Л.Керса.
Основы теории краевых задач для уравнений смешанного типа были заложены в фундаментальных работах Ф-Трикоми, С.Геллер-стедта, А-В-Еицадзе, К-И-Бабешсо.
В дальнейшем теория краевых задач для уравнений смешанного типа развивалась в работах Т.Д.Джураева, Д.К-Гвазаш , Т.Ш.Кальменова, Е.И.Моисеева, А.М.Нахушева, М.С.Салахйтдинова, М.А.Лаврентьева, М.М.Смирнова и их учеников.
В последние года одним из интенсивно развивающихся направлений в теории дифференцальннх уравнений с частными производными являются уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. К этому направлению относятся работы М.М.Зайнуллаби-дова, М.С.Салахитдинова, А.К.Уринова, Б-И.Исломова.
Исследования квазилинейных уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов важны тем, что они интересны как в теоретическом, так и в практическом плане.
Краевые задачи для квазилинейных уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов с одной линией вырождения изучены в работах Д-К-Гвазавы, М.И.Алиева, Х.М.Наджафова, И.В. Майорова, Е.В.Шмковича и R.Canti. В них,основном,исследована классическая разрешимость поставленных задач. В работах А.Г.Подгаева, A.K.Aziz, изучается существование обобщенного решения краевых задач для квазилинейного уравнения смешанного типа.
Надо отметить, что краевые задачи- для квазилинейных
-л -
уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов с двумя линиями вырождения мало изучены. Им посвящены работы Ч.Г.Халмуратова и И.И.Иваницкого.
Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач для квазилинейных уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов с двумя линиями вырождения.
Цель работы. Исследование краевых задач для квазилинейных уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов с двумя линиями вырождения.
Методика исследования. Единственность решения рассматриваемых задач доказывается с помощью принципа экстремума и методом интегралов энергии. В доказательстве существования решения применяются метод последовательных приближений, принцип Шаудера и метод Галеркина-
Научная новизна.
доказана однозначная разрешимость задачи Коти для вырождающегося квазилинейного уравнения гиперболического типа;
исследованы задачи D и N для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения;
изучен аналог'-'задачи Трикоми для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения;
исследованы существование обобщенного решения краевых задач для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения в весовом пространстве С.Л.Соболева.
Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения, а также при решении прикладных задач, приводящихся, к таким уравнениям.
Апробация работы . Результаты диссертационного исследования докладывались на объединенном семинаре отделов "Дифференциальные уравнения и " Неклассические уравнения математической физики Института математики им. В.И.Романовского АН Республики Узбекистан (руководители-академики АН РУ М.С.Салахитдинов и Т.Д.Джура-ев) на семинаре кафедры теории оптимального управления механико-математического факультета ТашГУ им. М.Улугб%ка (руководитель:
член - коорр. АН РУ Н.Ю.Сатимов),на I съезде математиков Казахстана (г.Шымкент, 1996 г), на конференциях молодих ученых, посвященных памяти В.И. Романовского (г. Ташкент, 1993 - 1995 г) и на республиканской конференции .'Математическое моделирование и вычислительный эксперимент " (г. Ташкент, 1997 г.) .
Публикации- Основное содержание диссертации опубликованы в работах fl - 5 J.
Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, содержащих 5 параграфов и библиографии. Общий объем работы 105 страниц машинописного текста .- Библиография включает 54 наименований.
Похожие диссертации на Краевые задачи для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения
