Введение к работе
Актуальность темы. Теория уравнений сметанного типа в настоящее время, благодаря важный приложениям при решении многих вопросов прикладного характера, является одним из важнейших разделов современней теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Основы этой теории были заложены в фундаментальных работах Ф.Трикоми, СГеллерстадта, А.В.Бицадзэ, К.И.Бабенко и Л.Берса.
Имеются многочисленные работы, в которых исследувтея локальные и нелокальные краевые задачи для-уравнений Триноми, Іаврен-тьева-Бицадзе и более о.бщих уравнений смешанного тина. Отметим работы А.В.Бидадзе, Д.А.Саыарсксго, М.С.Салахитотнова, Т.Д.Джу-раева, А.М.Нахушева, М.М.Сыирнова, С.А.ТерсенсваДЖКальменова и их учеников.
Исследованиям краевых задач для уравнений смешанного парабо-ло-гиперболического и эллиптико-параболического типов с одной линией вырождения посвящены работы Т.Д.Джураева, А.М.Нахушева, XД'.Бхихатлова, В.А.Елеева, А.Сопуева и Ш.Ш.Мнрсагагова.
Как нам известно, краевые задачи для уравнений параболо-ги-перболического и эллиптико-параболического типов с двумя линиями и различным порядком вырождения изучены сравнительно мало. Отметим работы БЛсломова.
Настоящая работа посвящена постановке иг исследованию краевых задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типов с двумя линиями и различными порядками выроядения.
Цель работы. Постановка и исследование корректных краевых задач типа задачи Триковд для уравнений смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типов о двумя линиями и различными порядками вырождения.
Методика исследования. Единственность решения изучаемых задач- доказывается с помощью принципа экстремума и методом интегралов энергии. Существование решения доказывается методом интегральных уравнений. При этом широко используются преобразование Меллина, свойства гипергеометрических функций Гаусса, Мейера и Фокса.
- 4 -Научная новизна. В диссертации получены следующие основ- ше результаты:
исследованы локальная и нелокальная краевые задачи для уравнения параболо-гиперболического типа в бесконечной и конечной областях;
доказана однозначная разрешимость аналога задачи Трикоми для уравнения эллиптико-параболического типа с двумя-линиями я различными порядками вырождения;
скормулированн и доказаны различные принципы экстремума для розения рассматриваемых уравнений;
изучены и вычислены различные комбинации операторов Риыана-Лиувилля и обобщенного интегроди^ференцирования дробного порядка, которые широко используются при изучении краевых задач.
Практическая и теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми ж имеют теоретический характер. Она могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения, а такар'п'ри решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.
Апробация работы. Результаты диссертационного" исследования докладывались.на объединенном семинаре отдапов ди^еренциальных уравнении и некласспческих уравнений математической физики Института математики иы.В.И.Роыановского АН Республики Узбекистан (руководители - академики АН РУз М.С.Салахитдиноз и Т.Д. Джураев), на Всесоюзной научной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (г.Ашгабад, 1990 г.), на Ыеэднародных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая ^ззика и специальные йункции" (г.Самара, 1932 г.), "Вировдающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, 1993 г.), на конференциях молодых ученых, посватанных памяти В.И.Романовского (г.Ташкент, 1990--1993 гг.).
їїі^ШЩЦии. Основное содержание диссертации опубликовано в работах Ц - 6] .
Структура и объем диссертация. Работа состоит из введения, двух глав, содержащих V параграфов, и библиографии. Оодай объем
работы 120 страниц машинописного текста. Библиография включает 54 наименования.
Похожие диссертации на Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типов с двумя линиями и различными порядками вырождения
