Краевые задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа Эгамбердиев, Улугбек

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Краевые задачи для смешанного параболо-гиперболическсго уравнения с двумя фиксированными линиями изменения типа 19

1. Аналог задачи Геллерстедта для смешанного параболо-гиперболического уравнения 19

2. Аналог задачи Геллерстедта для уравнения (I.I) с общими условиями склеивания 35

3. Нелокальная задача типа задачи Бицад-зе - Самарского для парнболо-гиперболического уравнения 42

ГЛАВА 2. Краевые задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения с неизвестными линиями изменения типа 58

1. Аналог задачи Стефана для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя непересекающимися линиями изменения типа . 58

2. Существование и единственность решения задачи 69

3. Аналог задачи Стефана для смешанного параболо-гиперболического уравнения с негладкой линией изменения типа 78

Литература 92

• Аналог задачи Геллерстедта для уравнения (I.I) с общими условиями склеивания
• Нелокальная задача типа задачи Бицад-зе - Самарского для парнболо-гиперболического уравнения
• Аналог задачи Стефана для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя непересекающимися линиями изменения типа
• Аналог задачи Стефана для смешанного параболо-гиперболического уравнения с негладкой линией изменения типа

Введение к работе

Теория уравнений смешанного типа в силу ее прикладной важности является одним из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Основы этой теории были заложены в фундаментальных работах Ф.Трикоми [і] , А.В.Бицадзе [2] ,[3] , СГеллерстедта [4] , Ф.И.Франкля [б] , К.И.Бабенко [б]

В математической литературе имеется целый ряд работ отечественных и зарубежных математиков, в которых исследуются основные смешанные краевые задачи и ставятся новые корректные задачи для смешанных эллиптико-гиперболических, параболо-гиперболических и других уравнений (см»,например, Л.Берса [7] , М.М.Смирнова [8] , М.С.Салахитдинова [9] ,

Т.Д.Джураева [Ю] , А.М.Нахушева [II] ).

В последние годы уделяется большое внимание изучению краевых задач для смешанного эллиптико-гиперболического уравнения.с.одной или с двумя линиями вырождения. Например, Нахушев А.М.. в работах [12], [13] исследовал краевые задачи, для эллиптико-гиперболических уравнений с двумя непересекающимися, линиями параболического вырождения, а в.работах Зай-нулабидова.М.М. [14], Монова Б.Т. [іб] , Салахитдинова М.С., Талипова А. [16] , Салахитдинова М.С., Уринова А.К. [17] изучены краевые задачи для эдлиптико-гиперболических уравнений с двумя перпендикулярными линиями изменения типа.

Как известно, некоторые задачи тепло-массопереноса

_ 4 -(см. [18] ), газо-гидродинамики или же задачи определения напряженности электрического (магнитного) полей в области, заполненной вещественной средой с малой проводимостью [19] сводятся к решению краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов»

В изучении процессов тепло-переноса учитывается тот факт, что при умеренных градиентах температуры тепло-перенос описывается уравнением теплопроводности, а при высоких градиентах температуры гиперболическим уравнением, кроме того образуется подвижная линия раздела при переходе которой тип уравнения меняется,

В настоящее время имеется ряд работ, в которых для таких уравнений ставятся и исследуются различные краевые задачи с одной фиксированной линией изменения типа*

ЛД.Золина [19] изучила аналог задачи Трикоми для уравнения

i-Sgny і + ьмц

^{u**—-^-^4= (I)}

в области Ю » ограниченной снизу при у ^ характеристиками уравнения (I) АС '- х + у = о _; ВС : ог-^ - 1 _;

с боков непрерывными кривыми АА₀, 6В₀ и сверху ( ^ >) А₀ В₀ прямой параллельной оси х с краевыми условия-

^uk^{= w}' ^ulBB.⁼ V3>,⁰«a*^h

^и\ = Ф(і) , * ^ т і AC ^{Г ; А}

Ею же изучены некоторые обобщения задачи Трикоми для уравнения (I). Для других уравнений смешанного параболо-гипер-болического типа задача Трикоми и ее обобщения с одной линией изменения типа изучены в работах Х.Г.Бжихатлова, А.М. Нахушева [20] , 0.А.Ладыженской, Л.Ступялись [21] , Т.Д. Джураева, А.Сопуева [22] , В.А.Елеева [23] и других авторов.

Б связи с прикладной важностью задачи со свободной границей исследованы многими авторами как у нас в стране, так и за рубежом. Фундаментальные результаты по этой области получены в работах А.Фридмана [24] , С.Н.Кружкова [25], Л.Й.Рубинштейна [26] , СН.Кружкова, С.Якубова [27] и др. . В последние годы появились работы, где рассматриваются краевые задачи типа задачи Стефана для смешанного пара-боло-гиперболического уравнения (см, например, [28] ).

Следует отметить, что краевые задачи для параболо-гиперболических уравнений с двумя линиями изменения типа мало изучены, тем не менее при изучении движения многофазных сред и других физических процессов часто приходим к краевым задачам для таких уравнений*

Настоящая работа посвящена постановке и исследованию некоторых краевых задач для смешанных параболо-гицерболи-ческих уравнений с двумя фиксированными и со свободными (неизвестными) линиями изменения типа.

Диссертация состоит из двух глав и шести параграфов. В первой главе рассматриваются уравнения

_о-

в области 5) ограниченной отрезками B6_Q ^ 6₀А₀ прямых х = 1 , у = і и характеристиками А₀С₀ : у-х, -±_;

СС₀'. х + ч - о j С6 : х-% = і пересекающимися в точках

^Со("Г ⁷І) ; ^С (І ⁷"Х )

Пусть

3)_± - п(*>о , ц >о) _;

3)_Л=:#л(х>о,у<о)^

#₃ = »п (х<о, у >о) _;

Для уравнения (2) изучены следующие задачи

Задача Г_± Найти непрерывную в замкнутой, области <$5 функодю li(ol^) со следующими свойствами:

1. Функция и(л,у) является решением уравнения (2) в области 2). ( <- = М )

2. на линиях 5. С 1= 1_;л) выполняются условия склей-вания

«U+o,ij) ₌ a(-o^) _? o-y^i _?

3» удовлетворяет краевым условиям

'о

"-|_вв = W , оі^і_; (3)

здесь if _; г)/. (L = і j і) заданные непрерывно дифференцируемые функции, a if. удовлетворяет условию Гельдера соответственно на отрезках [о_; -i- ] [^- ₇i].

Если выполняются следующие условия a) V(^) _е 3^ : ^(^) удовлетворяет условию Гельдера, причем ^(1,) < о _;

a_{L ;} 6. , с. є c'(5_L) (1 = -1,3) з

(6)

то решение задачи T_d имеет не более одного решения.

Доказательство этого утверждения устанавливается с помощью принципов экстремума для параболических и гиперболических уравнений.

Доказательство существования решения задачи Г_± проводится методом интегральных уравнений.

Во втором параграфе первой главы задача Г_± обобщается в следующей постановке

Задача Г_1Л . Найти функцию U(x,y) при следующих требованиях:

1. а(х^)е C(n_L)()C^L(VV^)⁰

2. функция иЫ_}$) является решением уравнения (2) в области 5У ( l= ^d_;3 )

3. на отрезках 3. (і=1_;л) выполняются условия склей-вания

u„(«,+о) = ^()а (х,-о)+ 1*1^01)u(«_roJ+ ^() _; осе 3₁₇

- 9 -где dL_L(t)_; Лі) _; m.(t) ₇ и.(і)(і=і,і)_;оНп

заданные функции, причем І. [і) ф о ( і= ±,а,)

4, на границах области $ удовлетворяет краевым условиям (3) - (5).

От заданных функций потребуем выполнения одного из еле-дущих случаев:

а)

б)

С^а?^) = о ₇ -C_L <*_L > о ₇ 1 = 1,*, ж_х(т)^(т)>о , ^_ЛС^)^^) ^о .

Единственность решения задачи Г_іоС доказывается с помощью принципов максимума для параболических и гиперболических уравнений, а существование решения задачи доказано методом интегральных уравнений.

В третьем параграфе первой главы исследована нелокальная краевая задача Г^ типа задачи Бицадзе-Самарского [29] для уравнения (2).

Постановка задачи Г^ точно такая же, как и постановка задачи F_t , но теперь граничные значения искомой функции

заданные на характеристиках АС и А₀С₀ заменяются условиями

4_ACo=Vab *3*-

Кроме того, условие (3) заменяется нелокальным условиям

I {^^(,,,3) + ^(9)0,^,3))^^) = ^(1,3),

ІС=І

O^y^l _? 0<ОЕ₁<.,.<Х_К<...<1,

^»с^Ь ?*(%) ) V(y) (* = ¹)^п) -известные непрерывно

дифференцируемые функции.

При исследовании задачи Г^ отдельно изучается случай уравнений с постоянными коэффициентами, которые с помощью элементарных преобразований могут быть приведены к виду

_Л _ j ^ахх - ^и^ ^{при х>0}> #^>0>

_{"І (8)}

I- ^ахх~~^ауу ^{+ с}1^ ^при *3<,* = *>*;

поэтому однозначная разрешимость задачи Г^ при постоянных коэффициентах исследована для уравнения (8).

Во второй главе, состоящей из трех параграфов, исследован аналог задачи Стефана [24] для смешанного параболо-

гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа В первых двух параграфах для уравнения ^u:x"^u-t-fc ^при (⁰^)^.^ ,

О -\

(9)

^Цхъ- "ч ПРИ (*Л) &Л j

- II -

AR,o) о B(t_;o) х

где ^() криволинейный треугольник, (см. рис.1) АР: я+t=-t

hk_t:>X,= S_±Ct) , 5_±(0)=-Є;

Рис. І

(BE: x-t = ₃ B^: x + t = S^(T₀)₊T_o3 BB_i: x = S_ACt) , 6_А(о) = г з T₀ Д-<к>ші_;>о,Т₀>о)^

( - криволинейная трапеция, ограниченная линиями: t - о ^ ос= SJ4) , t - Т₀ , х = 2>_±(±) ₇ здесь

x = S₁(t)_? х= S^Ct) неизвестные функции при переходе которых тип уравнения (9) меняется. Обозначим $^ ft^v&^vJb^^u (a=S>_L(t)) и (>= S^t)) .

В области & рассматривается следующая

Задача $₅ Требуется определить функции (б.(і)_; іЦсе,-*:)) со следующими свойствами:

1) х = 6 (t), х = 5_A(t) определены и непрерывны

при о $ і ^ Т₀ , причем ^Со) = -б ₇ V)⁼ ^^ ^>

2) -1 < І_±(±) *о , о i_A(t) ^ і ;

3) функция Lt(x_;t) непрерывна в Ъ )

4. И-_х(^±о,і) , U_x(^(t)±o,t) непрерывны;

5. U(x,t) удовлетворяет уравнению (9) в каждой из областей S). ( 1 = 1^3) и условиям

и(х,-хЧ) = а^(х), -Т₀- ^х <-l ₇ (10)

U(6_i(-t)^t) = о _; о 4 і ^ Т_{0 7} (II)

U(6_A(t)_;-fc)₌ ip(t)_; ost < Т_{0 7} де)

и(ж,і-Є)= i^Cx), U ^ < T₀ + 5 , (ІЗ)

lt(X,0) = LL₀(OC) _; - < X < Є _; (14)

КЮ=№Щ^ЪР^У0>Ъ ^{+ U}^^t)+^); ^^To, (15)

V*) = №> ^UJ^ ⁺ ^J ⁺ ЦД^"^) 7 * * * ^Т0 . (16)

Здесь jn_L(t) _; ^. (х)(1=1_;л)_; ^Ct)^ u₀(x) заданные функции, J^Ci) непрерывна при о ^ і ^ Т_{0 ;} /и. (D >о . t = і, Л;

U₀(x)^ її/, (xj дважды непрерывно дифференцируемые функции при - і х ^ Є_;-Т_о-^х^-Е^ Йх$ T₀-ft

соответственно, а tf>(tj непрерывно дифференцируема при о б і < Т₀ .

Замечание. Замена (II) не нулевым условием (^("Ь) >о) особых затруднений не вызывает, кроме вычислительного характера.

Теорема I. Пусть заданные функции удовлетворяют условиям:

- ІЗ -

4W< о ₇ \fC±)40 у o*t ±T_{0 7}

L F

U₀Ct); (-i)ip_L;aJ_; кроме того,

ty. невозрастающая функция, удовлетворяет условию Липши-ца и имеет место

где об,- - решение следующего интегрального уравнения

^^77^=^

JL_LCt)

«і/

^{І _ (ь-е-с-о'-з)}

Тогда решение задачи (9)-(16) существует и единственно.

Доказательство теоремы проводится следующим образом. Пользуясь общим решением уравнения колебания струны и условиями (Ю), (13), (15), (16) разрешимость задачи 2)₅ сводится к аналогу известной задачи Стефана [24] для уравнения теплопроводности, т.е. к задаче (9), (II), (12), (15)--(16), далее данная задача решается в области 0 ^ t ^ Г

(<Г^ T₀ J S_±C-fc) < x < 5_A(iJ . В силу условия

О ^ (-і/ 6. C-t) < 1 ( I - і; ъ ) решение задачи (9),

(II), (12), (15)-(16) может быть продолжено до любого наперед заданного Т₀ , а в областях Й_± и #₃ после определения ±(iJ и 5^(+) решение задачи выписывается в явном виде . _t

Рис, 2

В третьем параграфе второй главы исследована краевая задача с. негладкой линией изменения типа для смешанного параболо-гиперболического уравнения.

Пусть

2)* = { ЫЛ) : о < к < 6^hCt) _; о < і < Т₀ } _?

Т₀ - сюуіЬЇ _у $>={ (*» : -t < х ^ h-t , t < о } ^ й)₃ - обозначает полуполосу, ограниченную линиями

- 15 -Обозначим 2) = „^Ьи й ^h и 2)^h vl.vl.ul.

(см.рис.2)^

Ь,

x=S (і)- неизвестная функция, причем ь(о) - Ь ^ о . Для уравнения

_{и - и}

при (cc^tj <= <2)_{± ;}

о -{

(17)

а - u,,

при (r,i) Sb*и %*

исследуется следующая

Задача &₅ Требуется определить пару функций

( І*(т/Ь) ₇ 6 (i) ) обладающих следующими свойствами:

I. =6 (t) определена и непрерывно дифференцируема при о ^ і Т₀ з

h _eh

2. аеС(а )_; u.^Cfa/u 5 ctj] ₇

ix_xec[^₃^hus^h(i)] , Ц_іеС(а>]₁)_;

^{^^(%)}

_и»,

a(Tj-o) = a(ot,+o) при Mo, ^б:5_1; U_t(T,-o) = it (т^+о) при Ио,хб^

3, и(сс^і) удовлетворяет уравнению (17) в области 5)
кроме точек линии в-_L С I- ±уЛ₇Ъ) -у

4, на границах области SO удовлетворяет условиям

U-(,"0= f(t) , о-і < Т_{0 ;} (18)

и(х,-х) = г|/(а:) , х >о j (19)

W(5^h(-fc),t) = 0 , 0*t ^Т_{0 ;} (20)

A(i)O_t(s^h(t)+0,i)-₍/(-tjU_x(&^h(t)-o,t) = Ш) І tt) , (2D

О * t * Т₀ ,
здесь -f(t) , тр-(х), /\(t) , гГС-fc^ _; обШ - заданные

функции, причем otf-fc) , гГ(і:> , Л (Ч) б С ^± [о₇Т₀]

A(t) >о , ct(t) >0 ₇ Пі) >0 _; "фСх) - ограниченная Функция при x-tt» , кроме того

f(x) є: С*(хъо) ₇ f(i)6C"(o^0) , 4(о) = 1(/(0) = о .

Теорема 2« Пусть заданные функции удовлетворяют условиям:

4(t) ^о при 0^ і ^ Т₀ , i|/^f(*)>o, ір'ед^о (х^о)^

Л(і) "ф" (о) ^

В ходе доказательства теоремы рассматриваются два случая И 70 и И =о .

В случае h > о поставленная задача эквивалентным образом сводится к разрешимости системы нелинейных интегральных уравнений второго рода типа Вольтерра, затем доказано существование единственной неподвижной точки, которая является решением системы нелинейных интегральных уравнений.

При исследовании задачи (17)-(21) в случае h-o необходимо учитывать, что область ЗЬ вырождается, т.е. полученное решение уравнения теплопроводности в начале координат имеет особенность. Поэтому предварительно построены последовательности

и установлены априорные оценки независящие от Ь . Используя теорему Арцеля [ЗО] доказано существование такой подпоследовательности, когда

h=h_R-» + o при к -» оо _{9 Что}

1. { S * J -+ 6(t) равномерно при о ^ і ^ Т₀ ;

при этом SLt) >, о 6 (+) ъ 1 5

2. функции {u ^K(cc^-t)J- сходятся к непрерывному решению
U(x,t) уравнения (17) обладающие в области S)_± не
прерывными частными производными U^ ₇ ^х ? ^-t

- 18 -Решение задачи в гиперболической части области <> после определения 5(t) может быть выписано в явном виде.

Результаты работы докладывались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными и математические

вопросы механики" Института механики и сейсмостойкости сооружений им. М.Т.Уразібаева АН УзССР (руководитель член-корр. АН УзССР Т.Д.Джураев), на семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики им. В.И.Романовско-го АН УзССР (руководитель академик АН УзССР М.С.Салахитди-нов), на Всесоюзном семинаре - совещании по теории кубатур-ных формул и смежным вопросам (г.Бухара, 1983 г.)

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42 - 46] .

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю член-корр. АН УзССР Тухтамура-ду Джураевичу Джураеву за постоянное внимание и ценные советы при выполнении этой работы.

Аналог задачи Геллерстедта для уравнения (I.I) с общими условиями склеивания

Докажем единственность решения задачи 1\ для уравнения (I.I). Пусть тк = ip= о , В силу свойства задачи Р± из уравнения (I.I) переходя к пределу при У О имеем 0 0)11 0) = . (I.I9)

Согласно (I.I7), (І.І8) в силу лемма І [зі] и принципа максимума для параболических уравнении функция И(х,у) не может достигать положительного максимума (отрицательного минимума) внутри области 2) (1=1,5) и на отрезках ВС.

Докажем, что функция и(я,у) не может достигать положительного максимума (отрицательного минимума) и на отрезках 3± и 3 а) Предположим, что функция U(Of,jJ) в точке Е±(30,о) отрезка 3± достигает своего положительного максимума. Тогда из (І.І9) получаем Ии(%0?0) о , но на основании вышеуказанной леммы I справедливо U-u(30 C J 0 , кото рая противоречит предыдущему неравенству. Следовательно Ы(т,у) на отрезке 34 не может достигатьсвоего положительного максимума (отрицательного минимума), б) Пусть ЕДО,1} );0 yl0 L точка положительного максимума функции и(ж у) на отрезке 0 . Тогда на осно вании известной теоремы о знаке производной [33]и вышеука занной леммы I приходим к противоречию. Таким образом функция іЦа у) своего положительного максимума (отрицательного минимума) достигает на отрезке ВВ0 , В силу однородных граничных условий заключаем, что И(ъ у) = о в 2 ± . То, что 1/1( ) = о в областях й и $3 следует из единственности решения задачи Копій. Существование решения задачи \ . Согласно [зі] на линиях 3- (u = l,) имеет место следующие соотношения между t. и \7. (1-1, ) принесенные из гиперболических областей & и соответственно. гіде 9- - " известные функции, которые выра-жаются через 1/. и коэффициентов уравнения (І.І), причем Т (2,"Ь) - непрерывна, а ТЛ ) ограничена и инте грируема при 0 2г э t і. 1 С другой стороны разрешая (I.I9) относительно 00 = \Л(%о) (\(.о) Що) г (і) = ір(о)) находим соотношение принесенное из области 2) _ Здесь -j C O известная дважды непрерывно дифференцируемая функция, а &(Ф/Ь) -- функция Грина задачи (I.I9), которая обладает следующими свойствами [35} а) в промежутках о х t , і ос 1 непрерывна вместе с производными до второго порядка и удовлетворяет уравнению, сопряженному с уравнением (І.І9) и, кроме того, при каждом фиксированном і ; О t 1 удовлетворяет как функция от и краевым условиям ХЛо) -Т±іі) — о -} б) в точке t = ж. как функция от і сама непрерывна, а ее первая производная имеет разрыв первого рода, причем в нашем случае Исключив из (1.22), (1.20) функцию t±( ) получаем интегральное уравнение относительно неизвестной функции йОДифференцируя обе части уравнения по г и обозначая приходим к интегральному уравнению второго рода В силу свойств Tlx(oe/t) ; ( Л) заключаем, ядро 6(oe,) ограничено в квадрате ( о -я. 17 о і і ) а (х) непрерывна Разрешимость интегрального уравнения Фредгольма второго рода (1,23) следует из единственности решения задачи Г± . Пооле нахождения функции ч Сое) решение задачи Г в области ЗЬ восстанавливается по Формуле (1.6), в которой под U-O JI 5 % 1) надо подразумевать функцию Римана уравнения (1.5). При этом Т±(х) определяется по формуле (1.9).

Нелокальная задача типа задачи Бицад-зе - Самарского для парнболо-гиперболического уравнения

Для этого рассмотрим задачу 3)& при о й 4 %, В силу теоремы решение задачи (2.36) - (2,40) однозначно разрешимо. Установим априорные оценки, независящие от Ь для ФУНКЦИЙ 6Ь(+); Л ) ; ПН , ), u( ,t) (,4:) u (a t) которые позволяют осуществить предельный переход. Тогда применяя известную теорему Арцеля можно выделить такие подпоследовательности при h - o ( R - ) » что эти подпоследовательности сходятся к решению исходной задачи (2.36), (2.37), (2.40). Замечание. Как было показано выше, разрешимость первоначальной задачи сведена к разрешимости аналога задачи Стефана для уравнения теплопроводности, поэтому дальнейшее исследование будет проводится в области 2 Лемма. Равномерно по о Ь — в области и йА выполняются оценки - 89 OS tlh( ) гой І Ш юл , 4a) I (2.58) 7 0 iT0 і sV) к К-СОИ5І7 0 . (2.59) Доказательство справедливости (2.58) следует из принципа максимума для параболических уравнений [33] Как было показано выше ъ 1 при о -Ь Т0 . Теперь оценим 6 СО сверху. Для этого в области {(ayfc): o cn 5htt), o 0 j ;0 TO; 0-с ж4І7 рассмотрим функцию сДт/t) = и\х,ї)- Р(б%)-х) ; (2.60) где Р шаг { most Jf ft)І Юя/(Уі,) I o . (2.61) Так как vSh(» Sh() оП Є; T0 C 6 t),t) = -.p(5h(0)-$h(i)) 0 . (2.62) Далее a) (ay ) = (Х0и(х)-р[б (S)-x] $ о ; потому что a) (Ь,о) о и кроме того х( о) о согласно (2.61). При х=о с учетом (2.61) имеем (ДоД) = (ij _ p5h(0) о 7 причем a) (ce,i) удовлетворяет уравнению a) h - u) = о ЯЛ І - 90 -В силу принципа максимума о) (a -fc) о в л) при t 0 Поскольку a) (6 ($),0) = о "5 (я;8) то u.iUh(e),e) -р . В силу произвольности 0 следует, что -(2.63) -U(6h(t),t)=-/tt) 4р . Согласно (2,63) из (2.51) находим 5 і К- cous . h Замечание. Из оценки 6 (і) получаем i+h 5h(t) K +h ; а в пределе при h- о имеем t 6(t) Kt ; 6(о) = о . Теперь применяя оценку в норме С ; для функций U- ( "t) [24] в области ± получаем равномерные по Ь оценки норм Гельдера (с показателем 1Г= ) для функций ll (,-1) и (х,-Ь) . Из равенства (2.51) выте h 1 кает, что производные 6 равномерно непрерывны по И и удовлетворяют условию Гельдера при 0 s t Т . На основании известных оценок.Шаудеровского типа для решений параболических уравнений,можно утверждать, что производные Ы , U равномерны по к АД и ограничены нормы Гельдера в области и± Используя теорему Арцеля выводим существование такой последовательности К = h -Ї + 0 при К — , что - 91 -а) функция S C) W равномерна при T t о причем c,ct) о ; (t) і ь (вблизи точки Ї- о используется 1б (tj tet; 5(0) о ) ч б) функции и. (т,і) сходятся к непрерывному решению U.fot) уравнения (2.36) обладающему в области непрерывными частными производными U.x , И и u. . Решение задачи в гиперболической области в случае h=o представило по формуле a(x,i)=4r(2zi)-Y( lbl) здесь п= о (x + i) - решение уравнения (2,47) при h-о.

Аналог задачи Стефана для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя непересекающимися линиями изменения типа

Рассмотрим уравнение ( Uxx " Uu при (х ) 0=4 (2.1) где 2).(5).) (см. рис. I) криволинейный треугольник ограниченный линиями: АР: x+t=-fc; A4P:x-i = 6,( )- ; АА1:х=51(+)у (0)= - - (BE: Х-1 = Є; ВЕ : + = 6/Г0)+Т0 і ВВ: х = 5 ) , 5» = t ) ; Т0 - conyt ; t о ; Т0 о ; $, - криволинейная трапеция, ограниченная линиями _ 59 = ; X = V" = T0 / x = V4) Здесь x = 5i("0 - J неизвестные линии, при переходе которых, тип уравнения (2.1) меняется. Обозначим = Я, и 2) и а. , U Co -fcJ при ( , J е ai j U. (,-1) при (ос -Ь) є: S), і Л Ъ 7 a b,) - 4 ujC J при ( , ) = S3 , Для уравнения (2.1) изучается следующая задача )5 Требуется определить функции &L(t). \("0,1ДтД) со следующими свойствами: 1) 2=S.(), х - Ь,{А) определены и непрерывны при Т0 -к о причем бЛ(оЗ = - , s (oJ = I j 2) -1 6,(1) + 0 , о ± sj) 1 3) функция U(a .,) непрерывна в X) . 4) LL( ) удовлетворяет уравнению (2.1) в области 2) = 2)4 и 2) и 3 и условиям U(x;-Oi-O = f1(x) , 0 х - -, (2.2) U( (),+J =0 ; о-і - Т0 7 (2.3) l (S,W;i) = yf(i) , о І Т0 ; (2.4) и(х;х-Є) = т/д(Х) , UiiTfl+t; (2.5) U(x,o) = а0(хЗ ; -Ьх , (2.6) - 60 ДО=ЛСІ,ЦД(4; + -4o (2,8) здесь J4L(-fc), f.(ai) (1 = 1 ) 7 vf(-fc), bLo(x) - заданные функции, причем fKj.C3 непрерывны при 0 t T0 ,jK.0t3 o ; U,0(x) 7 Y 00-) дважды непрерывно дифференцируемые функции при -I ос t ., -Т0-г х -? е х T0 + t соответственно, а ip(t) непрерывно дифференцируемая при Определение, Функции { 61(); «5 (-I) ufa,-fcj J назовем решением задачи (2,1) - (2.8), если: а) (+) (л=4 А) непрерывно дифференцируемая при і о , причем О s(-i)L,S.() 1 (І- І,Л) ; б) функция UC j непрерывна в а LUOx) непрерывна в и Ш 2 ( 1/) ; иб і) в) lt(ai;) является классическим решением уравнения (2,1) в области 2) и удовлетворяет всем условия (2,2) -(2,8). Рассмотрим уравнение fc JL.fi)+- \ 4 dt = 9;«) ; (2#9) о - 61 где решение этого уравнения в дальнейшем используем для изучения свойств &L() ; оно имеет вид [40] і R(+) = 2. Т е о р е м а. Пусть заданные функции удовлетворяют условиям: »р(+) о , ipV+j о , fit (ееJ о , (-i) if. (X) O L = I JL. Кроме того YL ) невозрастагощая функция, удовлетворяющая условию Липшица и имеет место o tt) -/ЛС0[ 1)/(4:+0 + if c)] 7 (2.12) 4 ) = (-0=0, и0(о=ч (о)=іга). Тогда решение задачи (2.1)-(2.8) существует и единственно. Доказательство. В области 2 ( 23) общее решение уравнения (2.1) имеет вид Ul U + tJ + F/x) 7 (2ДЗ) - 62 -где F±у F произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Пользуясь условием (2.2) из (2.13) получаем отсюда полагая ai= S Ct) и согласно (2.3) имеем Пусть функция И = (oi + -fe) решения уравнения W + = x + i (2Д4 тогда Отметим, что уравнение (2.14) однозначно разрешимо, так как для S±(i) существует обратная функция, доказательство которого приведем позднее. Таким образом в области й± решение задачи представимо по Формуле И Л) (Т Є) -if Г № +У)А( +У 1 ) (2.15) а в области Ъь )= )- (4 3 1% )] (2Д6) _ 63 где и - fr ( --И решение уравнения bi A, J ViJ-i = - (2Д7) Продифференцируя обе части (2.15), (2.16) по х , затем переходя к пределу л- (4)-0 » сс-? Ъ (+)+0 при этом 4 1 пользуясь (2.14), (2.17) находим "ЇЖ(«І«- ) = - — ір (&іШ "е) , (2Д8) (2.19) Равенства (2.18), (2.19) представляют собой основные соотношения, принесенные из гиперболических областей и .

Аналог задачи Стефана для смешанного параболо-гиперболического уравнения с негладкой линией изменения типа

Для этого рассмотрим задачу 3)& при о й 4 %, В силу теоремы решение задачи (2.36) - (2,40) однозначно разрешимо. Установим априорные оценки, независящие от Ь для ФУНКЦИЙ 6Ь(+); Л ) ; ПН , ), u( ,t) (,4:) u (a t) которые позволяют осуществить предельный переход. Тогда применяя известную теорему Арцеля можно выделить такие подпоследовательности при h - o ( R - ) » что эти подпоследовательности сходятся к решению исходной задачи (2.36), (2.37), (2.40). Замечание. Как было показано выше, разрешимость первоначальной задачи сведена к разрешимости аналога задачи Стефана для уравнения теплопроводности, поэтому дальнейшее исследование будет проводится в области 2 Лемма. Равномерно по о Ь — в области и йА выполняются оценки - 89 OS tlh( ) гой І Ш юл , 4a) I (2.58) 7 0 iT0 і sV) к К-СОИ5І7 0 . (2.59) Доказательство справедливости (2.58) следует из принципа максимума для параболических уравнений [33] Как было показано выше ъ 1 при о -Ь Т0 . Теперь оценим 6 СО сверху. Для этого в области {(ayfc): o cn 5htt), o 0 j ;0 TO; 0-с ж4І7 рассмотрим функцию сДт/t) = и\х,ї)- Р(б%)-х) ; (2.60) где Р шаг { most Jf ft)І Юя/(Уі,) I o . (2.61) Так как vSh(» Sh() оП Є; T0 C 6 t),t) = -.p(5h(0)-$h(i)) 0 . (2.62) Далее a) (ay ) = (Х0и(х)-р[б (S)-x] $ о ; потому что a) (Ь,о) о и кроме того х( о) о согласно (2.61). При х=о с учетом (2.61) имеем (ДоД) = (ij _ p5h(0) о 7 причем a) (ce,i) удовлетворяет уравнению a) h - u) = о ЯЛ І - 90 -В силу принципа максимума о) (a -fc) о в л) при t 0 Поскольку a) (6 ($),0) = о "5 (я;8) то u.iUh(e),e) -р . В силу произвольности 0 следует, что -(2.63) -U(6h(t),t)=-/tt) 4р . Согласно (2,63) из (2.51) находим 5 і К- cous . h Замечание. Из оценки 6 (і) получаем i+h 5h(t) K +h ; а в пределе при h- о имеем t 6(t) Kt ; 6(о) = о . Теперь применяя оценку в норме С ; для функций U- ( "t) [24] в области ± получаем равномерные по Ь оценки норм Гельдера (с показателем 1Г= ) для функций ll (,-1) и (х,-Ь) . Из равенства (2.51) выте h 1 кает, что производные 6 равномерно непрерывны по И и удовлетворяют условию Гельдера при 0 s t Т . На основании известных оценок.Шаудеровского типа для решений параболических уравнений,можно утверждать, что производные Ы , U равномерны по к АД и ограничены нормы Гельдера в области и± Используя теорему Арцеля выводим существование такой последовательности К = h -Ї + 0 при К — , что - 91 -а) функция S C) W равномерна при T t о причем c,ct) о ; (t) і ь (вблизи точки Ї- о используется 1б (tj tet; 5(0) о ) ч б) функции и. (т,і) сходятся к непрерывному решению U.fot) уравнения (2.36) обладающему в области непрерывными частными производными U.x , И и u. . Решение задачи в гиперболической области в случае h=o представило по формуле

Похожие диссертации на Краевые задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа

Нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений с негладкими линиями изменения типаЛесев Вадим Николаевич

Задача Трикоми для дифференциальных уравнений с сильным вырождением на линии изменения типаХайруллин, Равиль Сагитович

Краевые задачи для смешанных уравнений, порядок которых вырождается вдоль перпендикулярных линий изменения типа Зайнулабидова Заира Мансуровна

Краевые задачи для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырожденияРасулов, Хайдар Раупович

Задачи со смещением для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырожденияШувалова Татьяна Витальевна

Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типов с двумя линиями и различными порядками вырожденияАкбарова, Сурайё Хамидовна

Нелокальные задачи типа Дарбу для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными Кирилич Владимир Михайлович

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с двумя линиями сингулярности коэффициентовВагапов, Винер Зуфарович

Краевые задачи для некоторых дифференциальных уравнений с двумя перпендикулярными линиями вырожденияСергиевская, Ирина Михайловна

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения ГельмгольцаАмбарцумян Ваграм Эдвардович