Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Краевые задачи со смещением 16
1. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа 16
2. Задача типа задачи Бицадзе-Самарского для гиперболо-параболического уравнения 31
3. Краевая задача со смещением для гиперболо-эллиптического уравнения с перпендикулярными линиями вырождения 39
4. Нелокальная краевая задача для смешанного уравнения с негладкими линиями изменения типа 49
5. Краевая задача для гиперболо-параболического уравнения с тремя, попарно перпендикулярными линиями изменения типа 60
ГЛАВА 2. Локальная краевая задача и задачи с дробными производными в краевых условиях 78
1. Краевая задача для уравнения гиперболопараболо-эллиптического типа 78
2. Задача с операторами дробного дифференцирования в краевых условиях . 88
3. Краевая задача со смещением и оператором дробного дифференцирования для гиперболо параболического уравнения 103
4. Нелокальная краевая задача для гиперболо параболического уравнения с локальными краевыми условиями на границе области гиперболичности 109
Литература 116
- Задача типа задачи Бицадзе-Самарского для гиперболо-параболического уравнения
- Нелокальная краевая задача для смешанного уравнения с негладкими линиями изменения типа
- Задача с операторами дробного дифференцирования в краевых условиях
- Нелокальная краевая задача для гиперболо параболического уравнения с локальными краевыми условиями на границе области гиперболичности
Введение к работе
Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это обусловлено как непосредственными связями уравнений смешанного типа с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений, теорией интегральных преобразований и специальных функций, так и прикладными задачами механики и математической физики, сводящимися к таким уравнениям.
Впервые на важность уравнений смешанного типа обратил внимание в 1902 году А.С. Чаплыгин [65]. Им было указано на то, что движение газа в условиях перехода от дозвуковой к сверхзвуковой скорости описывается уравнением смешанного типа, которое в настоящее время называется уравнением Чаплыгина.
Систематическая разработка теории краевых задач для уравнений смешанного типа с четкой постановкой задач, доказательством существования и единственности решения, началась в 20-30 годы прошлого столетия. В эти годы Трикоми Ф. [59] и Геллерстедтом С. [68] были получены основополагающие результаты.
Следующим шагом в развитии теории уравнений смешанного типа стали работы Ф.И. Франкля [62], [63], в которых -он разработал важные практические применения задач для уравнений смешанного типа в газовой динамике. В частности, в работе [63] Ф.И. Франкль показал, что задача газовой динамики до- и сверхзвуковых скоростей сводится к задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина.
Позже, М.А. Лаврентьев отметил целесообразность исследования краевых задач для уравнений смешанного типа более простого вида, рассмотрение которых позволяет раскрыть основные свойства решений уравнений смешанного типа. Так, совместно с А.В. Бицадзе в работе [28] была рассмотрена краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. В последующих работах [6], [8], [9] А.В. Бицадзе продолжил исследования задач, поставленных в [28], ставил и рассматривал другие задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.
В это же время, в приложениях теории уравнений смешанного типа (прямая задача теории сопла Лаваля) Ф.И. Франклем [64], была отмечена необходимость рассмотрения новой краевой задачи с разрывными условиями сопряжения. Газодинамические задачи Франкля привели к идее обобщения условий сопряжения, чему были посвящены исследования Г.Д. Каратопраклиева [22], [23], а так же работы [10], [24], [45], [46].
Следующим важным этапом в становлении теории краевых задач стали предложенные A.M. Нахушевым в 1969 году [32], [33] нелокальные задачи нового типа, впоследствии названные у нас краевыми задачами со смещением, а за рубежом проблемами Нахушева [71]. Они являются обобщением задачи Трикоми, а так же содержат широкий класс корректных самосопряженных задач. Эти задачи сразу вызвали широкий интерес многих авторов [12], [18], [42], [56], [61], [72], в том числе учеников A.M. Нахушева [2], [5], [13], [15]-[17], [25]-[27], [30], [36], [38], [39], и Салахитдинова М.С. [49]-[52], [54].
В последние годы исследования задач со смещением для уравнений смешанного типа ведутся особенно интенсивно. Но в этих работах краевые условия, как правило, содержат классические операторы, в то время как, нелокальным краевым задачам, содержащим операторы более сложной структуры и операторы дробного интегродифференцирования, посвящено сравнительно мало работ [4], [35], [41], [42], [66], [70].
На сегодняшний день, в математической литературе имеются многочисленные работы как российских, так и зарубежных авторов, в которых ставятся и исследуются краевые задачи для уравнений смешанного типа. Большинство из этих работ посвящено изучению краевых задач для линейных уравнений второго порядка смешанного типа с одной линией вырождения.
К настоящему времени также хорошо исследованы краевые задачи со смещением для уравнений второго порядка смешанного типа, которые в гиперболической части области их задания редуцируются к уравнениям Эйлера-Дарбу-Пуассона. Но по-прежнему, задачи с условиями Нахушева и задачи типа Бицадзе-Самарского образуют широкий класс нелокальных краевых задач, теория которых далека от ее окончательного завершения.
В связи с этим возникает необходимость дальнейшего развития теории нелокальных краевых задач со смещением для уравнений смешанного типа. Актуальность этих исследований можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладными значениями.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для смешанных уравнений с негладкими линиями изменения типа, а также задач с разрывными условиями сопряжения и дробными производными в краевых условиях. Она состоит из введения, двух глав, и девяти параграфов. В каждой главе своя нумерация параграфов, а в каждом параграфе своя нумерация формул и теорем.
Задача типа задачи Бицадзе-Самарского для гиперболо-параболического уравнения
Действительно, пусть и(х, у) - решение задачи 1.2, тогда, функциональные соотношения между rr(t) и vr(t), принесенные на единичные интервалы J:, J2 из гиперболических частей смешанной области П, имеют вид: Неизвестные постоянные г (о), г"(о), входящие в (1.2.5), (1.2.6) оп ределим следующим образом. Полагая у = 0, из (1.2.2), находим г2 (О) . Отсюда, при нимая во внимание (1.1.5), (1.1.6), получим Таким образом, для однородной задачи 1.2, остаются справедливыми и тождество (1.1.10), и неравенство (1.1.13). Кроме того, остается прежним и общий вид интеграла (1.1.15). Рассматривая отдельно первое слагаемое в (1.1.15), с учетом (1.2.5), будем иметьа:) Отсюда, непосредственно следует, что если выполнены условия (1.1.8), (1.2.3), то Аналогично, из (1.1.15), (1.2.6), первого из равенств (1.1.17), при выполнении условий (1.1.8), (1.2.4), будем иметь Таким образом, при выполнении условий теоремы 1.2, из (1.1.13), заключаем, что [ т (х) J = 0. Следовательно, т1(х) = const и в случае однородной задачи убеждаемся в справедливости равенства и(х,0) = 0. Отсюда, с учетом (1.2.8) и (1.1.11) заключаем, что в Q0 их(х, у) = 0. Значит, и(х, у) = (о{у), но так как u(l,y) - 0, то и(х, у) = 0. Следовательно, в области Q0 справедливо тождество и{х, у) = 0, а в областях 0.г и Q2 и{х, у) = 0 как решение задачи Коши с нулевыми данными. Значит, и(х, у) = 0 в Q. и решение задачи 1.2 единственно. Докажем существование решения задачи 1.2. Из (1.2.5), с учетом условий сопряжения (1.1.5), будем иметь Подставляя (1.1.19) в соотношение (1.2.9), получим Обращая это уравнение через резольвенту Rx{x,t) ядра As(x,t), в результате несложных преобразований, получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода Таким образом, в силу единственности решения задачи 1.2, функция Vi{x) однозначно определяется равенством (1.2.12). После того, как найдена функция УХ(Х), функцию тЦх) легко определить из соотношения (1.1.12) или (1.1.19). Функции т[{х) и vx (x) находятся из условий сопряжения (1.1.5). Теперь, остается определить т2(у) и У2(У)-
Для этого решим в области Q0 смешанную задачу С: найти решение уравнения (1.1.1), удовлетворяющее краевым условиям (1.1.4), и{х,0) = т?(х), 0 х 1, их(0, у) = v;{y), 0 у 1, а затем, полагая в найденном решении х = 0, получим функциональное соотношение между т2(у) И v y), принесенное на отрезок J2 из параболической части смешанной области Q: - функция Грина задачи С для уравнения теплопроводности [3]; K0(y,rf), F0(y, rj), F2(y) - известные непрерывно дифференцируемые функции [48]. С другой стороны, из (1.2.6), с учетом условий сопряжения (1.1.6), будем иметь { а2(у) + 2 Ъ2(у)} [ а2(у) т+2{у) + уг(у)] 0 Подставляя в последнее равенство соотношение (1.2.13), получим интегральное уравнением Вольтерра первого рода где В силу того, что Й(у, t) - непрерывная функция, имеющая непрерывную производную по у, Й(у,у) Ф 0 и h(y) є С1 ), уравнение (1.2.14), согласно [55], редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода со слабой особенностью. После нахождения v2(y), функции т2(у), т2{у), У%{у) легко определяются из равенств (1.2.13), (1.1.6). Таким образом, решение задачи 1.2 в области Q0 находим как решение первой краевой задачи для уравнения (1.1.1), а в областях Qx и Q2 -как решение задач Коши. где Л - произвольное действительное число, в конечной односвязной области Q, ограниченной жордановой кривой т с концами в точках А(1,0), В(0,1) расположенной в первом квадранте х 0, у 0 и характеристиками ВС: у - х = 1, CD: х + у = 0, DA: х - у = 1 уравнения (1.3.1). Пусть Ог = Q П {t 0 }, (i = 1,2) - гиперболические части смешанной области Q, Q0 =О.Г\{ос 0}Г\{у 0}- эллиптическую часть области Q, J1 = ОА, J2 = OB, s - длина дуги кривой а отсчитываемая от точки А, п - внешняя нормаль, Под регулярным решением уравнения (1.3.1) в области Q, будем понимать функцию и{х, у) из класса ф пс1 U «ОПсЧОг U J2)n П с (а0 и Л U J2 U т) Г) с2(а \ (CD и JX U J2)), j = о удовлетворяющую уравнению (1.3.1) и такую, что частные производные их(0,у), иу(х,0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы на концах интервалов J{. Предположим, что кривая а удовлетворяет условию Ляпунова и оканчивается дугами нормального контура а0: х2 + у2 =1 сколь угодно малой длины. Задача 1.3. Найти регулярное в области Q решение и(х, у) уравнения (1.3.1), удовлетворяющее краевым условиям
Нелокальная краевая задача для смешанного уравнения с негладкими линиями изменения типа
Рассмотрим уравнение где Q0 - область ограниченная отрезками AC, CD, DO и ОА прямых х = 1, у = 1, х = 0, у = О соответственно; Qt (г = 1,2) - характеристические треугольники, причем Qj - ограничен отрезком ОА = J1 оси абсцисс и двумя характеристиками АЕ: х - у = 1, ЕО: х + у = О уравнения (1.4.1); Q2- ограничен отрезком AC = J2 прямой х = 1 и двумя характеристиками АВ: х - у = 1, ВС: х + у = 2, уравнения (1.4.1); Xi - const, с0 = с0 (х,у)єс{а0). U J, U J2 и где к = const. Задача 1.4. Найти регулярное в Q \ (Jx U J2) решение уравнения (1.4.1) из класса с(ц) П Сх( Q0 U Jx U J2 ) П Сх( Q: IJ Jx ) П Cl{ Q2 U J2 ) (j = 0,1,2), удовлетворяющее условиям условиям сопряжения (1.1.5), (1.1.6) задачи 1.1 и обладающее тем свойством, что Vi{x), Vziy) є Ь[о,і]. где t є Jj, і = 1,2, (при і = 1 t = х, а при г = 2 t = у). 6) то задача 1.4 имеет единственное решение. Действительно, пусть и(х, у) - решение задачи 1.4, тогда с учетом равенств [54] нетрудно получить функциональное соотношение между г (х) и v (x), риносимое из области Qt на Jx в виде Здесь J As) - функция Бесселя первого рода действительного аргумента s. Соотношение между т2{у) и v2(y) приносимое на отрезок АС из области Q2 имеет вид [1] где Заметим, что тождество (1.1.10) справедливо и для задачи 1.4, поэтому, проинтегрировав его по области Q0 и рассматривая однородные граничные условия, будем иметь Определим знак интеграла (1.1.15), общий вид которого останется прежним, предварительно выделив из него первое слагаемое. Принимая во внимание соотношение (1.4.7), будем иметь где используя интегральное представление функции Бесселя [37]: где Г(г) - гамма-функция, получим Отсюда, учитывая однородность рассматриваемой задачи, а также в результате перестановки Дирихле порядка интегрирования в последних двух интегралах, имеем Из последнего равенства и равенства (1.1.15), легко заметить, что при выполнении условий (1.4.5), справедливо неравенство I 0.
Отсюда, и из неравенства (1.1.13) следует, что 1 = 0. Значит, из (1.1.13), заключаем, что Ту(х) = const, а так как г О) = 0, то т (х) = 0. Справедливость неравенства (1.4.13) была доказана в работе [1] при выполнении условий (1.4.6). Таким образом, из (1.4.9), имеем их - 0 или и(х, у) - ju(y). Но, в силу условия и(0, у) = 0 заключаем, что //(?/) = 0. Значит и(х, у) = 0 в Q0. Отсюда, и из единственности решения задач Коши для уравнения (1.4.1) в областях Cl1, Q2 следует, что и(х, у) = 0 в Q. -56 Для доказательства существования решения задачи 1.4, воспользуемся условиями сопряжения (1.1.5) и равенством (1.1.12). В результате получим следующее соотношение между т±(х) и v ipc): v;(x) = (ее) [г; (ж) ]" + S2(X)[T;{X)} + S3(X)T;{X) - S4(cc), (1.4.14) где Si( ) = S2(x) = 2 ax (x) J3X (x) аЦх) (a.) = iM + COMAH + 2 AM ax(x) «і(ж) ai(x) 54(x) = A(X) Гі(д?) a,(x) а,(х) + -,— + ;— — CTjJJ- . Из равенства (1.4.14) и соотношения (1.4.7), в результате элементарных преобразований, будем иметь Sb(x) [ гі{х) ] + S6(x) [ r (x) ] + S7(x) r (x) + (1.4.15) + lr (t)S8(x,t)dt + J t (t) S9(x,t) dt = Sw(x), где S8{x,t) = S5(x) = S x) [ a(x) - b(x) - 2 c(x) ], S6(x) = S2(x) [ a(x) - b(x) - 2 c(x) ]-[ a(x) + b(x) ], S7(x) = S3(x) [ a(x) - b(x) - 2 c(x) ], ( M, 1 JAM(x - )] „/ л ь/чИ ,Ji[W( - )] - awe) AJ ! , л9(х, t) = o{x) \AA , X - t t - X S10(x) = S4(x) [ a(x) - Ъ{х) - 2 c(ac) ] - 2 d(x). Замечание 1.4. Функции Ss(x,t), S$(x,t)e С ), в чем легко убедиться, используя разложение в ряд функции Бесселя первого рода первого порядка [37] ,(г)- V -И) Г Г lW 2 t fc!r(fc + 2)W В самом деле, с учетом последнего равенства функции Ss(x, t), Sg(x, t), примут вид s,(»,t) = -4L і 2 f, W r(fc + 2) д?(х-02А" .( ,«)- ф s 2 fc=0 fc! Г(к + 2) X\ (t - x) Таким образом, принимая во внимание свойства гамма-функции, а так же функций а(х) и Ъ(х), заключаем, что S&(x,t), S9(x, t) є C(QJ). Далее, интегрируя равенство (1.4.15), будем иметь S5(X)[T;(X)) - )sb (t)[r-(t)} dt + S6(x)r-(x) - )s6 (t)T-(t)dt + x t + /5,(0 rf(t)dt + jdt lv- )S&(t, )d + о 0 x 1 + Jdt тГ(Й59(і,Й = J510(t)dt + 5в(0)гГ (0) - 5в(0)гГ(0). о t Отсюда, в результате ряда преобразований, получим нагруженное интегральное уравнение Фредгольма второго рода і т[(х) + \ К(х, t)r (t) dt = Ф{х), (1.4.16) -58 где К(х, t) = Kt (х, t), 0 t х, К2(х, t), х t I, К,(х,і) = f(x) ІЛІ t { о - Л a(rj) J faKv - t)] ) r , n »7- + + MO + c0(t,0) A( )/W /( ) + Г/-ЧОГ +f_2fiWL + a(t) + b{t) + + 2[a[(t)]2 -ax{t)al{t) (x)-2[f-l(t)] -a(t)-b{t) 2a[(t) K2(x, 0 = K /( ) ] (a: - ЙЬ/і[іУ ;аи, о f Ь ф(х) = /(а:) гГ(0) /(0) + х гГ (0) /(0) + [/- ( )! г = гГ(0) - гг(о) (0) «і (о)/(о) + а(0) + Ь(0) + \(х - t) о X а i(t) /( ) п( )1 _ i(0 + (t) ft ft) + c0(t,0) ft ft) _«ift)J Aft) «i(0 Aft) «i(0 - 2 dft) dt f(x) = a, (x) j { fit (x) [ a(x) - b(x) - 2 c(x) ]}. Неизвестную постоянную ті (О) входящую в Ф(х) определим следующим образом. Обращая (1.4.16) через резольвенту R(x, t) ядра K{x,t), на ходим rf (x) = Ф(х) - J R(x, t) 0 (t) dt. (1.4.17) о Положив в (1.4.17) x - 1 и принимая во внимание, что f(x) Ф О, будем иметь г (0) = /(0) гГ(1) - Ф(1) + J Ф( ) Я(1, 0 dt I h где Ф(«) = Ф(х) - /( (0), h = /(1) - J t /(t) K(l, t) dt. Таким образом, "(а:) однозначно определяется равенством (1.4.17), і при h 0, т.е. при {&(!) [ а(1) - b(l) - 2 c(l) ] } х J t f(t) R(l, t) dt a l). После определения т (х) и vf(x), находим решение задачи в Q1 как решение задачи Коши уравнения (1.4.1). В области Q0, рассмотрим задачу с краевыми условиями (1.4.3), и(х,0 +) = т (х), u(l ,y) = т іу), решение которой имеет вид (1.1.23).
Используя обращение этого уравнения через резольвенту R( , TJ; Х, у) ядра с0(, TJ)G{, TJ; х, у), в результате элементарных преобразований, получим У У u \x=i s У+ЛУ) = \FiAvXy) P2(i7)dTj + JF2x{Tj;l,y)Tt(Tj)dTj + F4(y) + у + J о exp([4fa - у)] 1) 1_ Vя" (У - л) Vя" (У -1)п X ехР Л (1 + 2та) 4(/7 - у) р2 {TJ) drj + У о п + ХЄХР 2 Л ехр л (у - л) n=i у (У - ч)) 2 V - (г/ - ) I (2/ - ) + 60 Ё ЄХР 4 2 Vя" {у - rj) 2 п {у - rj) „=_, ( 1 + 2 та ) (у - ч) r2+(/7)d/7, (1.4.18) где ы У 1=1 Э.г дх а (77; х, у), F2{TJ; х, у), Ч (х, у) и V(x, у) те же, что и в равенстве (1.1.24). Рассматривая полученное соотношение между т (у) и v iy) совместно с (1.4.8) и условиями сопряжения (1.1.6), приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно У% (у) v;(y)+ ls(y,t)v-(t)dt = Т(у), о где ядро S(y,t)e C([0,l] х [0,l]) и правая часть Т(у) є C[o,l] выражаются через известные функции. После определения У2 (у) и Tz(y) находим решение задачи в области Q2 как решение задачи Коши u(l, у) = t iy), ux(l,y) = 2(2/) уравнения (1.4.1), а в Q0 - как решение первой краевой задачи. 5. Краевая задача для гиперболо-параболического уравнения с тремя, попарно перпендикулярными линиями изменения типа. Рассмотрим уравнение (1.4.1), для случая когда Хх = 0, а Л2, кг -произвольные постоянные. Область Q0 - та же, что и в предыдущем параграфе; Q{ (і = 1,3) - характеристические треугольники, причем Q2 -61-ограничен характеристиками AF: х - у = 1, OF: х + у - О и отрезком ОА = J1 оси х; Q2 - ограничен характеристиками DE: у - х = 1, ЕО: ж + у = 0и отрезком OD = J2 оси у; С13 - ограничен характеристиками АВ: х - у = 1, ВС: х + у = 2 и отрезком AC = J3 прямой х = 1. Пусть rf (у) = Km u(a:, у), vffe) = lim u i, у), Q = Q0 U U 2 U x-»±0 ж- ±0 и О, U Jx и J2 и J3. Задача 1.5. Найти регулярное в Q \ (J2 (J J2) решение уравнения (1.4.1) из класса с( Q0 U Q2 U Q3 JflC Q,, U J2 U J3 )Г)С1(й2 U J2 )П П C ( fi3 U « з ), обладающее тем свойством, что vf(y), У ІУ) Є Ь[0,І], удовлетворяющее (1.1.6), (1.4.2) и условиям U\OE = (Л О у , (1.5.1) а{х) и[ в0 (х) ] + Ъ(х) и[ вг (х) ] + с(х) иу (х,0) = d(x), (1.5.2) п(у) = «ifc)п+Ы + rifo)- У ЛУ) = Ab)WW + Ш (У) + fe). (1.5.3) Доказательство единственности решения задачи 1.5 проведем методом интегралов энергии. Пусть и(х, у) - решение однородной задачи 1.5, тогда верно равенство і [ и2(х,І) - и2(х,0) ] dx + f г (у) vt(y) dy - J rt(y) v;(y) dy + 2 о о о (1.5.4) + \[ul - c0(x, y)u2]dxdy = 0. По Переходя в уравнении (1.4.1) к пределу при у — 0 +, получаем
Задача с операторами дробного дифференцирования в краевых условиях
В этом параграфе сохраняются основные обозначения, принятые параграфе 1 предыдущей главы. В области Г2 = D0 U Ц U ОА рассмотрим уравнение (1.4.1), в случае, когда Л{ - X - const, где теперь Qj - характеристический треугольник ограниченный отрезком ОА оси абсцисс и двумя характеристиками AD: х - у - 1, OD: х + у - 0 уравнения (1.4.1). Пусть Al\f(x)] = /(ar)- J7W- JQ[ Щ J{x - k)(x - t) ]dt, к = const. Задача 2.2. Найти регулярное в Q \ ОА решение и(х, у) уравнения (1.4.1), из класса с( Q{ )f С:( Q{ U ОА U АВ U ОС ) (/=0,1), удовлетворяющее условиям (1.1.5), а2{х) А0Л и[ 00(х) ]} + Ь2(х) АЦ и[ 9х(х) ] } + с2(х) u(x,0) = d2(x) (2.2.3) и условиям согласования d2(0) = 7i(o)[a2(o) + с2(о)], cZ2(l) = (1)( (1) + c2(l)]. Здесь сс х), А (а:), ух(х)ь C2[0,l], а2(х), Ъ2(х), с2(х), d2(x)e Cl[0,l], РІ(У) aifc) dM bifc) ci(2/) si(x) "iWe ФДІ-Введем Теорема 2.2. Если выполнены условия ai(x) Pi(x) I az(x) + Ъг(х) + 2 сг(х) ] 0, 2 \(у) Ф а у), сх(у) Ф -d y), а2(х) Ф Ъ2(х), а2(0) + с2(о) Ф 0, b2(l) + c2(l) Ф О, a2(l) = b2(o) = О, то задача 2.2 имеет единственное решение. Действительно, пусть и(х, у) - решение 2.2. Функциональное соотношение на линии изменения типа между функциями тх{х\ vx{x), принесенное из гиперболической части смешанной области Q. имеет вид [54] [ а2(х) + Ъ2(х) + 2 с2(з:) ] тх(х) - 2 dz(x) - тх(о) а2(х) J0[ \Я\ х ]
Полагая в (2.2.3) x = 0, а затем x = 1, определяем значение следующих постоянных равенство Из (2.2.1) и (2.2.2) имеем ::(2/) О-АУ) Отсюда, с учетом принципа экстремума для операторов дробного дифференцирования [31] и (2.2.4), легко убедиться в справедливости неравенств j и(1, у) их(1, у) dy 0, j и(0, у) их(0, у) dy 0. (2.2.9) Принимая во внимание (2.2.6), а также, используя интегральное представление функции Бесселя (1.4.10), и учитывая (1.4.12), получим Jr1+(ac)v1+(x)dac = — f -=== о 2 Ж _\ J 1 - с2 М J v (t) cos(/lj st) dt V + + / і Jvf(t)sin(mst )dt V da: - J Cj (x) x (2.2.10) \o -2 / J vi" (t) cos( l s t) dt + v (t) sin (Л s t ) dt \ о dx "I i w о &M 7Г(Д) l2 da:, Из (2.2.5), (2.2.7), (2.2.9), (2.2.10) и (1.1.13) вытекает, что их(х,у) = = 0. Отсюда, с учетом (2.2.8), следует и(х, у) = 0 в Q0. Таким образом, решение задачи 2.2 единственно. Замечание 2.2. В случае Ъг{у) = d y) - 0, задача 2.2 будет также иметь единственное решение, причем, вопрос существования решения в этом случае, эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интег -91 рального уравнения Фредгольма второго рода и второй краевой задачи для уравнения (1.4.1) в области QQ. Докажем существование решения задачи 2.2. Из (2.2.6), с учетом (1.4.14), имеем S5{x) ) { S&) [ rr(t) ]" + S2(t) [ rr(t) J + S3(t) T (t) } x 1 Г г і" х J0[ \Л\ (x)]dt + S6(x) J j S t) [ T (t) J + (2.2.11) + 52(t) [ r;(t) J + ,(t) (t) J0[ A (x - t) ] dt - T;(X) = S7(x), где .( ) - ,, $i , , v s.to- Ьз(х) a2(x) + b2(x) + 2 c2(x) 0-2(30) + b2(x) + 2 c2(x) 57(ar) = 5 (аг) J r (o) J0[ Л x ] + J S4(i) JQ[\Z\ (x - t) ] dt I + + S6(x)l r;(l) J0[ H (1 - a?) ] + /5-4(t) J0[ Л (x - і) ]& 2d2(x) a2(x) + b2(x) + 2 c2(x) Применяя интегрирование по частям и ряд несложных преобразований, из (2.2.11), получим нагруженное уравнение Фредгольма второго рода і т (х) + jp[x,t)r (t)dt = Ф{х), (2.2.12) о где -92 \P2(x,t), x t 1, pLt\_ «i W [ a2 W + b2M + 2 c2 W ] J b2( ) - a2(t) X a2(t)+b2(t) + 2c2(t) A(t)[a2(t)-b2(t)] «i( )[a2(0+b2(t)+2c2(t)] + + tJ a2(# + ЪМ + 2 с2(Й i(t) + c0fco)A(t) «і"йАЙ «i(0 «?( ) + A (t) . 2 a,(t) J.[W(f- )] + A[W( -«)1 + + at +J b2fe) a2fe)+b2fe) + 2c2fe) a/(Of x V L S, (t) + c0 (tfO) A (t) a, (t) Д (t) + 2 Д (t) " «i(0 a (t) a (t) o[Wfe- )] + at «iW a, It) ot \ a, It) /J/ d , v _ () [ a2(g) + b2(x) + 2 c2(x) ] x, W ;- A(x)[a2(x)-b2(x)] і b2fe) a2fe) + b2fe) + 2 c2fe) (t) + c0 (t,0) A (i) a, (t) px (t) 2 Д (t) «їй «i2(0 «i3W «i ( )j JoIWfe" )] + dt az(t) + d_ dt d, ф/ ч = ( [ ) + ) + 2 )] J A(0)[a2(0)-b2(0)] W A(x)[a2(x)-b2(x)] J ffl(0) 93 + т;(о)Щ) +{t)J?[Wt]..dt T(o) a2(0) + b2(o) + 2 c2(0) ai(0) 0J a8(t) + ba(t) + 2 c2(t) dt - J —r n cult 0 "-2 r a2(t)Jn[Utl , xr 1W0J a2(t) + b2(t) + 2c2(t) 0J a2(t)+b2(t) + 2c2(t) - r, (1) Ml Xf b2(t)J0[[A(t-l)] «i(l) І a2(t) + b2(t) + 2c2(t) ci2(t) (t) + b2(t) + 2c2(t) a2(0 dt + V «ife) xjpo[W )]f #+Afe) «і(Й i (Й + + cpfco)Afe)yife) «і(Й d 1W0J a2(t)+b2(t) + 2c2(t) + J —ML—lYj\\z\(t A}(iiMhiMl + + Afc) -0-1 () + c0fe,o)A(#nfe) a x(0 d dt + + r. r(i) J b2(t) a2(t) + b2(t) + 2c2(t) + _8_ 5? =i dt - r (0) J a2(t) a2(t) + b2(t) + 2c2(t) 2ві(0)А(0) a ?Ф) J0[At] + _6 3 «i( f) dt 4 / 4=0 причем K(x,t) є C([0,l]x [0,l}, Ф(х) = С1 [ОД]. Неизвестные постоянные т (о), r (і), входящие в Ф(гс), определим следующим образом. Обращая интегральное уравнение (2.2.12) через ре 94. зольвенту R(x, t) ядра P{x, t) получим і т (х) = Ф(х) - Ji?(x, t) Ф(г) dt. о Отсюда, будем иметь т(х) = т (0) Ф0(х) + г (і) Щх) + Ф2(х), (2.2.13) где і і Ф0(х) = Ф0(х) J Ф0(t)R{x,t)dt, Ф,{х) = ФДх)- J Ф Я , t)dt, о о Ф2(х) = Ф2(х)- Q 2(t)R(x,t)dt, о ф (а.) = «і W А() t ч( ) + Ь2(х) + 2 с2(х) ] , aa(t)J0[[Alt] oV а,(0) #(х) [ o2(ar) - Ъ2(х) ] 0J a,(t) + b2(t) + 2 c2(t) Ф (x) = «itoAWKM+b xj c x)] b2(t)/0[H(t-l)] dt lW ai(l)A(a?)[b8(ar)-a2(x)] J a2(i) + b2(i) + 2c2(t) Ф2(х) = Ф(х) - т- (0) Ф0(х) - г" (1) Фа(х).
Полагая в равенстве (2.2.13) х = 0, а затем х = 1, в результате ряда элементарных преобразований, находим г (о) - -, г (1) . к, где Я» = O0(0) (l)- ФІ(0)Ф0(І), h, = ,(1) [ r(0) - Ф2(и) ] - фДи) [ r(l) -Ф2(і) ], hz = ЩО) [ т(і) - Ф2(1) ] - Ф0(1) [ г(0) - Ф2(0) ]. -95 Таким образом, решение задачи 2.2 в области Dx находится однозначно как решение задачи Коши при условии, что д0 Ф 0, а в Q0 - как решение первой краевой задачи для уравнения (1.4.1). В самом деле, как уже отмечалось в 5 главы 1, для уравнения (1.4.1) в области QQ справедливы равенства (1.5.20), (1.5.21), которые с учетом условий задачи 2.2, примут вид и а w (0, У) = і КАУ ч) и% rj)drj + j К2{у, rj) u (l, 77) d?] + (2.2.14) U if + IF1X(TJ;0, у) W(0, rj) drj + I F2x(rj;0, y) u(l, 77) drj + F3{y), ux(l, у) = J K3(y, rj) w (0,77) drj + j К4(г/, rj) w (l, rj) drj + (2.2.15) + JFlx(rj;l, у) u(0, rj) drj + JF2x(rj;l, y) u(l, rj) drj + F4(y) , где Ki? F{, (i - 1,4) - те же, что и в задаче 1.5. С учетом условий (2.2.1), (2.2.2), перепишем равенства (2.2.14), (2.2.15) в виде DX(l и(0, у) = ) Кь(у, rj) и (0, rj) drj + ) К6(у, rj) u (l, rj) drj + 0 0 У У + \K7(y,rj)u(0,rj)drj + \K&(y,r1)u{l,rj)drj + K9fe), (2.2.16) D{l U(1, y) = J Kw{y, rj) u (0, rj) drj + j" Kn(y, 17) u (l, /7) «ty + + J K12fo, 77) u(0,77) 77 + j"K13fo,77)u(l,77)d77 + Ku(y), (2.2.17)
Нелокальная краевая задача для гиперболо параболического уравнения с локальными краевыми условиями на границе области гиперболичности
В этом параграфе сохраняются основные обозначения, принятые в параграфе 4 главы 1. Для уравнения (1.4.1), в смешанной области Q исследуется следую щая Задача 2.4. Найти регулярное в D. \ (Jj U J2) решение и(х, у) уравнения (1.4.1), из класса с(0;.)П С2(О0 U U J2 U OD )П С2( Qx U J"i )П П С:( Q2 U J2 ) (j = 0,1,2), удовлетворяющее условиям (1.4.2), (2.2.2), U\OE = %( ), 0 х f, (2.4.1) условиям сопряжения (1.1.5), (1.1.6) и условию согласования 3(0)= 1(0). Предположим, что рх{х)е C2[0,l], a{{t), р2(у)уу2(у),82(у), р )(= C%l], ),3 ), ), ), (у)є C[0,l], (t = 1,2, j = 1 ). Докажем единственность решения задачи 2.4. Функциональное соотношение между Ti(x),Vi(x) принесенное на линию изменения типа из гиперболической части смешанной области Q, представимо в виде [44] X тї(х) = PiW + f vi"W Jo[ I Л \(x)]dt, (2.4.2) где PiM = I — J0( ІЛІ Vх ( - 0) -A 2 3 - - (»з(0) .2; dt + + 2 )-p3(0). Соотношение между T2(y),v2(y), принесенное из области Q2 на J2, имеет вид (1.4.8). Очевидно, что г (0) = р3(0), г О) = 0, г+(і) = (о). -ill Справедлива следующая Теорема 2.4. Если выполнены условия «i(t)/?i(#) [ « (у) + (у) ] Ф О, (1.4.6), второе неравенство из (2.2.4) и (х) (аг) 0, ах{1) А(1) 0, а[(х) fa(x) + ах{х) Р[{х) 0, (2.4.3) то задача 2.4 не может иметь более одного решения. В самом деле, пусть и(х, у) - решение однородной задачи 2.3. Тогда, справедливо равенство 1 1 г -.1 - J [ и2{х,1) - и2{х,0) J dx + J м(0, у) их(0, у) dy (2.4.4) - J 4ІУ) vt(y) dV + j[ul с У ] dx dy = 0 n„ Подставляя (2.4.2) в интеграл (1.1.15) при і = 1, а также, учитывая однородность условий, получим /"(ж) h = І ЙШ І і AM i (g) ах{х) "l2 dx, Отсюда, используя интегральное представление функции Бесселя (1.4.10), и принимая во внимание (1.4.12), будем иметь = _!_ Г_А_ _! 1 Jv cosd st )dt Л2 + Jvffr) sin( st )dt Vl 1 ( -J J о V «iWAW, dx J v (t) cosd I st )dt + -112 -J + X Jv (t)sin ( 1 1 st)dt V V i( ) AM аг(х) dx Из последнего равенства, учитывая (1.1.13) и (2.4.3), вытекает, что и(х,0) = 0. Таким образом, из (2.4.4), принимая во внимание (1.4.13), (2.2.9), заключаем, что их(х, у) = 0. Отсюда, с учетом (2.2.8), следует, что и(х, у) = 0 в Q0. Таким образом, убеждаемся в справедливости теоремы 2.4. Докажем существование решения задачи 2.4. Разрешая систему уравнений (1.1.5), (1.1.12), (2.4.2) относительно т (х), приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода (х) - J К(х, t) T?(t) dt = Ф(х), о где К(х, t) є C([0,l] х [ОД]), Ф(х) є C(0,l) и имеют вид І Ай) t=x + (2.4.5) -"г — at U[Wfe-0]A( )} , Pi(0- i(0+ JJo[W&-fl] ife)d dt - (o)) M {Jo[W(t- )]Afe)} 5=o; dt + -113 + , (O)A(O) іЦМ 0 Pi \Р) t Заметим, что правая часть равенства (2.4.5) зависит от х\ (О).
Для нахождения этой постоянной обратим интегральное уравнение (2.4.5) через резольвенту R(x, t) ядра К(х, t), получим х (аг) = Ф(аг) + j R(x, t) Ф(і) dt. (2.4.6) о Положив в (2.4.6) х = 1, в результате элементарных преобразований находим (о) = т{{1) - Ф(1) - jR(l, t) Ф(0 dt /Л, где Ф(Х) = Ф(Ж) - тг (о) А(О) ) ЩШ л, Таким образом, (х) однозначно определяется равенством (2.4.6), і при условии, что к(і, 4) dl; Ф -1. t Принимая во внимание (1.1.6), перепишем соотношение (1.4.8) в виде У У {У) = J v,+ (0 Si (у, t)dt+ \ r2+(t) S2{y, t) dt + S3(y) (2-4.7) о 0 где 114 Si(y,t) = Ш hl\4iy -1)\ a2(t) $гіУЛ) = ( )Jo[W(j/)] a2{t) if y S3{y) = —лч Pfe) - УгіУ) + І Г2(0 -M И2І fe - 0 Jd «2W I 0 Из (2.4.7), учитывая (2.2.15), получим У і У (У) = f (7) d 7 I Si fc 0 4 ( . ) + (2.4.8) + J w(0, 7) SA(y, rj)drj+ $ r2+fo) 5(i/, ) drj + S6(y) Здесь 4(У, і) = J $1 (У, t) [ іАїїХ, t) - K3t}{t, Tj)]dt, $ЛУ, r?) = J S,(y, t) F2x(rj;l, t) dt + S2(y, TJ), S6{y) = S,(y)+ \Si(y,tl)FMdv Из (2.4.8) в результате несложных преобразований, будем иметь у і "2 ІУ) - J г2+ (TJ) S7{y, TJ) drj = S8{y), (2.4.9) где 7(У V) = $i(y, У) K4fc, TJ) + j Sly(y, t) K4(t, TJ) dt, Ш $ЛУ)= (У) -Щ + \r+2(rj)Sby(y,Tj)drj + a2 \У) + dy \u(%Tj)SA(y,Tj)dTj + S6{y) -115 Обращая интегральное уравнение Вольтерра второго рода (2.4.9) через резольвенту Кх{у,г]) ядра S7(y,ij), имеющего слабую особенность порядка У2, получим (У) - J (t) Тх(у, t) dt = f2fe), (2.4.10) где Ш О = аг\Ч І 1+ jR1(77,t)d %(y) = \u{Q,t)S y,t)dt + S6{y) J V 1+ R1(;7jt)d77 Правая часть уравнения (2.4.10) зависит от м(0, у), поэтому, рассматривая это уравнение совместно с уравнением (2.2.31) получим систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Таким образом, определив т{(у), vf{y) из (2.4.6), (1.1.12), (l.t.5) а функции и(0, у), rjf(i/) И vjr(y) из (2.2.31), (2.4.10), (1.4.8) и (1.1.6), находим решение задачи 2.4 в области Qn как решение первой краевой задачи для уравнения (1.4.1), а в областях Ql5 Q2 - как решение соответствующих задач Коши. -116 ЛИТЕРАТУРА 1. Абдуллаев А.С. О некоторых краевых задачах для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя параллельными линиями изменения типа // Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. -Ташкент: ФАН, 1987. С. 71-82. 2. Аттаев А.Х.
Задача со смещением для нагруженного уравнения, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа // Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции. Куйбышев, 1987. С. 17. 3. Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. Линейные уравнения математической физики. -М.: Наука, 1964. - 368с. 4. Базаров Д. О некоторых нелокальных краевых задачах для модельных уравнений второго порядка. Изв. вузов. Математика, 1990, №3. -с.11-15. 5. Бжихатлов Х.Г. Об одной краевой задаче со смещением // Дифференц. уравнения, 1973. Т.9, №1. С. 162-165. 6. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа. Труды мат. ин-та им. В.А. Стеклова, 61, 1953. С. 1-58. 7. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981. - 448 с. 8. Бицадзе А.В. О некоторых задачах смешанного типа. ДАН СССР, 70, 4, 1950. С. 561-564. 9. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. -М.: Изд. АН СССР, 1959. -164с. 10. Бредихина Т.Б., Волкодавов В.Ф., Лернер М.Е. О единственности решения задачи типа Трикоми с полиномиальными условиями склеивания. Волж.мат.сб., 9, Куйбышев, 1971. С. 11-16. 11. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. -М.Л.: Гостехиздат, 1948. - 296 с. 12. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. -Ташкент: ФАН, 1986. - 220 с.
