Введение к работе
Актуальность темы. Исследование задач смешанного типа для дифференциальных уравнений в частных производных имеет сравнительно недолгую историю. Первыми глубокими исследованиями в этой области явились работы Ф. Трикоми, опубликованные в двадцатых годах двадцатого века. Для уравнения
д2и д2и _
дх2 ду2
которое сейчас называют уравнением Трикоми, он изучил следующую краевую задачу. Пусть область D ограничена кривой Жордана <т, лежащей в верхней полуплоскости с концами в точках Л(0,0) и >(1,0) оси абсцисс, и отрезками характеристик АС и ВС уравнения, выходящими из этих точек и пересекающимися в точке С нижней полуплоскости. Требуется найти решение уравнения (1), регулярное в D и удовлетворяющее условиям: и(х,у) = ф(х,у) на о" и и(х,у) = ф(х) на АС Ф. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при определенных дополнительных требованиях относительно поведения частных производных их и иу, гладкости функции ф и характера дуги а. Исследования Трикоми были продолжены в тридцатых годах Чибрарио и Геллерстедтом.
М. А. Лаврентьев для упрощения исследования краевых задач для уравнения смешанного типа предложил исследовать модельное уравнение
д2и д2и п , .
^2/^ + ^2=0, (2)
Подробное исследование задачи Трикоми и ее различных обобщений для уравнения (2) провел А. В. Бицадзе при самых общих предположениях о характере дуги о", ограничивающей область D в верхней полуплоскости. А. В. Бицадзе решил также для уравнения (2) задачу Трикоми в многосвязной области, а также задачу, в которой на кривой а задана ди/дп. Им же была решена задача Трикоми для случая, когда данные в гиперболической части области заданы с отходом от характеристики. В случае задачи Трикоми для уравнения (1), аналогичный результат был получен К. И. Бабенко, для задачи Геллерстедта исследование для случая данных, заданных с отходом от характеристики, было проведено Ф. И. Франклем. М. М. Смирнов исследовал некоторые обобщения задачи Трикоми, а также некоторые родственные задачи.
Для задачи Трикоми имеет место принцип экстремума: решение задачи Трикоми, обращающееся в нуль на характеристике АС, достигает положительного максимума и отрицательного минимума на дуге а. Этот принцип впервые был сформулирован А. В. Бицадзе в случае уравнения (2).
Несколько позднее он был установлен для уравнения Трикоми (1) в работе Жермена и Баде.
Е. И. Моисеев, используя свойство базисности, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. Это позволило Е.И. Моисееву получить решения задач Трикоми для уравнения (2) в виде ряда в некоторых специальных областях, а также интегральные представления решений.
Помимо уже упомянутых авторов, созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Б. А. Бубнов, В. Ф. Волкодавов, В. Н. Врагов, Т. Д. Джураев, В. Н. Диденко, В. А. Елеев, В. И. Жегалов, М. М. Зайнулабидов, А. Н. Зарубин, Т. Ш. Кальменов, Г. Д. Каратопраклиев, И. Л. Кароль, А. А. Килбас, А. И. Кожанов, Ю. М, Крикунов, А. Г. Кузьмин, О. А. Ладыженская, Е. И. Моисеев, А. М. Нахушев, С. М. Пономарев, А. В. Псху, С. П. Пулькин, О. А. Репин, К. Б. Сабитов, М. С. Салахитдинов, М. М. Смирнов, А. П. Солдатов, Р. С. Хайруллин, Хе Кан Чер, Л. И. Чибрикова, S. Agmon, Р. О. Lax, С. S. Morawetz, L. Nirenberg, R. P. Phillips, M. M. Protter, M. Schneider и др. Цель работы. Исследовать возможность построения решения в виде ряда и установления его единственности для задачи Трикоми с наклонной линией перемены типа, задачи Геллерстедта с линией перемены типа, представляющей собой симметричный относительно оси ординат угол, для которых данные заданы на кривой, ограничивающей область эллиптичности, а также задачи Геллерстедта для случая с данными заданными на паре характеристик на границе областей гиперболичности.
Методы исследования. Решения задач строятся в виде рядов методом разделения переменных, с использованием неортогональных систем синусов специального вида. Для понижения требований на гладкость граничных условий используются интегральные представления решений, вид интегральных представлений при этом устанавливается непосредственным суммированием рядов для решений внутри соответствующих областей эллиптичности. Единственность решений устанавливается посредством доказательства принципов экстремума.
Научная новизна. Впервые рассмотрены аналоги нескольких задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе для случая, когда линия перемены типа не совпадает с осью координат, а область эллиптичности представлена сектором круга. А именно, следующие задачи.
Задача Трикоми для случая с линией перемены типа под углом к осям координат.
Задача с наклонной линией перемены типа с нулём нормальной производной, заданным на стороне угла кругового сектора и данными, заданными на дуге.
Задача Геллерстедта для симметричного относительно оси ординат кругового сектора.
4. Задача Геллерстедта с ненулевыми данными на характеристиках волнового уравнения. Решение данной задачи получено в виде ряда, коэффициенты которого вычисляются по системе синусов с разрывной фазой.
Получены решения в виде рядов, а также их интегральные представления. Освещен вопрос единственности решения данных задач.
Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты представляют теоретический интерес и могут быть использованы в теории краевых задач для уравнений смешанного типа.
Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались на международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию академика В. А. Садовничего, на конференции молодых учёных Ломоносов-2006, на научном семинаре кафедры функционального анализа и его применений ВМиК МГУ.
Публикации. Большинство результатов работы представлены в пяти работах, из них 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК( работы [1]- [3]). Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, 4-ёх глав и списка литературы. Во введении освещена актуальность задачи и краткая история основных результатов по смежным вопросам теории уравнений смешанного типа, а также основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 130 страниц.
