Нелокальные задачи типа Дарбу для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными Кирилич Владимир Михайлович

Содержание к диссертации

Введение

1. Задачи без начальных условий для гиперболической системы первого порядка с двумя независимыми переменными 24

1.1. Постановка задачи 24

1.2. Вспомогательные леммы 29

1.3. Локальная теорема о существовании и единственности непрерывного обобщенного решения 32

1.4. Соответствующая нелокальная теорема 58

1.5. Случай полулинейной системы 63

1.6. Комментарии 66

2. Нелокальные задачи для строго гиперболического уравнения произвольного порядка с двумя независимыми переменными 74

2.1. Постановка задачи 74

2.2. Существование и единственность решения задачи (2.1.1) - (2.1.5) 76

2.3. Замечания 83

3. Нелокальная многофазная задача типа стефана для гиперболической (жстеш первого порядка с двумя независимыми переменными 84

3.1. Постановка задачи типа Стефана 84

3.2. Разрешимость задачи (I.I.I), (3.1.I) - (3.1.2) . 86

Заключение 91

Литература 92

• Локальная теорема о существовании и единственности непрерывного обобщенного решения
• Соответствующая нелокальная теорема
• Существование и единственность решения задачи (2.1.1) - (2.1.5)
• Нелокальная многофазная задача типа стефана для гиперболической (жстеш первого порядка с двумя независимыми переменными

Введение к работе

І. Обзор литературы

Предметом исследования в данной работе является либо гиперболическая система первого порядка

либо одно гиперболическое уравнение произвольного порядка

||>^1ь^^=к^' ⁽¹-²⁾

где А і (^.,i) , ouj (x,i) , $і,(з^ , И^ХЛ) ~ заданные функции в некоторой области G плоскости xOt . Все эти функции, равно как и искомое решение, считаются_ьещественнозначными. Гиперболичность уравнения (1.2) понимается в том смысле, что в разложении

функции Aj(x,i") Ц=4,уі) действительны и различны во всех точках

Для таких уравнений и систем привычными и с достаточной полнотой исследованными являются задача Коши, смешанная задача и задача Гурса-Дарбу. Наиболее детально изученную задачу Коши здесь рассматривать не будем.

Смешанная задача исследовалась многими авторами различными методами. Наиболее общие результаты получены в работах В.Томе (85-8б] , ГЛейсера [78-79] методом интегралов энергии, в работах В.Э.Аболини и А.Д.Мышкиса [3-4], 3.0.Мельника [зз] методом характеристик.

Имеется многочисленная литература, посвященная исследованию различных смешанных задач для частных видов системы (I.I) и уравнения (1.2) разными методами (помимо указанных выше - метод спект-

ральных разложений, метод интегральных преобразований, приближенные методы и др.).

Весьма детально исследована смешанная задача для гиперболического згравнения второго порядка. В простейшем случае, когда уравнение (1.2) является уравнением струны, наиболее употребляемыми методами решения смешанных задач являются - метод разделения переменных (см., например, [50,5б])и метод интегральных преобразований [24]. Многие утверждения о решениях уравнений второго порядка получаются как следствие общих результатов для многомерных гиперболических уравнений второго порядка, исследованных с привлечением методов функционального анализа (см. [25,4б] ).

Решения общих смешанных задач для системы (I.I) находятся методом априорных оценок в [85]. В [4] исследована смешанная задача для системы (I.I) и для полулинейной системы аналогичного вида с общими граничными условиями, содержащими последействия. При помощи метода характеристик задача приведена к эквивалентной системе интегральных уравнений Вольтерра, разрешимой по методу итераций. Исследованы свойства классического и обобщенных решений.

Детальное изложение различных методов решения смешанных задач для линейных систем (I.I) приведено в [12].

Смешанная задача для гиперболических уравнений и систем высших порядков изучена не так подробно, как для системы первого порядка и уравнения второго порядка. В \бЗ,85] для уравнения (1.2) установлены априорные оценки решений общих смешанных задач типа

G,S '

Ы|^,о4С||и||^;||аЩ₈4с|и]

где G - определенная область с границей S , а С - положительная константа, не зависящая от и Использованию полученных оценок с привлечением метода продолжения по параметру и теорем Соболева

для доказательства корректной разрешимости общих смешанных задач для уравнения (1.2) посвящена работа [8б]. В [б4] для случая смешанной задачи в 1R₊ с граничными данными Дирихле разработан метод, обобщающий классический метод Римана для частного вида уравнения (1.2).

Различные способы приведения уравнения (1.2) к гиперболическим системам первого порядка указаны в [24].

Смешанные задачи для уравнений и систем с разрывными коэффициентами исследовались различными методами. В [22-23] для систем первого порядка с разрывными коэффициентами получена априорная оценка. Эта оценка использована для исследования поведения решения системы в окрестности точки пересечения линий разрыва.

Общие смешанные задачи для систем первого порядка вида (I.I) с разрывными коэффициентами исследованы в [28] методом характеристик.

Более сложными для исследования являются полулинейные гиперболические системы вида

Разрешимость в "малом" по "Ь смешанной задачи для такой системы исследована в [87] методом итераций. Одна специальная смешанная задача для системы (1.3) исследована в [89] методом априорных оценок. Некоторые вопросы локальной разрешимости нелинейной смешанной задачи для этой системы обсуждаются в [65].

Обзор результатов и детальное изучение целого ряда смешанных задач для квазилинейных систем вида

tja_L^)[^⁺^a^)^]-U^t,u.) , і=й (1.4)

приведены в монографии БД.Рождественского и Н.Н.Яненко [52].

Классическая задача Гурса-Дарбу для гиперболического уравнения второго порядка достаточно полно изучена еще в начале этого века. После этого появилось значительное количество работ многих математиков, посвященных модификациям этой задачи (либо за счет усложнения уравнения, усложнения граничных условий или деформации границы, либо за счет других обобщений).

Под классической задачей Гурса-Дарбу понимают задачу о нахождении в первом квадранте R + --1 (x,u)0,a>o| решения уравнения

й^-^а<.*.*-з|⁺к^^-⁺«*^«^<*.*» (1.5)

принимающего заданные значения на характеристиках

Ее корректная разрешимость легко доказывается методом итераций Пикара, который приводит к однозначному интегральному представлению решения с помощью функции Римана [Ю,5б] Задачей Гурса-Дарбу или Гурса называют также задачи, так или иначе родственные описанной.

В J75] методом Римана исследована задача о нахождении решения Ц уравнения (1.5) по его значениям на характеристике и.=0 и значению L.U на у, , где L - линейный дифференциальный оператор первого порядка. В [б2,6б] доказана корректная разрешимость уравнения (1.5) в G по заданным значениям L4U.L и LjlUJ ^ , где Lh и L₂ - линейные дифференциальные операторы первого порядка, у* , у а. - граничные линии области G , выходящие из начала координат. В этом случае необходимо задавать дополнительное значение и(0,о) . Дж.А.Аббасов [і], в отличив от [б2,6б] , рассматривает более общий случай, когда Ц и и_г - интегро-дифференциаль-

ные операторы Вольтерра с производными высокого порядка. В работе А.М.Нахушева [47J правая часть уравнения (1.5) содержит дополнительно Вольтерровы добавки

Ц. X

х а _

о * ₀ о

+ \S(3Ct^,^)u-

заменено условием

\—х—^-ai=UD(u) , Хо -фиксировано.

⁰ о

Обобщение метода Пикара на случай решения уравнения (1.5) в Ь

при нелинейных граничных условиях

_{= 0,}

[u'_x-(j(x,u,u^)]| =0 , [a^-pC^,a,Ux)]

u (0,0) = const дано в [77]. Исследованию корректной разрешимости полулинейного аналога уравнения (1.5) в G по заданным значениям решения на ^ и ^г посвящена работа [84]. Задача Гурса для векторного уравнения (1.5) исследована в [бв] методом матричных инвариантов, которые в случае одного уравнения сводятся к известным инвариантам Дарбу.

Некоторые модификации задачи Гурса-Дарбу рассмотрены в монографии А.В.Бицадзе [э].

Решению вопроса о корректной постановке задач типа Гурса-Дарбу для различных классов гиперболических систем первого порядка с классическими граничными условиями посвящены работы

Л.А.Мельцер [44] , В.П.Михайлова [45] , А.Д.Сидоренко [54-55], Б.Л.Рождественского и Н.Н.Яненко [52], 3.0.Мельника [29,ЗІ], Гу Чао-хао [б9] . Ли Да-цин и Ю.Вен-цу [72-74] , Р.Холтена [71], С.Йосиды [87-88], К.Захариаса [89].

В работе Л.А.Мельцер [44] рассматриваются достаточные условия корректной разрешимости задачи Гурса в случае, когда Ui(x,t) (1 = -1,viJ заданы на осяхОос. и 0t и все характеристики изучаемой системы находятся во второй и четвертой четвертях.

В.П.Михайлов [45] исследовал задачу Гурса для линейной системы первого порядка с постоянными коэффициентами, когда условия задаются на некотором количестве прямых, выходящих из начала координат, в предположении, что прямые не разделяются характеристиками. Задача решается преобразованием Меллина. Более обобщенная задача, чем в [45], изучается в [7l] . В полулинейном случае методом характеристик найдено локальное решение подобной задачи в [87-88].

В работах З.О.Мельника [29,Зі] рассматривается система (І.І) в криволинейном секторе с вершиной в начале координат, для которой задаются классические граничные условия

u.i.(a.(-fcVfc} =11 c^tt)u^(o^)Л+^-,(-^ _? і«4,к ,

^И+' (1.6)

к

где x = a(-t) и ot«feCfc) ( a(0) =G>(0)^0 ,a(-t) < Ы±) для всех i>0 )- заданные уравнения граничных линий области G . В предположении, что ни одна из характеристик системы (1*1), выходящая из точки пересечения граничных кривых, в G не попадает, установлены условия корректной разрешимости задачи (I.I), (1.6),включающие наряду с естественными требованиями гладкости исходных данных, дополнительное условие сжимаемости некоторого линейного

оператора. Вид этого оператора явно строится по коэффициентам условий (1.6),

Системам квазилинейных уравнений первого порядка посвящены работы [52,54-55,72-74] . В [52,54-55] задачи типа Гурса решаются методом итераций; дано их приложение в газовой динамике.

Характерной особенностью задач, рассмотренных Гу Чао-хао [б9], Ли Да-цин и Ю Вен-цу [72-74), является то, что не существует характеристик, которые проходят через вершину сектора и лежат между границами. Используя некоторые априорные оценки, авторы доказывают существование и единственность локального по "Ь решения. На примерах показано, что к таким задачам приводятся многие задачи аэродинамики, в частности задача об интерференции двух потоков и лагранжева задача внутренней баллистики.

Сравнительно мало работ [76,78-79] посвящено подобным задачам для линейных уравнений произвольного порядка.

В работах А.В.Бицадзе [7-9] показано, что задача с данными на характеристиках для гиперболической системы второго порядка может оказаться, вообще говоря, некорректной. Частично такие задачи изучались в [30,68,84]. Этот вопрос подробно исследован в работах С.С.Харибегашвили [58-59]. В общей постановке для случая систем второго порядка с переменными коэффициентами и граничными условиями общего вида задача решена в [32].

Во многих важных прикладных задачах возникает ситуация, когда граница области или некоторые ее части включаются в число искомых функций. Эти задачи получили название задач с неизвестными границами или задач типа Стефана.

Задачи с неизвестными границами достаточно полно исследованы для параболических и эллиптических уравнений. Изучение задачи типа Стефана для гиперболических уравнений и систем началось не-

давно. Первой здесь, по-видимому, была работа [70] , возникающая при исследовании процесса свободного перемещения поршня по трубе постоянного сечения. Математическая модель задачи приводится к на-хождению функций s(t) , р-, (t) , щ, (x,t) , (1= Тд) из условий

Зр< Зр₂ з_а1

- оо < ос -с S (t) ,

"ЗГ^+ач"8х ⁺р4ІЗГ-»

За₂ Зіь н Ж __ft Ж"^+а2Ж⁺7г"ох-^и'

^(ссі,0) = _г(я) , и_г(л,0) = <^,(аї),0*л

^оо _?

^{s,4-t)=R(sau)-Pz(sW»-t)}_>^{-b>, (1.7)}

где s(V) - положение поршня в момент времени X ; условия (1.7) -закон Ньютона для движения поршня. Для линиаризованного случая установлена глобальная корректная разрешимость, в общем нелинейном случае доказана локальная теорема.

В [26] методом интегралов энергии и методом сеток изучены некоторые варианты задач типа Стефана для гиперболических уравнений второго порядка. Методом характеристик задачи типа Стефана для системы (I.I) и для уравнения (1.2) (\п=2) исследованы в работах Т.Е.Мельник [39-43] , 3.0.Мельника [34-3б] . В [39,4l] исследовано сопряжение решений гиперболического уравнения второго поряд-

ка вдоль неизвестной границы. Задачам сопряжения решений гиперболического и параболического уравнений второго порядка вдоль неизвестной границы посвящены работы [42-43]. В [34] 3.0.Мельник решает однофазную двухстороннюю задачу типа Стефана в криволинейном секторе.

Некоторые простейшие задачи типа Стефана для уравнений струны исследованы различными методами в [5,60,80].

Локальная разрешимость общих смешанных задач для системы (I.I) в областях с неизвестными границами и наличием нескольких линий раздела фаз доказано в [39] методом характеристик. Некоторые частные случаи такой задачи рассмотрены в [15,73-74].

В последние годы при решении современных прикладных проблем появились качественно новые постановки задач, в первую очередь, для параболических и эллиптических уравнений и систем [6,16,53]. Своеобразие этих задач состоит, например, в том, что граничные условия ставятся во внутренних точках области, где искомая функция должна удовлетворять уравнению [б], или задаются неразделенные либо интегральные граничные условия [53]. Например, для уравнения теплопроводности

Bu. 3²u

Я2,.

₉ 0 <ъ<\ , i>0

a-t ы^г

интересными являются неразделенные условия вида

(1.8)

а₄иа.(0И0 +^bL_x0,i)+a_ou(0,t) +&_ои0,-Ь)=0,

с< ul_x (o,-b)-vd.,a_xO,-b) ⁺ c u(o,-k) + dou(A,V) = 0,

либо интегральные условия вида

tu(*,t)d*=JA(^. (1.9)

о Такого рода условия встречаются в задачах, описывающих процесс диффузии частиц турбулентной плазмы, а также процесс распро-

странения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон ( № Ш ) изменения общего количества тепла в стержне [53].

Отметим, что задачи с нелокальными (неразделенными и интегральными) условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений изучались раньше. Например, в [67] рассматривается задача: найти решение уравнения

ll' = к(хД)^ +((х),

удовлетворяющее условиям

а;, - точки интервала [а,&] .

Нестандартный вид краевых условий порождает ряд своеобразных явлений: в некоторых случаях получается бесконечное число присоединенных функций, возникают нетривиальные вопросы о сходимости разложений по собственным функциям, вопросы о существовании решения задачи и его непрерывной зависимости от исходных данных.

Для гиперболических уравнений ж систем на плоскости задачи с нелокальными (неразделенными или интегральными) граничными условиями рассматривались в [2,14,36,47-49,61].

А.М.Нахушев [47-49] рассматривает задачу с условиями типа (1.9) для нагруженных уравнений гиперболического типа. Указывается физический содержательный смысл нелокальных задач. С помощью функций Римана задача сводится к нагруженному уравнению Вольтерра второго рода. М.Х.Шхануков в [бі] исследует некоторые нелокальные задачи типа Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка. Задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений второго порядка в общей постановке изучались в [36].

В рамках метрического подхода задачи с нелокальными (многоточечными) условиями по "fc типа (1.8) для общих линейных гипербо-

лических уравнений с частными производными исследованы в работах Б.И.Пташника и его учеников [14].

Задачи типа Стефана для гиперболических уравнений и систем с нелокальными условиями в литературе не встречались.

В настоящей диссертации изучаются нелокальные граничные задачи для гиперболических систем первого порядка (І.І) и одного гиперболического уравнения произвольного порядка вида (1.2). Начальные условия считаются вырожденными в том смысле, что отрезок, на котором задаются начальные условия, вырождается в точку, т.е. линии задания граничных условий выходят из одной точки и нигде более не встречаются. При этом некоторое количество характеристик системы (І.І) или уравнения (1.2), выходящих из точки пересечения граничных кривых,может попадать в область определения решения, а граничные условия задаются в нелокальном виде типа (1.8) или (1.9), или в виде (1.8) и (1.9) одновременно. Для системы (І.І) рассмотрены также нелокальные задачи типа Стефана.

К рассмотрению таких областей мы, естественно, приходим, в частности, при изучении смешанных задач для гиперболических систем с разрывными коэффициентами в случав, когда линии разрыва исходных данных задачи имеют общие точки [22-23, 28]. В [28], например, пришлось исключить пересечение линий разрыва, а в [22-23], хотя и допускаются пересечения, но накладываются довольно жесткие ограничения на исходные данные задачи и линии разрыва.

В приложениях задачи подобного рода возникают в газовой динамике [52,54-55] , аэродинамике [72-73] .

Задачи с нелокальными (интегральными) условиями для гиперболических уравнений и систем встречаются в биологии [13,49,81], экологии [27], механике [82], демографии [83].

Так, например, в математической биологии задача, моделирую-

щая динамику популяций [8l], формулируется как задача о нахождении решения уравнения

It" + fj=-a(*HOu,x>0,t>0, удовлетворяющего условиям

Ha целесообразность и необходимость использования задач с нелокальными (интегральными) условиями указал А.М.Нахушев [49].

В демографических исследованиях [83] использованы "непрерывные" модели динамики популяций типа

jD(t,0)=jD_oU),

$(o,-t) = V (-0 = р№ J k(t,V) K0t,tt j(*,0

Здесь p(l,t) - плотность распределения по возрасту г в момент времени і ; и?(г,-Ь) - плотность мигрантов; мОц-Ь*) - коэффициент смертности; НЧ"Ь), р>(-Ь), к(г,0 , K(t,i) - стандартные демографические индексы.

При изучении упругих колебаний пьезоэлектрического преобразователя [82] , имеющего форму тонкого плоского кольца, между внешним и внутренним радиусами которого приложено импульсное напряжение Y = Vo Ъ (V) , приходим к решению уравнения

при дополнительных условиях

Имеются и другие прикладные задачи, приводящие к нелокальным добавочным условиям для уравнений и систем гиперболического типа.

2. Основные результаты диссертации

Пусть G - криволинейный сектор в верхней полуплоскости "t>0 плоскости xOi, ограниченный кривыми ^ и Х^т*^А * заданными соответственно уравнениями ^=a₀(V) И 31 = dyy^ (V) , Wl>0 , a-o(O) =a_w+A(0)=0 , a^CV) > а₀(Л") для всех -Ь>0 .Кривые ^_s: x=a_sCt^>) > s=0,w.4 , все a_se. С^Ч(К*) (lR₊= = C0,«0) , a_SM(-b)>a_sC-t') для всех -Ь>0, a_s(0)=0 раз-бивают G на т.+4 компонент связности 6 , s=0,m , занумерованных слева направо.

В первом разделе в области G рассматриваются нелокальные граничные задачи без начальных условий для гиперболических систем с двумя независимыми переменными.

В подразделе I.I в области G\U ^f_s для системы (I.I) (в предположении, что некоторое количество характеристик системы, проведенных через (0,0) , может попадать в G\Uy_s ) формулируются условия, заменяющие граничные условия на у_с и ^+а и условия сопряжения на vu ,..., v»_w , если m > О :

П. N1 _г SH

_{Е Е [Ео#ани<ікЮИО} ⁺

Ы S=0 ^u K=S

<Ч-нШ (2.1)

as-чШ

Л «г P

LL IpLsC^-bHtC^d^ViH^ , p = c^,N, (2.2)

О &(^N ,-fcellO,oe).

Здесь под иД понимается непрерывное продолжение at ^є G на G , которое предполагается существующим; аналогичный смысл имеют 0\i , af; , і і ; предполагается, что 1% ^ С ( G^s) ,

afj, J? є_С ( G^s) __Ls=^, j ,y[ ; о^ГІ ,hffC (R₊) , ^>Ts є С ( G^s) , s = o,m , L=\,w. , k = s,s+4 , p=<,4 ; pi^?_e«C⁴ (G^s) , Ь.'«С^Л(Ю , 1-й ,8-олі . p-^V

Далее в разделе I.I по коэффициентам условий (2.1), (2.2) определенным образом составляются квадратные матрицы порядка N .

Предположим, что

del АШ^ 0 для всех t»0, (2.3)

| А(0Г⁴В(0)|*і , (2.4)

їй.

и в точке (0,0) выполнено CPs-Q/s) условий согласования

N ^S= _

Е (8,. ₀-S_K?, )Н^Р(0)=0 , l=cuH,p_s , S=0,m, (2.5)

где 8-,р - элементы матрицы

m s

it = l , vet =vls+S р_й- о._й + 1;

(ps~Q,s) ~~ количество характеристик системы (I.I), которые попадают из начала координат в область G (s-0,yyl) ; Н^р(0) =

- (кЧ(Й ,..., кПо). \?*\ti) , ... , k^N'(0)) ; за норлу | | матрицы берется одна из обычных ее норм.

Из условия (2.4) следует существование числа s>0 такого,
что для всех "fc^e[0,]' .

В разделе 1.3 доказана

Теорема I.3.I. Пусть выполнены все предположения, сформули-

рованные в подразделе I.I. Тогда задача (I.I), (2.1)-(2.2) имеет единственное обобщенное решение, определенное для всех t^e[0,] . Это решение непрерывно (в смысле равномерной метрики) зависит от заданных функций h.^P (р= Vp , 1г^р' (р^+^М) и всех $\ . (Обобщенное решение понимается как кусочно непрерывная функция с возможными разрывами вдоль линий Y_s , удовлетворяющая системе ин-тегро-функциональных тождеств, полученных с помощью интегрирования системы (I.I) по ее характеристикам).

В процессе доказательства теоремы используются результаты лемм, сформулированных и доказанных в подразделе 1.2.

В подразделе 1.4 рассмотрена задача о продолжении решения задачи (I.I), (2.1) - (2.2) при t> . Для этого обозначим G_g)y ⁼\(x,t) &G-<-b4T}- ив этой области рассмотрим систему (I.I) с условиями (2.1) - (2.2) и начальными условиями

ut(^,) = (ji(x) (a_s(e)^x^a_s+1Cs), t = VvL ,s=0^0. (2.6)

Справедлива

Теорема 1.4.1. Предположим, что І) все функции ^1 ^є С ( б_Є}Т) ,0.^ , і? ^є С ( G|_?t) ; 2) коэффициенты сСЦ , 1п^Р е С [,Т] , jb_L^p_seC (G|_fT) , р=Ц ; 3) коэффициенты р?₅ ^еС^ч (GI_fT) , h^p^C4&,T] , p-^h7n ; 4) a^s_LeC f CL_S CO J (X_SM(e)] ; 5) выполняются условия (2.3) для всех "Ьв[є,Т] ; 6) выполняются соответствующие условия согласования (см.раздел 1.4).

Тогда задача (І.І), (2.1) - (2.2), (2.6) имеет в 6_Т единственное кусочно непрерывное обобщенное решение. Это решение непрерывно (в смысле равномерной метрики) зависит от заданных функций.

Из теорем 1.3.I и 1.4.I следует

Теорема 1.4.2. В условиях теоремы 1.3.I задача (І.І), (2.1) -

(2.2) имеет в G единственное обобщенное кусочно непрерывное ре
шение, которое на каждом конечном интервале изменения -fc непрерыв
но (в смысле равномерной метрики) зависит от заданных функций

К^Р (p=Vp, 1г^рГ (p=ty+4,N) и всех $\ .

В подразделе 1.5 в области G рассмотрен случай полулинейной системы

-^ ⁺ М*»^)^Г = Р-.СоьД,^,...,^),^ (2.7)

при тех же добавочных условиях (2.1) - (2.2).

Доказана

Теорема I.5.I. Предположим следующее: I) коэффициенты а- е С² (G^s) (l= V?l , S=0~vO ; 2) функции Ft ^є С ( G^s * 1R; (при тех же L , S ) и удовлетворяют локаль-ному условию Липшица по переменной U ; 3) функции oi ^ , fc is » Vi удовлетворяют условиям теоремы I.3.I; 4) выполняются условия

(2.3) - (2.5).

Тогда для некоторого >0 задача (2,7), (2.1) - (2.2) имеет в Gg единственное непрерывное обобщенное ( u_Le С ( G|) ) решение.

В подразделе 1.6 приведены некоторые коментарии к задачам, рассмотренным в подразделах I.I-I.5.

Построены примеры, показывающие существенность условий (2.3) - (2.4). (Необходимость условия согласования (2.5) для существования непрерывного обобщенного решения очевидна). Условие (2.3) аналогично условию Лопатинского для классических граничных задач эллиптического типа.

Рассмотрены некоторые простейшие варианты задач типа (I.I), (2.1) - (2.2). Показано, что если рассматривать задачу (I.I), (2.1) - (2.2), в предположении, что характеристики системы (I.I) в область G из начала координат не попадают и оС -_lS W) з 0 ,

p>i.s(ty?^)— 0 (p-4>0 .N=(wi/4)vi, т.е. задачу с нелокальными (интегральными)условиями, то условия типа (2.4) выполняются автоматически. При всевозможных других случаях это условие обойти не удается.

Указаны условия, при которых обобщенное решение рассмотренных задач будет кусочно гладким ( at С ( G^s) ).

Показано, что изложенная в подразделах I.I-I.5 схема исследования без существенных изменений проходит и в случае, когда некоторые из кривых v_s ( s = Q,wi+4) являются характеристиками системы (I.I) или (1.5). Таким образом рассмотренные задачи включают как частные случаи варианты характеристических задач. В случав, когда характеристики системы (I.I) или (1.5), выходящие из точки (0,0) в G^s не попадают, то число граничных условий должно равняться числу уравнений системы (I.I) или (1*5) и условия согласования отпадают.

Локальная теорема о существовании и единственности непрерывного обобщенного решения

Введем дополнительные вспомогательные неизвестные функции Будем впредь для краткости называть функцию КУСОЧНО непрерывной на G , если она равномерно непрерывна на некоторой Gs , и кусочно гладкой на G , если ее производные 1-го порядка кусочно непрерывны. Имеет место Лемма I.3.I. Для кусочно гладких на 6 (или на G8 при 0 ) функций а система (I.I.I) равносильна системе интегро-функциональных уравнений при любых, заранее незадаваемых, функциях и I и 0 . Доказательство. Переход от (I.I.I) и (1.3.2) получается с помощью подстановки в (I.I.I) вместо ос , -Ь значений -е= ipf (Ъ?зс,-Ь) , X и последующего интегрирования по % от f (ос,-Ь) до t , т.е. интегрирования вдоль характеристик I -го семейства. Обратный переход осуществляется помощью той же подстановки в (1.3.2) и последующего дифференцирования по t при t=-b , т.е. дифференцирования вдоль характеристик I -го семейства. Отметим, что соотношения (1.3,1) вытекают из (1.3.2). Определение 1.3.I. Кусочно непрерывным обобщенным решением задачи (I.I.I) - (I.I.4) будем называть, следуя работам [3,4], кусочно непрерывное решение системы (1.3.2), удовлетворяющее условиям (I.I.3) - (I.I.4) при каждом "t . Теорема 1.3,1.

Пусть выполнены все предположения, сформулированные в подразделе І.І. Тогда для некоторого 0 задача (І.І.І) - (І.І.4) имеет единственное обобщенное кусочно непрерывное решение в бе . Это решение непрерывно (в смысле равномерной метрики) зависит от заданных функций h ( р = 4»су ) ,К (р = = a+4,N ) и всех f і ; более подробно: существует постоянная С , независящая от функций Vi и f -ь , такая что Итак, задача свелась к нахождению системы непрерывных функций (ut(x,-b)j , JU-(-b)} и j su()j ,для которых удовлетворяются все соотношения (1.3,2), (1.3.4) и (1,3,5). Для дальнейшего нам понадобятся производные выражения которых найдены в подразделе 1.2. Из формулы (1.2.3) мы видим, в частности, что л ФО в G и потому, на основании теоремы о неявной функции, в G st уравнение Х = "Ьі( Л) можно разрешить относительно х . Обозначим полученную функцию через х=р? (х ,-fc) ; в силу той же теоремы она непрерывно дифференцируема. Эта функция определена при 0 t , г 4 і t; f (t) , причем (pf"(T,-b),-b) е. й если t?""(t) , то можно считать и -b=-bsL Ct) ; тогда 4 f (tf"(x), a.i(t),4:) = = a-L+ (tt (t)) Аналогичным образом, в GSL+" можно разрешить уравнение t itC"31»" относительно х , что даст непрерывно дифференцируемую функцию x=pt+0E,) определенную при 0 4t oo t t 4 4 Ч;?+СО » причем ( p?+ei:,),) є Gsu+ и есж tf+(t) с,— функция р+ не определена, при ps-Ч 4 L 4 vt функция не определена, при а5 + Л 4 L 4 ps (если as ps ) определены обе эти функции и t Ctf) =ТІ (х) Зг оо Используя введенные функции р , учитывая, что 1( 1 ,0,0),-) =0 , ь== a HTps и осуществляя простыв преобразования интегралов в (1,3.5) и (1.3.4), приходим к равенствам

Соответствующая нелокальная теорема

Рассмотрим сначала смешанную задачу, аналогичную рассмотренной в подразделах I.I - 1.3, в случав, когда интервал, на котором задаются начальные условия, не вырожден. Для этого при О Т обозначим G T ={(3 е G г "Ь Т j и в этой области рассмотрим систему уравнений (І.І.І) с граничными условиями (І.І.З) - (І.І.4) и начальными условиями Мы предположим, что все функции at непрерывны, а все прочие заданные функции удовлетворяют условиям, сформулированным в подразделе I.I. При этом условие (I.I.7) отпадает, а условие согласования, взамен (I.I.8), приобретает вид (s=0,wO : as(s) Под кусочно-непрерывным обобщенным решением системы уравнений (I.I.I) в G т будем понимать вектор-функцию и. (л,і) , равномерно непрерывную в каждой области G т = -1 (01,-Ь) =- Gs g -Ь Т \ , удовлетворяющую системе интегро-функщональных уравнений того же вида (1.3.2), что и ранее, где, однако, обозначено а под "Ьи С " ) понимается наименьшее значение t , при котором функция ЧЧ (т,х,-Ь) определена. Такое решение будем называть кусочно непрерывным обобщенным решением задачи (I.I.I), (I.I.3) - (I.I.4), (I.4.I) в G6 T f если оно удовлетворяет условиям (I.I.3) - (I.I.4) и (I.4.I) в обычном смысле. Из приведенного определения сразу вытекает простое, но важное следствие. Пусть UL (и.) представляет собой кусочно непрерывное обобщенное решение системы уравнений (I.I.I) в Gg)T( (соответственно GT jT ), где 0 Тл Т , причем й(х,Т0 = u.(x,TV) Тогда вектор-функция и. , равная и. в Ge Тл и а в GT т , представляет собой кусочно непрерывное обобщенное решение системы уравнений (I.I.I) в GSJT . Это следствие непосредственно распространяется на "склеивание" решений в G8 и Ge f , а также на случай "склеивания" решений в нескольких областях G є т » При формулировке теоремы об обобщенной разрешимости задачи (I.I.I), (I.I.3) - (I.I.4), (I.4.I) перечислим все предположения о заданных функциях.

Тогда задача (I.I.I), (1,1,3) - (1,1.4), (1,4,1) имеет в GT единственное кусочно непрерывное обобщенное решение. Это решение непрерывно (в смысле равномерной метрики) зависит от заданных функций Vip(p=T7cp » Wp (p=a+4,U ) и всех ii и a (подробная расшифровка этого та же, что в теореме 1,3.1), Доказательство теоремы 1,4,1 принципиально не отличается от доказательства теоремы 1,3.1. Здесь удобно разбить весь интервал [є,Т] на столь малые равные интервалы [е,ТЛ , [Т ,Тг1. [ Тр , Т ] , чтобы ни в какой области G ук т (к=0,...,р , То 5Тр+-«=Т) ни одна из характеристик не могла соединить одну из "боковых" сторон с другой. Тогда в силу замечания, сделанного перед формулировкой теоремы 1,4,1, достаточно доказать ее для любой из областей G-r„ -г , ; другими словами, без ограничения общности можно считать, что уже сама область Gj-r обладает указанным свойством. Но тогда при преобразовании граничных условий, описанном при доказательстве теоремы 1,3,1 члены с МНОЖНТеЛЯМЕЕ Ы% (Нч, (As+4 &} Л)) ( L = 0,5 ) и t( t,Cas(-fc),i)) (1 = PS-M,YL) будут отсутствовать, т.е. взамен (1.3.17) мы получим уравнение вида где К , L , L , Н того же вида, что ранее, а R - линейный ограниченный функциональный оператор, преобразующий s=o При указанном преобразовании, при дифференцировании второй группы граничных условий взамен равенств Ь,р Со) = 0 применяем последнюю группу условий согласования (1,4.2), Из уравнения (1.4.3) получаем, без какого-либо предположения о норме оператора К , что оператор 1 К обратим, т.е. (1.4.3) равносильно

Подстановка этого выражения в (1.3.20) (кусочную непрерывность функции (GLv)0,t) обеспечивают первые две группы условий согласования (1.4.2)) приводит к уравнению относительно a Но при достаточно большом р норма операторов 0. (1-10 L и 1_ч как угодно мала. Выбрав р таким, чтобы Q. (Д-К)"1 L L-, 4 , мы сможем в уравнении (1.4.4) обратить оператор І-СЩ-КУ" L L -, » "что и приведет к завершению доказательства теоремы І.4.І. Из теорем І.З.І и І.4.І следует Теорема 1.4.2. В условиях теоремы 1.3.I задача (І.І.І) -(І.І.4) имеет в G единственное обобщенное кусочно непрерывное решение, которое на каждом конечном интервале изменения "t не- прерывно (в смысле равномерной метрики) зависит от заданных функций 1гр (р=Т7 ) » КР (p = cyH,N) и всех i[ . Для доказательства надо сначала воспользоваться теоремой I.3.I для построения решения в Gg , а затем при любом Т S применить в G у теорему I.4.I при начальном условии

Существование и единственность решения задачи (2.1.1) - (2.1.5)

Предположим, что выполнены условия, указанные в подразделе 2.1; функции it (ог,-Ь) удовлетворяют условиям теоремы I.3.I; 0Lfs (-Ь) Ф 0 для всех s=0,m-v4 и e.R + ; коэффициенты операторов С is и свободные члены Vtp СО при р = a+4,N функции соответственно из классов С/ ( Gs) и С ( "Ю ; N определено, как в подразделе I.I. Перед определением понятия кусочно непрерывного обобщенного решения задачи (2.I.I) - (2.1.5) проведем ее предварительное преобразование, предполагая сначала, что искомое решение имеет кусочно непрервнне производные всех порядков 4 Yi и все равенства (2.I.I) - (2.1.5) удовлетворяются в обычном смысле. Следуя работе [85] , рассмотрим при каждом s = 0, VYL операторы характеристической формой Формулы (2.2.1) определяют при каждом s = 0,m множество из п линейно независимых форм от производных Ъ± Э "1, u.s ; обратно, эти производные могут быть найдены как линейные комбинации

Отсюда сразу следует (2.2.4). Таким образом, любой линейный однородный дифференциальный оператор порядка YI-\ С непрерывными коэффициентами можно, и притом единственным образом, представить в виде линейной комбинации операторов U\ (x,i, 3 ,3 » причем коэффициентами в этом представлении служат непрерывные функции от (x,) . Если же коэффициенты у заданного оператора непрерывно дифференцируемы, то и коэффициенты в представлении непрерывно дифференцируемы.

Воспользовавшись этим, выразим главные части операторов В силу сказанного выше, все коэффициенты oCil ( и j5iPs ( ,) непрерывны, а коэффициенты f «.s ( при р = О+Т/Й непрерывно дифференцируемы. Мы оудем предполагать, что введеиние сейчас функции OLIQ (t) и ftLps(u,-b) удовлетворяют условиям (I.I.6) и (I.I.7) подраздела I.I. Операторы Мt (х,t, 3,3.0 (І- ЇТО t определенные фор/гулами (2.2.1) и (2.2.2), имеют то очевидное свойство, что главные части операторов \s и одинаковы при любом i-A . . Положив 0 = № U ,-Ь,3Л, 3 ) usCx,) (L=ITO можем записать уравнение (2.I.I) при каждом s=0,m в каждой из следующих п. форм: где коэффициенты а- С -Л) и линейные дифференциальные операторы S? ( -7 3 ,3 4) порядка vi-2. очевидным образом определяются по коэффициентам уравнения (2.I.I). выразить подинтегральную функцию по формуле производной от сложной функции; затем к каждой из полученных производных 1 + 4 -го порядка применить аналогичное преобразование и т.д., вплоть до производных п-К -го порядка, которые выразить через к по формулам (2.2.3); после этого с помощью стандартной перестановки порядка интегрирования превратить кратные интегралы в однократные. Подстановка выражения (2.2.9) в уравнение (2.2.6),с учетом условий (2.1.5), приводит к системе интегро-дифференциальных уравнений типа Больтерра вида Соответственно преобразуются правые части добавочных условий (2.2.7) - (2.2.8), в результате чего эти условия принимают вид

Нелокальная многофазная задача типа стефана для гиперболической (жстеш первого порядка с двумя независимыми переменными

Мы будем рассматривать области G и гладкие линии у5 того же типа, что в подразделе I.I, однако теперь будем считать, что эти линии (с уравнениями эг = а3(-0 , as (.0 ) = О , s = = 0,wi+4 ) заранее не заданы, а строятся в процессе решения задачи; заданы только значения 0 (0 ) , причем схо(о) ± ач(о) ... a WM (о). В области Ge мы рассмотрим гиперболическую систему (I.I.I) с кусочно непрерывными (равномерно непрерывными в каждой области Gg ) функциями OLL; и і і и кусочно гладкими (обладающими равномерно непрерывными производными в каждой области ) функциями Ікі Смысл обозначений її и т.п. тот же, что выше. Поскольку границы областей G заранее не заданы, то будем считать, что все функции 1\ , a? , i\ (t, =T7 » $=0, wi j заданы при O в некоторой окрестности точки (0,0) и непрерывны там вместе с -=- - и -—І- ; функции же 11 doc dt Введем в рассмотрение матрицы Под кусочно непрерывным обобщенным решением задачи (І.І.І), (З.І.І) - (3.1.2) мы будем понимать набор функций a.s(-fc} ( S = = 0,YY\-VI у 0- -1 ") для некоторого 0 и кусочно непрерывное обобщенное (в смысле подраздела 1.3) решение u(ce.,V) в Ge задачи (I.I.I), (З.І.І), удовлетворяющие условию (3.1.2) при всех -U[0,] . Тогда существует такое значение Є є (о»«Л , что задача (І.І.І), (3.1.I) - (3.1.2) имеет в Qe единственное кусочно гладкое обобщенное решение, определенное для всех е ЕО,.] . Доказательство.

Обозначим заданные значения 1TS (о) через (cxrs)0 , зададимся некоторыми значениями Єе(0,оЗ , VL 0 и обозначим через & множество функций а= (а. , ..., ауп+л") е[сч[о,е]] , для которых и к будем считать столь малыми, чтобы для всех таких функций удовлетворялись соотношения (1.1,2) (в которых надо положить c s =ps ) и (ІЛ.6). Так как при as=Ps » Ч$ = 0,т , условия согласования (I.I.8) отпадают, то по теореме 1.3.I каждой функции а є отвечает кусочно непрерывное обобщенное решение в G є = G є а со"" ответствующей задачи (1 1.1) - (I.I.4); это решение мы обозначим через U(oi,; а) (его значение при фиксированных х , і является функционалом относительно a ). Можно доказать, что при любых = Т/Я , s = 0,w. , K=S,S+4 зависимость XL (&К(.-Ь),-Ь; а) в метрике равномерного уклонения от а как элемента [СлПо,І11п й удовлетворяет условию Липшица: где вертикальными черточками обозначена любая из норм в 1R (от ее выбора зависит L ). Чтобы проверить соотношение (3.2.1), заметим, что из доказательства, проведенного в подразделе 1.2, нетрудно вывести априорную оценку для решения через заданные функции, из которой, в частности, вытекает, что все значения Однако все операторы, введенные в подраздел 1.3 и рассматриваемые только на функциях U , для которых выполняются условия (3.2.2) и (3.2.3), и на следах этих функций на линиях сс= OLs() , удовлетворяют по а в С" [ О , s ] [ m+ условию Липшица.

А тогда и зависимость решения уравнений типа Вольтерра, рассматриваемых в подразделе 1.3, от функционального параметра а удовлетворяет условию Липшица, откуда вытекает (3.2.1). Так как нам требуется только удовлетворить условиям (3.1.2), рассмотрим на й оператор A : a — A a f действующий по формуле Искомое решение является его неподвижной точкой. Из условия сог ласования 9) вытекает, что если при фиксированном К достаточно уменьшить , то этот оператор к отображает .Й в себя и в метрике [ С1 СО,el] +2" является сжимающим. Поэтому из известной теоремы Банаха вытекают существование и единственность неподвижной точки оператора, т.е. искомого решения, которое можно получить по методу итераций. На этом доказательство теоремы 3.2.1 закончено. Замечание 3.2.1. Легко видно, что изложенная здесь схема доказательства проходит и для задачи (1.5.I), (3.1.I) - (3.1.2). Замечание 3.2.2. Условия движения границ типа (3,1.2) можно задавать в более общем виде, например

Похожие диссертации на Нелокальные задачи типа Дарбу для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными

Краевые задачи для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырожденияРасулов, Хайдар Раупович

Задачи со смещением для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырожденияШувалова Татьяна Витальевна

Краевые задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типаЭгамбердиев, Улугбек

Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типов с двумя линиями и различными порядками вырожденияАкбарова, Сурайё Хамидовна

Краевые задачи для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядкаЯковлева, Юлия Олеговна

Решение краевых задач для систем уравнений параболического и эллиптического типа при граничных условиях смешанного типаМамедов, Нияз Мустафа

Задача Геллерстедта для одного класса систем уравнений смешанного типа Идрисов Ринат Галимович

Задача Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа Мугафаров Марат Фавильевич

Формулы представления решений систем уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной и двумя сингульярными линиямиОрипов Турдикул Сафарович

Задачи на собственные значения для операторов смешанного типа с двумя линиями степенного вырождения и примененияЧиганова Наталья Викторовна