Содержание к диссертации
Введение
1 Некоторые предварительные сведения из теории дифференциальных уравнений
1.1. Теорема существования решений обыкновенного дифференциального уравнения
1.2. Теорема существования для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
2 Полный дифференциал первого порядка и соответствующая переопределенная система дифференциальных уравнений
2.1. Полный дифференциал функции двух независимых переменных
2.2. Системы уравнений в полных дифференциалах первого порядка с одной искомой функцией от двух независимых переменных
3 Классический полный дифференциал второго порядка 24
3.1. Определения 24
4 Система уравнений в полных дифференциалах второго порядка
4.1. Система трех уравнений в полных дифференциалах второго порядка
4.2. Система двух уравнений первого типа 28
4.3. Система двух уравнений второго типа 29
5 Системы в полных дифференциалах второго порядка с одной сингулярной линией
5.1. Системы трех уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной сингулярной линией
5.4. Системы двух уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной сингулярной линией
6 Системы в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями
6.1. Система трех уравнений в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями
6.2. Системы двух уравнений в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями
Литература
- Теорема существования для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- Системы уравнений в полных дифференциалах первого порядка с одной искомой функцией от двух независимых переменных
- Система двух уравнений первого типа
- Системы двух уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной сингулярной линией
Введение к работе
Актуальность темы. Квазилинейные переопределенные системы уравнений в частных производных с одной искомой функцией, включая системы в полных дифференциалах (п.д.-системы), изучались в трудах Якоби, Фробениу-са, Гурса, а также И.В. Гайшун (Минск) и других.
В Таджикистане исследования по переопределенным системам были начаты Л.Г. Михайловым в 1971 г., о чем можно судить по его монографии «Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями» изд. Дониш, Душанбе 1986 г.
Л.Г. Михайловым была развернута еще и другая научная подпроблема: переопределенные системы с сингулярными точками и линиями, в работе над которой за 15-30 лет была создана достаточно крупная научная школа. Определенные результаты в данной области получены Л.Г. Михайловым, Н. Раджабо-вым, Э. Мухамадиевым, Э. Рузметовым и их учениками А.С. Сатаровым, Р. Пи-ровым, Б. Шариповым, М. Холовым, Р. Сайдуллаевой и другими. В работах А.И. Перова, В.Г. Задоржнова, Ф.Н. Назарова в многомерном пространстве рассмотрены уравнения в полных дифференциалах первого порядка.
Получению многообразия решений и исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка, некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и точками посвящена монография академика АН РТ Н. Раджабова: «Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами» (Душанбе, 1992 г., 236 с), в которой методы, разработанные им для гиперболических уравнений и гиперболических систем с сингулярными коэффициентами, распространяются для гиперболических уравнений и систем со сверхсингулярными коэффициентами. В 1994 году в монографии Э. Рузметова
«Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных» (Душанбе, 1994, 241 с.) были получены интегральные представления многообразия решений некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярными линиями, плоскостями и многообразиями. Применением системы уравнений в частных производных первого и второго порядка (с регулярными правыми частями) к решению некоторых задач гидро- и газодинамики занимались В.Н. Манахов, М.М. Лаврентьев и их ученики.
В предлагаемой диссертационной работе изучаются некоторые классы дифференциальных уравнений и системы уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями. Некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с сингулярными многообразиями, имеющие важное значение в математической физике, мало изучены. В связи с этим проблема получения многообразия решений и исследование некоторых задач для переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями является актуальной.
Цель предлагаемой диссертационной работы. Исследовать полные дифференциалы второго порядка с сингулярными линиями и решения соответствующих систем уравнений в частных производных второго порядка с сингулярными линиями.
Практическая и теоретическая ценность. Работа является чисто теоретической. Исследуются переопределенные системы уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями, которые до сих пор не рассматривались. Результаты, полученные в работе, являются новыми. Результаты диссертации можно применить в решении задач математического анализа для определения углов наклона касательных, выпуклостей, для опре-
деления поля скоростей, в задачах электро- и гидродинамики и других отраслях науки.
Методы исследования. Методика данного исследования базируется на классическом вещественном двумерном анализе и теории дифференциальных уравнений с новыми ее приложениями для переопределенных систем, изложенными в монографии Л.Г. Михайлова «Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями».
Научная новизна работы. Установлен ряд новых теорем существования и единственности решений задач Коши для тех или иных переопределенных систем (трех или двух) уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями. В ряде случаев для решений найдены явные интегральные представления.
Апробация работы. Отдельные ее части докладывались на научных семинарах академика Л.Г. Михайлова, которые он проводил в Таджикском государственном педагогическом университете в прежние годы, а также на семинарах и научных конференциях в Таджикском техническом университете, в институте Предпринимательства и сервиса, на Республиканских конференциях в Кургантюбинском государственном педагогическом университете, а также работа была доложена на международных научных конференциях в ТГНУ, ТГПУ, ТТУ, ИСП (1997,2001,2002,2004,2005,2006, 2007 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати научных статьях и тезисах, список которых приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести параграфов и списка литературы. Работа изложена на 117 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 36 наименований. При написании работы придерживались следующего правила. Для обозначения теорем и формул использовалась тройная нумерация. Первая цифра означает номер параграфа, вторая - номер пункта, третья - текущий номер утверждения.
Краткое содержание работы. Настоящая диссертация посвящена исследованию уравнения в полных дифференциалах второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями различных порядков. Исследования такие классы системы уравнений в полных дифференциалах, которые разрешимы с конкретными формулами, выражающиеся через 1, 2, 3 и 4-х произвольные постоянные, в некоторых случаях через одну произвольную функцию одного переменного и одну произвольную постоянную. Во всех случаях исследования необходимо требуется непрерывность функции а(х,у), Ь(х,у), с(х,у) в некотором замкнутом прямоугольнике П, содержащие особые линии:
х = х0 \х = 0
либо <
У = Уо Ь = о
В 1, п. 1.2. диссертации приводятся необходимые для дальнейшего исследования предварительные сведения из теории дифференциальных уравнений. В 1 изложены теоремы существования решений для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), а затем также для системы ОДУ. В 2 даются определения: полного дифференциала dU = a(x,y)dx + b(x,y)dy
и ему равносильной системы уравнений U'x=a{x,y), U'y=b{x,y).
В более общем случае, когда сама искомая функция входит в правые части, т.е. для dU = a(x,y,U)dx + b(x,y,U)dy, соответствующей системой уравнений будет:
U'x = a(x,y,U), U'y=b(x,y,U). (2.2.1)
Она называется системой в полных дифференциалах или п.д.-системой (см. [1],
[3]).
В 2 дается определение полной интегрируемости системы (2.2.1) и приводится доказательство теоремы 2.2.1. о том, что тождественное выполнение
условия совместности необходимо и достаточно для полной интегрируемости системы (2.2.1).
В 3 вводится и изучается классический полный дифференциал второго порядка; в учебнике по анализу такого материала не приводится. По этой причине необходимо было найти эффективный способ построения первообразной для классического полного дифференциала второго порядка, способ оказался тем же самым, который был найден Л.Г. Михайловым в 5 монографии [3] для решения системы трех квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка, т.е. способ приведения к трем системам уравнений в полных дифференциалах первого порядка.
В 4 нашей работы приводится из [3] исследование квазилинейной системы второго порядка, т.е. трех уравнений в полных дифференциалах:
^С U"xy, Uyy=Fi{x,y,U,U'x,U'y), / = 1,2,3 (4.1.1)
где F - заданные функции своих пяти аргументов. Вводя новые искомые функции U'x = V, U' =W, приходим к трем системам в полных дифференциалах первого порядка:
Vx=V,U'y=W (А)
V'x, v;=F'(x,y,U,VtW), і = ІА (В) (4.1.2)
W'x, W'y=F\x,y,U,V,W\ / = 2,3 (С),
которая состоит из трех отдельных пар уравнений А, В, С, левые части которых являются первыми производными соответственно для U, V или W. Из них сразу же видны необходимые условия совместности, получаемые перекрестными дифференцированиями. Самое первое условие совместности V' = W'x является
очевидным следствием из уравнений четвертого: Vy =F{2) и пятого Wx =F{2); остается два условия, получаемые из ОПД (операции перекрестного дифференцирования) во второй паре, т.е. D Fm = DXF{2) (Ni), которое видно непосредст-
венно было еще из (4.1.1), а в третьей паре это будет DyF{2) = DXF{3) (N2) (о чем
см. в тексте) 4, формулы (4.1.3). По итогам применения к этим системам основной теоремы о задаче Коши для тех или иных п.д.-систем, мы получаем основной результат 4, т.е. теорему 4.1.
В пунктах 4.2. и 4.3. рассматриваются п.д.-системы двух уравнений, когда в левых частях будут U'^, U'xy (первого типа) или когда U"xx, U"^ (второго типа).
В регулярном случае такие два типа систем двух уравнений второго порядка впервые были изучены Л.Г. Михайловым в 5 из [3]. Новым здесь является 5. В 5 рассмотрен полный дифференциал второго порядка с одной сингулярной линией:
x"dU - a(x,y)dx2 + xb(x,y)dxdy + x2c(x,y)dy2 (5.1.1)
и эквивалентная ему п.д.-система:
x"f/>«(x,^), х"-% =b(x,y), x-2U'„ =с(х,у) (5.1.2)
(N,) (N2) (N3)
Пусть выполнены условия совместности: dy=xbx-(n-\)-b(x,y)
Уу=хсх-{п-\)-с{х,у)
х2(ауу - с„) + 2пхсх -п(п +1) с{х,у) = О
Тогда для уравнений в п.д. (5.1.2) справедлива теорема 5.1.
Замечание. Аналогично (5.1.1) и (5.1.2) рассматривается уравнение в п.д.
виде:
y"d2U = y2a(x,y)dx2 + yb(x,y)dxdy + c(x,y)dy2 (5.1.11)
или равносильная ему п.д.-система уравнений второго пордка:
д2Ц = а(х,у) d2U =b(x,y) d4j_=c{x1y)
дх2 у"'2 ' дхду у"-' ' ду2 у" С '
Если для системы (5.1.12) выполнены условия совместности:
b'x=ya'y-(n-2)-a (N4) сх =yb'y -{п-\)-Ъ (Щ
тогда имеет место теорема 5.2.
В разделе 5.2. рассматривается уравнение в полных дифференциалах второго порядка:
x"d2U = x"a(x,y)dx2 + b(x,y)dxdy + x"c(x,y)dy2 При выполнении условий совместности:
nb = хЪ'х -дги+1 -ау\ пс = хсх -x"+l b'y (N7)
имеет место теорема 5.3.
В разделе 5.3. рассматривается система: (х-х0)а -Ul^a&y), (х-х0У -U"xy=b{x,y), (х-х0)г /^ =с(х,>>) (5.3.1)
Для случая а = \,/3>0,у>0 а,р,у- целые положительные числа справедлива теорема 5.3.1.
Для случая а = 2,/3>0,у>0 получена теорема 5.3.2. Для случая а = п> 3,/? > 0,у > 0 справедлива теорема 5.3.3.
Во всех этих случаях получены соотвествующие утверждения о существования решения и их интегральные представления.
В разделе 5.4. рассмотрена система двух уравнений:
(х-х0)а U"xx = a(x,y),(x-x0Y -Uxy=b(x,y) (5.4.1)
Если выполнено условие совместности:
(х - х0У-а+1 ау(х,у) = (х- х0)Ъ'х(х,у) - /? Ь(х,у), (5.4.4)
то для случая а = 1, /? > 0 получена теорема 5.4.1. Для случая a = 2,/3 > 0 получена теорема 5.4.3. Для случая а = п>3,/3> 0 получена теорема 5.4.5. Во всех этих случаях получены соотвествующие утверждения о существования решения и их интегральные представления.
В разделе 5.5. рассматривается система уравнений:
(х-*)' Ult=a{x,y),(x-x0)'' -U'„=c(x,y) (5.5.1)
Для случая а = 1,р>0 получена теорема 5.5.1.
Для случая a = 2,/3 > 0 получены теорема 5.5.2. и теорема 5.5.3.
Во всех этих случаях получены соотвествующие утверждения о существования решения и их интегральные представления.
В 6 изучаются п.д.-системы уравнений второго порядка с двумя сингулярными линиями.
В разделе 6.1. рассмотрена система трех уравнений в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями:
(*-*Ь)" 'и1 =Ф*У)* (х-ХоГ-Ц^ =b(x,y), (y-y0)m-U'„ =с(х,у) (6.1.1) Рассмотрены отдельные случаи: 1) т = п = 1, а>0;2) т = п = 2, а>0;3) т = п>Ъ,а>0.
Для них получены теоремы 6.1.1., теорема 6.1.2. и теорема 6.1.3.
Во всех этих случаях получены соотвествующие утверждения о существования решения и их интегральные представления.
В разделе 6.2. изучается система уравнений в п.д.:
и: =
Ф,у) ц" Их, у)
ХУ (х-х0У-(у-у0У
\Х х0)
Условия совместности системы имеют вид:
. с(х,у) "~{у-УоУ
(6.2.1)
Цх,у)
(х-х0)а(у-Уо)Р
(6.2.2.)
д а(х,у) _ д ду (х-х0)т дх
Ф,У)
д_ Ь{х,у)
ду (х-х0)а(у-у0У
Ч(у-уоП
Рассмотрены отдельные случаи:
1) m = n = l,a>0,/J>0;2) m = n = 2,a>0,J3>0;3) m>3,n>0,a>0,j3>0
Получены: теорема 6.2.1, теорема 6.2.3, теорема 6.2.5. Во всех этих случаях получены соотвествующие утверждения о существования решения и их интегральные представления.
В разделе 6.3. рассматривается п.д.-система:
x"ymd2U = yma{x,y)dx2 + xyb{x,y)dxdy + x"c(x,y)dy2, условия совместности которой имеют вид:
ym-]a=xb'x-{n-\)-b (N5) сх =yb -{п~\)-Ъ
(6.3.1)
(N6)
Пусть условия (N5), (Ыб) выполняются, тогда справедлива теорема 6.3. В разделе 6.4 изучается уравнение в полных дифференциалах второго порядка:
(6 АЛ)
xky"d2U = y"a(x,y)dx2 + b(x,y)dxdy + xkc(x,y)dy2
и соответствующая п.д.-система:
(6.4.2)
d2U = а(х,у) d2U =Ь(х,у) д2Ц = с(х,у)
дх2 ~ хк ' дхду ~ хку" ' ду2~ у"
Пусть выполнены условия совместности:
(N7)
kb-x(b'x-y"ay) = 0; nb-y{xkcx-yb'y) = 0
Тогда получена теорема 6.4.1.
В разделе 6.5. рассмотрена п.д.-система:
(6.5.1)
d2U а(х,у) d2U Ь(х,у)
= с(х,у)
дх2 у" дхду хк
При выполнении условий совместности:
У+1 (xb'x - кЪ) - хм {уау -па) = 0
(6.5.2)
Ьу-хксх=0
у2ауу - 2пуау + п{п + \)а - у^с^ = О
получена теорема 6.5.1.
В разделе 6.6. изучается система: а(х,у)
(6.6.1)
U = —- и = Ь^Ы1
" (У-УоПх-ъУ' *> (х-х0У(у-у0У
Если для системы уравнений (6.6.1) выполнено условие совместности:
д_ дх
д_ ду
Ф,у)
(у-у0У(х-х0У
Ь(х,у)
(6.6.3)
(х-х0У(у-УоУ
тогда в случае т = п = 1,а>0,/3>0; в случае m = n = 2,a>0,fl>0; в случае т>3,п2:0, a>0,j3>0 получены теоремы 6.6.1., 6.6.3., 6.6.4.
Во всех этих случаях получены соотвествующие утверждения о существования решения и их интегральные представления.
В разделе 6.7. изучена система уравнений:
а(х,у)
хх ґ \а
и„.=-
Ь(х,у)
(6.7.1)
" (у-УоУ
а(х,у)
хх / \а
(х-х0)
Для случая а - (3 = 1 получена теорема 6.7.1. Для случая а = Р = 2 получена теорема 6.7.2. Для случая a = m>3,j3 = n>3 получена теорема 6.7.3. Во всех этих случаях получены соотвествующие утверждения о существования решения и их интегральные представления. В разделе 6.8. рассмотрена система:
(6.8.1)
Ь(х,у)
Uyy=\y-yoY
Для случая а = Р = \ получена теорема 6.8.1. Для случая а = /3 = 2 получена теорема 6.8.2. Для случая а = т>3,Р = п>3 получена теорема 6.8.6. Во всех этих случаях получены соотвествующие утверждения о существования решения и их интегральные представления. В разделе 6.9. изучена система:
(6.9.1)
а(х,у) ТТ Ь(х,у)
U =
(х-х0)
U" (х-х0У(у-у0У
При выполнении необходимых условий совместности системы (6.9.1):
Ь(х,у)
(6.9.2)
_(Х-ХоУ(у-у0У
изучены случаи: 1) п = т-\, /?>0; 2) п = т = 2, /?>0; 3) п>3,т>3, (3>О и получены теоремы 6.9.1., 6.9.2., 6.9.3.
Во всех этих случаях получены соотвествующие утверждения о существования решения и их интегральные представления.
Материалы диссертации докладывались на республиканских, международных конференциях, на научной конференции в ТТУ (2005 г.), в Кургантю-бинском госуниверситете (1997 г.), в ТГНУ и других вузах Республики Таджикистан с 1997 по 2006 гг. Основные результаты работы опубликованы в работах [25]-[36].
Выражаю глубокую признательность моему научному руководителю Академику АН Республики Таджикистан Михайлову Л.Г. и профессору
*
Рузметову Э.[ за постановку задачи, предложенную тему, постоянное внимание
и полезные советы.
\*
Теорема существования для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Пусть в прямоугольнике П:\х-х0\ а, \у-у0\ Ь, где а и Ъ заданные положительные числа, задана функция f{x,y). Требуется найти решения дифференциального уравнения: у- = /(х У) (1-І) ах которое удовлетворяет условию: Ух-х.=УошаУЫ = Уо (I-2) Относительно функции /( , у) предположим: 1. f(x,y) является непрерывной функцией в замкнутой области П. Из этого следует существование такого положительного числа М, что для всех то чек замкнутой области П выполняется неравенство: \f(x,y)\ M (1.3) 2. Функция f(x,y) в области Я удовлетворяет относительно переменного у условию Липшица, т.е. существует такое положительное число к, что для лю бого х из отрезка - х0\ а и любых двух значений у і, у2, переменного у из от резка \у - у0\ Ъ, выполняется неравенство: \f{x,y{)-f{x,y2)\ N{y{-y2) (1.4) где N- положительная константа.
Теорема 1. Если в замкнутом прямоугольнике П функция f(x,y) непрерывна и переменная у удовлетворяет условию Липшица, то при выполнении ус ч ловия малости h miniа,— на отрезке \x-x0\ h существует, и при том един [ М) ственное, решение дифференциального уравнения (1.1), удовлетворяющее начальному условию (1.2). Доказательство см. в [21]. Пусть теперь задана системы уравнений: Фі_ ах dy2_ dx = /2(х Уі У2 - Уп) (1.2.1) dyn dx /пі У Уі Уп) (У где fl(x,yl,y2,...,у„), (/ = 1,я) функции от (п+1) - переменных, заданные в замкнутом параллелепипеде: Лп+1 = {(х,Уі)/\х-х0\ а\Уі -yw\ b\ і = й где а и Ь заданные положительные числа. Требуется найти решение системы (1.2.1), которое удовлетворяет начальным условиям: У,(Х) = У10)Ы при х = х0 (і = й) (1.2.2) где x0,yj0)(x0) - некоторые заданные постоянные числа.
Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений (1.2.1), для которой нужно найти такое решение, которое удовлетворяет начальному условию (1.2.2).
Допустим, что задана непрерывная и непрерывно-дифференцируемая функция U =f(x,y). Тогда ее полное приращение в точке (х0, уо) имеет вид: AU = f(x0+Ax,yQ+Ay)-f(x0,y0) (2.1.1) (2.1.3) (2.1.4) Прибавляя и вычитая f(x0,y0 + Ay) в правой части равенства(2.1.1), имеем: &U = [f(x0+Ax,y0 + Ay)-f(x0,y0 + Ay)]+[f(x0,y0 + Ay)-f(x0,y0)](2.1.2) Применяя к этим разностям теорему Лагранжа, получим: fix, +Ах,у0+Ау)-Дх0,у0 +Ау) = д/[х Уо]-Ах ох /{ХоіУо+Ау)-Дх0,у0) = Щ -Ау где у0 у у0 + Ау, х0 х х0+Ах Внося выражения (2.1.3) и (2.1.4) в равенство (2.1.2), получим: ди=М Я.Дг+№;л].Д;, (2Л5) дх ду Так как, по предположению, частные производные функции по переменным (х,у) непрерывны, то получаем: df{x,y) {[т (х Уо+Ьу) дх х=х0 У=Уо X- XQ У- Уо дх (2.1.6) df(x,y) lim - о ду У- Уо х=х0 У=Уч df(x,y) L ду . (V Поэтому: df(x,y + Ay) df(x,y) dx dx df(x,y) df(x,y) + П (2.1.7) by dy где yvy2 являются бесконечно малыми величинами. В силу равенств (2.1.7) со отношение (2.1.5) принимает вид: w Mbu.ta+wa&.ty+y r (2.1.8) dx dy где /, - 0, /2 -» 0 при Ах -» 0 и А/ -» 0.
Сумма двух последних слагаемых правой части является бесконечно ма лой величиной высшего порядка малости относительно 8 = л](Ах)2 +(Ау)2.
Дифференцируя первое уравнение по у, а второе по х и приравнивая вторые смешанные производные, получим соотношение (2.2.4), которое является необходимым условием совместности системы (2.2.1). Это значит, что при невыполнении условия (2.2.4) система (2.2.1) не имеет решений, т.е. система (2.2.1) несовместна. Для систем типа (2.2.1) имеется несколько различных наименований. Во-первых, их называют совместными системами, во-вторых переопределенными системами, в-третьих системами в полных дифференциалах. В общем случае для системы (2.2.1) условие (2.2.4) может выполняться либо на какой-то конкретной функции U = U(x,y), являющейся единственным решением системы, а может выполняться тождественно - и только в этом случае существует многообразие решений с одной произвольной постоянной, что и будет доказано ниже.
Определение. Система (2.2.1) называется системой в полных дифференциалах или вполне интегрируемой, если она разрешима и ее решение содержит произвольную постоянную.
Теорема 2.2.1. Тождественное выполнение соотношения (2.2.4) является необходимым и достаточным условием для полной интегрируемости системы (2.2.1), или же для того, чтобы задача (2.2.1)-(2.2.3) была разрешима для всех значений if из некоторого интервала значений.
Необходимость. Допустим, что существует многообразие решений системы (2.2.1), и оно имеет вид: f(x,y,U) = C
Требуется доказать, что условие совместности (2.2.4) выполняется тождественно относительно U. Допустим противное, т.е. условие (2.2.4) выполняется, но не тождественно. Тогда по теореме о неявной функции из анализа, примененной к (2.2.4) - как уравнению относительно функции U существует решение U = U(x,y) оно представляет собой единственную функцию (без произвольной постоянной) и эта функция является единственным решением системы (2.2.1).
Системы уравнений в полных дифференциалах первого порядка с одной искомой функцией от двух независимых переменных
Пусть в области П задана некоторая функция U = U(x,y), имеющая непрерывные частные производные первого порядка где dx, dy - произвольные дифференциалы независимых переменных (х,у), а изъявляется полным дифференциалом некоторой функции U = U(x,y). Если предположить существование всех частных производных второго порядка для U, то dU будет иметь непрерывные частные производные первого порядка и можно говорить о полном дифференциале этого дифференциала, т.е. dfdUJ, который называется дифференциалом второго порядка, или вторым дифференциалом от функции Uи обозначается cfu. Если U = f(x,y) є С2, то имеем
Из этой формулы видно, что задание cfU равносильно заданию совокупности трех частных производных второго порядка функции U = Щх,у): д2Ц d2U д2Ц дх2 дхду ду2 а потому задание дифференциала (3.1.2) равносильно заданию трех равенств: K=f(x,y), U:y=g(x,y), lf„=b{x,y) (3.1.3)
По аналогии с предыдущим (fUm (3.1.2) можно называть классическим полным дифференциалом ему системы дифференциальных уравнений второго порядка, а (3.1.3) эквивалентным ему системы трех уравнений второго порядка.
Мы имеем три подсистемы (3.1.4), (3.1.5) и (3.1.6), для каждого из которых выполняется свое условие полного дифференциала.
Для первой из них (3.1.4) условие Vy - (N) автоматически будет выполнено, как это видно из (3.1.5) и (3.1.6). Для второй необходимым условием совместности будетgx = f y, (Ni), а для третьей, т.е. (3.1.6), будет: g y = b xi (N2).
Таким образом нами доказана: Теорема. Пусть в системе (3.1.3): f,g,b =C\n), UeC\n) В случае выполнения условия (3.1.7) исходная система разрешима единственным образом и многообразия ее решений выражается формулой (3.1.11).
Таким образом, имеем, что условия совместности системы в п.д. (4.1.2) приводятся к выполнению условия (4.1.3). При этом тождественное выполнение условия (4,1.3) относительно Ц V, W, составляет полную совокупность условий полной интегрируемости для системы (4.1.2). Начальными условиями для системы уравнений (4.1.2) будут: 27 U = UQ=CX при x = x0, y = y0 V = V0=C2 при x = x0, y = y0 (4.1.4) W = W0=C3 при x = x0, y = y0 Они соответствуют начальным условиям для системы (4.1.1): Uo = Clt (U X)0=C2, (U y)0=C, (4.1.5)
Для системы в полных дифференциалах первого порядка с любым числом неизвестных функций имеется общая теорема существования решений задачи Коши (см. [1] стр. 64).
Т.е. для системы (4.1.2) при условиях (4.1.4) получаем теорему существования и единственности решения к п.д. системам, и, возвращаясь обратно к системе второго порядка (4.1.1), будем иметь: Теорема 4.1. Пусть в системе (4.1.1) U є С2(П): F еС\П), / = 1,2,3, где П - является прямоугольником П = П(а,Ь) = {\х-х0\ а,\у-у0\ Ь, \V-V0\ b,\U-UQ\ b,\W-W0\ b} Если а min а,— , М = max JF1, F2, Fi j, и выполнены условия полной интегрируемости: DyF] = DxF2, (N) DyF2 = DxF3 (N,), то задача (4.1.1)-(4.1.2) на П(а,Ь) имеет и притом единственное решение. 4.2. Система двух уравнений первого типа Будем рассматривать систему уравнений: ия,и„=Ґ(х,у,и,их,иу), / = 1,2 (4.2.1) Производя перекрестное дифференцирование U" = U "xyx из (4.2.1) будем иметь: F +F -U +Fl-Uxy + Fl-U = F2+F2-U +F2-U" +F2-U" (N) у и у v Л/ w уу X U XV XX W ух Вставляя сюда значения U U" из (4.1.1) придем к уравнению: tf l/„=H(x,y,U,V,W) (4.2.2) где H- определено равенством: F -H = (F2 +F2 -U x+F2 -Ґ +F2 -F2)-(Fyl +F U y+F F2) (4.2.3)
Таким образом получается, что уравнение (4.2.2) дополняет систему уравнений (4.1.1) до системы трех уравнений вида (4.1.1), которая изучена в 4. Если для этой системы сделать операции перекрестного дифференцирования, то получим, что первое ее условие совместности выполняется тождественно. Остается проверить второе условие: Dy(F2) = Dx(H) (N,) в которое входят переменные х, у, U, Ux, Uy и требуется, чтобы условие (Ni) относительно этих переменных выполнялось тождественно. Теорема 4.2. Пусть П = П(а,Ь) - является прямоугольником и иеС3(П) еС2(Л), Fb 0 / = 1,2. Если а тт\а,—\ и М = тах Ґ ,i = l,2, и условия (N) и (Nj), выполняются тождественно, то на П(а,Ь) задача (4.1.1)-(4.1.2) имеет, и притом единственное, решение.
Система двух уравнений первого типа
При этом полученное решение задачи на линии х=0 имеет особенность (п-2)-го порядка по х, а по у - является непрерывным. Тем самым нами доказана.
Теорема 5.1. Если в полном дифференциале второго порядка (5.1.1), либо в п.д.- системе второго порядка (5.1.2), функции а,Ь,сеС2(П)и удовлетворяют необходимым условиям совместности (Nj), (N2), (N3), то первообразная к полному дифференциалу второго порядка (5.1.1), либо решение п.д.-системы второго порядка (5.1.2), дается формулой (5.1.9), причем в ней
При этом на линии у=0 получено решение уравнения (5.1.11) имеет особенность (п-2)-го порядка по переменной у, апо х является непрерывной. При этом для уравнения в п.д. (5.1.11) справедлива равносильная ей теорема 5.2. і
Теорема 5.1і. Пусть задано уравнение в полных дифференциалах второго порядка в виде (5.1.11), причем в нем а,Ь,сеС2(П). Если для соответствующего уравнения (5.1.11), либо в п.д.-системе (5.1.12) условия совместности выполнены, тогда эта п.д.-система второго порядка (5.1.12) разрешима и многообразия ей решений выражается соответствующей формулой (5.1.14) или (5.1.15).
Теорема 5.2. Пусть задана система уравнений в полных дифференциалах второго порядка вида (5.2.2), причем в ней Ъ є С1 (77), а,с є С2(П). Если для соответствующего уравнения (5.2.1), либо в п.д.-системе (5.2.2), условия совместности (N7) выполняются, тогда эта п.д.-система разрешима и многообразие её решений выражается соответствующей формулой (5.2.7).
Для совместности системы (5.3.1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (5.3.2) всюду в области П, за исключением точек линии х=х0. Тогда любое решение системы (5.3.1) из класса функций, имеющих в П непрерывные смешанные частные производные четвертого порядка представимо в виде: либо (5.3.12), либо (5.3.13) , либо (5.3.14) .
Теорема 5.3.2. Пусть в п.д.-системе (5.3.1) а = 2, р,у 0, fl,yeZ+ a(x,y),b(x,y),c(x,y)eC2(I7)t UеС\П), функция а(х,у) в точках линии х=х0 удовлетворяет условию Липшица.
Для совместности системы п.д. (5.3.1) (при а=2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (5.3.2) всюду в П, за исключением точек линии х=хо. Тогда любое решение системы (5.3.1) из класса функций, имеющих в П непрерывные смешанные частные производные четвертого порядка представимо в виде: (5.3.15), либо (5.3.16), либо (5.3.17) . В точках особой линии х=хо решение системы (5.3.1) имеет логарифмическую особенность.
Заметим, что решения вида (5.4.7) и (5.4.8) в близи сингулярной линии х=хо непрерывны. Теорема 5.4.1. Пусть в системе (5.4.1) a = l,/?>0, а(х, у),Ь(х, у) заданные функции класса С1 (Я) Для совместности системы (5.4.1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (5.4.3) всюду в области П, за исключением точек линии х=хо- Тогда любое решение системы (5.4.1) из класса функций, имеющих в П непрерывные смешанные частные производные третьего порядка представимо в виде (5.4.7) или (5.4.8), непрерывное во всей П. Задача 5.4.1. Требуется найти решение системы (5.4.1) a = l,j3>0 из класса функций, имеющих в П непрерывные смешанные частные производные третьего порядка, удовлетворяющее условиям: и(0,у) = Му),их(0^) = ^ (5.4.10) где fx(y) - заданная дифференцируемая на отрезке 0 < у < у0 функция, hj - заданное действительное число. Решение задачи 5.4.1. Для решения задачи (5.4.1), используя интегральное представление (5.4.7) и (5.4.10), будем иметь:
Системы двух уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной сингулярной линией
Для совместности и существования непрерывного решения системы (5.5.1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (5.5.2) всюду в области (Я), за исключением точек линии х=Хо. Тогда любое решение системы (5.5.1) из класса функций, имеющих в (Я) непрерывные смешанные частные производные четвертого порядка представимо в виде (5.5.12) или (5.5.13) .
Заметим, что решения вида (5.5.12), (5.5.13) на сингулярной линии х=х0 имеют логарифмическую особенность.
Если в постановке задачи необходимо требовать, что а(х,у) в точках линии х=хо, с(х,у) в точках линии у=у0 удовлетворяют условию Липшица, т.е. \а(х,у)-а(х0)у)\ М х-х0\, \c(x,y)-c(x,yQ)\ M2\y-yQ\, тогда легко определить, что (см. п.5.1-5.6) решение исходной системы почти всюду в П является непрерывной, в точках линии х=х0 и у=у0 неограничено, имеет логарифмическую особенность по переменным х, у соответственно.
Теорема 6.1.2. Пусть в п.д.-системе (6.1.1): n = m = 2, а 0: а) а(х,у), Ь(х,у), с(х,у) є С\П), Щх,у) є С4(П); б) а(х,у), с(х,у) в точках линий х=хо, у=уо удовлетворяют условию Лип шица. Для совместности системы (6.1.13) необходимо и достаточно, чтобы вы полнялись условия (6.1.2) всюду в П, за исключением точек линии Х=Хо, у=Уо Тогда любое решение п.д.-системы (6.1.13) в С4 (77) представимо в виде (6.1.14), либо (6.1.15) , либо (6.1.16) . Причем это решение является непрерывно почти всюду в П, а линиях границ х=х0, у="уо имеет логарифмическую особен ность.
Аналогично предыдущему при п 3, m 3, а 0, а е Z+ справедливо следующее утверждение: Теорема 6.1.3. Пусть в системе (6.1.1): n 3,m 3, а 0: а) а(х,у), Ь(х,у), с(х,у) - заданные функции класса С2(П), б) функции а{х,у), с(х,у) в окрестности точек сингулярных линий х=х0, У=Уо удовлетворяют условию Липшица: Теорема 6.2.1. Пусть в системе (6.2.1) т п = \, а 0, /? 0: а(х,у), b{x,y), с(х,у) - заданные функции класса С2(П), Для совместности системы (6.1.1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (6.2.2) всюду в области Я, за исключением точек линии х=хо, у=Уо- Тогда любое решение системы (6.2.1) из класса функций, имеющих в Я непрерывные смешанные частные производные третьего порядка, представимо в виде либо (6.2.19), либо (6.2.20), либо (6.2.21). Заметим, что решения вида (6.2.19), (6.2.20), (6.2.21) в точках сингулярных линий х=х0, у=уо непрерывны. Задача 6.2.1. Требуется найти решение системы (6.2.1) (т = п = 1, а 0, /? 0) из класса функций, имеющих в Я непрерывные смешан ные частные производные третьего порядка, удовлетворяющее следующим условиям: /(0,0) = ах, /,(0,0) = а2, Uy(0,0) = а3, (6.2.23) где ava2,a3- заданные действительные числа. Решение задачи 6.2.1. Для решения задачи (6.2.1), используя интегральное представление (6.2.19) и условия (6.2.22) будем иметь: С, = а2, С2 = аъ, С3 = ах (6.2.24)
Теорема 6.2.2. Пусть коэффициенты системы (6.2.1) (т = п = \, а 0, /? 0) удовлетворяют условиям теоремы (6.2.1) и #,.(/ = 1,3)- заданные действительные числа. Тогда единственное решение задачи (6.2.1) дается формулой (6.2.19), где С,(/ = 1,2,3) определяются равенствами (6.2.24).
Для совместности системы (6.2.1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (6.2.2) всюду в области Я, за исключением точек линии х=Хо, у=уо- При этом любое решение системы (6.2.1) из класса функций, имеющих в П непрерывные смешанные частные производные третьего порядка, представимо в виде либо (6.2.25), либо (6.2.26), либо (6.2.27). Заметим, что решения вида (6.2.25), (6.2.26), (6.2.27) в близи сингулярных линий х=хо, у=уо имеют логарифмическую особенность.
