Содержание к диссертации
Введение
1 Построение асимптотического представления решения слабонелинейной системы дифференциальных уравнений типа «реакция-диффузиям 12
1.1 Постановка задачи 12
1.2 Алгоритм построения асимптотики при /* = е4 13
1.2.1 Регулярная часть 13
1.2.2 Пограничные функции Tlu{x,г), IIV[X,T) 14
1.2.3 Процедура, сглаживания функций й0, vG 16
1.2.4 Внутренний переходный слой 16
1.2.5 Впутрспее разложение в окрестности начала координат 18
1.2.6 Построение функций внутреннего переходного слоя RQU, RQV . 19
1.2.7 Дополнительное внутреннее разложение Той, Г$ь 20
1.2.8 Окончательный вид АГІ 21
1.3 Алгоритм построения асимптотики при Е2 21
L3.1 Регулярная часть 22
1.3.2 Пограничные функции Пи(х, г), Пь(х, г) 22
1.3.3 Функции переходного слоя 5QW, Si)V 23
1.3.4 Внутреннее разложение в окрестности начала координат . 26
1.3.5 Окончательный вид АП 27
2 Асимптотика решения сингулярно возмущенной начально-краевой задачи для слабонелинейной системы типа п реакция-диффузия 28
2.1 Постановка задала 28
2.2 Алгоритм построения асимптотики 29
2.2.1 Регулярная часть разложения 29
2.2.2 Пограничные //-функции 30
2.2.3 Пограничные Q-функции 31
2.2.4 Внутренний переходный слой 32
2.2.5 Окончательный вид АП 38
3 Асимптотика сингулярно-возмущенной начально-краевой задачи с переменными коэффициентами 39
Постановка задачи 39
3.2 Алгоритм построения асимптотики 40
3.2.1 Регулярная часть разложения 40
3.2.2 Пограничные Я-функции 42
3.2.3 Пограничные Q-функции 43
3.2.4 Внутренний переходный слой , 44
3.2.5 Окончательный вид АП 50
4 АП решения начально-краевой задачи для системы дифференци альных уравнений типа реакция-диффузия-переноо 51
4Л Постановка задачи 51
4.2 Алгоритм построения асимптотики 52
4.2.1 Регулярная часть разложения 52
4.2.2 Пограничные //-функции 54
4.2.3 Пограничные Q-функции 55
4.2.4 Внутренний переходный слой 56
4.2.5 Окончательный иид АП С2
Приложения 64
А Вывод уравнения для Б^щ S^v в случае fi = 6і 64
О достаточных условиях параболичности внутреннего переходного слоя 68
8.1. Независимость М от выбора собственных секторов 68
8.2 Об отрицательности коэффициента М для матриц A, D специального вида 69
8.3 Оценка коэффициента V R терьшнах матрицы D 71
8.4 Достаточные условия параболичности внутреннего переходного слоя для матрицы А специального вида , 72
8.5 Доказательство параболичности задачи для функций переходного слоя при условии несимметричной матрицы А 75
8.6 Доказательство параболичности задачи для фуикіщй переходного слоя для симметричной матрицы Л 79
Литература
- Внутренний переходный слой
- Алгоритм построения асимптотики
- Регулярная часть разложения
- Внутренний переходный слой
Введение к работе
Асимптотические методы представляют собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Они позволяют получать приближенные аналитические представления решений весьма сложных линеных и нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для урашюпий в частных производных.
Асимптотические методы широко применяются в механике, физике и других науках, оперирующих ди ффе рении альны ми уравнениями. Большинство этих методов (например, метод Пуанкаре, метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли именно при решении конкретных задач механики и физики, а затем уже были развиты и обобщены. Впоследствии многие методы получили строгое математическое обоснование. Однако до сих пор целый ряд методов малого параметра, особенно применительно к уравнениям в частных производных, нельзя считать строго обоснованными, и успех их применения часто бывает связан с глубоким и неформальным проникновением и суть задачи, с пониманием процессов, описываемых данными уравнениями.
В настоящее время асимптотические мотоды продолжают бурно развиваться, несмотря на бурное развитие численных методов, вызванное появлением быстродействующих вычислительных машин и комплексов- численные и асимптотические методы не исключают, а взаимно дополнят друг друга. Аналитические методы служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, дли построения опорных "тестовых"решений, а в ряде случаев являются также основой для разработки вычислительных методов.
В последние годы внимание ученых, занимающихся асимптотическими методами теории дифференциальных уравнений, привлекла так называемая проблема сингулярных возмущений, поставленная перед математиками интенсивным развитием самых разнообразных областей науки. Особое внимание заслуживают сингулярно возмущенные (св.) дифференциальные уравнения в частных производных с малыми параметрами при старших производных, которые часто возникают в разнообразных прикладных задачах и используются при описании математических моделей процессов диффузии, сорбции с учетом малой диффузии, фильтрации жидкостей в пористых средах, химической кинетики, хроматографии, тепло- и массопереноса, гидродинамики и многих других областях.
Теория сингулярных возмущений интенсивно развивается, начиная с основополагающих работ А. Н. Тихонова. К настоящему времени создай ряд методов построения асимптотических разложений решений различных св. задач. Это метод пограничных функций, развитый в работах А. Б, Васильевой, М, И. Вишика, Л. А. Люстерни-ка, В. Ф. Бутузова; метод регуляризации С. А. Ломова, методы усредпепия, ВКБ,
сращивания асмптотических разложений А. М. Ильина и другие. Также следует отметить немалые вклады в развитие теории асимптотических методов Н. Левинсопа, Дж. Хединга, А. X. Найфэ,
Все вышеуказанные методы позволяют получить асиптотические разложения решений для весьма широких классов св. уравнений. Вместе с тем каждый из них не охватывает все многообразие задач, особенно для уравнений в частных производных в критическом случае. Нередко возникают такие св. задачу к которым готовые методы не применимы или не позволяют получить эффективный результат. Поэтому разработка методов решений си. уравнений остается весьма актуальной проблемой.
Диссертация посвящена решению этой проблемы применительно к некоторому классу св. задач в критическом случае.
Как известно, один из основных требований в теореме Тихонова о существовании решения системы
^ = F(zty,t), ft = f(z,y,t), 0 < ( < Г,
является условие существования изолированного корня z — tp(y,t) вырожденного уравнения F{z^y,t) — 0. Во многих прикладных задачах, приводящих к св. уравнениям, это условие нарушается; вырожденное ураш-юшю имеет не изолированный корень, а целое семейство решенийзависящее от одного или нескольких параметров. Такой случай называется критическим.
Оказывается, при определенных весьма общих условиях асимптотика решения начальной задачи в критическом случае имеет такой же вид, как и для систем Тихоновского типа, в частности, в пределе при {і -> 0 решение начальной задачи переходит r одно из решений вырожденного уравнения, однако алгоритм построения асимптотики претерпевает изменении.
Диссертация посвящена исследованию св. задач в критическом случае:
e2Lv-AU = eF, (1)
и{а:І0) = и(х)1І/(0І0 = Ф0й1 (2)
где L дифференциальный оператор в частных производных первого порядка, А -вырожденная матрица, х,г С 1 = {0 < t < Т. О < х < со}, U(x,t) — {щ(хЛ)}} (г = 1,п) - вектор решений, 0 < є « 1 - малый параметр. Как видно, вырожденная система уравнений имеет не изолированный корень, а целое семейство решений. Такой случай называется критическим.
D диссертации рассматриваются задачи, для которых rang Л — п- I.
Подобные задачи были решены для двумерного случая, но методы решения не могут быть распространены па n-мерпый случай п силу возникновения серьезных осложнений. Поэтому был разработан новый алгоритм решения задачи, который имеет обратную силу, т.е. применим и дія двумерного случая, причем существенно облегчает вывод уравнений для некоторых членов асимптотики.
Основной целью настоящей работы является следующее.
Построение асимптотического представления (АП) решения слабонелинейной системы д.у. типа «реакция-диффузиям, обоснование полученного алгоритма (для системы из двух уравнений).
Формальное построение АП решения начально-краевой задачи для св. системы д.у. и частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и постоянными коэффициентами вне малой окрестости начала координат.
Формальное построение АП решения начально-красной задачи для св. системы д.у. в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и переменными коэффициентами вне малой окрестости начала координат
Обобщение алгоритма формального построения АП решения на начально-краевую задачу системы еле. д.у. типа -ереакция-диффузия-переноо.
Обоснование сформулированных алгоритмов.
Оценка АП решений по невязке.
Результаты исследований имеют как теорети ческую, так и практическую ценность. Разработанные в работе алгоритмы АП решений начально-краевых задач для с.в, систем д.у могут быть реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ и использованы на практике. Данные алгоритмы особенно полезны при изучении математических моделей процессов фильтрации жидкости и пористых средах при учете малой диффузии, что часто встречается в задачах экологии, биофизики, хроматографии и других науках.
Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения, списка литературы и приложения.
Во введении дается обзор существующих математических методов АП решения св. задач с внутренним переходным слоем. Обосновывается актуальность разработки новых и модификации существующих математических методов и алгоритмов исследования и построения АП решений ел*, задач с вивіреними переходными слоями. Приводится краткое содержание диссертации по главам.
Первая глава диссертации посвящена изучению и построению АП решения слабонелинейной системы д.у, типа «реакция-диффузия». Окончательный вид асимптотики различен при различных значениях малого параметра ^^), в первой глаис рассматриваются случаи jt(e) = єА и /j(c) = є2.
Во второй главе рассматривается АП решения св. начально-краевой задачи для системы д.у. е частных производных первого порядка со слабой нелинейностью в критическом случае, которая имеет вид:
e*(Ut + nUx) = AU + eF{U), (За)
и(х,о) = и"(х)7и(ол) = Ф\г), (ЗЬ)
где x,t с ft = {0 < і < Г, 0 < х < ос}, U(xtt) = [щ(х,1)}% (г = їугс) - вектор решений, 0 < г « 1 - малый параметр.
Предполагается, что матрица D = diag||c(^||]f -диагональная, da > О, А = ЦйуЦ" -вырожденная (rangЛ = n-1), F(U) = {fi(U)ti = 1,га} -вектор-функция, определенная для всех \у.і\ < со, (і = 1, п). Считается, что элементы матриц .4, D - постоянны и вещественны.
Для построения асимптотики на функции налагаются определенные условия.
В третьей главе рассматривается построение формального асимптотического представления решения начальвдькраевой задачи для ев, системы д.у. первого порядка в частных производных с малой нелинейностью в случае зависимости элементов матриц А} D от пространственной переменной х.
В четвертой главе рассматривается АП решения начально-краевой задачи для слабо-нелинейной системы св. д.у. типа "реакция-диффузия-перенос11:
L(U) = e2{Ut + D{x)Ux) - eAC{x)U,x - A(x)U - eF{x: U) = 0, (4a)
tf((U) =>(*), U{x,0}=U(x). (4b)
где x,t С її = {0 < t < T, 0 < х < со}, U(xtt) = {щ{х9г)}ч (і = ЇТп) - вектор решений, 0 < г « 1 - малый параметр.
В заключении сформулированы основные полученные результаты и основные выводы.
Некоторые громоздкие вычисления представлены о приложении.
Внутренний переходный слой
Асимптотические методы представляют собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Они позволяют получать приближенные аналитические представления решений весьма сложных линеных и нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для урашюпий в частных производных.
Асимптотические методы широко применяются в механике, физике и других науках, оперирующих ди ффе рении альны ми уравнениями. Большинство этих методов (например, метод Пуанкаре, метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли именно при решении конкретных задач механики и физики, а затем уже были развиты и обобщены. Впоследствии многие методы получили строгое математическое обоснование. Однако до сих пор целый ряд методов малого параметра, особенно применительно к уравнениям в частных производных, нельзя считать строго обоснованными, и успех их применения часто бывает связан с глубоким и неформальным проникновением и суть задачи, с пониманием процессов, описываемых данными уравнениями.
В настоящее время асимптотические мотоды продолжают бурно развиваться, несмотря на бурное развитие численных методов, вызванное появлением быстродействующих вычислительных машин и комплексов- численные и асимптотические методы не исключают, а взаимно дополнят друг друга. Аналитические методы служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, дли построения опорных "тестовых"решений, а в ряде случаев являются также основой для разработки вычислительных методов.
В последние годы внимание ученых, занимающихся асимптотическими методами теории дифференциальных уравнений, привлекла так называемая проблема сингулярных возмущений, поставленная перед математиками интенсивным развитием самых разнообразных областей науки. Особое внимание заслуживают сингулярно возмущенные (св.) дифференциальные уравнения в частных производных с малыми параметрами при старших производных, которые часто возникают в разнообразных прикладных задачах и используются при описании математических моделей процессов диффузии, сорбции с учетом малой диффузии, фильтрации жидкостей в пористых средах, химической кинетики, хроматографии, тепло- и массопереноса, гидродинамики и многих других областях.
Теория сингулярных возмущений интенсивно развивается, начиная с основополагающих работ А. Н. Тихонова. К настоящему времени создай ряд методов построения асимптотических разложений решений различных св. задач. Это метод пограничных функций, развитый в работах А. Б, Васильевой, М, И. Вишика, Л. А. Люстерни-ка, В. Ф. Бутузова; метод регуляризации С. А. Ломова, методы усредпепия, ВКБ,
сращивания асмптотических разложений А. М. Ильина и другие. Также следует отметить немалые вклады в развитие теории асимптотических методов Н. Левинсопа, Дж. Хединга, А. X. Найфэ,
Все вышеуказанные методы позволяют получить асиптотические разложения решений для весьма широких классов св. уравнений. Вместе с тем каждый из них не охватывает все многообразие задач, особенно для уравнений в частных производных в критическом случае. Нередко возникают такие св. задачу к которым готовые методы не применимы или не позволяют получить эффективный результат. Поэтому разработка методов решений си. уравнений остается весьма актуальной проблемой.
Диссертация посвящена решению этой проблемы применительно к некоторому классу св. задач в критическом случае.
Как известно, один из основных требований в теореме Тихонова о существовании решения системы = F(zty,t), ft = f(z,y,t), 0 ( Г, является условие существования изолированного корня z — tp(y,t) вырожденного уравнения F{z y,t) — 0. Во многих прикладных задачах, приводящих к св. уравнениям, это условие нарушается; вырожденное ураш-юшю имеет не изолированный корень, а целое семейство решенийзависящее от одного или нескольких параметров. Такой случай называется критическим.
Оказывается, при определенных весьма общих условиях асимптотика решения начальной задачи в критическом случае имеет такой же вид, как и для систем Тихоновского типа, в частности, в пределе при {і - 0 решение начальной задачи переходит R одно из решений вырожденного уравнения, однако алгоритм построения асимптотики претерпевает изменении.
Диссертация посвящена исследованию св. задач в критическом случае: E2LV-AU = EF, (1) и{а:І0) = и(х)1І/(0І0 = Ф0й1 (2) где L дифференциальный оператор в частных производных первого порядка, А -вырожденная матрица, х,г С 1 = {0 t Т. О х со}, U(x,t) — {щ(хЛ)}} (г = 1,п) - вектор решений, 0 є « 1 - малый параметр. Как видно, вырожденная система уравнений имеет не изолированный корень, а целое семейство решений. Такой случай называется критическим.
Алгоритм построения асимптотики
Подобные задачи были решены для двумерного случая, но методы решения не могут быть распространены па n-мерпый случай п силу возникновения серьезных осложнений. Поэтому был разработан новый алгоритм решения задачи, который имеет обратную силу, т.е. применим и дія двумерного случая, причем существенно облегчает вывод уравнений для некоторых членов асимптотики.
Основной целью настоящей работы является следующее. Построение асимптотического представления (АП) решения слабонелинейной системы д.у. типа «реакция-диффузиям, обоснование полученного алгоритма (для системы из двух уравнений).
Формальное построение АП решения начально-краевой задачи для св. системы д.у. и частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и постоянными коэффициентами вне малой окрестости начала координат.
Формальное построение АП решения начально-красной задачи для св. системы д.у. в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и переменными коэффициентами вне малой окрестости начала координат
Обобщение алгоритма формального построения АП решения на начально-краевую задачу системы еле. д.у. типа -ереакция-диффузия-переноо. Обоснование сформулированных алгоритмов. Оценка АП решений по невязке.
Результаты исследований имеют как теорети ческую, так и практическую ценность. Разработанные в работе алгоритмы АП решений начально-краевых задач для с.в, систем д.у могут быть реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ и использованы на практике. Данные алгоритмы особенно полезны при изучении математических моделей процессов фильтрации жидкости и пористых средах при учете малой диффузии, что часто встречается в задачах экологии, биофизики, хроматографии и других науках.
Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения, списка литературы и приложения.
Во введении дается обзор существующих математических методов АП решения св. задач с внутренним переходным слоем. Обосновывается актуальность разработки новых и модификации существующих математических методов и алгоритмов исследования и построения АП решений ел , задач с вивіреними переходными слоями. Приводится краткое содержание диссертации по главам.
Первая глава диссертации посвящена изучению и построению АП решения слабонелинейной системы д.у, типа «реакция-диффузия». Окончательный вид асимптотики различен при различных значениях малого параметра ), в первой глаис рассматриваются случаи jt(e) = єА и /J(C) = є2.
Во второй главе рассматривается АП решения св. начально-краевой задачи для системы д.у. Е частных производных первого порядка со слабой нелинейностью в критическом случае, которая имеет вид: e (Ut + nUx) = AU + eF{U), (За) и(х,о) = и"(х)7и(ол) = Ф\г), (ЗЬ) где x,t с ft = {0 і Г, 0 х ос}, U(xtt) = [щ(х,1)}% (г = їугс) - вектор решений, 0 г « 1 - малый параметр. Предполагается, что матрица D = diagc( ]f -диагональная, da О, А = ЦйуЦ" -вырожденная (rangЛ = n-1), F(U) = {fi(U)ti = 1,га} -вектор-функция, определенная для всех \У.І\ со, (і = 1, п). Считается, что элементы матриц .4, D - постоянны и вещественны. б Для построения асимптотики на функции налагаются определенные условия.
В третьей главе рассматривается построение формального асимптотического представления решения начальвдькраевой задачи для ев, системы д.у. первого порядка в частных производных с малой нелинейностью в случае зависимости элементов матриц А} D от пространственной переменной х.
Регулярная часть разложения
Си. дифференциальные уравнения, содержащие малые параметры при старших производных, являются интресным объектом для исследования как с чисто математической, так и с прикладной точек зрения, В прикладных областях уравнения возникают также в задачах теплопроводности, диффузии [3], сорбции [3], химической кинетики, биофизики [4т гидродинамики, акустики, взаимодействия излучения с веществом и других.
Математическая теория св. интенсивно развивается с основополагающих работ А. Н. Тихонова. В настоящее время существуют мощные методы построения асимптотических разложений (а,р,) решений св. уравнений, такие, как метод погранфунк-ций, развитый в работах М, И, Вишика, Л. А, Люстеркика, А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова и их учеников [22]-[25], метод регуляризации С. А. Ломова [27]. метод усреднения [29, метод ВКБ и операторный метод В. П. Маслова 31]-[33], метод согласования а, р., получивший в монографии А. М. Ильина законченную математическую форму [28] и другие. Вместе с тем ни один из методой не исчерпывает всего многообразия св. задач.
Поскольку в диссертации рассматриваются только уравнения ЇЇ частных производных в критическом случае, а также с внутренним переходным слоем, то приведем обзор литературы, наиболее близкой к предмету исследования, не преіендуя, впрочем, на исчерпывающую полноту.
Одной из первых математически строгих работ, посвященных критическому случаю, является работа А. Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова [2]. Рассмотрим систему уравнений с малой нелинейностью:
Где х и / - m-мерные вектор-функции, A(t) - (т х т)-матрица, jU 0 - малый параметр, A(t) и f[xtt,fi) предполагаются достаточно гладкими.
При некоторых наложенных на матрицу A(t) условиях, решение задачи (5)-(6) строится в виде суммы регулярного и пограничного рядов: яр, # ) = Ж( , /І) + Піїт, /І) = J! / ( .( ) + n fr)), где r = х/ц. Ст. сп. для xo[t) имеем вырожденное уравнение A{t)x0 = 0. Общее решение этого уравнения в силу наложенных на A(t) условий можно записать в виде 0 = e{t)a(t)t где e{t) - (m х )-матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы A(t), a{t) - й-мерпая вектор-функция, элементами которой являются произвольные скалярные функции. Для Пох(т) получается задача - = a{Q)UGx, т О, U I к П0х(0) = х - х0(0) = а:0 - ,(0) (0). =i Общее решение с учетом наложенных условий и требования стремления к нулю всех П-функций при т -л со, имеет вид: m %е= смО")ехр(Аі(0)г). Подставляя это выражение в начальные условия (6), получаем систему к m 5 ((0)е,(0) + ад(0)=:г0. однозначно определяющую начальные значения для неизвестных пока функций 0 (0) {полностью эти функции определяются на следующем шаге при рассмотрении уравнения ДЛЯ Xi(t)).
Таким образом, функция П0.т(т) полностью определена, причем в силу наложенных условий она имеет экспоненциальную оценку П0х(т] сехр( т), а для неизвестных функций (()т входящих в выражение для %, найдены начальные значения.
Функции следующего приближения строятся аналогично. Этот метод широко используется при рассмотрении задач в критическом случае (см., например [5]), Необходимо отдельно остановиться па методе согласования а.р. [4], Приведем пример построения а.р. с помощью метода согласования [4]: Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения: Г e AU - а(х, y)Uy = f(x, у), т,у Є П = (0,1) х (0,1), 1 Лю=0. Сначала строится внешнее разложение U — 53 є Щк{%, у) пригодное в квадрате Q без сторон x — Otx = lty=l. Все 1г2к есть решения задач и(а )- = Д(х,у), Uk{x,Q) =0, /о - 1{х,у), Д = -ДЬи:-2, : 1 В окрестности верхней стороны квадрата П к внешнему разложению добавляются обыкновенные погранфункции, которые строятся стандартно.
Для ликвидации невязок в граничных условиях на сторонах х — U и х = 1 строятся ряды внутренних разложений. РАстягивая переменную Q = х/є, стандартным способом (степ.) получаем задачи для определения членов внутреннего разложения LvB = О, Lvk = - + ЫУК , к 1, [7) Wtt(0,!/) = -им( Ы +L(0,y) - 0, rft(C,0) = О, со где L = JW - a0fo), а{х,у) = «ifoK s tf 1=0 Члены ряда 1 определены однозначно ввиду того, что правые части уравнений (7) имеют особенности, нарастающие с увеличением номера к Каждое слагаемое vk определено с точностью до линейной комбинации J Cj тгГ(Сі Уі)
Решения задач (8) также неоднозначны, поскольку краевые условия и правые части уравнений неограничены на бесконечности, щ и Wj определяются однозначно из условия что в некоторой промежуточной зоне разложение "плавно" переходит в V (подробнее см- в [4]). После этого строится единое разложение и доказывается теорема об оценке остаточного члена. С помощью метода согласования построено много асимптотик решений бисингу-лярных задач ([5]-(8] и др,) Кроме того, заслуживают отдельного внимания задачи с внутренним слоем типа ступеньки, изучению которых Б последнее время уделено много работ различных авторов ([9]-[21]).
Внутренний переходный слой
Строится формальное асимптотическое представление решения начально-краевой задачи для слабоаелипсйиой системы типа "реакция-диффузия" e2(Ut + DU ) = AU + eF{x7 U), (2.1a) 1,0) = U (x),U(Qtl) = (t)t (2.1b) где x,t С ii = {0 t i\ 0 x со}, U(:rtt) = {щ{х,1)}, (i = ї гс) - вектор решений, 0 в « 1 - малый параметр. Предполагается, что матрица D — diagjtf jj диагональная, dti О, А — jfttj" - вырожденная (rangЛ = ті - 1), F(x,U) = {fi(xyU),i — l,ro} - вектор-функция, определенная для всех \ut\ со, (г — 1,п). Считается, что элементы матриц Д D -постоянны и вещественны.
Введем следующие обозначения: h0 - собственный вектор матрицы А, соответствующий нулевому собственному значению А = 0; /tj - собственный вектор транспонированной матрицы А , соответствующий собственному значению А — 0; скалярное произведение векторов а и Ь будем обозначать стандартно (ауЬ). Будем считать, что выполнены следующие условия, 1. и (х), Ф(/) а так же элементы n-мерной вектор-функции F(xyU) дважды непрерывно дифференцируемы в областях своего определения, 2.(F,ftS) = 0. 3.{ha,h ) = H 0, (U/io,/ 5) 0. 4. Собственные значения А матрицы А, отличные от нуля, удовлетворяют условию RcA 0.
Отметим, что А = 0 есть так же собственное значение матрицы D lA, и при наложенных на матрицы A, D условиях - однократное. 5. Остальные собственные значения Л матрицы D 1А удовлетворяют условию ReA 0.
Формальное асимптотическое представление задачи (2,1) с точностью 0[е) строится вне малой окрестности точки (0,0) в виде суммы сглаженой регулярной части U(x,t,() пограничных функций П(х,т), Q[ft) и функции переходною слоя S(Q: U = Uo{x X) П,(х,т) Qo{ A) + S0{CJ) -т(хуі,є) = UQ r{xytte), (2.2) здесь UQ = U${x,t, 0+Ло(х,т)+(3о(, 0+ o(( ) АП решения, т{х,1уе) -остаточный член. Представим функцию F{x, U) в виде F(x, U)=F + SF + ПГ + QF + RF (2.3) где F = FixtU+)u + F(xtU-){l-w), SF = F(V(t - eQ,U + SV) - [F(V(i - ),U+)U + F(V{t- cC), U ){1 - w), nF = F{xtU + nV)-F[xtU)t QF = F[t2,0 + QV)-F{t\U)t RF = F(x, U) -(F + SF + IIF + QF). Назначение и алгоритм построения функций, входящих в выражения (2.2), (2.3), а так же аргументы этих функций описаны ниже. Не ограничивая общности, для сокращения выкладок при построении пограничных функций П(х, т)} Q(} і), рассматривается случай однократных собственных значений матриц А и D lA.
Регулярная часть разложения
Регулярная часть U(xyt) строится из условия удовлетворения уравнению єЩ + DUX) - AU - eF{x7 U) = 0(е3). 2.4) U строится в виде разложения по степеням є: U{xt t) = С/0 + i + + (2-5) здесь и далее вектор-функции с индексами 1 и 2 играют вспомогательную роль и в окончательный вид асимптотики не входят. Вектор-функцию F(U) также разлагаем по степеням є : F[xtU)=F(x7Uo + eUl+e2Ui + ...)=Fl+2F2 + . (2.6) Построение регулярной части производится ст, сп. [3]. Подставляя разложения (2.5), (2.6) в уравнение (2.4) и приравнивая коэффициенты при , е1, 2 в левой и правой частях уравнения, получаем: Отметим, что векторные краевые и начальные условия (2.lb) не могут удовлетворятся одной функцией, поэтому краевые и начальные условия к уравнению (2.12) поставим ниже, 2.2.2 Пограничные Я-функции Для выполнения начальных условий строим пограничные вектор-функции в окрестности линии f - 0. Функции П(хут) должны удовлетворять условиям: la. i(nt+Dnx)-AII-lIF = 0(e), 2а. (U + n)\t=() = U\x), За. lim Я - 0. т-юо Для удовлетворения этим условиям достаточно построить только Щ(х, т). Представим функции П(х, г), I1F в виде разложений по степеням S П(х,т)=П11{х,т)+ ..... т = \. (2.13) nF = UFa + ...t (2.14) Строим П0(х,т) ст. сп. [3]. В уравнении 1а перейдем к переменной т: Пт+2ОПх -АП- EnF = О {є). (2.15) Подставим разложения (2.13), (2.14) в (2.15):
Так как векторы линейно независимы, то д{х 0] = д {х) и d {і = 2, ЇЇ) однозначно определяются из этой системы уравнений. Тем самым начальные условия дія регулярной части, ИЛИ, ЧТО ТО же самое, для функции g {x,t) и пограничная функция Щ однозначно определены. В силу условия 4 пограничная функция П$ удовлетворяет оценке Я0 Сехр(-кт), С 0, к 0. (2.19)
Для выполнения краевого условия строим краевые пограничные вектор-функции в окрестности линии х = 0. Функции Q(,) строятся аналогично П(х,т) и должны удовлетворять условиям:
