Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Двухчастотные колебания в автономной дифференциальной системе с двумя парами чисто мнимых собственных чисел матрицы линейного приближения 16
1.1. Построение первых интегралов 16
1.2. Приведение системы первых интегралов к нормальной форме. Вещественные решения 21
1.3. Построение двухчастотных решений 49
1.4. Устойчивость двухчастотных решений 58
Глава 2. Периодические решения автономной дифференциальной системы с заданным первым интегралом 65
2.1. Построение дифференциальной системы по заданному первому интегралу 65
2.2. Преобразование дифференциальной системы и её первого интегралак специальному виду 71
2.3. Построение периодических решений периода, зависящего от начальных условий 78
2.4. Устойчивость периодических решений 84
Глава 3. Многочастотные колебания в дифференциальной системе, близкой к автономной с заданным первым интегралом 87
3.1. Преобразование дифференциальной системы к специальному виду 87
3.2. Построение многочастотных решений в резонансном случае 92
3.3. Устойчивость решений 98
Заключение 112
Список использованных источников 113
- Приведение системы первых интегралов к нормальной форме. Вещественные решения
- Устойчивость двухчастотных решений
- Преобразование дифференциальной системы и её первого интегралак специальному виду
- Построение многочастотных решений в резонансном случае
Введение к работе
Актуальность проблемы. Широкий класс механических, физических, экономических, биологических и других систем описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях. Кроме того, критический случай может иметь место в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, восстановленной по первому интегралу. Поведение решений таких систем во многом определяется их стационарными решениями — положениями равновесия, периодическими, почти периодическими, квазипериодическими и другими. Поэтому актуальна задача отыскания достаточных условий существования стационарных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях, построения этих решений и исследования их на устойчивость (задача Л)- Эта задача еще не получила законченного решения для частных случаев таких систем относительно конкретных классов стационарных решений.
В диссертации задача Л решается относительно к вази периодических решений в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия в начале координат автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в R4 в критическом случае двух пар чисто мнимых корней с двумя аналитическими первыми интегралами; периодических решений в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия в начале координат автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в R,3, восстановленной по определенно положительному первому интегралу, в критическом случае нулевого и пары чисто мнимых корней; резонансного квазипериодического решения возмущенной квазипериодической системы дифференциальных уравнений с малым параметром в окрестности условно устойчивого по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчивого периодического решения порождающей системы из предыдущего пункта.
Цель работы. 1. В R4 в окрестности Z) — {\xi\ < R, R> 0} устойчивого по Ляпунову положения равновесия х = 0 исследуется автономная система дифференциальных уравнений ^2s-l = -0JsX2a +P2s-l{x) = p2S-l{x), /Q jx ^2s = W5X2s-l + P2s{x) =p2s{^), 5 = 1,2 в критическом случае двух пар чисто мнимых корней ±гші, ±гсиг. Предпо- лагается, что:
1) рп Є С(>); следовательно, в окрестности D \рп\ < М, -т~ < L (М, L — некоторые положительные постоянные) и функции рп(х) представимы абсолютно и равномерно сходящимися степенными рядами
Рп{х) = рР^х) + ... +Р{(х) + ..., п = ї~4, где pk (ж) — однородные многочлены степени к > 2 относительно координат вектора х. По теореме Коши существует единственное решение х = ж(, ж0), ж(0, ж0) = ж0, ж0 Є .D, причем ||ж|[ = /z > 0, где ц — малый параметр.
2) Базисные частоты w1} шг вектора w = (cji, W2) рационально независимы и удовлетворяют условию "сильной" несоизмеримости |
3) В окрестности D существуют два аналитических первых интеграла си стемы (0.1) Jis(x) = С3, s — 1, 2, которые по доказанному имеют вид hi(x) = х\ + х\ + Щ\х) + ... + Ці]{х) + ... = Сь fQ 3.
Й2(я) = ж + 2 + д(2)ф + . . . + й(2)(я.) + . . . = С2) ' ' где И} (ж) — однородные многочлены степени I > 3 относительно координат вектора ж, причем Лз (0,0,жз,Ж4) = ^з (^1)^2(0,0) = 0; С3 — некоторые постоянные, s = 1,2. Следовательно, положение равновесия ж = 0 системы (0.1) устойчиво по Ляпунову.
Примером системы (0.1) является гамильтонова система дНі . дНі . дН2 . дН'
3=1 = 7\ , ^2 = Ті , Xz = 7\ ) ^4 =
ОХ2 ОЖі ОЖ4 OXz имеющая первые интегралы Hs(x) = Cs, где функции На(х) являются степенными рядами
Яі(х) = (*? + xl) + Я«(х). Я2(х) = f(xl + xl) + Я»(х), z п=3 * п=3 абсолютно и равномерно сходящимися в области D. В частности, функции Hs(x) являются многочленами степени р (р > 3) я.М = ^(«ї + х» + Е ліч(«). *«(*) = Й(хї + *Э + я«(х). ^ п=3 * п=3
По теореме В. И. Зубова [2G] система (0.1), (0.3) с рационально независимыми частотами utj имеет семейство ограниченных решений при t Є PL В теореме указаны ограничения на начальные условия, при которых решения семейства являются периодическими или почти периодическими.
Для системы (0.1) требуется найти достаточные условия существования решения вида x = x(z,n), x(z, її) єС(Д)), x(z + (2ir),fi) = x(z, д), где z = (^1,)) Zj = Aj(//)f, располагающегося в окрестности D устойчивого по Ляпунову положения равновесия х = 0. Здесь Xj(fi) = Wj 4- о(^) — искомые рационально независимые и "сильно" несоизмеримые базисные частоты, i?o = {|Jmj27'| 2. В R3 в окрестности D = {\х\\ < R:R > 0} устойчивого по Ляпунову положения равновесия х — 0 исследуется автономная система дифференциальных уравнений восстановленная по определенно положительному первому интегралу, представимому абсолютно и равномерно сходящимся степенным рядом Н{х) = х\ + х\ 4- х\ + Я3(ж) + ... + Нп{х) + ... = а2, (0.5) где #„ — однородные многочлены степени тг относительно координат ж, а — достаточно малая положительная постоянная. Система (0.4) имеет линейный первый интеграл #1 + ж2 + #з = /3, (0.6) где /? — некоторая постоянная, и рассматривается при значениях Р Є [/?і(а);/?2(а:)], соответствующих пересечению замкнутой поверхности (0.5) и плоскости (0.6). Для системы (0.4) имеет место критический случай нулевого и пары чисто мнимых ±2\/Зг корней. Существуют такие положительные постоянные М, L, что |/s| < М, dfs < L при х є D, s = 1,3. Для системы (0.4) ставится задача: требуется oxi указать достаточные условия существования решений х — x(t, х, /?), периодических по t искомого периода T(x,j3), близкого к периоду То = 7г/л/3 решений линейного приближения системы (0.4). Каждое такое решение (и его период) необходимо построить и исследовать на устойчивость. 3. BR3 исследуется система дифференциальных уравнений xs = fs{x) + tiFs(z,x,[i), s = T73, (0.7) где fi — малый неотрицательный параметр, z= (zi,..., ^), причем Zj = ujjt, j = 1, к. Система (0.7) при // = 0 является системой (0.4) и расматривается в области D = {\Jmzj\ < р, \xi - sJWbc%/3*)| < г, 0 < ц < /л}, где р > 0, г > 0, т > 0, j, I = 1,3, содержащей условно устойчивое по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчивое 27г-периодическое по Zk+\ — Ц|!+1і решение системы (0.4) х — х(2^+і, с*, /3*) с резонансной частотой cjj+1: «j+1 = 2ar-V. Л =*<"*>). 1К||>о. Здесь с*,/3* — некоторые фиксированные достаточно малые положительные величины, т* — некоторый фиксированный целочисленный вектор. Предполагается, что: 1) Fs C(D), Fs(z + (2тт),х,ц) = F8(z,x,p); следовательно, \FS\ < М, \dFs\ ~ \-~\ < L, s,l = 1, 3, где M,L — некоторые положительные постоянные; \UXi\ 2) базисные частоты и)\,... ,Шк вектора u> рационально независимы и удо влетворяют условию "сильной" несоизмеримости (0.2) для любого ненуле вого целочисленного вектора m = (mi,...,mjt) и некоторых постоянных А > 0, а > к. Для системы (0.7) ставится задача: требуется найти достаточные условия существования решения вида х = x(z,p), вещественно аналитического по координатам вектора z и /х, 27г-периодического по координатам вектора z и обладающего свойством ж(г, 0) = x(zk+\,c*,fi*). Необходимо, далее, это решение построить и исследовать на устойчивость по Ляпунову. Методика исследования. 1. Поставленная для системы (0.1) задача Л решается с использованием методов теории возмущений, обусловленными введением малого параметра: методов теории ветвления решений нелинейных алгебраических уравнений [13], метода Ю. Н. Бибикова [9] построения квази периодических решений возмущенного векторного поля на торе, метода исследования устойчивости решений на основе анализа соответствующих дифференциальных уравнений в вариациях. Для системы (0.1), прежде всего, находятся независимые аналитические первые интегралы (0.3) из тождеств, которым они удовлетворяют на решениях системы (0.1). С целью понижения порядка системы (0.1) уравнения (0.1) - (0.3) записываются в полярных координатах pj, 9j. Методами теории ветвления решений нелинейных уравнений построены решения алгебраической системы первых интегралов pj = pj(0,p), /3j(0,0) = 0, вещественно аналитические по 0j,fi и 27г-периодические по 0j при всех достаточно малых р > 0, и подставлены в систему дифференциальных уравнений относительно угловых величин 0j, j = 1,2. Полученная система 9 = ш + рФ(в,р), (0.8) где Ф(0+ {2іг),р) = Ф(Є,р),ФєСф1), Лі = {Лт|^|<п<г, j = 1,2; 0 < р < р4}, имеет, согласно [9], квазипериодические решения в = 6(z + в,р), где z ~ (21,^2), Zj = Xj(p)ti Aj(0) = u?j, 6Q — произвольный постоянный вектор, для тех значений р из найденного промежутка (0;ро), для которых построенные базисные частоты Xj{p) (j = 1,2) "сильно" несоизмеримы условием, аналогичным условию (0.2). Соответствующие квазипериодические решения х ~ x(z,p) системы (0.1) исследованы на условную устойчивость (по Ляпунову, орбитальную) по системе дифференциальных уравнений в вариациях с применением к ним преобразования понижения порядка системы, преобразования усреднения Крылова-Боголюбова, метода функций Ляпунова, теоремы Андронова-Витта и ее обобщения. 2. Поставленная для системы (0.4) задача Л решается построением искомого периодического решения методом последовательных приближений в виде ряда по степеням начальных условий и исследованием устойчивости полученного решения по дифференциальным уравнениям в вариациях с использованием теорем Андронова-Витта и Пуанкаре. Предварительно система (0.4) и первый интеграл (0.5) линейными неособенными преобразованиями искомых функций приводятся к каноническому виду в R2 «і = -А(/3)«2 + tfi(u,/3), из - Х(Р)щ + U2{u,/3), (0.9) и?+ «1+ («,) = г2(а>0)> (0-Ю) где нелинейности U3i Q, величины А, є аналитичны относительно своих аргументов в достаточно малой окрестности их нулевых значений и А(0) = 2л/3, е(а,0) = а. Аналогично [33] доказано существование двухпараметрического семейства решений системы (0.9), (0.10) и = u(t,c,(3), щ(0,с,(3) = с, гіг(0, с, ]3) = 0, каждое из которых вещественно аналитично по с, /3 в достаточно малой окрестности их нулевых значений и периодично по і искомого периода Возникающие трудности построения искомого решения, вызванные аналитической структурой периода Т(с,/3), преодолеваются сведением (0.9) заменой [33] где hi(p) — искомые величины, к системе ('= djdr) и[ = (-«г + А-1С/1)(1 + hlC + ...), «2 = ( Ul+A"16r2)(l + /iiC+...) (0.11) с искомым 2л"-периодическим по г решением w = «(г, с,/3), «i(0,С,/3) = с, «2(0,с,/3) = 0. Методом последовательных приближений построено двухпарамет-рическос семейство решений и — и(ту с, /3), ui(0, с, /3) = с, иг(0, с, /3) = 0, вещественно аналитических по т,с,/3 и 27г-периодических по т в достаточно малой окрестности с = /3 = 0. Из условий 27г-псриодичности по г приближений найдены величины Л/(/3) последовательно для / > 1. Формулы перехода от (0.4) к (0.11) позволяют свести исследование устойчивости Г(с,/3)-периодических решений системы (0.4) к исследованию устойчивости соответствующих 27г-периодических по т решений системы (0.11). Достаточные условия условной устойчивости (неустойчивости) по Ляпунову и условной орбитальной асимптотической устойчивости (op- , битальной неустойчивости) получены по дифференциальным уравнениям в вариациях с использованием теоремы Флоке, теоремы Андронова-Витта и теоремы Пуанкаре. 3. Построение резонансного квазипериодического решения x — x{z, fi) системы (0.7) в критическом случае линейными неособенными заменами искомых функций, преобразованием Крылова-Боголюбова сведено к построению методом последовательных приближений [26, 17] единственного к вази периодического решения = (z,/і) квазилинейной системы дифференциальных уравнений с постоянной некритической матрицей системы линейного приближения. Достаточные условия асимптотической устойчивости соответствующего решения х = x(z,fi) системы (0.7) получены в результате применения теорем Флоке, Ляпунова и преобразований Ляпунова, Крылова-Боголюбова к дифференциальным уравнениям в вариациях, составленным относительно квазипериодического решения и = u(z, pi) вспомогательной системы дифференциальных уравнений, полученной в процессе перехода от (0.7) к последней системе. Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях отличаются сложностью решения задачи Л и наиболее часто встречаются в прикладных задачах. В работе А. Н. Вейссенберга [14] указаны возможные типы критических случаев для уравнений Лагранжа второго рода с точки зрения структуры действующих сил. Основы теории периодических решений (одночастотных колебаний) линейных и нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений заложены фундаментальными исследованиями А. Пуанкаре [47], A. М. Ляпунова [32] и продолжены исследованиями А. А. Андронова [4], И. Г. Малкина [33, 34], Г. В. Каменкова [28], В. И. Зубова [25] - [27], B. А. Плисса [46], В. А. Якубовича и В. М. Старжинского [56], В. Г. Вере- тенникова [15], Ю. Н. Бибикова [9] и других. Теория Флоке-Ляпунова о структуре матрицанта линейной системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами послужила началом многочисленных последующих исследований. В монографии В .А. Якубовича, В. М. Старжинского [56] развита теория гамильтоновых систем, систем общего вида, систем, зависящих аналитически от малого параметра, систем с параметрическим резонансом. Полученные результаты использованы в прикладных задачах. Методы Пуанкаре и Ляпунова исследования колебаний в нелинейных системах сводятся к построению периодических решений этих систем в виде степенных рядов по степеням малого параметра, начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся в некоторой окрестности их нулевых значений на любом конечном промежутке времени. Теория А. А. Андронова [4] о бифуркации рождения периодического решения из положения равновесия динамической системы на плоскости с чисто мнимыми характеристическими корнями матрицы линейного приближения при изменении параметров системы нашла развитие в исследованиях отечественных и зарубежных ученых. В исследованиях И. Г. Малкина [33] развиты методы построения периодических решений многомерных квазилинейных автономных и периодических неавтономных систем с малым параметром в случае, когда порождающая система имеет семейство периодических решений. В. И. Зубов [26] доказал теорему: для того, чтобы аналитическая автономная система дифференциальных уравнений порядка 2s с s парами чисто мнимых корней iz'wjt характеристического уравнения с рационально несоизмеримыми положительными частотами ш&, которым соответствуют простые элементарные делители, имела «-параметрическое семейство ограниченных решений, необходимо и достаточно, чтобы эта система имела s независимых аналитических первых интегралов, не содержащих времени t. В теореме указаны условия существования периодических и почти периодических решений семейства. В монографии В. А. Плисса [46] изложены достаточные условия существования периодических решений неавтономных периодических систем дифференциальных уравнений. Методы исследования квазипериодических решений (многочастотных колебаний) нелинейных систем дифференциальных уравнений были введены в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова [11], А. Н. Колмогорова [29], В. А. Арнольда [5, 6], Ю. Мозера [42] и продолжены в работах А. М. Самойленко [48], В. И. Зубова [26], Ю. Н. Бибикова [9], Е. А. Гребе-никова, Ю. А. Рябова [17, 18] и других. В. И. Арнольд [5, 6] доказал теорему А. Н. Колмогорова [29] о сохранении квазипериодических движений гамильтоновой системы при малом изменении функции Гамильтона. Ю. Н. Бибиков [9] исследовал проблему существования квазипериодических решений возмущенного векторного поля на торе. Исследуемая система последовательностью преобразований искомых функций приводится к предельной системе с постоянной правой частью. В монографии В. И. Зубова [26] методом последовательных приближений построено асимптотически устойчивое по Ляпунову квазипериодическое решение с рационально независимыми базисными частотами возмущенной квазипериодической системы с малым параметром. При этом матрица коэффициентов системы линейного приближения имеет собственные числа с отрицательной вещественной частью. В работах В. К. Голубева [20], И. Н. Перегудина, В. Н. Щенникова [44] получены некоторые результаты по исследованию воздействий многочастотных возмущений на управляемое вращательное движение твердого тела (системы твердых тел) вокруг неподвижной точки. При этом для невозмущенных систем дифференциальных уравнений с управлениями, предложенными В. И. Зубовым [27], имеют место критические случаи нулевых и чисто мнимых корней при наличии корней с отрицательной вещественной частью. Основы теории устойчивости решений систем дифференциальных уравнений заложены фундаментальными исследованиями А. М. Ляпунова [32]. А. М. Ляпунов сводит задачу об устойчивости частного решения системы дифференциальных уравнений к исследованию устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений возмущенного решения с помощью двух созданных им методов — метода представления решений последней системы рядами специального вида и, по современной терминологии, метода функций Ляпунова. Эти функции, если они построены, дают достаточные условия устойчивости или неустойчивости. А. М. Ляпунов исследовал критические случаи одного нулевого корня, пары чисто мнимых, двух нулевых корней. Дальнейшее развитие теория устойчивости, включая и критические случаи, получила в работах А. А. Андронова, А. А. Витта [4], В. В. Немыц-кого, В. В. Степанова [43], Н. Г. Четаева [50, 51], Е. А. Барбашина [7, 8] и Н. Н. Красовского [30], Н. П. Еругина [22, 23, 24], Н. Н. Боголюбова [11], К. П. Персидского [45], Б. П. Демидовича [21], И. Г. Малкина [33, 34], В. И. Зубова [25] - (27], В. Г. Веретенникова [15], И. В. Матросова [39], И, В. Матросовой [40], Н. Н. Баутина и Л, П. Шильникова [54], А. Д. Брюно [12], А. Л. Куницына [31], А. А. Шестакова [53], Ю. В. Малышева [35,36, 37], А. Ю. Александрова [1] - [3] и других. А. А. Андронов и А. А. Витт [4] доказали теорему об устойчивости по Ляпунову периодического решения автономной системы в случае, если соответствующая система дифференциальных уравнений в вариациях имеет один мультипликатор, модуль которого равен единице, а модули остальных мультипликаторов меньше единицы. В работе Н. Н. Баутина и Л. П. Шильникова [54] показано, что поведение системы дифференциальных уравнений вблизи границы области устойчивости линейного приближения определяется ее поведением на самой границе. В связи с этим обстоятельством ими введено понятие "опасных" и "безопасных" границ области устойчивости. В работах [12], [31] исследование устойчивости систем дифференциальных уравнений с внутренним резонансом методом нормализующих преобразований сводится к исследованию устойчивости более простой системы. В работах Jl] - [3] содержится уточнение известных критериев устойчивости по нелинейному приближению. Получен ряд новых условий устойчивости неавтономных систем в критических случаях. Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, заключения и списка использованных источников, содержащего 72 наименования, и изложена на 119 страницах. Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы. В главе 1 исследуется система дифференциальных уравнений (0.1). В п. 1.1 построены в окрестности начала координат независимые аналитические первые интегралы (0.3). В п. 1.2 уравнения (0.1), (0.3) записываются в полярных координатах pj, Bj. Методами теории ветвления решений нелинейных уравнений [13] построены решения системы первых интегралов pj = Pj(9, р), pj(9,0) = 0, вещественно аналитические по 0j, р и 27г-периодические по 6j при достаточно малых р > 0. Рассмотрены случаи единственности и неединственности решений в зависимости от начальных условий fi > 0, р2 > 0; р\ = 0, р% > 0; р\ > 0, р2 = 0. Результатом подстановки функций pj(0,p) в систему дифференциальных уравнений относительно угловых величин является система (0.8). В п. 1.3, используя исследования Ю. Н. Бибикова [9], получено семейство вещественных квазипериодических решений системы (0.9) 0 = $(z + #,аі), где 0 — произвольный постоянный вектор, для тех значений р Є (0,ро), для которых базисные частоты Лі(р),^2(р) "сильно" несоизмеримы. С помощью формул обратных преобразований получены соответствующие квазипериодические решения х = x{z + #, р) системы (0.1). В пункте 1.4 решения х = х(г + в, р) системы (0.1) исследованы на устойчивость по дифференциальным уравнениям в вариациях. Получены достаточные условия условной устойчивости (неустойчивости) по Ляпунову и условной орбитальной асимптотической устойчивости (орбитальной неустойчивости) исследуемых решений. Во второй главе исследуется система (0.4), восстановленная по определенно положительному первому интегралу (0.5). В пункте 2.1 получена система (0.4), которая рассматривается при найденных значениях параметра /3 линейного первого интеграла (0.6), соответствующих пересечению замкнутой поверхности (0.5) и плоскости (0.6). В пункте 2.2 система (0.4) и первый интеграл (0.5) приведены к каноническому виду (0.9), (0Л0). Доказано в окрестности с = /3 = 0 существование семейства решений системы (0.9) и = u(t,cij3)i -ui(0,c,/3) = с, и2(0,с, /3) = 0, вещественно аналитических по с,/3 и периодических по t периода Т{с,0), аналитически зависящего от с, 0. Преобразование t = (2ir)~lT(c,f3)r, где г — новая независимая переменная, Т(с, /3) = ЯтгА-ЧДО + Л!(/3)с + Л2(/3)с2 + ...]- — искомый период, приводит (0.9) к системе (0.11) с искомым 27г-периоди-ческим по г решением и = и(т, с,/3), ui(0,c,/3) = с, иг(0)с,/3) = 0. Это решение построено методом последовательных приближений. Из условий 2^-периодичности по т приближений последовательно находятся величины Ы(Р) (' > 1) периода Т(с,/3). Формулы обратных преобразований позволяют получить соответствующие двухпараметрические решения системы (0.4) х = x(t, с,/?) периода Г(с, /3). В пункте 2,3 построенные решения исследованы на устойчивость. Получены достаточные условия условной устойчивости (неустойчивости) по Ляпунову и условной орбитальной асимптотической устойчивости (орбитальной неустойчивости) исследуемых решений. В третьей главе исследуется система дифференциальных уравнений (0.7) в окрестности условно устойчивого по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчивого 27г-периодического по Zk+i = wjt+i^ решения х — x(2jfc+i,c*, /3*) порождающей системы (0.4), где w+1 — (m*,o/), то есть в резонансном случае. В пункте 3.1 система (0.7) линейными неособенными преобразованиями искомых функций приводится к каноническому виду. Построение резонансного квазипериодического решения с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми частотами 0/1,...,0 в критическом случае сведено в пункте 3.2 преобразованием искомых функций к построению методом последовательных приближений [26 17] единственного квазипериодического решения системы дифференциальных уравнений с некритической постоянной матрицей коэффициентов линейного приближения. С помощью формул обратных преобразований получено соответствующее резонансное квази периодическое решение системы (0.7) х ~ x(z, д), ф,0) = ж(,г*+ьс*,/3*). В пункте 3.3 построенное решение системы (0.7) исследуется на устойчивость по Ляпунову по дифференциальным уравнениям в вариациях относительно соответствующего решения вспомогательной системы диффе- ренциальных уравнений, полученной в процессе преобразований системы (0.7). Получены достаточные условия асимптотической устойчивости по Ляпунову исследуемого решения. Необходимые сведения по теории ветвления решений нелинейных алгебраических уравнений взяты из [13], по теории дифференциальных уравнений — из [10], [38], по теории периодических и квазипериодических решений — из [4], [9], [21], [25, 26], [33], [42], по теории устойчивости решений - из [4], [25, 26], [32], [34]. На защиту выносятся следующие положения; Достаточные условия существования и построение семейства вещественно аналитических к вази пери одических решений автономной системы (0.1) с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми базисными частотами, зависящими от начальных условий и мало отличающихся от частот решений системы линейного приближения. Достаточные условия существования и построение семейства вещественных периодических решений автономной системы (0.4), периодических по і периода, аналитически зависящего от начальных условий и мало отличающегося от периода решений линейного приближения. Достаточные условия существования и построение резонансного квазипериодического решения возмущенной системы (0.7) с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми базисными частотами. Построенное решение обращается в периодическое решение порождающей системы при равенстве нулю малого параметра. Достаточные условия устойчивости (неустойчивости)построенных решений. Апробация диссертации. Результаты кандидатской диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева, г. Саранск (семинар по дифференциальным уравнениям и их приложениям, руководитель профессор В. Н. Щенников, конференция "Огаревские чтения"), Российский государственный открытый технический университет путей сообщения, г. Москва (семинар по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов, руководитель профессор А. А. Шестаков), Казанский государственный университет имени В. И. Ульянова - Ленина (семинар по дифференциальным уравнениям, руководитель профессор В. И. Жегалов), Вычислительный центр РАН имени А. А. Дородницына, г. Москва (семинар по методам нелинейного анализа, руководитель профессор Е. А. Гребеников). Результаты диссертации опубликованы в работах [66] - [72]. Из совместной работы [66] в диссертацию включены лишь те результаты, которые получены автором лично. Функция является определенно положительным первым интегралом системы (1.1) в некоторой достаточно малой окрестности начала координат х = 0, а полная производная по t от V(x) в силу системы (1.1) равна нулю: Линейное приближение системы (1.1) имеет семейство ограниченных 27Г периодических по Щ = u)jt решений Х\ = Ci COS Z\ — С2 Sin Z\, X3 = C3 COS 2,2 — C4 вІП 2, X2 = Cl Sin Z\ + C2 COS Z\, X4 — C3 sill Z2 + C4 COS 2, где c3 — произвольные постоянные, s = 1,4. По теореме В. И. Зубова [26] система (1.1) с рационально независимыми частотами Uj при выполнении условий 1), 3), имеет семейство ограниченных решений при t Є R. В теореме указаны ограничения на начльные условия, при которых решения семейства являются периодическими или почти периодическими. Для дальнейшего приведем следующее Определение [42]. Комплексная функция /() называется квазипериодической с базисными частотами k i,...,Wfc, если вещественные числа coj рационально независимы и если существует функция F(zi,...,Zk), 2тг-периодическая по Zj, такая, что /() = F{zi,..., Zk) при Zj = Ujt + Cj, где Cj (j = 1,к) — некоторые постоянные. Аналитическая и 27г-периодическая по Zj функция F(zi, ... ,Zk), удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле о разложимости периодической функции в ряд Фурье в некоторой комплексной области Gky где к — размерность области, такой, что z — {z\ 2) Є G и Jm.2jj г, г — вещественное число, представима абсолютно и равномерно сходящимся рядом Фурье Следовательно, в случае вещественных Zj ряд Фурье функции F(z) сходится абсолютно и равномерно при —со Zj +оо, j = 1,&, В дальнейшем будем рассматривать вещественно аналитические функции F(z). Чтобы подчеркнуть справедливость некоторого свойства вещественно аналитической функции F(z) и для комплексных переменных Zj, будем указывать, что это свойство справедливо при Jm г, j = 1,к. Из свойства вещественности функции F( z) следует равенство F-m = = Fm (здесь черта сверху означает комплексную сопряженность), из свойства аналитичности F(z) следует неравенство поэтому \Fm\ - 0 при jm -) +оо. Вещественно аналитическая функция F(z) ограничена при Jni2j г [9]. Кроме того, если базисные частоты wi, ..., w не только рационально независимы, но и удовлетворяют условию "сильной" несоизмеримости для любого ненулевого целочисленного вектора т, некоторых постоянных А 0, а к, а среднее значение F (z) функции F(z) по Zj Є [0; 27г] (j = 1, к) то [9, 42] интеграл f F{u)r)dr является ограниченной вещественно аналитической функцией, 27Г-ПЄрИОДИЧесКОЙ ПО Zj., j 1, к. Постановка задачи. Пусть для системы (1.1) выполняются условия 1) - 3). Требуется найти достаточные условия существования решения системы (1.1) видасс —ж(,г,д), x(z7}i)GCco(Do), x(z-\-{2n)1 ) = :c(z,/i), где z — (zi1Z2), Zj — \j{y)t, располагающегося в окрестности D устойчивого по Ляпунову положения равновесия х — 0. Здесь \j(fi) — LOj + o(fj,) — искомые рационально независимые и "сильно" несоизмеримые базисные частоты, Do = {Jmzj го, j = 1,2; 0 /І //о} — искомая область. Каждое такое решение, если оно существует, необходимо построить и исследовать на устойчивость. Для решения поставленной задачи систему (1.1) и функции hj(x) (j = 1,2) в (1.10) приведем к специальной форме с помощью замен искомых функций. Предварительно от искомых функций Xs перейдем к полярным кординатам pj,0j с помощью формул В результате получим систему дифференциальных уравнений и ее независимые первые интегралы Степенные ряды (1.12) - (1.14) сходятся абсолютно и равномерно при О Ра R\ R &s [0; 2тг], 5 = 1,2. Коэффициенты являются однородными формами относительно cos0i, sin#i, cos 62, sinв2 и тождественны соответствующим (1.23) В системе 1.21) вещественные функции Hs(v, в, fi) обращаются в нуль при t)i=V2=0, /z 0, аналитичны относительно своих аргументов при 0 Vj і?з Я2, —oo 9j +00, 0 fi fi2 1 и 27г-периодичны по 0, и, кроме того, По теореме о неявных функциях система (1.22) имеет единственное решение v = v(8,fi), v(8,0) = 0, вещественно аналитическое относительно -,/І при —оо #7 оо и достаточно малых fi 0. Для фактического построения этого решения приведем уравнения (1.22) к правильному, а затем к нормальному [13] виду относительно одной из искомых функций. С этой целью с помощью линейного неособенного преобразования система (1.22) приводится к системе ОО ОО ( ОС 1 где ord (2u i + i) — порядок многочлена 2u\ + i, равный наименьшему показателю степеней i,i этого многочлена. Так как 7s Ф 0,5 = 1,2, то система (1.25) является правильной относительно переменной i. Из условий 7s = I» s = 1)2, и "подготовительной" теоремы Вей-ерштрасса [13] о неявных функциях следует, что существуют функции Щ ($2 0,1 ), ( #) вещественно аналитические относительно своих аргументов в достаточно малой окрестности s = / ==0 при —оо #_,- +со, удовлетворяющие условиям Из свойства fit3) (о, 0, 0) — Те ф 0 и (1-27) вытекает, что относительно "малых" решений e = 8(0, № ), то есть решений, обладающих свойством я(0,0) = 0, система (1.25) эквивалентна системе При этом функции Hfr\tois){s =1,2) определяются однозначно из тождеств (1.27) с помощью следующего рекуррентного процесса [13]. Функции обладающие свойством Q s\0}9,0) — 77і 7 0, являются вещественно аналитическими относительно своих аргументов в некоторой окрестности i = 2 = М = 0 при —со 0j +00, j = 1,2. Пусть где q$t HQV;, Gj$ — однородные многочлены (формы) степени и относительно 2) - Величины G&j), согласно (1.25), имеют вид Следовательно, справедлива Теорема 1.5 [66, 67, 70]. Если: 1) в системе (1.1) р8(х) Є C(D), s = IT?, 2) система (1.1) в D имеет независимые первые интегралы (1.10), 3) справедливы теоремы 1.1 и 1.4, то система (1.1) имеет семейство вещественных кваз и периодических решений (1.102). Пусть р\ = 0,/?2 = - Подставляя (1.62) из теоремы 1.2 в (1.14) и, учитывая разложение [pi (#, //)] в степенной ряд при р[ \в) = а? (в) + $\9) ф 0, р = ЇД (1.103) получим систему дифференциальных уравнений Рп(Ю 02- 2 + Ф2р,1)(0,/і), р = 1,3, которая при Фог: (#) — 0 или согласно (1-16), (1.84), при Р0020 = Pooii = А - 0, 5 = 1,2 (1.104) имеет вид 9в = шп + фЬ 1\бф), 5 = 1,2, р = Т (1.105) и обладает всеми свойствами системы (1.83). При этом Ф(м)(0)О) = Ф$(0), в = 1,2, р = ттз. Пусть Яго (0) — осреднение функции Щ1(6) по б,- Є [0;27т], j = 1,2. Используя результаты исследования системы (1.83), приходим к выводу, что справедлива Теорема 1.6 [вб, 67, 70]. Если: 1) выполняются условия (1.103), (1.104), 2) в системе (1.105) координаты вектора ш = (ші,о ) рационально независимы и удовлетворяют соотношению (1.3), 3) в системе (1.105) вещественные функции Ф р, (#, /І) аналитичны по 6j,fi при Jm [ И2\ 0 ц ц5 и 2тг-периодичны по 6j, j = 1,2, то для достаточно малых чисел »о 0, /ig 0 и вектора А = (Ai, А2), удовлетворяющего условиям (1.93), (1.94), существуют при Лтту TQ (j = 1,2), 0 \i /ід такие векторные аналитические функции (г 1) М, д (0) = 0, a&U (,,) = 0(//2), что система (1.105) имеет семейство вещественных квазипериодических решений 0СР) = г + 0 + « (г + 0, р) + /иЯ20(г + 0 + «( (г + 8, / )), , z = \{v)t, А(/І)=Ш- 7 Р %), A(0)=w, р = Т73. l UW Подставив (1.106) в (1.42), получим семейство вещественных квазипериодических решений системы (1.12) /) + , ) = 2 pfcVK. и, согласно (1.11), (1.107), соответствующее семейство вещественных квазипериодических решений системы (1.1) 4ІіО +0, rt -яір)( + , A cos )( +6. p), ( /.)= ,/()810 ) ), 5=1,2, p=l,3. Пусть pj1 = M)/2 = 0- Подставляя (1.82) из теоремы 1.3 в (1.14) и, учитывая разложение [pf (в )] в степенной ряд при Р?ф)(в) = а?(в)- (9) 0, , р = 1Д (1.108) получим систему дифференциальных уравнений которая при Щ$(в) = 0 или, согласно (1.16), (1.84), при РЙОО = Рпоо - Рот = 0, s = 1,2, (1.109) имеет вид 03 = u;,-f Ф (0,/І), s = l,2, р = Т73 1.110) и обладает всеми свойствами системы (1.83). При этом Ф? 2)(М) = $( ), 5=1,2, р = ЇД Пусть ЩКв) — осреднение функции Фо2 (0) п0 % Є [0;27г], j = 1,2. Используя результаты исследования системы (1.83), приходим к выводу, что справедлива Теорема 1.7 [бб, 67, 70]. Если: 1) выполняются условия (1.108), (1.109), 2) в системе (1.110) координаты вектора ш — (ш Шг) рационально независимы и удовлетворяет соотношению (1.3), 3) в системе (1.110) вещественные функции Ф& 2\в, ц) аналитичны по #,,// при Jm#j г \ 0 /І ц5 и 27г-периодичны по 6j, j = 1,2, то для достаточно малых чисел TQ 0, / о 0 и вектора А = (Аі, Аг), удовлетворяющего условиям (1.93), (1.94), существуют при [Лтт/7- г$ (j 1,2), 0 \х /хр такие векторные аналитические функции 2 (д), ст 2 (0) = 0, a (fi) = 0(//2), «М(ч,м), 2)(т?+ (2 ),/1)=1 (4,/0, «ta2,(i/,/«)=0(/i), что система (1.110) имеет семейство вещественных квазипериодических решений 6 Р) = z + 0 + u(p 2 (z + 6», / ) + tiH20{z + 0 + « )( + 0, /і)), n v « = A(/ )t, А(д) - w - 7 2 (//), A(0)=w, р = ЇД l ; Подставив (1.111) в (1.42), получим семейство вещественных квази периодических решений системы (1.12) и, согласно (1.11), (1.112), соответствующее семейство вещественных квазипериодических решений системы (1.1) Запишем систему (1.1) в векторной форме x BQx+p{x), х = (хь ...,ХІ)Т, р = (pi, . ..,р4)т, График решения (1.102) а; = а;(г,/г), х(0, fi) = XQ, в фазовом пространстве обозначим через М. Пустьх = x(t, /л), ж(0, //) = аго, —любое другое решение системы (1.113), и (1.113) называется орбитально устойчивым при t 0, если для каждого є 0 можно указать 6(є) 0, такое, что d(x(t n), М) е при 0, если только d(xo)M) 5. Если, кроме того, d(x(t,n), М) — 0 при і - +оо, то это решение называется асимптотически орбитально устойчивым при t- +0О. Определение 1.2 [25]. К вази периодическое решение (1.102) системы (1.113) называется устойчивым по Ляпунову при t 0, если для каждого є 0 можно указать 8(є) 0, такое, что d(x(t1fi), x(z,fj)) є при t 0, если только d(5o, о) 5. Если, кроме того, при і — +СО, то это решение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову при t - -fee. Исследуем каждое решение (1.102) системы (1,113) на орбитальную устойчивость и устойчивость по Ляпунову при t 0. Полагая в (1.113) = х — ж(г,/І), получим относительно возмущений систему где В = {bst}, fibsi = dps 9Ь «=o s, I — 1,4, p — нелинейности no . Веще где ${z,n) — матрицапт системы (1.115), Е — единичная матрица, имеет мультипликатор р\ = 1. Найдем условия, при которых #,(//) l,s = 2,4. Линейное неособенное 27г-периодическое по Zj преобразование инвариантное относительно мультипликаторов, где где матрица D с нулевым первым столбцом. Следовательно, система (1.117) распадается на уравнение и систему В уравнениях (1.118), (1.119) (1.122) при \і Є (0; /ІІО], /iio min( 9, (9M)-1). Следовательно, если выполняются условия (1.125), то решение fj = 0 системы (1.122) и решение г} — 0 системы (1.119) асимптотически устойчиво по Ляпунову при t 0, /І Є (0; ріо], а в системе (1.118), (1.119) 771(2, д) — , rjs{z,p) — 0, s = 2,4, при і -4 +оо. Это означает, что мультипликаторы /?S(/J) системы (1.118), (1.119) удовлетворяют соотношениям: В этом случае из теоремы Андронова-Витта [34] следует устойчивость по Ляпунову решения = 0 системы (1.114) и, следовательно, условная устойчивость по Ляпунову при і 0 исследуемого решения (1.102) системы (1.1); из обобщения этой теоремы [21] следует условная орбитальная асимптотическая устойчивость при t 0 решения (1.102) системы (1.1). Итак, справедлива Теорема 1.8 [66, 67, 70, 72]. Если параметры системы (1.1) удовлетворяют неравенствам (1.125), то решение (1.102) этой системы условно орбитально асимптотически устойчиво и условно устойчиво по Ляпунову при і 0 и достаточно малых р, 0. Если уравнение (1.124) имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью при достаточно малых ц 0, то это решение неустойчиво по Ляпунову и неустойчиво орбитально при сколь угодно малых р 0. Аналогично исследуется устойчивость полученных вещественных квазипериодических решений системы (1.1) в рассмотренных вырожденных случаях р\ = 0, рз = р и р\ = р, р\ = 0. Пример 1.1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений где вещественныечислa 1, 2 удовлетворяют условию (1.2). Система (1.126) имеет независимые первые интегралы Предварительно уравнения (2.3), (2.13) приведем к некоторому специальному виду с помощью замен переменных. Сначала исключим из уравнений (2.3), (2.13) величину xz с помощью линейного первого интеграла (2.14). Из соотношений следует, что в результате подстановки (2.24) в (2.12) получим систему двух уравнений или, в соответствии с (2.25), систему Найдем положение равновесия (xi(j3);x2{/3)) системы (2.27), то есть решение алгебраической системы уравнений Функции Хі,Хг обращаются в нуль при х\ — х% = /3 = 0, аналитичны относительно х\ухг,& при Jrc J і?з s = 1,2, /З Є [/?і(а);/ (а)] 0 а а2 и обладают свойством = 12 О По теореме о неявных функциях система (2.28) имеет единственное вещественное решение ха = xs(P), xs(0) = 0, аналитическое относительно /? при /5 /53)0 ft min{/?i,ft). Полагаем в (2.25), (2.27) гДе 2/1(3/2 новые искомые функции. Подставляя (2.29) в (2.25), получим где функция, обращающаяся в нуль при а — 13 — 0 и аналитическая относительно а, /3 в достаточно малой окрестности точки (0;0), В (2.37), (2.38) функции Us, Q обращаются в нуль при щ = щ = О, вещественно аналитичны при \иа\ Ri R s — 1,2, /? / fy При Р — 0 система (2.37), (2.38) является системой Ляпунова [4]. При /3 = 0 ставится задача: требуется найти достаточные условия существования решения и = u(tt с, /?) с начальными условиями «i(0,c,/3) = с, u2(O,c,/?) = 0, (2.39) периодического по t искомого периода Т(е,/3). Если такое решение существует, необходимо его построить и исследовать на устойчивость. Для решения поставленной задачи перейдем в (2.37), (2.38) к полярным координатам р,в по формулам В результате получим систему дифференциальных уравнений р = U\{pcos6, psmQ)cos# + Щірсозв, psind)sin#, в A + -{U2(pcos9, /зsin0)cos0 — Ui(pcos9, psin0)sin0} и первый интеграл Пусть — решение уравнения (2.42), тогда и тоже решение уравнения (2.42). Подставляя (2.43) во второе уравнение (2.41), получим периодические по в периода 2тг, являющиеся многочленами относительно cos#, sin#. Из (2.44) имеем Знаменатель дроби в подынтегральном выражении (2.44) не меняет своего значения при замене р на — р и в на в 4- 7г, следовательно, и при замене fi на ц. Отсюда вытекает, что выражение четно относительно /і, что возможно только при Из (2.44) имеем Это соотношение свидетельствует о том, что функция, зависящая от t{&), 2тг-периодическая по в, является Т(/г, /3)-периодической по t. Обращая соотношение (2.44) относительно в — в(і) и подсталяя в = Q{t) в (2.43), (2.40), получим искомое Т(р,(3)-периодическое по t решение системы (2,37). Однако отыскание 6(t) из (2.44) затруднительно, поэтому для фактического построения искомого решения системы (2.37), удовлетворяещему при t = 0 начальным условиям (2.39), и его периода Т(/ ,0), положим в (2.37) [33] где т — новая независимая переменная, Л-і, Л-2) - - - — искомые величины. В результате получим систему (I = 1,2), 0 с cj, где сі — достаточно малое положительное число. Из (2.48) следует, что искомому Т(с, /3)-периодическому по t решению и = u(t,c,/3) системы (2.37), удовлетворяющему при і = 0 начальным условиям (2.39), соответствует искомое 27г-периодическое по г решение и = и(т, с,0) системы (2.51), удовлетворяющее начальным условиям Искомое решение системы (2.51) представимо [33] степенными рядами абсолютно и равномерно сходящимися при 0 с С2 сі. Из (2.52) для искомых 2л"-периодических по т коэффициентов и$(т7Р) получаем начальные условия Результатом подстановки (2.53) в (2.51) является последовательность систем дифференциальных уравнений Функции Щ (т,Р) ЯВЛЯЮТСЯ однородными многочленами второй степени относительно COST, sinr; следовательно, равенства (2.57), (2.58) при п — 1 сводятся к равенству hi — 0. Система (2.37) имеет первый интеграл (2.38), поэтому равенства (2.57) выполняются и для п 2 без дополнительных ограничений на параметры системы (2.37). Из равенства (2.58) получаем Следовательно, справедлива Теорема 2.1 [68, 69]. Если в соотношении (2.48) величина hi = 0, а величины hn{($) для п 2 определяются формулами (2.59), то существуют такие числа С2 0, / 0, что при 0 с с2, \ft\ / система (2.49) имеет вещественное решение (2.53), аналитическое по г, с, /3 и 2я"-периодическое по г. Этому решению соответствует Т(с, /3)-периодическое по t решение и = «ft, с, /?) системы (2.37), где С помощью формул (2.36), (2.29), (2.24) получим соответствующее двухпараметрическос семейство Т(с, /?)-периодических по t решений системы (2.13) каждое из которых вещественно аналитично по t,c, (3 при t Є (—оо;+со), О с сз С2, /3 /З5 / и удовлетворяет при = 0 начальным условиям восстановлена по определенно положительному при \xs\ R (R — некоторое достаточно малое положительное число) первому интегралу где 7 — некоторое вещественное число, а — достаточно малое положительное число. Характеристическое уравнение линейного приближения имеет нулевой и чисто мнимые ±г корпи. Система (2.62) имеет линейный первый интеграл х\ + 2 + л?з — Р (Р — достаточно малая по абсолютной величине постоянная), поэтому, полагая в (2.62), (2.63) получим систему Система (3.18), (3.19) при р = 0, 0 с с3, [/?[ /% имеет, согласно (2.53), 27г-периодическое по Zk+i решение для которого, как указано выше, выполняется условие (2.82) и принято обозначение с = с . Для системы (3.18) при р О требуется найти достаточные условия существования вещественного решения и = u{z,(j), аналитического по Zj,fi при Jm-STjl рй р2, 0 р fio /ІЗ) 2л--периодического по Zj и обращающегося при р = 0 в решение (3.20). Необходимо, далее, это решение построить и исследовать на устойчивость по Ляпунову. Перейдем в системе (3.18) к новым искомым функциям й по формулам обладают всеми свойствами правых частей системы (3.18). Система й = D(zjt+i)u, где й = (йі,й2)Гі D( +1)= "" -А + 2 имеет мультипликаторы ру = 1, р2(с) 1, 0 с сз. Пусть ty(zk+i) = Z(zk+\) ехр(Гі) — фундаментальная матрица этой системы, где Z — неособенная 27г-периодическая по Zk+і матрица с пер {ди ди\т вым столбцом М1) — f -jr—; - -- I и Г — {jsi}, {s,I = 1,2) постоянная матрица. Характеристическое уравнение имеет корни Ai = 0, Аг = SpT 0, соответствующие мультипликаторам рх = 1} jр2(с) 1. Преобразование Ляпунова переводит (3.22) в систему Пусть Г = S lTS — каноническая форма Жордана матрицы Г. Очевидно, Г = diag [0; Аг]. Преобразование приводит (3.24) к системе Система (3.26) при /J = 0B скалярной форме имеет вид С учетом этого имеем систему Следовательно, система (3.26) при = 0 имеет семейство 27Г-периодических по Zj решений где Mi — произвольная постоянная, если выполняется условие (3.28) и условие Равенство (3.31) является линейным уравнением относительно величины Мд. В переменных Мі,М2,Мз, определяемых равенствами система (3.26) запишется в виде вещественные функции Ф8 представимы абсолютно и равномерно сходящимися рядами Рассмотрим равенства Рассмотрим линейную автономную систему При выполнении соотношений (3.37) (3.36) имеет положение равновесия (3.38) асимптотически устойчивое по Ляпунову, если выполняются условия Рауса-Гурвица (3.39) hi + &зз 0, bnhs — bizhi 0. Преобразование (3.40) = 1+6) % = &, % = & приводит систему (3.35) к системе где Вещественные функции qs, Qs, Qs аналитичны относительно своих аргументов в области Do = {Jni2j- р7 pQ, j = 1, к, 6 уд r8, I = 1,3; 0 у. p7 Де} и 27г-периодичны по Zj. Следовательно, в области DQ Ы М0, \Qs\ Mu g, Af2, dQ8 lu dQs L2, / = 1,3, где Mo, Mi, M2, ii, Li — некоторые положительные постоянные. Квазипериодическое решение = (z, /І) системы (3.41) находится методом последовательных приближений. За нулевое приближение возьмем ограниченное квазипериодическое решение —оо (%г,гі = /і /_exp(-B i)g( + w i) ftb = (&,&), Ш = о (3.42) системы =/i{Bf+g( )}, = А26, (3.43) где a j -e приближение p(z, /І) найдем как квазипериодическое решение системы S = A2g+ / (2 -1./О V в виде fp(z,/i)=At2 / exp(-/xBti)H(z + , ,/1) 1, о _ (3-45) (z,p) = /z / exp(-A2ii)#2(+ 0 , \//) ъ -оо rAefiH = Q + nQ, H2 = Q2 Пусть f — заданное число, 0 г го- Из [26, 17] следует, что по величинам г, MQ, Mi, М.2ч Li, L2 найдутся такие числа р& 0, / 0 (р р7, /і8 / 7)? что при JmZj pg, 0 /г /is последовательные приближения (3.42), (3.45) вещественно аналитичны по Zj% /І, 27г-периодичны по z/, обладают свойствами p(z, 0) = 0, (р — 0,1,2,...), р(г, /І) - (.г,/І) г (р= 1,2,...), сходятся абсолютно и равномерно к единственному решению системы (3.41) = (z, /х), вещественно аналитическому по Zj, pt, и 2л--периодическому по z j — 1,/г. Это решение асимптотически устойчиво по Ляпунову. Следовательно, если выполняются условия (3.28), (3.31), (3.37) (3.39), то асимптотически устойчивому по Ляпунову положению равновесия т/ = if системы (3.36) соответствует единственное асимптотически устойчивое по Ляпунову вещественно аналитическое по Zj, \i и 27г-периодическое по Zj решение = (z, /І) системы (3.41). Отсюда и из (3.32), (3.34), (3.40) следует, что справедлива Теорема ЗЛ [71]. Если выполняются условия (3.2), (3.3), (3.28), (3.31), (3.37), (3.39), то существуют такие числа / 0, // 0, что при jJmZj ps,, 0 /І /% система (3.26) имеет единственное вещественное решение v = v(z,fj)t щ = u$(z,fi), аналитическое по Zj, /І, 2ТГ-периодическое по Zj (j = 1, к) и обращающееся при /І = 0 в порождающее решение (3.30) при Mi = 7$. С учетом (3.23), (3.25) решению из теоремы 3.1 соответствует 2тг-периодическое по Zj решение системы (3.22) й = u(z, д), которому с учетом преобразований (3.4), (3.9), (3.13) соответствует 2тг-периодическое по Zj решение системы (3.1) х = x(z,ii)j x(z, 0)) = x(zjfc+i,c ,/? ). Итак, доказана Теорема 3.2 [71]. Если: 1) система (3.1) при fi = 0 является системой (2.13), 2) Fs Є С(Л), Fs{z + {2ж),хф) = F(z,x,v), s = ЇД 3) выполняются условия теоремы 3.1, то существуют такие числа р$ 0, / 0 что ПРИ JniZj р&, 0 fi /is система (3.1) имеет единственное вещественное решение х — x(z,fi), аналитическое по Zj, /л, 27Г-периодическое по Zj (j 1, к) и обращающееся при // = 0 в Т(с ,/? )-периодическое по і решение (2.61), (2.82) системы (2.13).Приведение системы первых интегралов к нормальной форме. Вещественные решения
Устойчивость двухчастотных решений
Преобразование дифференциальной системы и её первого интегралак специальному виду
Построение многочастотных решений в резонансном случае
Похожие диссертации на Квазипериодические решения систем дифференциальных уравнений в некоторых критических случаях
